22.2.5 一元二次方程的根与系数的关系-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(华东师大版)

22.2 一元二次方程的解法 情境导入 知识讲解 随堂小测 当堂检测 课堂小结 *5. 一元二次方程的根与系数的关系 学习目标 1.理解并发现一元二次方程根与系数的关系并能验证.（难点） 2.不解方程能根据一元二次方程根与系数的关系解决一些基本问题.（重点） 3.能灵活运用一元二次方程根与系数的关系处理一些综合问题.（重点） 情境导入 通过前面的学习我们发现，一元二次方程的根完全由它的系数确定，求根公式就是根与系数关系的一种形式.除此之外，一元二次方程的根与系数之间还有什么形式的关系呢? 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式 知识讲解 知识点 一元二次方程的根与系数的关系 求出一元二次方程x2+3x-4=0的两根x1和x2，计算x1+x2和x1·x2的值.他们与方程的系数有什么关系？ 试一试 Δ=b2-4ac=32-4×（-4）=25>0， ∴x1=1或x2=-4. ∴x1+x2=-3，x1·x2=-4. 发现：这个方程的二次项系数为1，它的两根之和等于一次项系数3的相反数，两根之积等于常数项-4. a=1，b=3，c=-4. 换几个一元二次方程，再试试，结果怎样？ 对于任何一个二次项系数为1的一元二次方程，是否都有这样的结果呢？ 我们来考察方程x2+px+q=0(p2-4q≥0). 由一元二次方程的求根公式，得到方程的两根分别为 探索 所以 二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系： 概括 设一元二次方程x2+px+q=0的两根为x1、x2，那么 x1+x2=-p，x1·x2=q. 例8 解：(1)设两根为x1、x2，由前面的二次项系数为0的一元二次方程与系数的关系，可得 不解方程，求出方程的两根之和与两根之积： （1）x2+3x-5=0； （2）2x2-3x+-5=0； x1+x2=-3，x1·x2=-3. (2)方程两边同除以2，得 x2- x- =0. 设两根为x1、x2，可得 x1+x2=- = ，x1·x2=- . 例9 试探索一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，b2-4ac)的根与系数的关系. 解：方程两边同除以a，得 由前面的二次项系数为0的一元二次方程与系数的关系，可得 x2- x- =0. x1+x2=- ，x1·x2= . 这就是一般情形下一元二次方程的根与系数的关系，前面概括的结论是它的特例（二次项系数为1）.利用这个结论，我们可以直接写出例8中题（2）的答案： 归纳 随堂小测 1. 若实数x1，x2满足x1+x2=3，x1x2=2，则下列一元二次方程以x1，x2为根的是 (　　) A．x2-3x+2=0 B．x2+3x-2=0 C．x2+3x+2=0 D．x2-3x-2=0 A 2.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2和1，则p =______，q=______. 1 -2 当堂检测 1.已知关于x的一元二次方程(m-3)x2+2x+m2-9=0有一个根是x=0,试确定m的值并求该方程的另一个根. 2.关于x的一元二次方程x2-2x+3m-2=0有实数根. (1)求m的取值范围; (2)若方程有一根为4,求方程的另一根. 4.若p，q是一元二次方程x2+4x-9=0的两个根，则p2+3p-q的值是 ( ) A.6 B.9 C.12 D.13 D 5.若a、b是关于x的一元二次方程x2-2kx+4k=0的两个实数根，且a2+b2=12，则k的值是 （ ） A.-1 B.3 C.-1或3 D.-3或1 A 6.设x1，x2是方程3x2 + 4x – 3 = 0的两个根.利用根系数之间的关系,求下列各式的值. (1) (x1 + 1)(x2 + 1); (2) 课堂小结 a ≠ 0，b2 - 4ac≥0 不解方程，求两根的和与积 已知一根，求另一个根及参数的值 不解方程，求含两根的对称式的值 韦达定理 公式 注意 应用 x1+ x2= -p， x1 x2= q 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 绿卡图书—走向成功的通行证 $