2.3 第1课时 二次根式的乘除运算-【初中学霸创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步课件(北师大版2024)

3 二次根式 情境导入 知识讲解 随堂小测 课堂小结 第1课时 二次根式的乘除运算 学习目标 1.了解二次根式的定义。（重点） 2.运用二次根式有意义的条件解决相关问题。（难点） 3.会用二次根式的乘除法则进行简单地运算。（重点） 复习引入 问题1 什么叫作平方根? 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根. 问题2 什么叫作算术平方根? 如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的算术平方根.用 表示. 问题3 什么数有算术平方根? 我们知道,负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0. 思考 用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？ （1）一张海报为正方形，若面积为2m2,则边长为_____m；若面积为S m2，则边长为_____m． （2）一张海报为长方形，若它的长是宽的2倍，面积为6m2，则它的宽为_____m． （3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，那么t为_____． 知识讲解 知识点1 二次根式的概念及有意义的条件 问题1 这些式子分别表示什么意义？ 分别表示2，S，3， 的算术平方根。 上面问题中，得到的结果分别是： ， ， ， ． ①根指数都为2; ②被开方数为非负数。 问题2 这些式子有什么共同特征？ 归纳总结 一般地，形如（a≥0）的式子叫作二次根式，a叫作被开方数。“”称为二次根号。 两个必备特征 ①外貌特征：含有“ ” ②内在特征：被开方数a ≥0 注意：a可以是数，也可以是式。 例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？ 解： (1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式. 是否含二次根号 被开方数是不是非负数 二次根式 不是二次根式 是 是 否 否 分析： 典例精析 例2 当x是怎样的实数时, 在实数范围内有 意义? 解：由x-2≥0，得 x≥2. 当x≥2时， 在实数范围内有意义. 【变式题1】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 解：由题意得x-1＞0， ∴x＞1. 解：∵被开方数需大于或等于零， ∴3+x≥0，∴x≥-3. ∵分母不能等于零， ∴x-1≠0，∴x≠1. ∴x≥-3 且x≠1. 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零. 归纳 当x取怎样的数时，下列各式在实数范围内有意义？ （1） （2） 导引： 要使二次根式有意义，则被开方数是非负数． 解：(1) 欲使 有意义，则必有2x－6≥0且x －5≠0，所以x≥3且 x≠5. (2) 欲使 有意义，则必有x－2≥0且5 －x≥0，所以2≤x≤5. 【变式题2】 (1)单个二次根式如 有意义的条件：A≥0； (2)多个二次根式相加如 有意义的 条件： (3)二次根式作为分式的分母如 有意义的条件： A＞0； (4)二次根式与分式的和如 有意义的条件： A≥0且B≠0. 归纳总结 1.下列各式： . 一定是二次根式的个数有 （ ） A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 B 2.(1)若式子 在实数范围内有意义，则x的取值 范围是_______; (2)若式子 在实数范围内有意义，则x的 取值范围是___________. x ≥1 x ≥0且x≠2 练一练 知识点2 二次根式的双重非负性 问题1 当x是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？ 前者x为全体实数；后者x为正数和0. 当a＞0时， 表示a的算术平方根，因此 ＞0；当a=0时， 表示0的算术平方根，因此 =0.这就是说，当a≥0时， ≥0. 问题2 二次根式 的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？ 二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 ，我们知道： （1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0； （2） 表示一个数或式的算术平方根，可知 ≥0. 二次根式的被开方数非负 二次根式的值非负 二次根式的双重非负性 归纳总结 例3 若 ，求a -b+c的值. 解： 由题意可知a-5=0,b-2=0,c-1=0, 解得a=5,b=2,c=1. 所以a-b+c=5-2+1=4. 多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为0.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式. 归纳 典例精析 例4 已知y= ,求3x+2y的算术平方根. 解：由题意得 ∴x=3，∴y=8， ∴3x+2y=25. ∵25的算术平方根为5， ∴3x+2y的算术平方根为5． 【变式题】已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足 ，求此三角形的周长． 解：由题意得 ∴a=3， ∴b=4. 当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10； 当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11． 若 ，则根据被开方数大于等于0，可得a=0. 归纳 已知|3x-y-1|和 互为相反数，求x+4y的平方根． 解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0． 解得x=1，y=2． ∴x+4y=1+2×4=9， ∴x+4y的平方根为±3. 练一练 知识点3 二次根式的乘除运算 （1） ＝ ， ＝ ； ＝ ， ＝ ； ＝ ， ＝ ； ＝ ， ＝ ． 6 6 20 20 填一填 有何发现？ ＝ ， 6.480 ＝　 　； （2）用计算器计算： ＝ ， ＝　 　 ． 6.480 0.9255 0.9255 有何发现？ 要点归纳 （a≥0，b≥0） ， （a≥0， b＞0）。 二次根式的乘法法则和除法法则 典例精析 例1：计算: 例2：计算: 解: (3)只需其中两个结合就可实现转化进行计算，说明二次根式乘法法则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘，即 . 归纳 可先用乘法结合律，再运用二次根式的乘法法则 二次根式的乘法法则的推广： 归纳总结 多个二次根式相乘时此法则也适用，即 当二次根号外有因数(式)时，可以类比单项式乘单 项式的法则计算，即根号外的因数(式)的积作为根号外的因数(式)，被开方数的积作为被开方数，即 例3 计算：（1）；（2）；（3）÷。 导引：紧扣二次根式除法法则进行计算。 解： 的运算方法： 1. 当a 是b 的倍数或a，b 为分数时，常先利用 计算； 2. 当 ， 中的被开方数含有完全平方的因数（式） 时，常 先将完全平方的因数（式）“开方”出来， 再进行除法运算； 3. 当根号前含有系数时，根号前的系数与系数对应相除，根号 内的被开方数与被开方数对应相除，再把除得的结果相乘。 归纳总结 随 堂 小 测 2.式子 有意义的条件是 （ ） A.x＞2 B.x≥2 C.x＜2 D.x≤2 3.若 是整数，则自然数n的值有 （ ） A.7个 B.8个 C.9个 D.10个 D 1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ ） C A 4.在括号中填写适当的数或式子使等式成立. （ ）＝10； （ ）＝ 4； 5.当________时， 在实数范围内有意义． 解析：要使在实数范围内有意义，必须同时满足被开方数x＋3≥0和分母x＋1≠0，解得. 方法总结：使一个代数式有意义的未知数的取值范围通常要考虑三种情况：一是分母不为零，二是偶次方根的被开方数是非负数，三是零次幂的底数不为零． x≥－3且x≠－1 6.(1)若二次根式 有意义，求m的取值范围。 解：由题意得m-2≥0且m2-m-2≠0， 解得m≥2且m≠-1，m≠2， ∴m＞2。 (2)无论x取任何实数，代数式 都有意义，求m的取值范围。 解：由题意得x2+6x+m≥0， 即(x+3)2+m-9≥0。 ∵(x+3)2≥0， ∴m-9≥0，即m≥9。 二次根式 定义 带有二次根号 在有意义条件下求字母的取值范围 抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集. 被开方数为非负数 二次根式的双重非负性 二次根式 中,a≥0且 ≥0 二次根式的乘除法则 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 绿卡图书—走向成功的通行证 $