4.1 函数-【初中学霸创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步课件(北师大版2024)

1 函 数 情境导入 知识讲解 随堂小测 课堂小结 学习目标 1.掌握函数的概念以及表示方法。（重点） 2.会求函数的值，并确定自变量的取值范围。（难点） 情境导入 想一想，如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？ 同学们，你们坐过摩天轮吗？ 合作探究 下图反映了摩天轮上的一点的高度h (m)与旋转时间t(min) 之间的关系。 t/分 0 1 2 3 4 5 … h/米 … （1）根据左图填表： （2）对于给定的时间t ，相应的高度h确定吗？ 37 45 37 3 10 11 对于给定的时间t ，相应的高度h确定。 知识讲解 知识点1 函数的概念及表示方法 例1 圆柱形物体常常如下图那样堆放。随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？ 填写下表： 1 2 3 4 5 … … 1 3 6 10 15 层数n 物体总数y 例2 一定质量的气体在体积不变时，若温度降低到-273.15℃，则气体的压强为零。因此，物理学中把-273.15 ℃ 作为热力学温度的零度.热力学温度T（单位：K）与摄氏温度t（单位：℃）之间有如下数量关系：T=t+273.15, T≥0。 （1）当t分别为-43 ℃ ，-27 ℃, 0 ℃ , 18 ℃时，相应的热力学温度T是多少？ （2）给定一个大于-273.15 ℃的t值，你都能求出相应的T值吗？ 思考：在关系式T=t+273.15中，两个变量中若知道其中一个，是否可以确定另外一个? 上面的三个问题中，有什么共同特点？ ①时间 t 、相应的高度 h ； ②层数n、物体总数y； ③摄氏温度t 、热力学温度T。 思 考 函数 概念 两个变量x和y 对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应。 函数值 摩天轮问题 罐头盒问题 温度问题 层数n 1 2 3 4 5 …… 物体总数y …… 6 10 15 1 3 T= -43 +273.15=230.15k T= -27 +273.15=246.15k T=t+273.15,T ≥0。 时间t和摩天轮上一点的高度h 层数n和罐头盒总数y 摄氏温度t和热力学温度T 对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a,函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a时的函数值。 函数的概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量。 注意： 函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。 知识总结 表示函数 的一般方法 列表法 图象法 关系式法(解析式法、表达式法) 说一说前面三个情境分别用了什么方法？ 函数的表示方法 知识点2 函数值及自变量的取值范围 T（K）与 t（℃）的函数关系： T= t+273.15 （T≥ 0）。 当t=－43时，T=－43+273.15=230.15（K）； 当t=0时，T=0+273.15=273.15（K）； 当t=18时，T=18+273.15=291.15（K）。 那么，230.15就是当t=－43时的函数值； 273.15就是当t=0时的函数值； 291.15就是当t=18时的函数值。 函数值 对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a时的函数值。 即：如果y是x的函数，当x=a时，y=b，那么b叫作当x=a时的函数值。 注意：函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。而函数值是一个数，它是自变量确定时对应的因变量的值。 1.函数自变量取值范围的确定 使函数有意义的自变量取值的全体实数叫作自变量的取值范围，其确定方法是： （1）当关系式是整式时，自变量为全体实数； （2）当关系式是分母含字母的式子时，自变量的取值需保证分母不为0； （3）当关系式是二次根式时，自变量的取值需使被开方数为非负实数； （4）当关系式有零指数幂(或负整数指数幂)时，自变量的取值需使相应的底数不为0； （5）当关系式是实际问题的关系式时，自变量的取值需使实际问题有意义； （6）当关系式是复合形式时，自变量的取值需使所有式子同时有意义。 随堂小测 1.在下列各式中，x都是自变量，则y是不是x的函数，为什么？ 是 不是 是 2.小明骑车从家到学校的平均速度是15 km/h，你能表示出他走过的路程 s 与时间 t 之间的变化关系吗？ s 是 t 的函数吗？ 解：s=15t， s是 t 的函数. 3.已知函数 （1）求当x=2，3，-3时，函数的值； （2）求当x取什么值时，函数的值为0。 把自变量x的值代入关系式中，即可求出函数的值。 解：（1）当x=2时，y= ;当x=3时，y= ; 当x=-3时，y=7。 （2）令 解得x= ，即当x= 时，y=0。 4. 在函数 中，自变量x的取值范围是（ ） D A. x<4 B. x≥4 且 x≠-3 C. x>4 D. x≤4 且 x≠-3 解析：由题意得 ≠0且4-x≥0,解得x≤4 且 x≠-3。 5.判断下列变量之间是否具有函数关系，并说明理由。 （1）y=x; （2）; （3）; （4） 解：（1）（3）不具有函数关系。 例如当 x=1 时， （1）中 y =1和 y = -1，（3）中 y = 和 y =-。 （2）（4）符合函数定义,具有函数关系。 6.观察下表中的数量关系，说法正确的是（ ） A. x是y的函数 B. y是x的函数 C. y不是x的函数 D. x是y的函数 ，y也是x的函数 x 1 2 3 4 5 6 7 y 1 1 2 2 3 3 3 B 解析：对于每一个站数 x，都有唯一的票价 y 。但是对于每一个票价 y，有不同的公共汽车的站数 x 对应。故选B。 7.如图所示的图象中,表示y是x的函数的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 技巧点拨：作辅助线识别函数关系：过x轴上任意一点作x轴的垂线，若与图象有两个或两个以上的交点，则该图象不能表示函数关系。 B 课堂小结 1.判断变量之间具有函数关系的三个要素：（1）一个变化过程； （2）有两个变量；（3）一个变量的值确定后，另一个变量都有唯一的值和它对应。 2．确定自变量的取值范围的方法：（1）整式和奇次根式中，自变量的取值范围是全体实数；（2）偶次根式中，被开方式大于或等于0；（3）零指数幂、负整数指数幂中，底数不为0；（4）实际问题中，自变量除了满足表达式有意义外，还要考虑使实际问题有意义。 函数自变量的取值范围 概念 不同类型函数自变量取值范围的确定 使函数关系式有意义的自变量取值的全体叫作自变量的取值范围。 ①整式型（全体实数）； ②分式型（使分母不为0的实数）； ③根式型（使根号下的式子的值大于或等于0的实数）； ④零次型（使幂的底数不为0的实数） 课后作业 1.从课后习题1,2,3,4； 2.完成练习册本课时的习题。 绿卡图书—走向成功的通行证 $