27.2.1 点与圆的位置关系-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步教案(华东师大版)

27.2.1 点与圆的位置关系 课题 27.2.1 点与圆的位置关系 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P46-48 教学目标 1.理解并掌握点和圆的三种位置关系。 2.理解不在同一直线上的三个点确定一个圆及其运用。 3.了解三角形的外接圆和三角形外心的概念。 教学重难点 重点：1.探索并了解点和圆的位置关系。 2.掌握识别点和圆的位置关系的方法。 难点：灵活运用点与圆的位置关系的判定方法。 教学准备 多媒体课件、圆规、直尺。 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 多媒体展示：你玩过飞镖吗？它的靶子是由一些圆组成的，当飞镖击中靶子，根据击中的位置可以计算成绩，这其中体现了平面内点与圆的位置关系，本节课我们就开始学习与圆有关的位置关系的第一种，点与圆的位置关系。（板书课题：27.2.1 点与圆的位置关系） 通过生活中的飞镖，引出点与圆的位置关系，为新课学习做铺垫。 2.实践探究，学习新知 【探究1】点与圆的位置关系 《西游记》中，有这样一个片段，孙悟空要为唐僧外出化斋，因为不放心唐僧安全，就用金箍棒在平地上画了一个圆圈，请唐僧坐在中间，并嘱托唐僧不要走出圈外。（多媒体呈现） 师生活动：教师提出问题，学生思考交流回答。 教师活动：那有没有同学知道，唐僧最后走出圆外了吗？ 学生活动：走出去了。 教师活动：那如果我们用数学的眼光来看待这个问题，把唐僧看做平面上的一个点，孙悟空所画圆圈看做一个圆，那么这个点和这个圆，有几种位置关系？ 学生活动：学生讨论交流后发言。在圆内，在圆外，在圆上，三种位置关系。 教师活动：非常好，那么，假设平面上有一个⊙O，已知⊙O的半径为r，一个点P到圆心的距离为OP，同学们能用OP与r的大小关系刻画它们的位置关系吗？ 学生活动：学生思考交流讨论后代表发言。当点P在圆外时，OP>r；当点P在圆上时，d=r；当点P在圆内时，OP<r。 教师活动：那反过来讲，已知r与OP的大小关系，同学们能知道点P与圆的位置关系吗？ 学生活动：可以，当OP>r时，点P在圆外；当OP=r时，点P在圆上；当OP<r时，点P在圆内。 教师活动：那么，r与OP的数量关系与点P与圆的位置关系，我们就可以总结为： 点P在圆上 OP=r 点P在圆内 OP<r 点P在圆外 OP>r 【探究2】确定圆的条件 圆上的点有无数多个，那么多少个点就可以确定一个圆呢？ 我们知道经过一点可以作无数条直线，经过两点只能作一条直线，那么经过一点A能作几个圆？为什么？请动手作图试一试。（多媒体呈现） 师生活动：教师提出问题，学生先动手操作，然后交流回答展示。 学生活动：作图并回答展示。过一点能画出无数个圆，因为半径和圆心的位置都是不确定的，如图所示。 教师：那么经过两点是不是就只能作一个圆了？请同学们动手画一画，并思考交流。 学生活动：先独立作图，然后交流讨论，并选学生代表回答展示。过两点能作无数个圆，如图所示。 教师：过两点作的这些圆，有什么共同的特征？ 学生：它们的圆心都在同一直线上。 教师追问：那这条直线和线段AB有什么关系呢？ 学生：这条直线垂直平分线段AB。 教师：那同学们，试一试经过3个点可以作几个圆？为什么？ 教师活动：在学生作图过程中注意引导，即①要作一个圆经过A，B，C三点，就要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离相等，这个圆心怎么确定？②到A，B两点距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，到B，C两点距离相等的点的在线段BC的垂直平分线上，那么线段AB，BC的垂直平分线的交点是不是就是到A，B，C三点距离相等的点？也就是所作圆的圆心。 学生活动：先独立作图，然后交流讨论，并选学生代表回答展示。分两种情况： ①经过在同一直线上的3个点作不出圆。 ②经过不在同一直线上的3个点只能作出一个圆。 理由：因为圆心到点A，B，C的距离相等，所以圆心一定在线段AB，BC的垂直平分线上，而当点A，B，C在同一直线上时，两条线段的垂直平分线没有交点，当点A，B，C不在同一直线上时，两条垂直平分线的会有1个交点，所以只能作出一个圆，如图所示。 　 教师活动：归纳并引出外接圆与外心的定义。所以，只有在3个点不共线时，才会可以只确定一个圆，即：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。（板书或多媒体呈现） 教师活动：因为不共线的3个顶点同时唯一确定一个三角形，也就是说，经过三角形的三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个圆。经过三角形三个顶点的圆就是这个三角形的外接圆。这个三角形叫做这个圆的内接三角形。三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点。（多媒体呈现） 从《西游记》出发，探究点与圆的位置关系，增强趣味性，提高学生学习的兴趣，将问题数学化，进而将点与圆的位置关系，转化为点与圆心的距离与圆的半径r之间的数量关系。 以问题的形式逐层引导学生由易到难展开探究活动，培养学生的探究精神，使学生体会在这一过程中所体现的归纳思想。 探究得出，过不在同一直线上的三个点只能做一个圆及其原因。 3.学以致用，应用新知 考点1 点与圆的位置关系 例1 如图，在6×6的正方形网格中（小正方形的边长为1），有5个点，M，N，O，P，Q，以O为圆心，为半径，则在⊙O外的点是 （ ） A．M B．N C．P D．Q 答案：C 变式训练 已知点P到圆心O的距离为5。若点P在圆内，则⊙O的半径可能为 （ ） A．3 B．4 C．5 D．6 答案：D 考点2 确定圆的条件 例2 下列说法错误的是 （ ） A．已知圆心和半径可以作一个圆 B．经过一个已知点A的圆能作无数个 C．经过两个已知点A，B的圆能作两个 D．经过不在同一条直线上的三个点A，B，C只能作一个圆 答案：C 变式训练 小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是 （　　） A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块 答案：B 考点3 三角形外接圆的有关概念 例3 直角三角形的两条直角边分别是12 cm、5 cm，这个三角形的外接圆的半径是（　　） A．5 cm B．12 cm C．13 cm D．6.5 cm 答案：D 变式训练 如图，已知点O是△ABC的外心，∠A=40°，连结BO，CO，则∠BOC的度数是 （　　） A．60° B．70° C．80° D．90° 答案：C 学以致用，通过及时练习，进一步提升学生对新知的理解与运用。 4.随堂训练，巩固新知 1. 已知⊙O的半径为3，点A到圆心O的距离为4，则点A （ ） A．在圆外 B．在圆上 C．在圆内 D．无法确定 答案：A 2. 如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是 （　　） A．点P B．点Q C．点R D．点M 答案：B 3 已知△ABC和△ABD有相同的外心，∠D＝70°，则∠C的度数是 （　　） A．70° B．110° C．70°或110° D．不能确定 答案：C 4. 如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，若AB＝3，则⊙O的半径是（　　） A． B． C． D． 答案：C 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 师生活动：学生讨论发言，教师引导总结。 教师活动：同学们注意概念的区分，我们一块儿总结下，我们又新学习了圆的哪些知识？ 学生活动：交流讨论后发言。 ①点与圆的位置关系： 半径为r的⊙O，与点P的位置关系，我们就可以总结为： 点P在圆上 OP=r 点P在圆内 OP<r 点P在圆外 OP>r ②确定圆的条件：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 ③三角形的外接圆：三角形的外接圆的圆心是这个三角形的外心。这个三角形叫做这个圆的内接三角形。外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等。（学生总结，教师引导补充，多媒体呈现） 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 6.布置作业 课本P48练习，P55习题27.2 T1—4。 让学生所学知识得以运用，在巩固学生知识技能的同时也减轻学生负担。 板书设计 27.2.1 点与圆的位置关系 一、点与圆的位置关系 二、确定圆的条件 三、三角形的外接圆 教师题目讲解 学生活动区 投影区 提纲挈领，重点突出。 教后反思 本节课通过《西游记》上的情景，引发学生解决问题的热情，从而使学生能够积极地投身到课堂的探究活动中。同时本节课的教学策略主要是通过教师引导，让学生通过观察、思考、交流等合作活动亲身经历知识的发生、发展及其探求过程，并且从经过一点、两点、三点画直线过渡到经过一点、两点、三点能作几个圆的过程，可以培养学生一种类比归纳的思维方法，对学生探究本课的问题有一个很好铺垫和引导作用。整体而言，本节课充分将课堂还给学生，以学生为主体，进而把数学的课堂变成数学探讨的课堂，学生探究的课堂。 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $