22.2.2 配方法-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(华东师大版)

22.2 一元二次方程的解法 情境导入 知识讲解 随堂小测 当堂检测 课堂小结 2. 配方法 学习目标 1.能类比直接开平方法和因式分解法探索配方法.（难点） 2.会用配方法解一元二次方程，能根据一元二次方程的特点，灵活运用配方法.（重点） 3.理解配方法解一元二次方程的基本过程.（难点） 情境导入 例4 解方程：x2+2x=5. 如果用直接开平方法求解，该怎样求解呢？ 首先考虑将方程化为( )2=a(a≥0)的形式. 该怎样实现呢？ 例4 解方程：x2+2x=5. 通常设法在方程两边同时加上一个适当的数，使左边配成一个含有未知数的完全平方式（右边是一个常数）. 本题中，要把x2+2x=5的左边配成完全平方式，这个“适当的数”是什么呢？ 回想两数和的平方公式，有a2+2ab+b2=(a+b)2，从中能得到什么启示？ 例4 解方程：x2+2x=5. 解：原方程两边都加上1，得 x2+2x+1=6， 即 (x+1)2=6. 直接开平方，得 x+1=± 6. 所以 x=-1± 6， 即 x1=-1+ 6，x2=-1- 6 . 知识讲解 知识点1 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 概括 上页的解法，是通过方程的简单变形，将左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而可以直接开平方求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 例5 用配方法解方程： （1）x2-4x+1=0； （2）4x2-12x-1=0. 解：（1）原方程可化为 x2-4x=-1. 配方（两边同时加上4），得 x2-2·x·2+22=-1+22， 即 (x-1)2=3. 直接开平方，得x-2=± 3， 所以 x1=2+ 3，x2=2- 3 . 左边配上什么数能配成完全平方？ x2-2·x·2+□2=(x-□)2 例5 用配方法解方程： （1）x2-4x+1=0； （2）4x2-12x-1=0. （2）移项，得 4x2-12x=1. 两边同除以4，得 x2-3x= . 1 4 配方，得 x2-2·x· 2+ 2= + 2. 1 4 3 2 3 2 3 2 即 x- 2= ， 10 4 3 2 直接开平方，得 x- =± . 3 2 10 2 3 2 所以 x1= + ，x2= - . 10 2 3 2 10 2 归纳 配方时，方程两边加上的数是如何确定的？ 二次项系数为1时，方程两边都加上一次项系数的一半的平方. 例5题（2）4x2-12x-1=0中，可以注意到4x2=(2x)2，方程移项后可以写成 (2x)2-2·2x·3=1， 可以怎样配方？试一试，并完成解答. 思考 提示： (2x)2-2·2x·3+32=1+32. (2x-3)2=10. 用配方法解关于x的方程 x2+px+q=0(p2-4q≥0). 试一试 随堂小测 1.填空，将左边的多项式配成完全平方式： （1）x2+6x+( )=(x+ )2； （2）x2-8x+( )=(x- )2； （3）x2+ x+( )=(x+ )2； （4）4x2-6x+( )=4(x- )2=(2x- )2. 9 3 16 4 9 16 3 4 9 4 3 4 3 2 2.用配方法解下列方程： （1）x2+8x-2=0； （2）x2-5x-6=0. 解:（1）移项，得x2+8x=2.配方，得x2+8x+42=2+42，即(x+4)2=18.直接开平方，得x+4=±3 2.所以x1=-4+3 2，x2=-4-3 2. （2）移项，得x2-5x=6.配方，得x2-5x+ 2=6+ 2，即 x - 2= .直接开平方，得x- =± .所以x1=-1，x2=6. 5 2 5 2 5 2 49 4 5 2 7 2 知识讲解 知识点2 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 如何用配方法解方程3x2+2x-3=0？ 思考 这里的二次项系数不等于1，怎么办？ 方法一：通常是采用例5（2）的解法，方程两边同除以3，转化为二次项系数为1的方程后再配方.具体解法如下： 方法二：可以参照“思考”问题中 的解决办法.具体解法如下： 归纳 用配方法解一元二次方程的一般步骤： 一般步骤 方法 一移 移项 将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边 二化 二次项系数化为1 方程左、右两边同时除以二次项系数 三配 配方 方程左、右两边同时加上加上一次项系数一半的平方 四开 开平方 利用平方根的意义直接开平方 五解 得出方程的根 移项，合并同类项 随堂小测 用配方法解下列方程： （1）2x2+1=3x； （2）3x2-6x-9=0. 配方，得 直接开平方，得 两边同除以2，得 解：(1)移项，得 2x2-3x=-1. 即 移项，得 3x2-6x=9. 两边同除以3，得 x2-2x=3. 配方，得 x2-2x+1=3+1， 即 (x-1)2=4. 直接开平方，得 x-1=±2. 所以 x1=3，x2=-1. 所以 当堂检测 1. 用配方法解方程-x2+6x+7=0时，配方后得的方程为（ ） A. (x+3)2=16 B. (x-3)2=16 C. (x+3)2=2 D. (x-3)2=2 B 2. 用配方法解下列方程时，配方错误的是 （ ） A. x2+2x-99=0化成(x+1)2=100 B. 2x2-7x-4=0化成 C. x2+6x+9=0化成(x+3)2=15 D. 3x2-4x-2=0化成 C 3. 若关于x的二次三项式x2-ax+2a-3是一个完全平方式，则a的值为 （ ） A. -2 B. -4 C. -6 D. 2或6 D 4. 用配方法解下列方程： （1）x2-8x+1=0； （2）x(x + 4) = 8x + 12. 解:（1）移项，得 x2-8x=-1. 配方，得 x2-8x+42=-1+42， 直接开平方，得 (x-4)2=15. 即 所以 （2）原方程可化为 x2-4x-12=0. 移项，得 x2-4x=12. 配方，得 x2-4x+22=12+22， (x-2)2=16. 即 x-2=±4. 直接开平方，得 所以 x1=6，x2=-2. 5. 试用配方法说明：不论 k 取何实数，多项式 k2 - 2k + 4 的值必定大于零. 解：k2－4k + 4 = k2 - 2k + 1 + 3 = (k - 1)2＋3 因为 (k - 1)2 ≥ 0，所以 (k - 1)2 + 3 ≥ 3. 所以 k2 - 2k + 4 的值必定大于零. 课堂小结 1.通过方程的简单变形，将左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而可以直接开平方求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 2.用配方法解一元二次方程的一般步骤：移项、二次项系数化为1、配方、开平方、得出方程的根. 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 绿卡图书—走向成功的通行证 $