27.1.3 圆周角-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步教案(华东师大版)

27.1.3 圆周角 课题 27.1.3 圆周角 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P40-44 教学目标 1.理解圆周角的概念，掌握直径所对圆周角的特征。 2.理解掌握圆周角定理，并能运用圆周角定理解决几何问题。 3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用。 教学重难点 重点：1.圆周角的概念和直径所对圆周角的特征。 2.圆周角定理及其推论的应用。 难点：1.发现并论证圆周角定理。 2.圆周角定理及其推论的应用。 教学准备 多媒体课件、圆规、直尺。 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.复习回顾，导入新课 多媒体展示：上节课我们回顾了圆心角的概念，那么下列各图中，哪些图中有圆心角？ 学生活动：第四个图中有圆心角。 教师活动：非常好，圆心角的顶点在圆心上，两边与圆相交。那么第二个图中的角有什么特点？ 学生活动：这个角的顶点在圆心上，两边与圆相交。 教师活动：是的，像这样的角我们把它叫做圆周角，这样的角有怎样的性质呢，今天我们将一起探究圆周角的相关性质。（板书课题：27.1.3 圆周角） 通过复习圆心角的概念，引出圆周角的概念，为新课学习做铺垫。 2.实践探究，学习新知 【探究1】直径所对圆周角的性质 多媒体展示：请同学们在图中画出如图所示的图形，其中线段AB是⊙O的直径，点C是⊙O上除点A，B外一点，那么，∠ACB就是直径所对的圆周角。 教师活动：从直观上看，你认为∠ACB的度数是多少？ 学生活动：直观上看应该是90°。 教师活动：那么，请同学们用量角器进行测量，看看是否与你的直观感觉相符合，改变点C的位置再测量一下， ∠ACB的度数是否改变？ 学生活动：测量得到∠ACB的度数为90°，改变点C的位置，∠ACB的度数不改变，始终为90°。 教师活动：通过测量我们可以得到直径所对的圆周角是直角，我们接下来对其进行证明。 证明：∵OA=OB=OC， ∴△AOC，△BOC都是等腰三角形， ∴∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB。 又∵∠OAC+∠OBC+∠ACB=180°， ∴。 因此，不管点C在⊙O上何处（除点A，B外），∠ACB总等于90°，即： 半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）. 【探究2】圆周角定理 对于一般的弧所对的圆周角，又有什么规律呢？如图，∠ACB，∠ADB都是弧AB所对的圆周角。∠AOB是弧AB所对的圆心角。这几个角有什么关系？ 教师活动：（1）量一量图中弧AB所对的圆周角的度数，比较一下。再变动点C在圆周上的位置，看看圆周角的度数有没有变化。你发现其中有什么规律吗？ （2）量一量图中弧AB所对的圆周角和圆心角的度数，你发现了什么？ 动手操作，小组交流，之后派代表回答问题。 学生活动：发现圆周角的度数没有发生改变，并且圆周角的度数恰好是同弧所对圆心角的度数的一半。 教师活动：上述操作可以猜想：在同一个圆中，一条弧所对的任意一个圆周角的大小都等于该弧所对的圆心角的一半。如何证明这个猜想呢？ 教师活动：为了验证这个猜想，如图，可将圆对折，使折痕经过圆心O和圆周角的顶点C，这时可能出现三种情况：（1）折痕是圆周角的一条边，（2）折痕在圆周角的内部，（3）折痕在圆周角的外部。 接下来，我们分别就这三种情况，证明前面的猜想. 先看第一种情况， 证明：（1）圆心在∠ACB的边CB上， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠ACB。 ∵∠AOB是△OAC的外角， ∴∠AOB=∠ACB+∠OAC=2∠ACB， ∴。 教师活动：对于第二、第三种情况，同学们思考，并小组讨论如何证明？ 经过小组讨论后，选取代表回答，展示证明思路。教师及时补充，并展示完整证明过程。 预设：（2）圆心在∠ACB的内部。 作直径CD。利用（1）的结论，有 ∴ （3）圆心在∠ACB的外部。 作直径CD。利用（1）的结论，有 ∴ 教师活动：由此我们可以得到圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等。 【探究3】圆周角定理的推论 （一）在之前的探究中，我们知道了半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）。反之，如果一个圆周角等于90°，那么这个圆周角所对的弦是直径吗？请同学们自己作图并说明理由。 如图所示，在⊙O中，圆周角∠BAC=90°，连接OC，OB。 ∵∠BAC=90°，∴∠BOC=2∠BAC=180°。（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半） ∴B，O，C三点在同一直线上，∴BC是⊙O的一条直径。 教师活动：给出推论：90°的圆周角所对的弦是直径。 （二）如图，如果一个圆经过一个多边形的各个顶点，这个圆就叫做这个多边形的外接圆，这个多边形叫做这个圆的内接多边形。 在如图所示的圆内接四边形中，∠BAD与∠BCD之间有什么关系？ 教师活动：首先让学生猜想结论，然后让学生拿出量角器进行度量，最后通过严密证明验证猜想结果。 学生活动：先猜想，然后交流讨论证明方法，最后展示。 预设： 学生：∠BAD与∠BCD互补。 证明：如图，连结OB，OD， ∵∠BAD=，∠BCD=。（圆周角定理） ∵∠1+∠2=360°， ∴∠BAD+∠BCD=180°， ∴∠BAD与∠BCD互补。 教师活动：同样，我们可以证明∠ABC与∠ADC互补。所以，我们就得到了圆周角定理的另一个推论：圆内接四边形的对角互补。 【探究4】运用圆周角定理解决问题 如图是一个圆形零件，你能找到它的圆心位置吗？