22.3 第2课时 实践与探索（2）-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步教案(华东师大版)

该教案聚焦一元二次方程解决面积变化与平均变化率问题，通过复习正方形、长方形等图形面积公式搭建支架，衔接旧知与新知，为分析实际问题中的数量关系奠定基础。 以实践探究为主线，问题3剪折长方体让学生用数学眼光观察几何直观中的数量关系，问题4引导用符号抽象平均增长率模型培养数学思维，练习注重结果检验强化模型意识，助力学生发展应用能力，为教师提供结构化教学流程提升效率。

22.3 实践与探索（2） 课题 22.3 实践与探索（2） 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P40-41 教学目标 1.可以根据实际问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画实际问题的一个有效的数学模型。 2.能根据问题的实际意义，检验结果是否合理。 3.体验解决问题的多样性，发展实践应用意识。 教学重难点 重点：根据实际问题中的数量关系，列出一元二次方程。 难点：能根据问题的实际意义，检验结果是否合理。 教学准备 多媒体课件。 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 教师活动：同学们能回忆并图形面积相关的知识吗？（教师可以给出填空帮助学生回忆） 正方形面积=边长× ，长方形面积= ， 三角形面积= ，圆面积=π× 。 这节课，我们继续来学习一元二次方程在实际问题中的应用。（教师板书课题： 22.3 实践与探索（2）） 利用提问的方法复习几种特殊图形的面积公式，并来引入新课，解决新课中的数量相等问题。 2.实践探究，学习新知 【探究】 【教材例题】 问题3 小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折叠成一个无盖的长方体盒子，如图。 （1）如果要求长方体的底面积为81cm2，那么剪去的正方形边长为多少？ （2）如果按下表列出的长方体底面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生怎样的变化？折叠成的长方体的侧面积又会发生怎样的变化？ 折叠成的长方体底面积（cm2） 81 64 49 36 25 16 9 4 剪去的正方形边长（cm） 折叠成的长方体侧面积（cm2） 预设： （1）学生寻找问题中的等量关系：（大正方形的边长-2×小正方形的边长）2=长方体的底面积。 解：设小正方形的边长为x，长方体底面的边长为（10-2x）。 由题意，得（10-2x）（10-2x）=81。 解得x1=0.5，x2=9.5（不符合题意，舍去）。 所以剪去的正方形边长为0.5cm。 （2） 折叠成的长方体底面积（cm2） 81 64 49 36 25 16 9 4 剪去的正方形边长（cm） 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 折叠成的长方体侧面积（cm2） 18 32 42 48 50 48 42 32 当底面积变小时，剪去的正方形的边长越来越大，侧面积也越来越大。 问题4 某工厂计划在两年后实现产值翻一番，那么这两年中产值的平均年增长率应为多少？ 分析：翻一番，即为原产值的2倍。若设原产值为1个单位，那么两年后的产值就是2个单位。 预设： 解：设每次增长的增长率为x， 根据题意，得（1+x）2=2。 解得x1=0.41，x2=-2.41（不符合题意，舍去）。 所以这两年中产值的平均年增长率应为41%。 教师提问：利用方程解决实际问题的关键是什么？ 学生回答：寻找等量关系。 【归纳总结】 列方程解决实际问题的关键和步骤： 关键：寻找等量关系。 步骤：（1）整体地、系统地审清问题； （2）把握问题中的“相等关系”； （3）正确求解方程并检验解的合理性。 对知识进行巩练习，使学生对知队加深理解，便于教师及时了解学生对本节课内容的掌握情况。培养学生应用所学知识解决问题的能力。 解题思路不应拘泥于这一种，利用此方法解完此题后，可以鼓励学生自主探索，找寻其他解题的思路和方法。 3.学以致用，应用新知 考点 利用一元二次方程解决实际问题 例 2023年蚌埠市为了更好的吸引外资，决定改善城市容貌，绿化环境，计划用两年时间，绿地面积增加44%，则这两年平均每年绿地面积的增长率为（ ） A. 22% B. 10% C. 20% D. 11% 答案：C 变式训练 现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，我市某家快递公司，今年1月份与3月份完成投送的快递件数分别为10万件和12.1万件。如果按此平均速度增长，该公司4月份投递的快递总件数将达到_______万件。 答案：13.31 4.随堂训练，巩固新知 1. 如图1，将一张长20 cm，宽10 cm的矩形硬纸片裁剪掉图中阴影部分之后，恰好折成如图2的有盖纸盒，纸盒底面积为48 cm2，则该有盖纸盒的高为（ ）。 图1 图2 A. 4 cm B. 3 cm C. 2 cm D. 1 cm 答案：C 2. 某海鲜市场以每千克10元的进价进了一批螃蟹，经市场调研发现：售价为每千克20元时，每天可销售40 kg。售价每上涨1元，每天的销量将减少3 kg。如果该海鲜市场想平均每天获利408元，设这种螃蟹的售价上涨了x元，根据题意可列方程为（ ）。 A. （x-10）[40-3（x-20）]=408 B. （20+2x）（40-3x）-10×40=408 C. （20+2x）（40-3x）=408 D. （20+x-10）（40-3x）=408 答案：D 3. 两个相邻自然数的积是132.则这两个数中，较大的数是（ ）。 A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 答案：B 4. 如图所示，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16 cm，AD=8 cm。动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3 cm/s的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2 cm/s的速度向D移动。当P，Q两点从出发开始几秒时，点P和点Q的距离是10 cm。（若一点到达终点，另一点也随之停止运动）（ ）。 A. 2 s或4.6 s B. 1 s或4.4 s C. 4.4 s D. 2 s或4.4 s 答案：D 5. 小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数a2+2b-3。例如把（2，-5）放入其中，就会得到22+2×（-5）-3=-9，现将实数（m，-3m)放入其中，得到实数4，则m的值是多少？ 解：根据题意，得m2+2×（-3m）-3=4。 解得m1=7，m2=-1。 所以m的值是7或-1。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 1.面积变化问题 2.平均变化率问题 （1）a（1+x）2=b，其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量。 （2）a（1-x）2=b，其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量。注意1与x位置不可调换。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 6.布置作业 教材P42练习，P42习题22.3 T5、T6。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 22.3 实践与探索（2） 1.列方程解决实际问题的关键和步骤 2.面积问题 3.平均变化率问题 提纲挈领，重点突出。 教后反思 无论是例题还是练习题，尽可能地鼓励学生动脑、动手、动口，为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中更便于教师发现学生分析问题、解决问题的独到见解以及思维的误区，以便指导今后的教学.课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在首位，通过运用各种启发、激励的语言，帮助学生形成积极主动的求知态度。 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $