27.3 圆中的计算问题-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步教案(华东师大版)

27.3 圆中的计算问题 课题 27.3 圆中的计算问题 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P58-63 教学目标 1.掌握弧长和扇形面积公式的推导过程，初步运用扇形面积公式进行一些有关计算，发展学生分析问题，解决问题的能力。 2理解圆锥的侧面积计算方法，体会转化思想在解决问题过程中的作用，能运用转化思想将圆锥的计算问题转化为圆、弧长、扇形面积等问题。 3.在扇形面积公式的推导和例题教学过程中，渗透“从特殊到一般，再由一般到特殊”的辩证思想。 教学重难点 重点：1.弧长,扇形面积公式的导出及应用。 2.理解圆锥的侧面展开图,能把圆锥的计算问题转化为弧长和扇形面积问题。 难点：1.对图形的分析。 2.转化思想的渗透。 教学准备 多媒体课件、圆规、直尺。 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 教师提问：在小学我们已经学习过有关圆的周长和面积公式，同学们还记得吗？ 学生回答：直接回答。C=2πr，S=πr2。 教师追问：弧是圆周的一部分，扇形是圆的一部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算？它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢？ 这节课我们就来学习圆中的计算问题。（教师板书课题： 28.3 圆中的计算问题） 以小学学过的圆的周长和面积公式引导学生思考弧长与扇形面积怎样计算，创设情境，调动学生的积极性，引导学生用数学的眼光生活中的现象，在学生观察思考后，引出本节课课题。 2.实践探究，学习新知 【探究1】 做一做 教师活动：多媒体展示问题： 如图是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨的半径为100m，圆心角为90°。你能求出这段铁轨的长度吗？（精确到0.01 m） 学生活动：圆周长的。 教师追问：若圆心角是任意角度，则如何计算它所对的弧长呢？ 教师活动：多媒体展示。提问：下图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几？ （1）圆心角是180°，占整个周角的，因此它所对的弧长是圆周长的_______； （2）圆心角是90°，占整个周角的，因此它所对的弧长是圆周长的_______； （3）圆心角是45°，占整个周角的_______，因此它所对的弧长是圆周长的_______； （4）圆心角是1°，占整个圆周角的_______，因此它所对的弧长是圆周长的_______； （5）圆心角是n°，占整个周角的_______，因此它所对的弧长是圆周长的_______。 师生活动：采用提问的方式，鼓励学生回答问题。 教师提问：你能推导出半径为r，圆心角为n°时，弧长是多少吗？ 学生回答：圆周长为2πr，可看作是360°的圆心角所对的弧长；1°的圆心角所对的弧长为；圆心角为n°的弧长是圆心角为1°的弧长的n倍；∴n°的圆心角所对的弧长为。 教师指导：此处的公式中不写度，n和180表示的是倍、分关系。 【归纳总结】 如果弧长为l，圆心角的度数为n，圆的半径为r， 那么弧长的计算公式为：。 【探究2】 教师活动：多媒体展示。 如图，扇形是由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形。怎么计算扇形的面积呢？ 教师活动：鼓励学生思考，类比弧长公式的推导过程，回答下列问题。 下图中各扇形的面积分别是圆面积的几分之几？ （1）圆心角是180°，占整个周角的_______，因此圆心角是180°的扇形面积是圆面积的_______； （2）圆心角是90°，占整个周角的_______，因此圆心角是90°的扇形面积是圆面积的_______； （3）圆心角是45°，占整个周角的_______，因此圆心角是45°的扇形面积是圆面积的_______； （4）圆心角是1°，占整个圆周角的_______，因此圆心角是1°的扇形面积是圆面积的_______； （5）圆心角是n°，占整个周角的_______，因此圆心角是n°的扇形面积是圆面积的_______。 【归纳总结】 圆心角是n°的扇形面积为S，圆的半径为r， 那么扇形面积的计算公式为：。 【探究3】 教师提问：比较扇形面积公式和弧长公式，看看它们之间有什么关系？ 学生回答：经过观察，学生能够看出： ，其中，l是扇形的弧长，r为半径。 教师指出：这个公式与三角形的面积公式类似，只要把扇形看做一个曲边三角形，把弧长l看做底，半径r看成高就可以了。 【教材例题】 例1 如图，圆心角为60°的扇形的半径为10 cm。求这个扇形的面积和周长。（精确到0.01 cm2和0.01 cm） 解：因为n=60，r=10 cm，所以扇形的面积为 ≈52.36(cm2)。 扇形的周长为 ≈30.47(cm)。 【探究4】 教师活动：展示课件： 圆锥是由一个底面和一个侧面围成的。 圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线。 连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高。 教师提问：沿着圆锥的母线，把圆锥的侧面展开会得到怎样的图形？ 学生回答：扇形。 师生活动：师生互动，得到： 扇形的面积等于圆锥的侧面积。扇形的弧长等于圆锥的底面周长。扇形的半径等于圆锥的母线的长 教师补充：因此我们可利用扇形的面积公式求出圆锥的侧面积。 【归纳总结】 底面半径为r，母线长为a的扇形的侧面积为 【教材例题】 例2 一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°、弧长为20π的扇形.试求该圆锥底面的半径及它的母线的长。 解：设该圆锥底面的半径为r，母线的长为a。 则2πr=20π，可得r=10。 又20π=， 可得a=30。 教师补充：将圆锥完全展开后，得到一个扇形和一个圆。所以圆锥的全面积为。 教学过程中创设的这一问题情境来源于生活，能激发学生学习数学的兴趣，对提高学生的数学素养和数学意识也是十分有意义的。 在教师的引导下，推出弧长公式，使学生明确公式的推导过程，知道公式的来龙去脉，更要学会学习新知识的方法。 教会学生用类比的方法研究问题。 类比的推出扇形面积公式，并由学生比较两个公式的联系，使学生在学习知识时，明确知识之间的联系，在解题时，根据题目条件，选择适当的公式。 教师关注学生对题目的理解，师生共同分析题目条件后，由学生独立写出解题过程，实物投影展示学生的解题过程，再由学生对解题过程给予评价。 教材中未涉及圆锥侧面积和全面积的计算及其计算公式，编者的意图是想让读者将圃锥的计算问题转化为弧长和扇形面积计算问题，这体现了数学中的转化思想。由于圆锥的计算问题较多，笔者认为有必要对圆锥的相关计算公式进行讲解，这样不仅能扩大知识面，也能提高学生的解题效率。 3.学以致用，应用新知 考点1 弧长的计算 例1 已知一个扇形的圆心角为120°，半径是6 cm，则这个扇形的弧长是 （ ） A. 8π cm B. 6π cm C. 4π cm D. 2π cm 答案：C 变式训练 如图，已知某一条传送带的转动轮的半径为30 cm。如果该转动轮转动120°，那么传送带上的物品A被传送_______cm。（结果保留π） 答案：20π 考点2 扇形面积的计算 例2 已知扇形的半径为6，圆心角为150°，则它的面积是 （ ） A. B. 3π C. 5π D. 15π 答案：D 变式训练 已知扇形的面积为16π，半径为6，则此扇形的圆心角的度数为_______。 答案：160° 考点3 圆锥的侧面积与全面积 例3 如图，圆锥的底面半径r为5 cm，高h为12 cm，则圆锥的侧面积为 （ ） A. 65π cm2 B. 60π cm2 C. 100π cm2 D. 130π cm2 答案：A 变式训练 若一个圆锥的底面直径为6，母线长为5，则该圆锥的全面积为 （ ） A. 15π B. 24π C. 20π D. 10π 答案：C 学以致用，通过及时练习，进一步提升学生对新知的理解与运用。 4.随堂训练，巩固新知 1. 圆锥的侧面积为6π cm2，底面圆的半径为2 cm，则这个圆锥的母线长为_______cm。 答案：3 2. 如图，要制作一个母线长为8 cm，底面圆周长是12πcm的圆锥形小漏斗，若不计损耗，则所需纸板的面积是_______。 答案：48π cm2 3 如果从半径为5cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的高是____cm。 答案：3 4.制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算下图中管道的展直长度，即的长。(结果精确到0.1 mm) 解：R＝40 mm，n＝110。 ∴的长＝πR＝×40π≈76.8 mm。 因此，管道的展直长度约为76.8 mm。 5. 如图，两个同心圆被两条半径截得的的长为6π cm，的长为10π cm，又AC＝12 cm，求阴影部分ABDC的面积。 解：设OA＝R，OC＝R＋12，∠O＝n°，根据已知条件有： 得＝。 ∴3(R＋12)＝5R，∴R＝18。 ∴OC＝18＋12＝30。 ∴S＝S扇形COD－S扇形AOB＝×10π×30－×6π×18＝96π(cm2). 所以阴影部分的面积为96π cm2。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 1.弧长公式：。 2.扇形面积公式：，，其中，l是扇形的弧长，r为半径。求扇形面积时要灵活选择公式，。 3.求阴影部分的面积时，若阴影部分为规则图形可以直接利用公式求解，若阴影部分为不规则图形时，可用间接法，转化为规则图形的和差。 4.与圆锥有关的计算公式不要求一定掌握，求解与圆锥有关的问题，可以将圆锥侧面展开。转化为弧长和扇形面积问题，然后再进一步求解。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 6.布置作业 课本P62练习，P63练习，P55习题27.3 T1—4。 让学生所学知识得以运用，在巩固学生知识技能的同时也减轻学生负担。 板书设计 27.3 圆中的计算问题 1.弧长公式 学生活动区 投影区 2.扇形面积公式 3.圆锥的侧面积和全面积 提纲挈领，重点突出。 教后反思 兴趣是推动学生学习的内在动力，也是发展思维的催化剂。兴趣总是在一定的情境中产生的，要使学生在课堂上处于最佳的心理状态，教师必须想方设法激发学生的情绪领域，唤起学生心灵的共鸣，让学生因情感的驱动而产生学习的兴趣。本节课以数学知识发生为依托，设计数学情境，容易激发出学生探究新知的求知欲。 本堂课的时间主要分配在公式的推导和公式的应用上。在学生探索弧长及扇形面积公式时不能操之过急，在公式的理解和熟练运用上，设置中档题会更加适应大多数学生。在例题的讲解和课堂练习过程中，教师要特别关注学困生，把握它们的学习动态，同时也要最大限度地培养数学优生的数学思维。 课堂教学是实施素质教育的主渠道，教师要重视学生知识系统的建构，重视学生获得知识的过程，关注学生灵活运用知识解决实际问题的能力，重视学生思考方式的学习，重视学生的个性品质健全，心理素质的发展，使学生获得全面的进步与发展。 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $