第三单元 分数除法 （知识清单）数学西师大版六年级上册

第三单元 分数除法 单元知识清单讲义 知识点一：倒数的意义 1.倒数的意义 乘积是1的两个数互为倒数。倒数具备两个条件：一是两个数；二是乘积是1。 2.互为倒数的两个数特点 如果两个数都是分数，那么两个分数的分子和分母正好颠倒了位置；如果一个数是整数，那么它的倒数分子是1，分母是这个整数。 3.求一个数倒数的方法 (1)通过计算，乘积是1的两个数互为倒数。 (2)交换这个数的分子和分母的位置。 4.特殊的 1的倒数是1,0没有倒数。 知识点二：分数除法运算 一个数除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 知识点三：商与被除数的关系 除数＞1时，商＜被除数。 除数＜1(0除外)时，商＞被除数。 除数=1时，商=被除数。 知识点四：分数乘除混合运算 1.只有乘、除法，按照从左到右的顺序依次进行计算。 2.在一个有小括号的算式里，应该先算小括号里面的，后算小括号外面的。商与被除数的关系 知识点五：分数除法的应用题 解决“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的问题，一般有两种方法： 1. 算术法： 分率对应量÷分率=单位“1”的量 2. 方程法： (1)找出单位“1”,设未知量为x; (2)找出题中的等量关系式； (3)(3)列出方程并解答； (4)(4)检验并写出答案。 题型1：倒数的认识 【例1】最小的质数的倒数是( )，最小的合数的倒数是( )。 【答案】 【分析】最小的质数是2，最小的合数是4。若两个非零自然数相乘的积为1，则这两个数互为倒数，分数的倒数直接分子分母交换位置即可。 【详解】（1） （2） 所以，最小质数的倒数是，最小合数的倒数是。 【练1】( )( )( )( )。 【答案】 6 2 【分析】乘积是1的两个数互为倒数。求一个真分数或假分数的倒数，只需要将分子、分母交换位置即可。求整数（0除外）的倒数时，先把整数看作分母是1的假分数再交换分子、分母的位置。小数求倒数时，先把小数化成最简真分数或假分数，再按分数求倒数的方法求解。 【详解】的倒数是6； 的倒数是； 10的倒数是； 0.5=，的倒数是2，所以0.5的倒数是2； 即。 题型2：分数与整数的除法运算 【例2】下面的计算对吗？若对，请画“√”；若不对，请画“×”并改正。 （1）（    ）    （2）（    ） 改正：_________        改正：_________ 【答案】（1）×； （2）×； 【分析】（1）原式中，分数除法的步骤是把除数变成倒数，应将除数4转化为倒数，而题目写成，把被除数的分子分母颠倒了,应该是除数变倒数，不是被除数变，所以计算错误。应该是。 （2）原式中，先将除数5转化为倒数，即。 【详解】（1）×；改正：。 （2）×；改正：。 【练2】算一算。                                 【答案】；；；； ；；； 【分析】分数除以整数等于分数乘这个整数的倒数，然后计算结果即可。整数的倒数是指将整数视为分母为1的分数，然后将分子分母交换位置。 【详解】略 题型3：分数与分数除法 【例3】计算下面各题。（写出计算过程）                       【答案】2；； 45；； 【分析】根据“分数除法计算规则：除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数"。据此分别计 算各个算式即可。 【详解】 【练3】填一填，算一算。 ( )( )         ( )( ) ( )( )( )    ( )( )( ) 【答案】 10 【分析】根据“分数除法计算规则：除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数”，分别计算各个算式即可。 【详解】  题型4：分数乘除混合运算 【例4】计算下面各题，能简算的用简便方法计算。 ①            ②        ③     ④        ⑤        ⑥ 【答案】①12；②126；③ ④；⑤16；⑥ 【分析】①×3÷，把除法换算成乘法，原式化为：×3×，约分，再进行计算； ②168××，根据乘法结合律，原式化为：168×（×），再进行计算； ③÷÷，把除法换算成乘法，原式化为：××，再根据乘法结合律，原式化为：×（×），再进行计算； ④××，按照运算顺序，进行计算； ⑤×99＋，根据乘法分配律的逆运算，原式化为：×（99＋1），再进行计算； ⑥×÷×，把除法换算成乘法，原式化为：×××，再根据乘法交换律，原式化为：×××，再按照运算顺序，进行计算。 【详解】①×3÷ ＝×3× ＝ ＝12 ②168×× ＝168×（×） ＝168× ＝126 ③÷÷ ＝×× ＝×（×） ＝×1 ＝ ④×× ＝× ＝ ⑤×99＋ ＝×（99＋1） ＝×100 ＝16 ⑥×÷× ＝××× ＝××× ＝1×× ＝× ＝ 【练4】脱式计算。 （1）         （2） （3）        （4） 【答案】（1）；（2）； （3）；（4） 【分析】（1）根据乘法交换律，把式子转化为进行简算； （2）根据乘法交换律，把式子转化为进行简算； （3）根据运算顺序，从左往右进行计算即可； （4）根据运算顺序，从左往右进行计算即可。 【详解】（1） ＝ ＝ ＝ （2） ＝ ＝ ＝ （3） ＝ ＝ ＝ ＝ （4） ＝ ＝ ＝ 题型5：被除数与商的大小关系 【例5】连一连。 【答案】见详解 【分析】一个非0数，除以大于1的数，商小于被除数；一个数，除以小于1的数，商大于被除数；一个数除以1，商等于被除数。据此解答。 【详解】÷1；因为1＝1，所以÷1＝；商等于被除数； ÷；因为＜1，所以÷＞，商大于被除数； 15÷；因为＞1，所以15÷＜15，商小于被除数； ÷；因为＝1，所以÷＝，商等于被除数； 如图： 【练5】在÷□＜中，□可以是（    ）。 A．分数 B．带分数 C．假分数 D．真分数 【答案】B 【分析】一个数（0除外）除以大于1的数，商比原来的数小。 一个数（0除外）除以小于1的数，商比原来的数大。 一个数（0除外）除以1，商等于原来的数。 分子比分母小的分数叫做真分数；真分数＜1； 分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数；假分数≥1。 【详解】A．分数包括真分数和假分数；设□＝，÷＝×2＝，＞； 所以，如果□是真分数，真分数＜1，则÷□＞，不符合题意； B．设□＝，÷＝÷＝×＝，因为＝，＜，则＜； 所以，如果□是带分数，带分数＞1，则÷□＜，符合题意； C．设□＝，÷＝÷1＝； 设□＝，÷＝×＝，因为＝，＝，＜，则＜； 所以，如果□是假分数，因为假分数≥1，则÷□≤，不符合题意； D．设□＝，÷＝×3＝2，2＞； 所以，如果□是真分数，因为真分数＜1，则÷□＞，不符合题意。 故答案为：B 【点睛】本题考查判断商与被除数之间大小关系的方法以及真分数、假分数的意义及应用。 题型6：分数方程 【例6】解方程。 ①        ②         ③ 【答案】；； 【分析】①利用等式的性质2，等式两边同时除以即可求解未知数； ②先利用等式的性质2，等式两边同时乘，再同时除以即可求解未知数； ③先合并，再利用等式的性质2，等式两边同时除以即可求解未知数； 【详解】① 解： ② 解： ③ 解： 【例6】解方程。                  【答案】；； 【分析】，根据等式的性质2，两边同时÷即可； ，先将左边合并成，根据等式的性质2，两边同时÷即可； ，根据等式的性质2，两边同时×即可。 【详解】 解： 解： 解： 题型7：已知一个数的几分之几是多少，求这个数 【例7】画图并列式计算。 运来黄沙24吨，运来黄沙的吨数是水泥的，运来水泥多少吨？ 【答案】画图见详解；40吨 【分析】由题意可知，把水泥的吨数看作单位“1”，先画一条线段表示水泥的吨数，把线段平均分成5份，标出其中的3份是黄沙24吨，求总线段的长，即求运来水泥多少吨。 根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算，用24除以，即可得解。 【详解】画图如下： （吨） 答：运来水泥40吨。 【练7】星星小学开展冬季体育运动会，有51名学生因各种原因没能参加，已知参加运动会的学生人数占学校总人数的。这所学校一共有学生多少人？ 【答案】1700人 【分析】由题意可知，把学校总人数看作单位“1”，已知参加运动会的学生人数占学校总人数的，则没参加的人数占，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算。