22.2.1 第1课时 直接开平方法和因式分解法（1）-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步教案(华东师大版)

22.2.1 直接开平方法和因式分解法（1） 课题 22.2.1 直接开平方法和因式分解法（1） 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P20-21“直接开平方法和因式分解法解方程”部分 教学目标 1.理解直接开平方法的定义和基本思想。 2.会用直接开平方法解形如x2=a（a≥0）的一元二次方程。 3.会用因式分解法解决某些简单的数字系数的一元二次方程。 教学重难点 重点：用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程。 难点：将方程右边化为0后，能对左边进行正确的因式分解。 教学准备 多媒体课件。 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为900平方米的正方形绿地，那么绿地的边长为多少？ 教师提问：上面这个问题中，我们整理得到这样的方程：x2=900。同学们知道如何求出它的值吗？ 这节课我们就来学习用直接开平方法和因式分解法求解一元二次方程。（教师板书课题： 22.2.1 直接开平方法和因式分解法（1）） 学生在前面解决问题的过程中，自然会产生对问题的进一步求解的要求。教学时，并不需要在这里马上解决这个问题，而是要以这个问题为牵引，引导学生解答“试一试”。 2.实践探究，学习新知 【探究】 情境1：解下列方程：（1）x2=4；（2）x2-1=0。 教师提问：x2=4这个方程我们可以通过平方根的意义，直接开平方得x=±2，你们会用这种方法计算第2个方程吗？ 学生小组讨论并回答。（可以把方程x2-1=0变形为x2=1，写成平方根的形式或把x看作1的平方根，所以x的值为1或-1） 教师总结：像这样利用平方根的定义来解形如x2=a（a≥0）的方法称为直接开平方法。（教师在教学时板书解题过程，注意要求学生规范书写，正确表达。） 教师提问：对于x2-1=0这个方程，你们能不能用其他方法求解呢。 师生活动：教师引导学生将x2-1=0利用平方差公式或两个数分别为0来计算，并引出下个情境。 情境2：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？ 教师活动：假设设个数是x，请同学们根据题意列出方程。 学生回答：x2=3x。 教师活动：针对这个方程，同学们是怎样求解的？ 预设：同学A：方程x2=3x两边同时约去x，得x=3。 所以这个数是3。 同学B：由方程x2=3x，得x2-3x=0, 即x（x-3）=0。 于是x=0，或x-3=0。 因此x1=0，x2=3。 所以这个数是0或3。 教师活动：他们做得对吗？如果不对，为什么？ 学生回答：同学B做得对。同学A做得不对，因为约去x的时候必须保证x≠0，他的做法漏掉了根为0的情况。 教师总结：当一元二次方程一边为0，另一边为易于分解成两个一次因式的乘积时，我们可以让两个因式分别为0来求解，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 教师在教学中，通过对因式分解法的探索过程，要让学生体会“降次、转换”的基本思想，同时在板书解方程的过程中，要注意学生的书写规范：应用因式分解法时，要将方程整理为右边是0的形式，再对左边分解因式。 思考： （1）方程x2=4能否用因式分解法来解？要用因式分解法解，首先应将方程化成什么形式？ （2）方程x2-1=0能否用直接开平方法来解？要用直接开平方法解，首先应将方程化成什么形式？ 师生活动：教师引导学生用学习的两种解方程的方法分别来解这两个方程，让学生联系、比较两种不同的解法，并在后续学习中引导学生考虑方程的多种解法。 引导学生从简单的方程入手，总结出直接开平方法的基本思路和适用的方程类型。 通过独立思考,小组协作交流,力求使学生根据方程的具体特征,灵活选取适当的解法。在操作活动过程中,培养学生积极的情感,态度，提高学生自主学习和思考的能力,让学生尽可能自己探索新知,教师要关注每一位学生的参与情况。 3.学以致用，应用新知 考点1 用直接开平方法解一元二次方程 例1 一元二次方程x2-4=0的根是（ ） A. x=-2 B. x1=2，x2=-2 C. x=2 D. x1=2，x2=0 答案：B 变式训练 用直接开平方法解方程（x+h）2=k，方程必须满足的条件是（ ） A. k≥0 B. h≥0 C. hk>0 D. k<0 答案：A 考点2 用因式分解法解一元二次方程 例2 用因式分解法解方程，下列过程正确的是（ ） A. （2x-3）（3x-4）=0化为2x-3=0或3x-4=0 B. （x+3）（x-1）=1化为x+3=1或x-1＝1 C. （x-2）（x-3）=2×3化为x-2=2或x-3=3 D. x（x+2）=0化为x+2=0 答案：A 变式训练 方程x2=-2x的根是 。 答案：x1=0，x2=-2 通过例题讲解，巩固用直接开平方法解一元二次方程，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 通过例题讲解，巩固用因式分解法解一元二次方程。 4.随堂训练，巩固新知 1. 用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无实数根的方程为（ ）。 A. x2-1=0 B. x2=0 C. x2+4=0 D. -x2+3=0 答案：C 2. 若2是关于x的方程x2-c=0的一个根，则这个方程的另一个根是（ ）。 A. x=-2 B. x= C. x=2 D. x=4 答案：A 3. 方程x2-4s=0的解是（ ）。 A. x=4 B. x=0 C. x1=0或x2=4 D. x1=0或x2=-4 答案：C 4. 解方程：（1）；（2）。 答案：（1）解：移项，得。 去分母，得。 两边开平方，得； （2）解：移项，得。 因式分解，得。 即。 解得。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 1.像这样利用平方根的定义来解形如x2=a（a≥0）的方法称为直接开平方法。 2.当一元二次方程一边为0，另一边为易于分解成两个一次因式的乘积时，我们可以让两个因式分别为0来求解，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 3.用因式分解法解一元二次方程的步骤： ①方程右边化为0； ②将方程左边分解成两个一次因式的乘积； ③至少有一个因式为零，得到两个一元一次方程； ④两个一元一次方程的解就是原方程的解。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 6.布置作业 课本P23练习、P36习题22.2 T1（1）-（3） 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 22.2.1 直接开平方法和因式分解法（1） 1. 直接开平方法 2.因式分解法的概念 3.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 提纲挈领，重点突出。 教后反思 学生在千米已经学过完全平方公式和如何对一个正数进行开方运算，而且普遍掌握较好，所以本节课从这两个方面入手，利用几个简单的实际问题逐步引入直接开平方法。 通过直接开平方法进行延伸，探究因式分解法解方程的步骤，让学生小组讨论，归纳总结探究，掌握其基本方法和步骤，合理、恰当、熟练地运用因式分解法，在整个教学过程中注意降次转化思想的渗透。 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $