26.3 第2课时 二次函数与一元二次方程-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步教案(华东师大版)

该教案聚焦二次函数与一元二次方程、不等式的关系，以小球竖直上抛情境导入，通过确定函数关系式、分析落地时间，结合图象观察与方程求解梳理知识脉络，搭建学习支架。 特色在于情境驱动与实践探究结合，小球运动实例培养数学眼光，探究环节引导画图、解方程推理关系发展数学思维，例题变式训练用数形结合提升数学语言能力，助力学生掌握知识，方便教师高效教学。

26.3 实践与探索 课题 第2课时 二次函数与一元二次方程 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P28 教学目标 1.会求出二次函数y=ax2+bx+c与坐标轴的交点坐标。 2.经历探索二次函数的性质，了解二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系。 教学重难点 重点：理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，能够运用二次函数及其图象进行解答。 难点：了解二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系。 教学准备 多媒体课件。 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情境，导入新课 我们已经知道，竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可以近似地用公式h=-5t2+v0t+h0表示，其中h0(m) 是抛出时的高度，v0(m/s)是抛出时的速度。一个小球从地面以40 m/s的速度竖直向上抛起，小球距离地面的高度h(m)与运动时间t (s)的关系如图所示。（多媒体呈现） 师生活动：教师提出问题，学生思考交流回答，教师总结引出课题。 教师：同学们，本题中h与t的关系式是什么？ 学生：h与t的关系式是h=-5t2+40t。 教师：那么小球经过多少秒后落地? 学生：通过图象可以看出，小球经过8 s后落地。 教师：还有其他方法可以判断小球落地时间吗？ 学生：因为小球落地时，h=0，所以0=-5t2+40t，解得t1=0，t2=8，所以小球经过8 s后落地。 教师：同学们，根据图象判断和解方程，得到的结论是否相同？ 学生：相同。 教师：是的，我们可以发现，二次函数h=-5t2+40t的图象与x轴交点的横坐标与方程0=-5t2+40t的根是相同的，那么方程的根与函数之间还有哪些关系呢？今天这节课，我们就一块儿探究下二次函数与一元二次方程的关系。（板书课题 第2课时 二次函数与一元二次方程） 根据小球竖直上抛运动创设情境，有助于提升学生学习的兴趣，同时使学生初步感受二次函数与一元二次方程之间的关系。最后通过师生互动，引出课题。 2.实践探究，学习新知 【探究】 问题3 画出函数的图象。 师生活动：教师引导学生回顾二次函数y=ax2+bx+c的图象的画法，并画出图象。 根据图象回答下列问题： （1）图象与x轴交点的坐标是什么？ （2）当x取何值时，y=0？这里x的取值与方程x2-x-=0有什么关系？ （3）你能从中得到什么启发？ 教师：组织学生演练，巡视，等待大部分学生练习做完之后，再请两位学生上台演示，交流。 学生活动：课堂演练，相互讨论，解决演练题的问题。 预设：（1）∵x轴上点的纵坐标都为0， ∴图象与x轴的交点即为图象上纵坐标为0的点， 即x2-x-=0。 解得， ∴图象与x轴交点的坐标是（，0）、（，0）。 （2）由（1）可知，当x取时，y=0。x的取值是方程x2-x-=0的根。 （3）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根相同。 试一试 根据上述问题3画出的图象，继续回答下列问题： （1）当x取何值时，y＜0？当x取何值时，y＞0？ （2）试用含有x的不等式来描述问题（1）。 预设：（1）由图象可得，当＜x＜时，y＜0； 当x＜或x＞时，y＞0。 （2）当＜x＜时， 不等式x2-x-＜0，即y＜0； 当x＜或x＞时， 不等式x2-x-＞0，即y＞0。 教师总结：二次函数图象中x轴上方部分上的点的纵坐标都为正，相应的x的取值满足不等式大于0，图象中x轴下方部分上的点的纵坐标都为负，相应的x的取值满足不等式小于0。 【归纳总结】 1. 二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程之间的关系： 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根相同。 2.二次函数y=ax2+bx+c与一元二次不等式之间的关系： 二次函数图象中x轴上方部分上的点的纵坐标都为正，相应的x的取值满足不等式大于0，图象中x轴下方部分上的点的纵坐标都为负，相应的x的取值满足不等式小于0。 通过一元二次函数的图象，逐步引导学生把二次函数与一元二次方程的知识联系起来。 引导学生自己总结一元二次函数与一元二次方程的关系，加深学生对知识的理解与掌握。 引导学生类比探究二次函数与一元二次方程之间的关系的过程，探究二次函数与一元二次不等式之间的关系。 3.学以致用，应用新知 考点1 二次函数与一元二次方程 例1 如图，已知抛物线y=x2+bx+c，则关于x的方程x2+bx+c=0的解是___________。 答案：x1=-1，x2=4 变式训练 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=1，且过点（-1,0），顶点在第一象限，其部分图象如图所示。给出以下结论：①ab＜0；②4a+2b+c＞0；③3a+c＞0；④若方程ax2+bx+c+1=0的两实数根为x1，x2且x1＜x2，则x1＜-1，x2＞3。其中结论错误的选项是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 答案：C 考点2 二次函数与一元二次不等式 例2 阅读与思考：阅读下列材料，完成后面任务。 利用二次函数的图象解不等式 我们知道，利用一次函数的图象可以解一元一次不等式，那么对于不等式x2-2x-3＞0，如何求它的解集呢？我们可以类比前面的学习经验来解决这个问题。 第一步：画出二次函数y=x2-2x-3的图象。 列表如下： x 0 1 2 3 4 y 5 0 0 5 描点、连线，如图1所示。 第二步：确定二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴的交点。 由图象可以看出，二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴的交点为（-1,0）和（3,0）。 第三步：确定不等式x2-2x-3＞0的解集。 由图象可知，当x＜-1或x＞3时，二次函数y=x2-2x-3的图象位于轴的上方，y＞0，即x2-2x-3＞0， ∴不等式x2-2x-3＞0的解集为x＜-1或x＞3，同理，可得不等式x2-2x-3＜0的解集为-1＜x＜3。 任务： （1）利用二次函数的图象解不等式x2-2x-3＞0，主要体现的数学思想是______。（从下面选项中选出一个） A. 数形结合思想 B. 统计思想 C. 公理化思想 （2）请你用阅读材料中的方法解不等式，在如图2所示的平面直角坐标系中，直接画出函数图象，并参照材料中第三步的分析过程写出你的分析过程。 答案：（1）A （2）解：列表如下： x … -3 -2 -1 0 1 … y … 0 1.5 2 1.5 0 … 描点并连线： 将不等式变形为， 观察图象可知，抛物线y=与x轴相交于（-3,0）和（1,0）两点， 当x＜-3或x＞1时，二次函数的图象位于x轴下方，此时y＜0，即。 ∴不等式的解集为x＜-3或x＞1。 变式训练 如图是抛物线y=ax2+bx+c的一部分，其对称轴为直线x=1，若抛物线与x轴的一个交点为A（-1,0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是________． 答案：-1＜x＜3 学以致用，通过及时练习，进一步提升学生对新知识的理解与运用。 4.随堂训练，巩固新知 1. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论： ①2a+b=0； ②a+b+c＞0； ③方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根； ④不等式ax2+bx+c＜0的解集是0＜x＜3。 其中所有正确结论的序号是（ ） A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②③④ 答案：A 2. 如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点（3,0），则下列结论中正确的是______．（填序号） ①a＞0；②c＞0；③b2-4ac＜0；④9a+3b+c=0。 答案：②④ 3. 已知y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象回答下列问题． （1）求方程ax2=-bx-c的解； （2）如果方程ax2+bx+c+m=0无实数根，求m的取值范围。 解：（1）观察函数图象可知，图象与x轴的交点坐标为（-3,0），（1,0）， 将方程ax2=-bx-c变形为ax2+bx+c=0， 由图象可知方程ax2+bx+c=0的解为x1=-3，x2=1， ∴方程ax2=-bx-c的解为x1=-3，x2=1。 （2）若方程ax2+bx+c+m=0无实根，由图象可得-m＞8， ∴m＜-8。 4. 操作与探究：已知点P是抛物线y=-x2-2x+3上的一个动点． （1）在如图的平面直角坐标系xOy中画出函数y=-x2-2x+3的图象； （2）仔细观察图象，结合所学知识解答下列问题： ①当函数值y≥0时，自变量x的取值范围是 ； ②方程x-=-2的根是 （结果保留一位小数）； ③当x＜m时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 ； ④当-2≤x≤n时，函数值3≤y≤4，直接写出n的取值范围 。 解：（1）列表： x … -3 -2 -1 0 1 … y … 0 3 4 3 0 … 描点、连线，如图： （2）①根据图象可知，当函数值y≥0时，自变量x的取值范围是-3≤x≤1。 ②由x-=-2得，-x2-2x+1=0， 方程x-=-2的根可以看作是函数y=-x2-2x+1与x轴的交点， 根据图象可知，函数y=-x2-2x+1与x轴的交点近似为（2.4,0），（-0.4,0）， ∴x1≈2.4，x2≈-0.4。 ③根据图象可知，当x＜-1时，y随x的增大而增大， ∵当x＜m时，y随x的增大而增大。 ∴m的取值范围是m≤-1 ④根据图象可知，-1≤n≤0。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 1. 二次函数图象与x轴的交点问题通常通过一元二次方程的根的问题来解决，反过来，一元二次方程的根的问题，又常用二次函数的图象来解决； 2. 利用函数的图象能更好地求不等式的解集，先观察图象，找出抛物线与x轴的交点，再根据交点的坐标写出不等式的解集。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 6.布置作业 教材P28练习 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 第2课时 二次函数与一元二次方程 1. 二次函数与一元二次方程 2.二次函数与一元二次不等式 教师题目讲解 学生活动区 投影区 提纲挈领，重点突出。 教后反思 本节课以小球竖直上抛为切入点，引出函数与方程的关系，学生通过二次函数图象与x轴的交点与一元二次方程以及一元二次不等式的对比，探讨得出二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程以及一元二次不等式之间的关系。整节课以学生为主体，教师适当引导，层层推进，使学生充分参与到课堂中来，同时也达成了预期的教学目标。 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $