23.3.2 第1课时 相似三角形的判定定理1-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(华东师大版)

23.3 相似三角形 情境导入 知识讲解 随堂小测 当堂检测 课堂小结 2. 相似三角形的判定 第1课时 相似三角形的判定定理1 学习目标 1.探索两角对应相等的两个三角形相似.（重点） 2.理解并掌握两角对应相等的两个三角形相似.（重点） 3.能运用两角对应相等的两个三角形相似进行相似三角形的证明和计算.（难点） 情境导入 目前我们所学对相似三角形的判定方法有？ ①三组对应边成比例，三对对应角相等的三角形。 ②平行于三角形一边的直线与三角形的其它两边（或两边的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形相似。 是否存在判定两个三角形相似的简便方法呢？ 回顾 你还记得八年级上学期学习全等三角形的判定时，曾就边与角分类考察的几种不同情况吗？ 两边一角 两角一边 三角 三边 对于相似三角形的判定，是否也存在类似的分类与判定方法呢？ 知识讲解 知识点 两角分别相等的两个三角形相似 观察你和同伴的直角三角尺，同样角度(30°与60°，或45°与45°)的三角尺看起来是相似的. 这样从直观来看，一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等时，它们就“应该”相似了.确实是这样吗? 探索 任意画两个三角形，使其三对角分别对应相等.用刻度尺量一量两个三角形的对应边，看看这两个三角形的边是否对应成比例.你能得出什么结论? 和其他同学比较一下，你们的结论相同吗？ 它们的边对应成比例，这两个三角形相似. 三角 相等 三角形的内角和等于180° 如果两个三角形有两对角分别对应 相等，那么第三对角也一定相等 相似三角形的判定定理1 两角分别相等的两个三角形相似 已知：如图，在△ABC和△A1B1C1中，∠A=∠A1，∠B=∠B1. 求证：△ABC∽△A1B1C1. 证明：在边AB或它的延长线上截取AD=A1B1，过点D作BC的平行线交AC于点E，则 △ADE∽△ABC. ∵DE∥BC， ∴∠ADE=∠B. 在△ADE与△A1B1C1中， ∵∠A=∠A1，∠ADE=∠B=∠B1，AD=A1B1， ∴△ADE≌△A1B1C1. ∴△ABC∽△A1B1C1. 演绎推理证明 思考 如果两个三角形仅有一对角是对应相等的，那么它们是否一定相似？ 例2 如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C与∠C′都是直角，∠A=∠A'．求证：△ABC∽△A'B'C'. 证明：∵∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′， ∴△ABC∽△A'B'C'(两角分别相等的两个三角形相似). 两个直角三角形，若有一对对角相等，则它们一定相似. 例3 如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB．求证：△ADE∽△EFC. 证明：∵DE∥BC， ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C. 又∵EF∥AB，∴∠EFC=∠B， ∴∠ADE=∠EFC， ∴△ADE∽△EFC(两角分别相等的两个三角形相似). 想一想 在这个例题中，如果点D恰好是边AB的中点，那么点E是边AC的中点吗？此时，DE和BC有什么关系？△ADE和△EFC又有什么特殊关系呢？ 常见的两角相等模型 (2)蝴蝶型： 如图，若∠B＝∠C(或∠D＝∠E)，则△AED∽△ABC. A D E B C (1)平行线型： 如图，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC. A D E B C A D E B C (3)子母型： 如图，若∠ADC(E)＝∠ACB(或∠AC(E)D＝∠B)，则△AC(E)D∽△ABC. A D E B C A D B C A C D B 拓展 随堂小测 1.下列说法正确的有 （ ） （1）所有的直角三角形都相似； （2）所有的等边三角形都相似； （3）所有的等腰直角三角形都相似； （4）有一个角相等的两等腰三角形相似. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 B 2. 如图，已知 AB∥DE，∠AFC ＝∠E，则图中相 似三角形共有 ( ) A. 1对 　 　 B. 2对 C. 3对 　　 D. 4对 C 当堂检测 1．已知一个三角形的两个内角分别是40°，60°，另一个三角形的两个内角分别为60°，80 ，则这两个三角形 (　　) A．一定不相似 B．不一定相似 C．一定相似 D．全等 C 2.如图，△ABC中，AE 交 BC 于点 D，∠C=∠E，AD ∶DE= 3 ∶ 5，AE=8，BD=4，则DC的长等于 ( ) A A. B. C. D. 3.如图，△ABC 和 △DEF 中，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80°，∠F=60°．求证：△ABC ∽△DEF. A C B F E D 证明：∵ 在△ ABC中，∠A=40°， ∠B=80°， ∴ ∠C=180°-∠A-∠B=60°. ∵ 在△DEF中，∠E=80°，∠F=60°. ∴ ∠B=∠E，∠C=∠F. ∴ △ABC ∽△DEF. 4.已知：如图，∠1=∠2=∠3. 求证：△ABC∽△ADE． 证明： ∵∠BAC= ∠1+ ∠DAC , ∠DAE= ∠3+ ∠DAC， ∵ ∠1=∠3，∴ ∠BAC=∠DAE. ∵ ∠C=180°－∠2－∠DOC ，∠E=180°－∠3－∠AOE. 又∵ ∠DOC =∠AOE，∴ ∠C= ∠E. 在△ABC和△ ADE中 ∠BAC=∠DAE，∠C= ∠E， ∴ △ABC∽△ADE 5.如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F. 求证：△DEH∽△BCA． 证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC， ∴∠D+∠DHE=∠B+∠BHF=90°. ∵∠BHF=∠DHE， ∴∠D=∠B． 又∵∠DEH=∠C＝90°， ∴△DEH∽△BCA． 5.如图，在矩形ABCD中，P是BC边上一点，连接DP并延长，交AB的延长线于点Q. （1）求证：△DCP∽△QBP； （2）若 ，求 的值. （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD. 又由(1)知△DCP∽△QBP， ∴ ， ∴ ， ∴ . 课堂小结 相似三角形的判定定理1 两角分别相等的两个三角形相似 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 绿卡图书—走向成功的通行证 $