你有什么简捷的办法？ 教师安排学生分组讨论，教师适时点拨，讨论后由小组代表回答问题。 预设：将三角板的直角顶点放在圆周上，连结两条直角边与圆周的交点。 改变直角顶点的位置，重复上述步骤，两条直线在园内交于一点，该点就是圆心所在位置。 【教材例题】 例2 如图，AB是⊙O的直径，∠A=80°。求∠ABC的度数。 解：AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角等于90°）， ∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB=180°-80°-90°=10°。 例3 试分别求出图中∠x的大小。 解：（1）∵同弧对的圆周角相等， ∴∠x=60°。 （2）连结BF。 ∵同弧对的圆周角相等， ∴∠ABF=∠D=20°,∠FBC=∠E=30°, ∴∠x=∠ABF+∠FBC=50°。 让学生动手操作，增强直观感受，提高几何直观能力，通过严密的逻辑推导，培养学生的论证能力。 让学生经历画图的过程，确定特定的弧所对的圆周角，通过对圆周角和圆心角关系的探索、讨论、交流，初步认识同弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半，为下面圆周角定理证明做好铺垫。 由特殊到一般，利用转化思想，将圆心在内部时转化为两个角的和，圆心在外部时转化为两个角的差。难度较大，教师注意引导。 推论1和推论2的学习都经历了猜想、实验、证明这三个探索问题的基本环节，得到一般的规律，得出相关推论。 采用实践操作的方式，提高学生的动手操作能力，提高学生参与热情，激发学习兴趣。 3.学以致用，应用新知 考点1 圆周角与直径所对的圆周角 例1 如图，在图中标出的∠1~∠5这5个角中，弧AD所对的圆周角是 （ ） A．∠5 B．∠1和∠2 C．∠3和∠4 D．∠1和∠3 答案：C 变式训练 AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若AC=8，AB=10，则BC的长是 （ ） A．3 B．5 C．6 D．8 答案：C 考点2 圆周角定理 例2 如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC=54°，则∠OBC的度数为（ ） A. 54° B. 27° C. 108° D. 36° 答案：D 变式训练 如图，AB，CD是⊙O的两条直径，E是劣弧BC的中点，若∠CDE=35°，则∠AOC的度数为 （ ） A. 60° B. 50° C. 40° D. 30° 答案：C 考点3 圆周角定理的推论 例3 如图，四边形ABCD是平行四边形，⊙O经过点A，C，D，与BC交于点F，连结AE，若∠ADC=72°，则∠BAE的度数是 （ ） A. 30° B. 36° C. 72° D. 108° 答案：B 变式训练 在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B， ∠C的度数的比为4∶3∶5，则∠D的度数是 。 答案：120° 学以致用，通过及时练习，进一步提升学生对新知的理解与运用。 4.随堂训练，巩固新知 1. △ABC的三个顶点在⊙O上，若AB是⊙O直径，且∠A=65°，则∠B的度数为 （ ） A．65° B．90° C．45° D．25° 答案：D 2. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，连结AC，AD，BC，CD，若∠BAC=50°，则∠D的度数为（ ） A．30° B．35° C．40° D．50° 答案：C 3. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，若∠D=115°，则∠BAC的度数为 （ ） A．30° B．25° C．20° D．15° 答案：C 4. 如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O外一点，连结AC交⊙O于点E，连结AB并延长交⊙O于点D，若∠A=35°，则∠DOE的度数是 （ ） A．110° B．120° C．120.5° D．115° 答案：A 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 师生活动：学生讨论发言，教师引导总结。 教师活动：同学们注意概念的区分，我们一块儿总结下，我们又新学习了圆的哪些知识？ 学生活动：交流讨论后发言。 ①圆周角的概念：圆周角的顶点在圆上，它的两边与圆相交。 ②半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）。 ③圆周角定理：在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半;相等的圆周角所对的弧相等。 ④圆周角定理的推论：推论1：90°的圆周角所对的弦是直径。 推论2：圆内接四边形的对角互补。（学生总结，教师引导补充，多媒体呈现） 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 6.布置作业 课本P44练习，P45习题27.1T6、7、9、10。 让学生所学知识得以运用，在巩固学生知识技能的同时也减轻学生负担。 板书设计 27.1.3 圆周角 一、圆周角 二、圆周角定理 三、圆周角定理的推论 教师题目讲解 学生活动区 投影区 提纲挈领，重点突出。 教后反思 本节课的教学策略主要是通过教师引导，让学生通过观察、思考、交流等合作活动亲身经历知识的发生、发展及其探求过程，并在此过程中使学生深刻地理解知识和掌握由特殊到一般的研究方法。整体而言，本节课充分将课堂还给学生，以学生为主体，进而把数学的课堂变成数学探讨的课堂，学生探究的课堂。 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $