1.3 勾股定理的应用-【初中学霸创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步教案(北师大版2024)

绿卡图书——走向成功的通行证 3 勾股定理的应用 课题 3 勾股定理的应用 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P13-14 教学目标 1.通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念。 2.在将实际问题抽象成数学问题的过程中，渗透数学建模的思想，提高分析问题、解决问题的能力。 3.在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性。 教学重难点 重点：熟练运用勾股定理求最短距离。 难点：能运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题。 教学准备 多媒体课件，大小相同的圆柱体和长方体各2~3个 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情境，导入新课 教师展示课件。 教师：观察图1、图2，回答问题。 问题1：图1是学校的简易平面图，从东校门到教学楼怎样走最近？ 问题2：如图2，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，蚂蚁的爬行路线有几种？最短路线是多少？ 图1 图2 教师活动：将学生4人一组分组，问题2中引导学生借助准备好的圆柱体辅助解决问题。 学生活动：学生讨论，交流，寻找解决问题的途径。 合作交流：充分讨论后，汇总各小组的方案，在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法，通过具体计算，总结出最短路线。 学生可能汇总的方案： 问题求解： 学生很容易算出：路线1中A→B的路线长为AC+d，路线2中A→B的路线长为。所以路线1的路线长比路线2的路线长要短。 学生在路线3和路线4的比较中可能出现困难，但还是有学生提出用剪刀沿母线AC剪开圆柱得到侧面展开图， 路线3中A→B是折线，路线4是线段，根据“两点之间，线段最短”可判断路线4较短，最后通过计算比较路线1和路线4即可。 结论展示： 路线1中A→B的路线长为AC+d>AB； 路线2中A→B的路线长为>AB； 路线3中A→B的路线长为AO+OB>AB； 路线4中A→B的路线长为AB。 得出结论路线4最短。 教师追问：若圆柱的高等于12cm，底面圆的周长等于18cm，怎么计算最短路径的长度？让我们一起走进本节课的内容——勾股定理的应用。（教师板书：3 勾股定理的应用） 学生回答：利用勾股定理求解。 教师展示课件。 解：由题意，得AC=12cm，BC=9cm，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2=AC2+BC2=122+92=225，即AB=15（cm）。即蚂蚁从A到B的最短路线是15cm。 通过问题1复习公理：两点之间线段最短；通过问题2的创设情境、引入新课，激发学生探究热情。 让学生发现：沿圆柱体母线剪开后展开得到矩形，研究“蚂蚁怎么走最近”就是研究两点连线最短问题，引导学生体会利用数学解决实际问题的方法。 本环节通过学生的合作探究，找到解决“蚂蚁怎么走最近”的方法，将曲面最短距离问题转化为平面最短距离问题并利用勾股定理求解。在活动中体验数学建模，培养学生与人合作交流的能力，增强学生的探究能力、操作能力、分析能力，发展空间观念。 2.实践探究，学习新知 【探究1】 教师展示课件。 问题展示： 装修工人李叔叔想检测某块装修用砖（如图）的边AD和边BC是否分别垂直于边AB。 问题1：如果李叔叔随身只带了卷尺，那么你能替他想办法完成任务吗？ 学生活动：先独立思考，之后小组可交流讨论，汇总结果。 答案预设：结合之前学习的知识，容易想到，通过测量各边长度，利用勾股定理逆定理验证△ABC和△ABD是否是直角三角形即可。 问题2：李叔叔测得边AD长30 cm，边AB长40 cm，点B，D之间的距离是50 cm。AD边垂直于AB边吗？答案预设： 解：在△ABD中， ∵，， ∴， ∴△ABD是直角三角形，∠DAB=90°， ∴AD和AB垂直。 问题3：如果李叔叔随身只带了一把长度为20 cm的刻度尺，那么他能检验边AD是否垂直于边AB吗？ 教师活动：先鼓励学生自己寻找办法，再让学生说明李叔叔的办法的合理性．当刻度尺较短时，学生可能会在上面解决问题的基础上，想出多种办法，如利用分段相加的方法量出AB，AD和BD的长度，或在AB，AD边上各量一段较小长度，再去量以它们为边的三角形的第三边，从而得到结论，对学生的合理做法及时给与肯定。 【教材例题】 教师展示课件。 例 今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问：水深、葭长各几何？（选自《九章算术》） 题目大意：有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形。在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺（如图）。如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面。这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？ 学生活动：利用生活常识与已有的知识将数据与图形相结合，标出对应的数据，小组讨论找出直角三角形并利用勾股定理解答。 解：设水池的深度OA为x尺，则芦苇的长度OB为（x+1）尺。由于芦苇位于水池中央，所以AC为5尺。在Rt△OAC中，由勾股定理，可得 ， 即。 解得x=12。 12+1=13。 因此，水池的深度是12尺，芦苇的长度是13尺。 运用勾股定理的逆定理来解决实际问题，让学生学会分析问题，利用允许的工具灵活处理问题。 利用方程将几何与代数联系起来，将实际问题与数学模型再次形象地联系到一起，以期加深学生的印象。 3.学以致用，应用新知 考点1 最短路径问题 例 如图所示，在棱长为10 cm的正方体的一个顶点A处有一只蚂蚁，现要向顶点B处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是1 cm/s，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20 s内从点A爬到点B？ 解：将正方体按如图方式展开， 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 由题意，得蚂蚁20 s爬行可爬行20×1=20（cm）， ∵500＞202 ， ∴不能在20 s内从点A爬到点B。 变式训练 如图，一只蜘蛛在一个长方体木块的顶点A处，一只苍蝇在这个长方体木块的顶点G处，若AB=3 cm，BC=5 cm，BF=6 cm，问蜘蛛要沿着怎样的路线爬行，才能最快抓到苍蝇？这时蜘蛛走过的路程是多少？ 解：（方案一）如图1，连接AG，当蜘蛛从点A出发先到BF上再到点G时，因为AB=3 cm，BC=5 cm，所以AC=AB+BC=3+5=8（cm）。因为CG=BF=6 cm，所以在 Rt△ACG中，AG2=AC2+CG2=82+62=100。 （方案二）如图2，连接AG，当蜘蛛从点A出发先到EF上再到点G时，因为BC=5 cm，所以FG=BC=5 cm，所以BG=5+6=11（cm）。 在Rt△ABG中，AG2=AB2+BG2=32+112=130。 （方案三）如图3，连接AG，当蜘蛛从点A出发先到EH上再到点G时，因为GF=BC=5 cm，AE=BF=6 cm，EF=AB=3 cm，所以 AF=AE+EF=6+3=9（cm）。在Rt△AFG中，AG2=AF2+GF2=92+52=106。 因为130>106>100，所以在第一种方案中蜘蛛能最快抓到苍蝇，其路线如图1所示，这时AG2=100，所以AG=10 cm， 所以蜘蛛走过的路程是10 cm。 考点2 勾股定理的实际应用 例 如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长。已知滑梯的高度CE=3m，CD=1m，试求滑道AC的长。 学生活动：利用生活常识与已有的知识将数据与图形相结合，标出对应的数据，小组讨论找出直角三角形并利用勾股定理解答。 解：设滑道AC的长度为x m，则AB的长度为x m，AE的长度为（x-1）m。 在Rt△ACE中，∠AEC=90°，由勾股定理得AE2+CE2=AC2，即（x-1）2+32=x2，解得x=5。 故滑道AC的长度为5m。 变式训练 假期中，小明和同学们到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图，他们在点A登陆后先往东走8 km到达C处，又往北走了2 km，遇到障碍后又往西走了3 km，再往北走了6 km后往东拐，仅走了1km就找到了藏宝点B，如图，登陆点A到藏宝点B的距离是________。 答案：10 km 本题旨在对“蚂蚁怎样走最近”进行拓展，从圆柱侧面到棱柱侧面，都是将空间问题平面化。 本题中学生可以进一步了解勾股定理的悠久历史和广泛应用，了解我国古代人民的聪明才智，运用方程的思想并利用勾股定理建立方程。 4.随堂训练，巩固新知 1.如图，将一根长为16 cm的橡皮筋固定在笔直的木棒上，两端点分别记为A，B，然后将中点C向上竖直拉升6 cm至点D处，则拉伸后橡皮筋的长为（ ） A.20 cm B.22 cm C.28 cm D.32 cm 答案：A 2.如图，有一圆柱形油罐，底面周长为24 m，高为10 m。从A处环绕油罐建梯子，梯子的上端点B正好在点A的正上方，梯子最短需要( ) A.10π m B.26 m C.13π m D.15 m 答案：B 3.如图，数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段(如图1)，同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1 m，再将绳子拉直(如图2)，测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5 m，则旗杆的高度为 m。 答案：12 4.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5 dm，3 dm和1 dm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.则这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点的最短路程是 dm。 答案：13 5.如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A出发，沿北偏东53°方向走了400m到达点B，然后再沿北偏西37°方向走了300 m到达目的地C。求A，C两点之间的距离。 解：如图，过点B作BE∥AD。 ∴∠DAB＝∠ABE＝53°。 ∵37°＋∠CBA＋∠ABE＝180°， ∴∠CBA＝90°。 ∴AC2＝BC2＋AB2＝3002＋4002＝5002， ∴AC＝500m， 即A，C两点间的距离为500 m。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 师生相互交流总结： 1．解决实际问题的方法是建立数学模型求解。 2．在寻求最短路径时，往往把空间问题平面化，利用勾股定理及其逆定理解决实际问题。 本课时内容量略多，教师可根据实际情况适当删减。 鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获和感想，体会到勾股定理及其逆定理的广泛应用及它们的悠久历史。 6.布置作业 课本P14—15习题1.3中的T1、T2、T3、T4。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高做题效率。 板书设计 3 勾股定理的应用 勾股定理的应用 投影区 学生活动区 提纲挈领，重点突出。 教后反思 本节从生动有趣的问题情景出发，通过学生自主探究，运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题，既巩固了基本知识点，又在将实际问题抽象成几何图形过程中，学会观察，提高分析能力，渗透数学建摸思想。在设计中，注重以下两点： 1．要充分利用好教材提供的素材 “蚂蚁怎么走最近”是一个生动有趣的问题，让学生充满了探究的欲望，这个问题体现了二、三维图形的转化，对发展学生的空间观念很有好处。 2．合理使用教材提供的练习 本节课通过“实践探究，学习新知”“学以致用，应用新知”把教材中的知识点重组，使练习有梯度，既巩固了基本知识点，又训练了学生的应用能力。 3．突破重点、突破难点的策略 在教学过程中教师应通过情景创设，激发兴趣，鼓励引导学生经历探索过程，得出结论，从而发展学生的数学应用能力，提高学生解决实际问题的能力。 4．评价方式 根据新课标的评价理念，在教学过程中应关注学生的参与程度，关注活动中所反映出的思维水平，关注对实际问题的理解水平，关注学生对基本知识的掌握情况和应用勾股定理及逆定理解决实际问题的意识和能力。在教学过程中尊重学生的个体差异，对于学生的回答教师应给予恰当的评价与鼓励，并帮助学生树立学习数学的自信，充分发挥教育的价值。 反思，更进一步提升。 1 学科网（北京）股份有限公司 $