26.2.2 第5课时 二次函数的实际应用-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(华东师大版)

26.2 二次函数的图象与性质 情境导入 知识讲解 随堂小测 当堂检测 课堂小结 2. 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 第5课时 二次函数最值的应用 学习目标 1.会通过分析实际问题的情境确定二次函数的表达式，体会二次函数的意义.（难点） 2.会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题.（重点）（难点） 情境导入 复 习 回 顾 分别写出下列函数的对称轴和顶点坐标，并说出哪些函数有最大值，哪些函数有最小值. 对称轴为 顶点坐标为 有最大值. 对称轴为 顶点坐标为 有最小值. 知识点 用二次函数求几何图形的最值 知识讲解 问题1 用总长为 20 m 的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩形花圃. 怎样围才能使花圃的面积最大？ 设AB的长为x m，矩形的面积为y m2. x>0，且20-2x>0，所以0<x<10. A D B C BC=（20-2x）m 所以 y = x（20-2x）= -2x2+20x（0<x<10） 这样实际上是需要求出自变量x为何值时，二次函数 y = -2x2+20x（0<x<10）取得最大值. 将这个函数关系式配方，得 所以函数的图象开口向下，顶点坐标为（5,50）. 这就是说当x=5时，函数取得最大值，最大值y=50. A D B C 这时，AB=5（m），BC=20-2x=10（m），最大面积为50 m2. 问题2 某商店将每件进价为 8 元的某种商品按每件 10 元出售，一天可售出 100 件. 该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润. 经过市场调查，发现这种商品每件每降价 0.1 元，每天的销售量可增加 10 件. 将这种商品的售价降低多少时，其每天的销售利润最大？ 设每件商品降价x元，每天的利润为y元. y = （10-x-8）（100+100x）（0 ≤ x ≤ 2） 即y = -100x2+100x+200（0 ≤ x ≤ 2） 这样实际上是需要求出自变量x为何值时，二次函数 y = -100x2+100x+200（0 ≤ x ≤ 2）取得最大值. 将这个函数关系式配方，得 所以函数的图象开口向下，顶点坐标为 . 这就是说当x= 时，函数取得最大值，最大值y=225. 所以每件商品降价0.5元时，每天的销售利润最大. 例 用长为 6 m 的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框.窗框的高与宽各为多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？（铝合金型材宽度不计） 解：设矩形窗框的宽为x m，则高为 m. 这里应有x>0，且 ，故0<x<2. 矩形窗框的透光面积y与x之间的函数关系式是 即 所以当x=1时，函数取得最大值，最大值y=1.5. 因此，所做矩形窗框的宽为1 m、高为1.5 m时，它的透光面积最大，最大面积是1.5 m2. 将 配方，得 ， x=1满足0<x<2，这时 要考虑自变量的取值范围. 试一试 （1）如图，要搭建一个矩形的自行车棚，一边靠墙，另外三边围栏材料的总长为 60 m，怎样围才能使车棚的面积最大？ 解：设矩形车棚的宽为x m，则长为60-2x m. （1）这里应有x>0，且60-2x>0，故0<x<30. 矩形车棚的面积y与x之间的函数关系式是 所以当x=15时，函数取得最大值，最大值y=450. 因此，所建矩形车棚的宽为15 m、长为30 m时，它的面积最大，最大面积是450 m2. x=15满足0<x<30，这时60-2x=30， 将 配方，得 ， 试一试 （2）在（1）中，如果可利用的墙壁长为25 m，怎样围才能使车棚的面积最大？ 由（1）得， . （2）由题意，得x>0，且0<60-2x≤25，故17.5<x≤30. 所以，x>15时，函数值y随x的增大而减小， 所以，当x=17.5时，函数值y取得最大值， 最大值为 . 这时60-2x=25， 因此，所建矩形车棚的宽为17.5 m、长为25 m时，它的面积最大，最大面积是437.5 m2. 自变量的取值范围不同，取得的最值也可能不同. 随堂小测 1.求下列函数的最大值或最小值. 解：（1） 当 时，函数y取得最小值为 . （2） 当 时，函数y取得最大值为 . 当 时，函数y取得最小值为 . 当 时，函数y取得最大值为 . （3） （4） 当 时，函数y取得最大值为 . 当 时，函数y取得最大值为 . （5） （6） 2.有一根长为 40 cm 的铁丝,把它弯成一个矩形框.当矩形框的长、宽各是多少时，矩形的面积最大?最大面积是多少? 解：设这个矩形框长为x cm，则宽为 cm. 因为x>0，且 ，所以0<x<20， 矩形的面积S与x之间的函数关系式是 2.有一根长为 40 cm 的铁丝,把它弯成一个矩形框.当矩形框的长、宽各是多少时，矩形的面积最大?最大面积是多少? 当x=10时，函数取得最大值，最大值为100， x=10满足0<x<20，此时20-x=10. 所以当矩形框的长、宽都是10 cm，即弯成正方形框时，矩形的面积最大，最大面积是100 cm2. 当堂检测 1.二次函数y=-3x2+12x-5的最大值是 （ ） A. 7 B. -7 C. 17 D. -17 A 2.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=12 cm，BC=24 cm，动点P从点A开始，沿边AB向点B以1 cm/s的速度运动；动点Q从点B开始，沿边BC向点C以1 cm/s的速度运动.若点P，Q同时出发，设运动时间为t s，那么△PBQ的面积S的最大值为 cm2. A B C P Q 36 3.已知两个正数的和是 60,它们的积最大是多少?（提示:设其中的一个正数为 x，将它们的积表示为 x 的函数) 解：设其中的一个正数为x ，则另一个正数为60-x. 因为x>0，且 ，所以0<x<60， 它们的积y与x之间的函数关系式是 3.已知两个正数的和是 60,它们的积最大是多少?（提示:设其中的一个正数为 x，将它们的积表示为 x 的函数) 当x=30时，函数取得最大值，最大值为900， x=30满足0<x<60，此时60-x=30. 所以它们的积最大是900 . 课堂小结 求二次函数 最值问题的步骤: （1）先分析问题中的数量关系，研究自变量的取值范围，列出函数关系式； y = ax2 + bx + c （2）研究所得的函数; （3）检验 x 的取值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值; （4）解决提出的实际问题. 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 绿卡图书—走向成功的通行证 $