2.3 第1课时 二次根式的乘除运算-【初中学霸创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步教案(北师大版2024)

绿卡图书——走向成功的通行证 3 二次根式 课题 第1课时 二次根式的乘除运算 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P41-42 教学目标 1.理解二次根式的概念，能准确识别二次根式。 2．理解并掌握二次根式的乘法法则·＝(a≥0，b≥0)和除法法则＝(a≥0，b>0)，并能运用法则进行二次根式的乘除运算。 3．通过对二次根式乘除法则的探究，培养学生从特殊到一般的归纳总结能力和逻辑推理能力。 4．在二次根式运算的学习过程中，体会类比思想，将二次根式的运算与整式的运算进行类比，提高学生知识迁移的能力。 教学重难点 重点：1.二次根式的概念。2．二次根式的乘除法则及其应用，能够正确运用法则进行二次根式的乘除运算。 难点：理解二次根式乘除法则的推导过程，以及法则中字母的取值范围的限制。 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 教师展示课件。 教师活动：以提问的形式引导学生复习回顾平方根、算术平方根的概念，学生思考回答问题，自然地导入到二次根式上来。 教师：我们前面学习了平方根的知识，现在请同学们回顾一下以下几个问题： 问题1：什么叫做平方根? 答案预设：如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根。 问题2：什么叫做算术平方根? 答案预设：如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记为“”。 问题3：什么数有算术平方根? 答案预设：正数或0有算数平方根，负数没有平方根. 问题4：，，，，（其中，），上述式子有什么共同特征？ 答案预设：都含有开方运算，并且被开方数都是非负数. 教师：一般地，式子叫做二次根式。a是被开方数。 （在本章学习中，学生已经接触了大量的二次根式。二次根式的概念比较简单，因此这里没有要求学生自主归纳，而是呈现了一些概念的原型并直接明晰。教学中不必开展所谓的概念辨析活动。） 教师活动： 注意：a可以是数，也可以是式。 二次根式的两个必备特征： ①外貌特征：含有“”； ②内在特征：被开方数a≥0。 回顾平方根和算数平方根的定义，为本节课要学习的内容作准备。 问题4列举一些具体数据，从学生熟知的算术平方根入手，通过问题的思考，让学生初步感知二次根式的特征。 进一步探究二次根式的概念，明确只有含有二次根号和被开方数是非负数这两个条件同时满足时才是二次根式。 2.实践探究，学习新知 【探究1】 尝试·思考 （1）计算下列各式，你能得到什么猜想？ ， ； ；= ； ， ； ， 。 预设答案：6；6；20；20；；；；。 追问：你有什么猜想？ 预设答案： ；。 （2）根据上面的猜想，估计下面每组两个式子是否相等，借助计算器进行验证。 ， ； ， 。 预设答案：6.480 7；6.480 7；0.925 8；0.925 8。 教师总结：，。 所以验证了猜想。 （3）用字母表示你发现的猜想，你能说说这个猜想为什么正确吗？ 【归纳总结】 二次根式的性质： 积的算术平方根，等于算术平方根的积。 (a≥0，b≥0) 教师强调：a，b必须都是非负数！ 商的算术平方根，等于算术平方根的商. (a≥0，b＞0 ) 教师强调：a必须是非负数，b必须是正数。 【教材例题】 例1 计算： （1）； （2）。 师生活动：教师提出问题，学生先独立思考，教师指名学生上台板演。 解：（1）==； （2）===3。 例2 计算： （1）3×2； （2）-5； （3）； （4）； （5）； （6）。 解：（1）3×2=3×2××=3×2×=6； （2）-5=-5=-5=6-5=1； （3）=+2+=5+2+1=6+2； （4）=-=13-9=4； （5）=-=-=6-1=5； （6）=+=。 引领学生自主探索二次根式的性质，此问题（1）从特殊数入手，希望学生获得一定的感性经验，通过问题（2）进一步强化这样的经验和猜测.最后经由学生交流，总结、归纳出二次根式的性质。 明确二次根式的性质之后，自然是运用性质进行化简。同伴间进行交流，教师适时引导,激发学生的学习热情。 及时引导学生反思化简活动过程，以积累解决相关问题的经验，加深学生对二次根式化简的理解。 3.学以致用，应用新知 考点1 二次根式的概念 例 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？ 解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零。(3)(5)(7)均不是二次根式。 变式训练 下列式子中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？ (1)；(2)；(3)；(4)；(5)(x≥0，y≥0)；(6)；(7). 解：(1)(2)(5)(6)是；(3)(4)(7)不是． 考点2 二次根式的乘除运算 例 计算： (1)2×(－3)。　　　　　　(2)×－2。 解：（1）原式＝2×(－3)×× ＝－6. （2）原式＝－2 ＝－2 ＝5－2 ＝3.。 (3)(2－)2。 (4)(＋)×。 解：（3）原式＝4－4＋3 ＝7－4。 （4）原式＝×＋× ＝＋ ＝3＋2 ＝5。 (5)。 （5）原式＝－ ＝－ ＝4－。 在例题中联系相关知识分析，说明解决问题的想法，获得成功的体验，考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯。 1.让学生逐步掌握运算技能，加深对二次根式乘除法的计算。 2．掌握有关运算律和公式地运用（如交换律、结合律、乘法对加法的分配律、乘法公式等）。 4.随堂训练，巩固新知 1.计算×的结果是 ( ) A. B. C．3 D．5 答案：B 2．计算的结果是 。 答案：3 3．计算(＋)(－)的结果等于 。 答案：3 4．计算： （1）；　　　　　（2）××； （3）(＋)； （4）(＋1)2。 解：（1）原式＝。 （2）原式＝＝30。 （3）原式＝＋。 （4）原式＝()2＋2＋12＝4＋2。 5.下面是李明同学在解答某个题目时的计算过程，请认真阅读并完成相应任务． 　(＋)2－(－)2 ＝()2＋()2－()2＋()2…第一步 ＝6＋5－6＋5…第二步 ＝10.…第三步 任务一：填空：以上步骤中，从第一步开始出现错误，这一步错误的原因是完全平方公式用错； 任务二：请写出正确的计算过程。 解：原式＝()2＋2＋()2－()2＋2－()2 ＝6＋2＋5－6＋2－5 ＝4。 5.课堂小结，自我完善 1.判断一个数式是不是二次根式必须同时满足：①根指数都为2；②被开方数为非负数。 2.二次根式的性质： a≥0，b≥0)；a≥0，b＞0)。 3.最简二次根式满足的条件： ①二次根式的被开方数不含开得尽方的因数（或因式）； ②二次根式的被开方数不含分母（即根号内不能是分数）； ③分母不能含有根号。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 6.布置作业 课本P43习题2.9中的T1——T4。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 3 二次根式 第1课时 二次根式的乘除运算 二次根式的乘除运算 1．二次根式的概念。 2．二次根式的乘法法则和除法法则： ·＝(a≥0，b≥0)；＝(a≥0，b＞0)。 投影区 学生活动区 提纲挈领，重点突出。 教后反思 在本节课的教学过程中，讲解概念时，通过让学生计算具体例子，再归纳总结，符合学生的认知规律．在讲二次根式的乘除运算时，通过复习引入、知识新授、例题讲解、课堂练习和课堂小结等环节，逐步引导学生掌握二次根式的运算方法．在教学中，注重了对运算法则的推导和理解，通过具体例子让学生观察、总结规律，培养了学生的归纳总结能力和逻辑推理能力．但在练习环节，部分学生在运用法则进行计算时，仍会出现错误．在今后的教学中，应多设计一些有针对性的练习题，让学生在练习中不断提高运算的准确性和速度．此外，要更加关注学生在学习过程中的困难和问题，及时给予指导和帮助，使每个学生都能在数学学习中有所收获。 反思，更进一步提升。 1 学科网（北京）股份有限公司 $