23.3.2 第2课时 相似三角形的判定定理2、3-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步教案(华东师大版)

23.3.2 相似三角形的判定 课题 第2课时 相似三角形的判定定理2、3 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P67-70 教学目标 1.理解并掌握三角形相似的判定定理2“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”和相似三角形的判定定理3“三边成比例的两个三角形相似”，能够运用三角形相似的条件解决简单的问题。 2.在进行探索的活动过程中，发展类比的数学思想，增强学生的探索、发现、归纳意识，增强合情推理的语言表达能力。 3.培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识在生活中的价值。 教学重难点 重点：1.掌握相似三角形的判定定理2 “两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”。 2.掌握相似三角形的判定定理3 “三边成比例的两个三角形相似”。 难点：相似三角形判定定理在实际问题中的灵活运用。 教学准备 多媒体课件。 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 如图，A，B两点被池塘隔开，为测量A，B两点间的距离，在池塘边任选一点C，连接AC，BC，并延长AC到点D，使CD=AC，延长BC到点E，使CE＝BC，连接DE，如果测量DE=20 m，那么AB=2×20=40 m。 教师提问：同学们知道这是为什么吗？ 学生活动：学生可能会考虑到相似三角形的性质，但并不知道两个三角形为什么相似。 这节课，我们来学习继续相似三角形的判定定理。（教师板书课题： 第2课时 相似三角形的判定定理2、3） 教师通过学生熟悉的场景和事物引出所学内容，使学生感受到数学就在我们身边，数学离不开生活，渗透善于观察生活中的数学的学习意识，同时也激发了学生的学习兴趣，加强了非智力因素的培养。 2.实践探究，学习新知 【探究1】 教师活动：这节课我们继续研究三角形相似的判定方法，上节课我们讨论了角的情况，这节课我们考虑边的情况。 教师提问：两个三角形有两边成比例，它们一定相似吗？与同伴交流。 学生活动：学生类比探究三角形全等，动手操作一下，利用几何直观可以得到：两边成比例的两个三角形不一定相似。 教师追问：如果再增加一个条件，你能说出有哪几种可能的情况？ 学生回答：可以考虑增加一角相等或另两边成比例。 教师活动：我们先来考虑增加一角相等的情况。如果增加的条件是“一个角相等”，这个角既可以是成比例两边的夹角，也可以是其中一边的对角。我们先考虑成比例两边的夹角相等的情况。 学生猜想：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。 证明猜想： 已知：如图，在△ABC和△A1B1C1中，∠A=∠A1，。求证：△ABC ∽△A1B1C1。 证明：在边AB或它的延长线上截取AD=A1B1，过点D作BC的平行线交AC于点E，则△ADE ∽△ABC， ∴。 ∵，AD=A1B1， ∴AE=A1C1。 在△ADE和△A1B1C1中， ∵AD=A1B1，∠A=∠A1，AE=A1C1， ∴△ADE ≌△A1B1C1。 ∴△ABC ∽△A1B1C1。 【归纳总结】 定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 几何语言： 在△ABC和△A'B'C'中， ∵，∠A=∠A′， ∴△ABC∽△A'B'C'。 【教材例题】 例4 证明下图中的△AEB和△FEC相似。 证明：∵，， ∴。 又∵∠AEB=∠FEC， ∴△AEB ∽△FEC（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。 【探究2】 教师活动：如果两个三角形的三边成比例，那么这两个三角形相似吗？ 在方格图中画△ABC与△A′B′C′，使，和都等于给定的值k。设法比较∠A与∠A′的大小。△ABC和△A′B′C′相似吗？说说你的理由。 学生活动：学生通过测量比较可以得到∠A=∠A′，根据上节课学的“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”这一判定定理得到两个三角形相似。 教师活动；教师利用几何画板改变k值的大小，借助几何画板的度量功能，度量出两个三角形一组对角的度数，发现∠A=∠A′。此时根据判定定理2可以得出：如果两个三角形的三边成比例，它们一定相似。 【归纳总结】 定理：三边成比例的两个三角形相似。 几何语言： 在△ABC和△A'B'C'中， ∵， ∴△ABC ∽△A'B'C'。 【教材例题】 例5 在△ABC和△A′B′C′中，AB=6cm，BC=8cm，AC=10cm，A′B′=18cm，B′C′=24cm，A′C′=30cm。试证明△ABC与△A′B′C′相似。 证明：∵， ， ， ∴， ∴△ABC ∽△A′B′C′（三边成比例的两个三角形相似）。 对于分类，建议教师不要直接给出结论，而应尽可能引导学生在独立思考的基础上，展开充分的讨论交流，让学生自主提出问题、解决问题。这一过程既是渗透分类讨论思想方法的机会，也是积累数学活动经验的机会。 对知识进行巩练习，使学生对知队加深理解，便于教师及时了解学生对本节课内容的掌握情况。培养学生应用所学知识解决问题的能力。 在一个开放的环境下，学生动手操作，自主探索，让学生对学习有很高的兴趣。将学习空间还给学生，让学生在相互合作的过程中发现知识，掌握知识。 对知识进行巩练习，使学生对知队加深理解，便于教师及时了解学生对本节课内容的掌握情况。培养学生应用所学知识解决问题的能力。 3.