26.2.3 求二次函数的表达式-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步教案(华东师大版)

26.2.3 求二次函数的表达式 课题 26.2.3 求二次函数的表达式 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P21-23 教学目标 1. 体会确定二次函数表达式所需要的条件。 2. 会用待定系数法确定二次函数的表达式。 教学重难点 重点：利用待定系数法确定二次函数的表达式。 难点：根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式，用待定系数法确定二次函数表达式。 教学准备 多媒体课件。 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 问题1（教师多媒体展示） 如图，某建筑物的屋顶设计成横截面为抛物线形（曲线AOB）的薄壳屋顶。它的拱宽AB为4m，拱高CO为0.8m。施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢？ 教师引导学生探究：这个屋顶横截面为抛物线，二次函数的图象也是抛物线，我们可以通过建立平面直角坐标系来求出对应的函数表达式，再根据函数表达式画出图形。 教师：今天这节课，我们就一块儿探究下如何求二次函数的表达式。（教师板书课题 26.2.3 求二次函数的表达式） 创设有意义的问题情境，调动学生学习积极性，引导学生通过建立数学模型解决问题，体会到数学来源于生活，同时引出课题。 2.实践探究，学习新知 【探究】 问题1 师生活动：为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的平面直角坐标系，教师指导学生建立的平面直角坐标系要使得到的函数关系式尽量简单，引导学生讨论、交流如何建立平面直角坐标系， 预设： 以点O为原点，以AB的垂直平分线为y轴，以1m为单位长度，建立平面直角坐标系，如图。 这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设抛物线对应的二次函数表达式为y=ax2（a＜0）。 ∵y轴垂直平分AB， ∴， 又∵CO=0.8 m， ∴点B的坐标为（2，-0.8）。 ∵点B在抛物线上， ∴将点B的坐标带入函数解析式得-0.8=a×22， ∴a=-0.2。 因此，函数表达式是y=-0.2x2。 【教材例题】 例6 一个二次函数的图象经过点(0，1)，它的顶点坐标为(8，9)，求这个二次函数的表达式。 教师活动：操作投影仪。组织学生演练，巡视，等待大部分学生练习做完之后，再请两位学生上台演示，交流。 学生活动：课堂演练，相互讨论，解决演练题的问题。 解：设这个二次函数的表达式为y=a(x-h)2+k。 ∵这个二次函数的的顶点坐标为（8，9）， ∴y=a(x-8)2+9。 ∵它的图象经过点（0，1）， ∴1=a(0-8)2+9，解得， ∴这个二次函数的表达式为。 教师总结：若已知二次函数图象的顶点坐标，则可以将二次函数设为y=a(x-h)2+k（a≠0）的形式，然后再找到图象上另外一个点的坐标代入即可求出二次函数的表达式。 例7 一个二次函数的图象经过(0，1)、(2，4)、(3，10)三点，求这个二次函数的表达式。 教师活动：操作投影仪。组织学生演练，巡视，等待大部分学生练习做完之后，再请两位学生上台演示，交流。 学生活动：课堂演练，相互讨论，解决演练题的问题。 解：设所求二次函数的表达式为y=ax2+bx+c。 由这个函数的图象经过点（0,1），可得c=1。 又由于2它的图象经过(2，4)、(3，10)两点， 因此，这个二次函数的表达式为。 教师总结：若已知二次函数图象上任意三点坐标，则可以将二次函数设为y=ax2+bx+c（a≠0）的形式，然后将三点坐标代入即可求出二次函数的表达式。 【归纳总结】 利用待定系数法求二次函数的表达式： 1. 已知二次函数图象的顶点坐标（即二次函数的最大值或最小值及其对应的自变量的取值），则可以将二次函数设为y=a(x-h)2+k（a≠0）的形式，然后再找到图象上另外一个点的坐标代入即可求出二次函数的表达式； 2. 已知二次函数图象上任意三点坐标，则可以将二次函数设为y=ax2+bx+c（a≠0）的形式，然后将三点坐标代入即可求出二次函数的表达式。 通过让学生自主探究如何画平面直角坐标系，选择合适的二次函数的表达式，加深学生对知识的理解和掌握，进一步培养学生思维的发散性和开放性。 通过两个例题，一方面让学生深入探究根据不同的条件灵活选用二次函数的不同形式，通过待定系数法求出函数关系式，另一方面让学生通过实践感受到二次函数一般式y=ax²+bx+c确定二次函数需要三个条件。 3.学以致用，应用新知 考点 求二次函数的表达式 例 已知二次函数的最小值为-3，这个函数的图象经过点（1，-2），且对称轴为x＝2，则这个二次函数的表达式为 。 答案： 变式训练 已知抛物线y=ax2+bx+3与直线y＝x+k交于点A和点B（-2，m），求抛物线的表达式。 解：将点A的坐标代入y＝x+k， 得，解得k=1，所以直线y＝x+1。 将点B（-2，m）的坐标代入y＝x+1， 得m=-1，所以B（-2，-1）。 将点A、点B（-2，m）的坐标分别代入y=ax2+bx+3， 得解得 ∴抛物线的表达式为y=2x2-2x+3。 在归纳总结的基础上，通过及时练习，进一步提升学生对确定二次函数的表达式的方法掌握。 4.随堂训练，巩固新知 1. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）中，y与x的部分对应值如下表所示，则下列结论正确的是（ ） x … -2 -1 0 1 2 … y … -22 -12 -6 m -6 … A．4ac-b2＜0 B．该二次函数图象开口向上 C．abc＞0 D．m的值为-5 答案：C 2. 抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标是（﹣1，3），且过点（0，5），那么二次函数y＝ax2+bx+c的解析式为（ ） A．y＝﹣2x2+4x+5 B．y＝2x2+4x+5 C．y＝﹣2x2+4x﹣1 D．y＝2x2+4x+3 3. 如图，已知平面直角坐标系中的四个点：A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3）。二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过其中任意三个点，当a的值最大时，二次函数的表达式为 。 答案： 4. 如图，抛物线y=-x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，3），顶点为C。求抛物线的解析式和顶点C的坐标。 解：把A（﹣1，0）和点B（0，3）代入y=-x2+bx+c，得 ，解得， ∴抛物线解析式为y＝-x2+2x+3。 ∵y＝-x2+2x+3＝-(x﹣1)2+4， ∴抛物线的顶点C坐标为（1，4）。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 利用待定系数法求二次函数的表达式： 1. 已知二次函数图象的顶点坐标（即二次函数的最大值或最小值及其对应的自变量的取值），则可以将二次函数设为y=a(x-h)2+k（a≠0）的形式，然后再找到图象上另外一个点的坐标代入即可求出二次函数的表达式； 2. 已知二次函数图象上任意三点坐标，则可以将二次函数设为y=ax2+bx+c（a≠0）的形式，然后将三点坐标代入即可求出二次函数的表达式。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 6.布置作业 教材P23练习，P24习题26.2 T4、T5 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 26.2.3 求二次函数的表达式 问题2 教师题目讲解 学生活动区 投影区 例6 例7 提纲挈领，重点突出。 教后反思 本节课通过实际问题引入求二次函数的表达式，在求二次函数的表达式时，让学生自主探究、分组讨论，引导学生类比一次函数、反比例函数，运用待定系数法求二次函数的表达式，加深了学生对知识的理解与掌握，让学生学会协作，更进一步地培养了学生思维的发散性和开放性。 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $