2.3 第3课时 二次根式的混合运算-【初中学霸创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步课件(北师大版2024)

该初中数学课件聚焦二次根式的混合运算，通过复习整式运算法则，引导学生用二次根式代替字母对比归纳，搭建旧知到新知的学习支架，明确运算顺序、运算律及乘法公式的适用。 其亮点在于结合几何直观（方格纸梯形面积多种解法）、推理意识（类比整式运算）和模型意识（化简求值用乘法公式变形），采用分割法等教学方法，学生提升运算与探究能力，教师可高效开展教学。

3 二次根式 第3课时 二次根式的混合运算 情境导入 知识讲解 随堂小测 课堂小结 学习目标 1.掌握二次根式的混合运算的运算法则。（重点） 2.会运用二次根式的混合运算法则进行有关的运算。（难点） 复习导入 问题2 多项式与单项式的除法法则是什么? (m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb (ma+mb+mc)÷m=a+b+c 问题1 单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则法则分别是什么? m(a+b+c)=ma+mb+mc； 分配律 单项式×多项式 转化 前面两个问题的思路是： 思考 若把字母a,b,c,m都用二次根式代替(每个同学任选一组)，然后对比归纳，你们发现了什么？ 单项式×单项式 知识讲解 知识点1 二次根式的混合运算及应用 二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用. 例1 计算： 解： 在进行二次根式的混合运算时,应注意以下几点: (1)二次根式的混合运算顺序与有理数中的运算顺序一样,先算乘方,后算乘除,最后算加减,有括号的先算括号内的。 (2)在运算过程中,每个二次根式都可以看作一个“单项式”,多个不同的二次根式可以看作“多项式”,因此有理数中的运算律(交换律、结合律、分配律等)和乘法公式(平方差公式、完全平方公式)在二次根式的运算中仍然适用。 (3)二次根式的混合运算的结果应写成最简形式,这个形式应该是最简二次根式,或几个非同类二次根式的和或差,或有理式。 做一做 如图所示,方格纸中每个小方格的边长均为1,试求图中梯形ABCD的面积.你有哪些方法?与同伴进行交流. 方法1：分割法 可把梯形ABCD分割成两个三角形和一个梯形，如图所示. S梯形ABCD=S1+S2+S3 方法2：补图法 通过补图，可把梯形ABCD变成一个大梯形，如图所示. S梯形ABCD=S梯形ABEF－S1－S2 方法3：直接法 过点D作AB边的高DE，如图所示. S梯形ABCD 二次根式的混合运算，先要弄清运算种类，再确定运算顺序：先乘除，再加减，有括号的要算括号内的，最后按照二次根式的相应的运算法则进行。 总结归纳 随 堂 小 测 解：(1)原式 (2)原式 1.计算： 有绝对值符号的，同括号一样，先去绝对值，注意去掉绝对值后，得到的数应该为正数。 D D C 知识讲解 知识点2 二次根式的化简求值 把a=3，b=2代入代数式中， 先化简后代入 问题：化简）× ，其中a=3，b=2。你是怎么做的？ 解法一： 把a=3，b=2代入代数式中， 原式= 解法二： 原式= 先代入后化简 哪种简便？ 解二次根式化简求值问题时，直接代入求值很麻烦， 要先化简已知条件，再用乘法公式变形代入即可求得。 方法总结 例2：已知，b=，求 分析：先化简已知条件，再利用乘法公式变形，即a2+b2=(a+b)2-2ab,最后代入求解. 解： 随 堂 小 测 6.已知 试求x2+2xy+y2的值. 解： x2+2xy+y2=（x+y)2 把 代入上式得 二次根式混合运算 乘法公式 化简求值 分母有理化 化简已知条件和所求代数式 (a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 绿卡图书—走向成功的通行证 2.【南通】下列运算，结果正确的是(　　) A.－＝ B．3＋＝3 C.÷＝3 D.×＝2 3.【泰州】下列等式成立的是(　　) A．3＋4＝7 B.×＝ C.÷＝2 D.＝3 4.【益阳】观察下列等式： ①3－2＝(－1)2； ②5－2＝(－)2； ③7－2＝(－)2； … 根据以上规律，写出第6个等式：___________________________． 13－2＝(－)2 【点拨】第n个等式左边的第1个数为2n＋1，根号下的数为n(n＋1)，右边的式子为(－)2(n≥1且n为整数)． 5.【荆州】若x为实数，在“(＋1)□x”的“□”中添上运算符号(在“＋，－，×，÷”中选择)后，其运算的结果为有理数，则x不可能是(　　) A.＋1 B.－1 C．2 D．1－ 【点拨】A.(＋1)－(＋1)＝0，故本选项不合题意； B．(＋1)×(－1)＝2，故本选项不合题意； C．(＋1)与2无论是相加，相减，相乘，相除，结果都是无理数，故本选项符合题意； D．(＋1)×(1－)＝－2，故本选项不合题意． 7.已知a＝，b＝，求的值。 解：由已知得a＝＋2，b＝－2， 所以a＋b＝2，ab＝1. 所以原式＝＝＝5. 8.已知x＝－，y＝＋，求x3y＋xy3的值。 解：因为x＝－，y＝＋， 所以xy＝(－)(＋)＝1， x＋y＝－＋＋＝2. 所以x3y＋xy3＝xy(x2＋y2)＝xy[(x＋y)2－2xy]＝1×[(2)2－2×1]＝10. $