学以致用，应用新知 考点1 利用判定定理2判定两个三角形相似 例1 如图，如果∠EAD=∠CAB，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ADE与△ABC相似的是（ ）。 A. ∠B=∠D B. ∠AED=∠C C. D. 答案：D 变式训练 如图，AB，CD相交于点O，已知OA=3，OD=4，OB=2，OC=1.5。 求证：△AOD∽△COB。 证明：∵=2，=2， ∴。 又∵∠AOD=∠COB， ∴△AOD∽△COB。 考点2 利用判定定理3判定两个三角形相似 例2 依据下列条件不能判定△ABC和△DEF相似的是（ ）。 A. ∠A=35°，∠B=∠E=65°，∠F=80° B. ∠A=35°，AB=4 cm，AC=6 cm，∠D=35°，ED=8 cm，EF=12 cm C. AB= 4 cm，BC=5 cm，CA=6 cm，DE=8 cm，EF=10 cm，FD=12 cm D. ∠C=∠F=90°，AB=10 cm，AC=8 cm，DE=l5 cm，EF= 9 cm 答案：B 变式训练 如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（ ） A. ①和② B. ②和③ C. ①和③ D. ②和④ 答案：C 通过例题的讲解，巩固学生应用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似的判定定理，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 通过例题的讲解，巩固学生应用三边成比例的两个三角形相似的判定定理。 4.随堂训练，巩固新知 1. 如图，点P是△ABC的边AC上一点，连接BP，以下条件中，不能判定△ABP∽△ACB的是（ ）。 A. ∠ABP=∠C B. ∠APB=∠ABC C. D. 答案：D 2. 如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6.将△ABC沿图中的虚线剪开，下列四种剪开的方法中，剪下的阴影三角形一定与原三角形相似的是（ ）。 A. ①②③ B. ③④ C. ①②③④ D. ①②④ 答案：D 3. 下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（ ）。 答案：B 4. 如图，已知，AD＝3 cm，AC＝6 cm，BC＝8 cm，则DE的长为_______cm。 答案：4 5.如图，在直角坐标系中有两点A（4，0），B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合），当点C的坐标为______________时，使得由点B，O，C组成的三角形与△AOB相似（不包括全等）。 答案：（-1，0）或（1，0） 6. 如图△ABC为锐角三角形，BD，CE分别为AC，AB边上的高。 求证：△ADE∽△ABC。 证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠ABD+∠A=90°，∠ACE+∠A= 90°。 ∴∠ABD=∠ACE。 又∵∠A=∠A， ∴△ABD∽△ACE。 ∴。 ∴。 又∵∠A=∠A， ∴△ADE∽△ABC。 7. 如图所示，在△ABC中，点D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，AD＝3，AE＝6，DE＝5，BD＝15，CE＝3，BC＝15。根据以上条件，你认为∠B＝∠AED吗？并说明理由 解：∠B＝∠AED。理由如下： 由题意，得AB＝AD＋BD＝3＋15＝18， AC＝AE＋CE＝6＋3＝9， ∴＝＝3，＝＝3，＝＝3。 ∴＝＝。 ∴△ABC∽△AED。 ∴∠B＝∠AED。 8. 如图，在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，且。 求证：△A′B′C′∽△ABC。 证明：根据题意可知，AB=2A′B′，AC=2A′C′， ∴BC2=AB2-AC2 =（2A′B′）2-（2A′C′）2 =4A′B′2-4A′C′2 =4（A′B′2-A′C′2） =4B′C′2 =（2B′C′）2。 ∴。 ∴△A′B′C′∽△ABC。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 1.相似三角形的判定定理2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 2.两边对应成比例且其中一边所对的角对应相等的两个三角形不一定相似。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 6.布置作业 教材P70练习，P75习题23.3 T1、T4、T5 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 第2课时 相似三角形的判定定理2、3 1.相似三角形的判定定理2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 2.相似三角形的判定定理3 三边成比例的两个三角形相似。 提纲挈领，重点突出。 教后反思 为了充分体现《数学课程标准》的要求，培养学生动手实践、逻辑推理的能力，积累丰富的数学活动经验，这节课主要采用动手实践，自主探索与合作交流的学习形式，使学生积极参与教学过程，在教学过程中展开思维，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，进一步理解观察、类比、分析等数学思想方法。教学中注意关注学生探究知识形成的过程，使学生充分体会数学研究的一般方法。 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $