24.4 第1课时 直角三角形的边角关系及应用-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步教案(华东师大版)

课题

第1课时  直角三角形的边角关系及应用

授课类型

新授课

授课人

教学内容

课本P111-113

教学目标

1.掌握直角三角形的边角关系，会运用直角三角形的性质和锐角三角函数解直角三角形。

2.通过综合运用直角三角形的性质和锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力。

3.向学生渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯，提高他们分析问题和解决问题的能力。

教学重难点

重点：理解并掌握直角三角形边角之间的关系，运用直角三角形的两锐角互余、勾股定理及锐角三角函数求直角三角形的未知元素.

难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用。

教学准备

多媒体课件。

教与学互动设计（教学过程）

设计意图

1.创设情景，导入新课

要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°。如图，现有一个长6 m的梯子，问：

（1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0.1 m)？  

（2）当梯子底端距离墙面2.4 m时，梯子与地面所成的角α等于多少(精确到1°)？这时人是否能够安全使用这个梯子？

学生：解：（1）由题意，得6×sin75°≈5.8 m。

（2）由题意，得cos α==0.4,cos 0.4≈66°.可以安全使用。

教师：在图形的研究中，直角三角形是常见的三角形之

体会数学知识来源于生活，激发学生的学习兴趣，由此引入对解直角三角形的探究。

一，因而人们经常会遇到求直角三角形的边长或角度等问题。为了解决这些问题，则往往需要确定直角三角形的边或角。

我们知道，直角三角形有三条边和三个角，一共6个元素，那么除直角以外，当我们至少知道几个元素时，就可以求出其他的元素呢？这就是我们本节课要研究的问题。（教师板书课题： 第1课时  直角三角形的边角关系及应用）

2.实践探究，学习新知

【复习回顾】

教师：在Rt△ABC中，∠C=90°。a，b，c，∠A，∠B这些元素间有哪些等量关系呢？谁来说说它们各角、各边以及边角之间有什么关系？（多媒体呈现）  

学生：（1）两锐角互余：∠A+∠B=90°；

（2）三边满足勾股定理：a2+b2=c2；

（3） 边与角的关系：

sin A=cos B= ；sin B=cos A= ；tan A= ；tan B= 。

师生活动：教师提出问题，学生思考讨论回答，多媒体呈现。

【探究1】

对于一个直角三角形，如果5个元素中已知一个元素，能求出其他的元素吗？

如图Rt △ABC 中, ∠C= 90° 。

（1） ∠A=30°,你能求出其他剩下的元素吗？

（2）如果一条边的长为3 cm，你又能求出其他元素吗？（多媒体呈现）

师生活动：教师提出问题，学生思考讨论回答。

学生：（1）只可以求出∠B=60°；（2）不能求出其他元素。

教师：当我们只知道直角以外的1个元素时，无法全部求出剩余的4个元素。

【探究2】

通过回顾旧知，达到学以致用的目的，再通过一道例题，真正把学到的知识用到实处，通过解题，归纳出解直角三角形的定义。

引导学生探索，在至少知道几个元素的情况下可以求得直角三角形中的剩余元素（解直角三角形），进而引出解

如果5个元素中已知两个元素，能求出其他的元素吗？

在Rt△ABC中,

（1）根据AC=，BC=，你能求出这个三角形的其他元素吗？

（2）根据∠A= 60°,斜边AB=30,你能求出这个三角形的其他元素吗?

（3）根据∠A=60°,∠B=30°, 你能求出这个三角形的其他元素吗?（多媒体呈现）

师生活动：教师出示问题，学生思考讨论，学生黑板演示，教师引导讲解。

学生：（1）能.在Rt△ABC中，∵AB2=AC2+BC2，AC=，BC=，∴AB=.在Rt△ABC中，，∴∠A=60°，∠B=30°。

（2）能.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，∴∠B=30°。

∵，AB=30，∴BC=ABsin A=。

∵，AB=30，∴AC=ABsin B=。

（3）不能求出三角形的边长。

教师（概念引入）：我们可以发现，在直角三角形中，只要知道其中两个元素（至少有一个是边）就可以求出其余的几个元素，像这样的，在直角三角形中，由已知的元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。

【例题讲解】

例1  如图，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米处折断倒下，树顶落在离树根12米处，则大树在折断之前高多少?

解：利用勾股定理可以求出折断后倒下部分的长度为

直角三角形的概念。

通过例题讲解，梳理解题思路。