22.2.4 一元二次方程根的判别式-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(华东师大版)

22.2 一元二次方程的解法 情境导入 知识讲解 随堂小测 当堂检测 课堂小结 4. 一元二次方程根的判别式 学习目标 1.理解一元二次方程根的判别式的作用.（难点） 2.会用一元二次方程根的判别式判断方程是否有实数根及两个根是否相等.（重点） 3.能灵活运用一元二次方程根的判别式进行相关的计算与证明.（难点） 情境导入 一元二次方程的求根公式是什么？ 复 习 回 顾 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，它的根是： 知识讲解 知识点1 一元二次方程根的判别式 回忆 我们在用配方法推导一元二次方程求根公式的过程中，得到 （ * ） 只有当b2-4ac≥0时，才能直接开平方，得 因此我们可以根据一元二次方程的系数直接判定根的情况. 观察方程（ * ），我们发现有如下三种情况： （1）当b2-4ac>0时，方程（ * ）的右边是一个正数，它有两个不相等的平方根，因此方程有两个不相等的实数根： （2）当b2-4ac=0时，方程（ * ）的右边是0，因此方程有两个相等的实数根： （3）当b2-4ac<0时，方程（ * ）的右边是一个负数，而对于任何实数x，方程左边 ，因此方程没有实数根. 这里的b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，用它可以直接判断一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根的情况： 概括 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根； 当Δ=0时，方程有两个相等的实数根； 当Δ<0时，方程没有实数根. 希腊字母，读作delta 例7 解：(1)原方程可变形为3x2-5x+2=0.因为Δ=(-5)2-4×3×2=25-24=1>0，所以方程有两个不相等的实数根. 不解方程，判断下列方程的根的情况： （1）3x2=5x-2； （2）4x2-2x+ =0； （3）4(y+1)2-y=0. (2)因为Δ=(-2)2-4×4× =4-4=0，所以方程有两个相等的实数根. (3)原方程可变形为4y2+7y+4=0.因为Δ=(7)2-4×4×4=49-64=-15<0，所以方程没有实数根. 计算判别式时，方程必须化为一元二次方程的一般形式. 随堂小测 不解方程，判断下列方程的根的情况． (1) (2) . (2)原方程化为 ∴方程有两个不相等的实数根. Δ 解：(1)原方程化为 ∴方程有两个相等的实数根. Δ 知识讲解 知识点2 已知方程的根的情况，确定字母系数的值或取值范围 已知关于x的方程2x2-（3+4k）x+2k2+k=0. （1）当k取何值时，方程有两个不相等的实数根？ （2）当k取何值时，方程有两个相等的实数根？ （3）当k取何值时，方程没有实数根？ 试一试 解：a=2，b=-(3+4k)，c=2k2+k， Δ=[-(3+4k)]2-4×2×(2k2+k)=16k+9. （1）∵方程有两个不相等的实数根， ∴16k+9>0，解得k> （2）∵方程有两个相等的实数根， ∴16k+9=0，解得k= （3）∵方程没有实数根， ∴16k+9<0，解得k< . 一元二次方程的根的情况的判断的步骤 1.变形:化已知方程为一般形式； 2.定系:用a，b，c写出各项系数； 3.计算: 确定b2-4ac的符号； 4.判断：b2-4ac >0 两个不相等的实数根； b2-4ac =0 两个相等的实数根； b2-4ac<0 没有实数根. 归纳 随堂小测 1. 已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣1＝0有解，则k的取值范围是 （　　） A．k＞0 B．k≤2 C．k≤2且k≠1 D．k≥0且k≠1 D 2.关于x的一元二次方程. 求证：方程总有两个不相等的实数根. 证明：∵a=m-1，b=-2m，c=m+1， ∴Δ=b2﹣4ac=(-2m)2-4×(m-1)×(m+1)=4＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根. 当堂检测 1. 一元二次方程(x+1)(x－1)=2x+3的根的情况是 ( ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 A 2.下列方程中，没有实数根的是 (　　) A．x2－4x＋4＝0 B．x2－2x＋5＝0 C．x2－2x＝0 D．x2－2x－3＝0 B 3.定义运算：m☆n=mn2-mn-1，例如：4☆2=4×22-4×2-1=7，则方程1☆x=0的根的情况为 (　　) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 A 4.不解方程，判断下列方程的根的情况： （1）2x2 + 3x − 4 = 0； （2）x2 − x + = 0； 解：（1）a = 2，b = 3，c = −4， ∴ Δ = b2 − 4ac = 32 − 4×2×(−4) = 41＞0. ∴ 方程有两个不等的实数根． （3） x2 − x + 1 = 0. (2)a = 1，b = −1，c = ， ∴ Δ = b2 − 4ac = (−1)2 − 4×1× = 0. ∴ 方程有两个相等的实数根． 4.不解方程，判断下列方程的根的情况： （1）2x2 + 3x − 4 = 0； （2）x2 − x + = 0； （3） x2 − x + 1 = 0. （3）x2 − x + 1 = 0，a = 1，b = −1，c = 1， ∴ Δ = b2 − 4ac = (−1)2 − 4×1×1 = −3 < 0. ∴ 方程无实数根． 5.已知关于x的方程x2－2x＋k－1＝0有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)若x＝k＋1是方程x2－2x＋k－1＝4的一个解，求k的值． 解：(1)∵关于x的方程x2－2x＋k－1＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝(－2)2－4(k－1)＞0，解得k＜2. (2)把x＝k＋1代入方程，得(k＋1)2－2(k＋1)＋k－1＝4， 整理，得k2＋k－6＝0，解得k1＝2，k2＝－3. ∵k＜2，∴k的值为－3. 课堂小结 一元二次方程的根的情况的判断的步骤 1.变形:化已知方程为一般形式； 2.定系:用a，b，c写出各项系数； 3.计算: 确定b2-4ac的符号； 4.判断：b2-4ac >0 两个不相等的实数根； b2-4ac =0 两个相等的实数根； b2-4ac<0 没有实数根. 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 绿卡图书—走向成功的通行证 $