24.4 第3课时 坡度与坡角-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(华东师大版)

情境导入 知识讲解 随堂小测 当堂检测 课堂小结 24.4 解直角三角形 第3课时 坡度、坡角问题 学习目标 1.理解坡度与坡角的定义，学会利用坡度和坡角解直角三角形；（重点） 2.学会用直角三角形的知识解决简单的实际问题，渗透“数学建模”和化归等数学思想.（难点） 知识讲解 在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度. 知识点 坡度、坡角 显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡. l h i = h : l 如图，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即i = . 坡度通常写成1：m的形式，如 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有 i = = tan α. α 例4 如图，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底宽为12.51米，其坡面的坡角分别是32°和28°.求路基下底的宽.（精确到0.1米） 解：作DE⊥AB，垂足分别为点E、F. 由题意可知 DE = CF = 4.2， EF = CD = 12.51. 答：路基下底的宽约为27.1米. 在Rt△ADE中， ∵ = = tan 32°， ∴ AE = ≈ 6.72. 在Rt△BCF中，同理可得 BF = ≈ 7.90. ∴ AB = AE + EF + BF ≈ 6.72 + 12.51 + 7.90 ≈ 27.1（米）. 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程： （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题，也就是建立适当的数学模型）； （2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数，运用直角三角形的有关性质，解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案. 1．如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽为6.2米，坝高为23.5米，斜坡AB的坡度i1 = 1 : 3，斜坡CD的坡度i2 = 1 : 2.5. 求： （1）斜坡AB与坝底AD的长度（精确到0.1米）； （2）斜坡CD的坡角α（精确到1°）. 随 堂 小 测 A B C D E F 解：（1）如图所示，由 = ，得AE = 3BE = 70.5（米）， AB = • BE ≈ 74.3（米）.由 = ，得 FD = 2.5CF = 58.75（米）， 则AD = AE + EF + FD ≈ 135.5（米）. （2）tan α = ，得 α ≈ 22°. 1.如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为 α ， sin α = ，堤坝高 BC = 30 m ，则迎水坡面 AB 的长度为　 　m. 50 当堂检测 2．如图，某购物广场要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示意图如图所示，其中斜坡AD与地平线的夹角为20°，地下停车场层高CD ＝ 3米，如果在停车场的入口处设置一块限高牌，则限高牌上的限高数值比较恰当的是（参考数据：sin 20°≈ 0.34，cos 20°≈ 0.94） （　　） A．3.2米 B．3米 C．2.75米 D．2.6米 C C 3.某同学利用数学知识测量建筑物DEFG的高度．他从点A出发沿着坡度为i = 1：2.4的斜坡AB步行26米到达点B处，用测角仪测得建筑物顶端D的仰角为37°，建筑物底端E的俯角为30°．若AF为水平的地面，侧角仪竖直放置，其高度BC = 1.6米，则此建筑物的高度DE约为 (     ) （精确到0.1米，参考数据： ≈ 1.73，sin 37°≈ 0.60，cos 37°≈ 0.80， tan 37°≈ 0.75） A. 23.0米 B. 23.6米 C. 26.7米 D. 28.9米 4. 如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC，CD. 测得BC = 6米，CD = 4米，∠BCD = 150°，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，试求电线杆的高度（结果保留根号）. E ┍ F 解：延长AD交BC的延长线于点E，过点D作DF⊥CE于点F. 在Rt△DCF中，CD=4米，∠DCF=180°- 150°= 30°， 则DF = CD • sin ∠DCF = 4sin 30∘= 2（米）， CF = CD • cos ∠DCF = 4cos 30∘= 2（米）. 在Rt△DEF中,∠E = 30∘，∴ tan E = = = ， 解得EF = 2（米）. 在Rt△ABE中， BE = BC + CF + FE = 6 + 2 + 2 = （6+4）（米）， ∴ tan E = = = ，解得AB =（4 + 2）米, 即电线杆的高度是（4+2）米. 课堂小结 坡度、坡角 定义 解题 过程 l h i = h : l α （1）建立数学模型 （2）解直角三角形 （3）得到数学问题的答案 （4）得到实际问题的答案 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 绿卡图书—走向成功的通行证 $