据此解答。 【详解】 （人） 答：这所学校一共有学生1700人。 题型8：探索规律 【例8】找规律。 5，1，，( )，。 【答案】 【分析】第一个数除以第二个数等于5，即5÷1＝5，第二个数除以第三个数，即1÷＝1×5＝5，所以要求出第四个数，用第三个数除以5即可得解。 【详解】5÷1＝5 1÷＝1×5＝5 因此，第四个空：÷5＝×＝ 验证：÷5＝÷＝，符合要求。 所以：5，1，，，。 【练8】，，，( )，( )… 【答案】 【分析】观察、计算可知：÷＝×3＝，÷＝×2＝。由此可得：前一个数乘等于后一个数。据此解答。 【详解】×＝ ×＝ 则第一个空填，第二个空填。 1．( )与0.125互为倒数，( )的倒数是。 【答案】 8 /0.3 【分析】乘积是1的两个数互为倒数，将小数化成分数，带分数化成假分数，交换真分数和假分数分子和分母的位置，即可得到它的倒数。 【详解】0.125＝、＝ 8与0.125互为倒数，的倒数是。 2．下图中涂色部分面积表示cm2，整个大长方形面积是( )cm2，空白部分的面积是( )cm2。 【答案】 8 / 【分析】从图中可知，整个大长方形平均分成12份，涂色部分的面积占5份，则涂色部分面积占整个大长方形面积的；已知涂色部分面积表示cm2，占整个大长方形面积的，把整个大长方形面积看作单位“1”，单位“1”未知，用涂色部分面积除以，求出整个大长方形的面积；再用整个大长方形的面积减去涂色部分的面积，即是空白部分的面积。 【详解】涂色部分面积占整个大长方形面积的：5÷12＝ 整个大长方形的面积： ÷ ＝× ＝8（cm2） 空白部分的面积是： 8－＝（cm2） 即，整个大长方形面积是8cm2，空白部分的面积是cm2。 3．32的是( )；( )吨的是200吨。 【答案】 24 500 【分析】求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，据此用32乘即可解答；已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，据此用200除以即可求出未知吨数。 【详解】32×＝24 200÷ ＝200× ＝500（吨） 则32的是24；500吨的是200吨。 4．一瓶升的饮料，如果小红每次喝掉它的，( )次才能喝完。 【答案】8 【分析】把这瓶饮料的总量看作单位“1”，小红每次喝掉它的，根据除法的意义，用1除以即可求出几次能喝完。 【详解】1÷ ＝1×8 ＝8（次） 则8次才能喝完。 5．根据规律填空：，，，( )，，( )。 【答案】 【分析】先将分数化成同分母分数，找到分子的规律，再根据规律求出未知的数，即可解答。 【详解】，，，，这些分数的分母都是12，分子分别是1、2、3…，可以发现分子依次增加1，因此第四个数的分子应该是4，第四个数是即；第六个数的分子应该是6，第六个数是即。 即根据规律填空：，，，，，。 6．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ×( )         9÷( )9       ÷4( )× 【答案】 ＜ ＞ ＝ 【分析】一个数（0除外），乘小于1的数，积比原数小；除以小于1的数，商比原数大；除以一个数等于乘这个数的倒数，据此填空。 【详解】＜1，×＜； ＜1，9÷＞9； ÷4＝×。 7．亮亮把一个数除以错写成这个数乘，得到的答案是5，正确的答案应该是( )。 【答案】//7.2 【分析】亮亮计算的是一个数乘等于5，那么这个数可以用5除以计算得到。最后用这个数除以就能得到正确的结果，据此解答。 【详解】5÷÷ ＝5×× ＝ 正确的答案应该是。 8．甲数是240，乙数是甲数的，又是丙数的，丙数是( )。 【答案】100 【分析】根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，即用240乘即可得到乙数；再根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，即用乙数除以即可得到丙数。 【详解】240×＝80 80÷＝80×＝100 则丙数是100。 9．把一根长米的木棒平均锯成若干段，一共锯了3次，平均每段长( )米，每段占这根木棒的( )。 【答案】 【分析】段数＝锯的次数＋1，据此确定锯的段数，木棒长度÷段数＝每段长度；将木棒长度看作单位“1”，1÷段数＝每段占木棒的几分之几。 【详解】3＋1＝4（段） ÷4＝×＝（米） 1÷4＝ 平均每段长米，每段占这根木棒的。 【点睛】关键是理解分数的意义，掌握分数除法的计算方法。 10．脱式计算。                                   【答案】；15；； ；； 【分析】同级运算中，按照从左到右的顺序依次进行计算即可。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝15 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 11．解方程。 ①÷x＝        ②x＋＝        ③x－x＝16 【答案】①x＝8；②x＝；③x＝20 【分析】①÷x＝，根据等式的性质2，方程两边同时乘x，再同时除以即可。 ②x＋＝，根据等式的性质1，方程两边同时减去，再根据等式的性质2，方程两边同时除以即可。 ③x－x＝16，先化简方程左边含有x的算式，即求出1－的差，再根据等式的性质2，方程两边同时除以1－的差即可。 【详解】①÷x＝ 解：÷x×x÷＝÷×x x＝÷ x＝× x＝8 ②x＋＝ 解：x＋－＝－ x＝－ x＝ x÷＝÷ x＝× x＝ ③x－x＝16 解：x＝16 x÷＝16÷ x＝16× x＝20 12．果园里有梨树450棵，苹果树的棵树是梨树的，又是桃树的棵树的，果园里有桃树多少棵？ 【答案】315棵 【分析】以梨树的棵数为单位“1”，已知梨树450棵，苹果树的棵数是梨树的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用梨树的棵数×即可求出苹果树的棵数；再以桃树的棵树为单位“1”，苹果树的棵数是桃树的棵数的，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算，用苹果树的棵数÷即可求出桃树的棵数。 【详解】450×÷ ＝450×× ＝315（棵） 答：果园里有桃树315棵。 13．甲乙两人合打一部书稿，甲打了20页，占书稿的，乙打了这部书稿的，乙打了多少页？ 【答案】15页 【分析】把这部书稿的总页数看作单位“1”，甲打了20页，占书稿的，单位“1”未知，根据分数除法的意义求出这部书稿的总页数； 已知乙打了这部书稿的，单位“1”已知，根据分数乘法的意义求出乙打的页数。 【详解】20÷ ＝20×3 ＝60（页） 60×＝15（页） 答：乙打了15页。 14．实验小学有49名同学参加体操比赛，占六年级学生的六年级学生人数占全校人数的实验小学共有学生多少人？ 【答案】672人 【分析】将六年级学生人数看作单位“1”，参加体操比赛的占，参加体操比赛的人数÷对应分率，求出来的是六年级学生人数，将全校人数看作单位“1”，六年级人数占全校人数的，用六年级人数÷对应分率，就是全校人数。 【详解】49÷÷ ＝49××8 ＝84×8 ＝672（人） 答：实验小学共有学生672人。 15．水果批发市场杨叔叔新进一批水果，运来香蕉2.5吨，比运来苹果的少0.7吨。运来苹果多少吨？ 【答案】3.6吨 【分析】可以设运来的苹果有x吨，根据求一个数的几分之几是多少，用这个数×几分之几，即苹果的是x吨，再减去0.7吨就是香蕉的质量，据此即可列方程再根据等式的性质解方程即可求解。 【详解】解：设运来苹果x吨。 x－0.7＝2.5 x＝2.5＋0.7 x＝3.2 x＝3.2÷ x＝3.2× x＝3.6 答：运来苹果3.6吨。 试卷第1页，共3页 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 分数除法 单元知识清单讲义 知识点一：倒数的意义 1.倒数的意义 乘积是1的两个数互为倒数。倒数具备两个条件：一是两个数；二是乘积是1。 2.互为倒数的两个数特点 如果两个数都是分数，那么两个分数的分子和分母正好颠倒了位置；如果一个数是整数，那么它的倒数分子是1，分母是这个整数。 3.求一个数倒数的方法 (1)通过计算，乘积是1的两个数互为倒数。 (2)交换这个数的分子和分母的位置。 4.特殊的 1的倒数是1,0没有倒数。 知识点二：分数除法运算 一个数除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 知识点三：商与被除数的关系 除数＞1时，商＜被除数。 除数＜1(0除外)时，商＞被除数。 除数=1时，商=被除数。 知识点四：分数乘除混合运算 1.只有乘、除法，按照从左到右的顺序依次进行计算。 2.在一个有小括号的算式里，应该先算小括号里面的，后算小括号外面的。商与被除数的关系 知识点五：分数除法的应用题 解决“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的问题，一般有两种方法： 1. 算术法： 分率对应量÷分率=单位“1”的量 2. 方程法： (1)找出单位“1”,设未知量为x; (2)找出题中的等量关系式； (3)列出方程并解答； (4)检验并写出答案。 题型1：倒数的认识 【例1】最小的质数的倒数是( )，最小的合数的倒数是( )。 【练1】( )( )( )( )。 题型2：分数与整数的除法运算 【例2】下面的计算对吗？若对，请画“√”；若不对，请画“×”并改正。 （1）（    ）     （2）（    ） 改正：______ ___         改正：_____ ____ 【练2】算一算。                                 题型3：分数与分数除法 【例3】计算下面各题。（写出计算过程）                       【练3】填一填，算一算。 ( )( )         ( )( ) ( )( )( )    ( )( )( )  题型4：分数乘除混合运算 【例4】计算下面各题，能简算的用简便方法计算。 ①             ②         ③     ④         ⑤         ⑥ 【练4】脱式计算。 （1）          （2） （3）         （4） 题型5：被除数与商的大小关系 【例5】连一连。 【练5】在÷□＜中，□可以是（    ）。 A．分数 B．带分数 C．假分数 D．真分数 题型6：分数方程 【例6】解方程。 ①         ②          ③ 【例6】解方程。                    题型7：已知一个数的几分之几是多少，求这个数 【例7】画图并列式计算。 运来黄沙24吨，运来黄沙的吨数是水泥的，运来水泥多少吨？ 【练7】星星小学开展冬季体育运动会，有51名学生因各种原因没能参加，已知参加运动会的学生人数占学校总人数的。这所学校一共有学生多少人？ 题型8：探索规律 【例8】找规律。 5，1，，( )，。 【练8】，，，( )，( )… 1．( )与0.125互为倒数，( )的倒数是。 2．下图中涂色部分面积表示cm2，整个大长方形面积是( )cm2，空白部分的面积是( )cm2。 3．32的是( )；( )吨的是200吨。 4．一瓶升的饮料，如果小红每次喝掉它的，( )次才能喝完。 5．根据规律填空：，，，( )，，( )。 6．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ×( )         9÷( )9       ÷4( )× 7．亮亮把一个数除以错写成这个数乘，得到的答案是5，正确的答案应该是( )。 8．甲数是240，乙数是甲数的，又是丙数的，丙数是( )。 9．把一根长米的木棒平均锯成若干段，一共锯了3次，平均每段长( )米，每段占这根木棒的( )。 10．脱式计算。                                       11．解方程。 ①÷x＝         ②x＋＝         ③x－x＝16 12．果园里有梨树450棵，苹果树的棵树是梨树的，又是桃树的棵树的，果园里有桃树多少棵？ 13．甲乙两人合打一部书稿，甲打了20页，占书稿的，乙打了这部书稿的，乙打了多少页？ 14．实验小学有49名同学参加体操比赛，占六年级学生的六年级学生人数占全校人数的实验小学共有学生多少人？ 15．水果批发市场杨叔叔新进一批水果，运来香蕉2.5吨，比运来苹果的少0.7吨。运来苹果多少吨？ 试卷第1页，共3页 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $