24.4 第3课时 坡度与坡角-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步教案(华东师大版)

课题

第3课时  坡度与坡角

授课类型

新授课

授课人

教学内容

课本115-116

教学目标

1.熟练掌握坡度、坡角的定义，能运用解直角三角形的方法来解决实际问题。

2.会用代数方法列出方程解决三角形问题；初步学会将某些实际问题通过数学模型转化为数学问题。

3.通过不同题型的训练，培养学生的数学学习素养。

教学重难点

重点：将实际问题转化为解直角三角形问题。

难点：将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素间关系进行解题。

教学准备

多媒体课件。

教与学互动设计（教学过程）

设计意图

1.创设情景，导入新课

如图，一拦水坝的横断面为梯形ABCD，根据图中数据，请你判断左右两个坡的倾斜程度，哪一个更大一些？

教师活动：生活中，在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度。

倾斜程度可以用坡度或坡角来表示，我们今天就来学习坡度与坡角。（教师板书课题： 第3课时  坡度与坡角）

通过生活中的情境，调动学生学习积极性，让学生感受到倾斜程度在生活中的随处可见，并可以用数学模型来描述。

2.实践探究，学习新知

【探究】

如图，一拦水坝的横断面为梯形ABCD，根据图中数据，请你判断左右两个坡的倾斜程度，哪一个更大一些？

通过解决实际问题引出坡度和坡

预设：∵，，

∴，

∴∠B＞∠C，

∴左边的坡倾斜程度更大一些。

教师活动：通过上面问题，我们可以得到，比较两个坡的倾斜程度可以通过比较两个角的大小得出结论。其中，坡面与水平面的夹角叫做坡角，坡面铅垂高度和水平长度的比叫做坡面的坡度（或坡比）。

注意：坡度（或坡比）不是角的度数，而是高度差与水平距离的比值。

【归纳总结】

1. 如图，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即。

坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6。

2. 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α。

。

3. 坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡。

【例题讲解】

例4  如图，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底宽为12.51米，其坡面的坡角分别是32°和28°。求路基下底的宽。（精确到0.1米）

角的概念。

通过例题讲解，梳理解题思路。

解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为点E、F。

由题意可知

DE=CF=4.2，EF=CD=12.51。

在Rt△ADE中，

∵，

∴。

在Rt△BCF中，同理可得

，

答：路基下底的宽约为27.1米。

【归纳总结】

利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：

（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题，也就是建立适当的数学模型）；

（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数，运用直角三角形的有关性质，解直角三角形；

（3）得到数学问题的答案；

（4）得到实际问题的答案。

3.学以致用，应用新知

考点 坡度与坡角在解直角三角形中的应用

例  如图，胜利水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽BC=10m，坝高BE=CF=30m，斜坡AB的坡角∠A=30°，斜坡CD的坡度i=1∶3，求水库坝底宽的长。（，精确到0.1米）