专题03 椭圆及其性质9考点（期中真题汇编，广东专用）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

专题03 椭圆及其性质 9大高频考点概览 考点01求椭圆的标准方程 考点02根据椭圆的标准方程求参 考点03椭圆的焦点三角形 考点04椭圆的离心率 考点05椭圆的切线方程及性质 考点06椭圆的弦长问题 考点07椭圆与平面向量的综合 考点08椭圆的最值问题 考点09椭圆的定点与定值问题 地 城 考点01 求椭圆的标准方程 1．（2024秋•江城区校级期中）椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是　　 A． B． C． D． 【解析】椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于10， 则，即，， 故， 所以椭圆的标准方程是． 故选：． 2．（2024秋•坪山区校级期中）已知椭圆上任意一点，都满足关系式，则椭圆的标准方程为　　 A． B． C． D． 【解析】已知椭圆上任意一点，都满足关系式， 则椭圆的焦点为，， 椭圆上任意一点，到两个焦点的距离之和为， 故，， 所以椭圆的标准方程为． 故选：． 3．（2024秋•广东校级期中）长轴长是短轴长的3倍，且经过点的椭圆的标准方程为　　 A． B． C．或 D．或 【解析】当椭圆的焦点在轴上时，短半轴长为3，则长半轴长为9，所以椭圆的方程为； 当椭圆的焦点在轴上时，长半轴长为3，则短半轴长为1，所以椭圆的方程为； 所以椭圆方程为或． 故选：． 4．（2024秋•罗湖区校级期中）椭圆的长轴长为6，且与椭圆有相同的焦点，则椭圆的标准方程为 　　． 【解析】根据题意可得，，， ， 椭圆的标准方程为：． 故答案为：． 5．（2024秋•潮阳区校级期中）与椭圆有相同的焦点，且过点的椭圆方程为 　　． 【解析】不妨设所求椭圆方程为：，，且焦距为， 由已知条件可知，①， 将代入得，②， 联立①②可得，，， 故所求椭圆方程为：． 故答案为：． 6．（2024秋•罗湖区校级期中）已知椭圆的左右焦点分别为，，过的直线与交于，两点．若，，且△的面积为，则椭圆的方程为 　　． 【解析】设，则， 所以，又，， 所以， 又，所以， 所以，，，， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以，又三角形的面积为， 所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以椭圆的方程为． 故答案为：． 地 城 考点02 根据椭圆的标准方程求参 7．（2024春•阳江校级期中）若方程表示椭圆，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 【解析】方程表示椭圆， ，，且， 的取值范围为：． 故选：． 8．（2024秋•兴宁市校级期中）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是　　． 【解析】方程表示焦点在轴上的椭圆， ， 或． 故答案为：或． （多选）9．（2024秋•龙川县校级期中）已知曲线，则　　 A．若，则是椭圆，其焦点在轴上 B．若，则是圆，其半径为 C．若，则是双曲线，其渐近线方程为 D．若，，则是两条直线 【解析】由曲线， 当，得，此时，曲线是椭圆，其焦点在轴上，故正确； 若，则是圆，其半径为，故错误； 若，则是双曲线，当，时，方程化为， 则，，渐近线方程为， 当，时，方程化为， 则，，渐近线方程为， 综上可知，其渐近线方程为，故正确； 若，，则方程化为，即，是两条直线，故正确． 故选：． 地 城 考点03 椭圆的焦点三角形 10．（2024秋•天河区校级期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为上一点，若，则△的面积为　　 A． B． C．3 D．5 【解析】已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为上一点， 由椭圆的定义可知，且， 因为， 所以， 又， 故， 所以． 故选：． 11．（2024秋•广东期中）椭圆的两个焦点分别为，，长轴长为10，点在椭圆上，则△的周长为　　 A．16 B．18 C． D．20 【解析】因为椭圆的长轴长为10， 所以椭圆的焦点在轴上，，则， 由题可得，则， 所以， 故△的周长为． 故选：． （多选）12．（2024秋•盐田区校级期中）设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是　　 A．到最小的距离是 B． C．△面积的最大值为6 D．到最大的距离是9 【解析】由椭圆方程可得：，，则， 对于，根据椭圆性质可知当是椭圆的左顶点时，到的距离最小为，故错误； 对于，根据椭圆的定义可得，故正确； 对于，根据椭圆性质可知当是椭圆的上顶点时，△的面积最大， 则，故错误； 对于，根据椭圆性质可知当是椭圆的右顶点时，到的距离最大为，故正确． 故选：． 13．（2024秋•惠城区校级期中）已知椭圆的长轴长为4，离心率为．若，分别是椭圆的上、下顶点，，分别为椭圆的上、下焦点，为椭圆上任意一点，且，则△的面积为 　　． 【解析】因为椭圆长轴长为4，离心率为， 所以，解得， 所以椭圆方程为， 所以椭圆的上、下顶点，，设，， 所以，且， 所以， 所以， 所以． 故答案为：． 14．（2024秋•广东校级期中）已知椭圆的左，右焦点分别是，，下顶点为点，直线交椭圆于点，设△的内切圆与相切于点，若，则的长为 　　． 【解析】设△的内切圆与、相切于点，， 则，，， 又，则，故， 由椭圆定义可知， 即， 故，又，则，故， 设，则，， 则， 所以，解得， 所以的长为． 故答案为：． 15．（2024秋•天河区校级期中）若，是椭圆的两焦点，过作直线与椭圆交于，两点，则△的周长为　　． 【解析】如图所示： 根据椭圆方程可知， 因为点，在椭圆上， 所以△的周长为 ． 故答案为：24． 地 城 考点04 椭圆的离心率 16．（2024秋•兴宁市校级期中）已知椭圆的焦距为，若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，则椭圆的离心率范围为　　 A． B． C． D． 【解析】由直线，得， 则该直线恒过定点， 由直线恒与椭圆有两个不同的公共点，得点在椭圆内部， 当时，，即可得， 整理可得：，即， 解得． 故选：． 17．（2024秋•黄埔区校级期中）设椭圆的左右焦点为，，右顶点为，已知点在椭圆上，若，，则椭圆的离心率为　　 A． B． C． D． 【解析】由椭圆， 可得，，， 不妨设点，在第一象限， 由椭圆的定义知， 因为， 可得， 即， 可得， 所以， 所以△的面积为， 可得， 解得， 又因为，可得， 即， 将点代入椭圆的方程， 可得， 整理得， 因为， 可得， 即， 解得和（舍去）， 即椭圆的离心率为． 故选：． 18．（2024秋•天河区校级期中）已知是椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为　　 A． B． C． D． 【解析】设椭圆的右焦点，连接，， 根据椭圆对称性可知四边形为平行四边形， 则，且由，可得， ，则，， 由余弦定理可得， 即， 椭圆的离心率． 故选：． 19．（2024秋•汕尾期中）已知，分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为　　 A． B． C． D． 【解析】已知，分别为椭圆的两个焦点， 是椭圆上的点，，且， 由椭圆定义得：，又因为， 所以解得：， 再由于，，结合勾股定理可得： ，解得，所以椭圆的离心率为． 故选：． 20．（2024秋•佛山校级期中）已知是椭圆的左焦点，直线交椭圆于，两点．若，，则椭圆的离心率为　　 A． B． C． D． 【解析】设椭圆的右焦点为， 由椭圆的对称性可得四边形为平行四边形， 即有， 设，可得， 由椭圆的定义可得， 解得， 在△中，，，，， 由余弦定理可得， 化为，即有． 故选：． 21．（2024秋•东莞市期中）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆的面积为，焦距为，则的离心率为　　 A． B． C． D． 【解析】已知椭圆的面积为，焦距为， 由题意可得：，解得， 所以． 故选：． 22．（2024秋•广州校级期中）已知椭圆的焦点为，，过的直线与椭圆交于，两点．若，，则椭圆的离心率为　　 A． B． C． D． 【解析】椭圆的焦点为，，则， 如图，由已知可设，则，， 由椭圆的定义得，所以， 在△中，因为，所以，则， 在△中，由余弦定理得， 即，解得， 所以， 故椭圆的离心率为． 故选：． 23．（2024秋•广东校级期中）已知椭圆中，，则椭圆的离心率的取值范围是　　 A． B． C． D． 【解析】， 则， 故，即， 又， 综上所述，椭圆的离心率的取值范围是． 故选：． （多选）24．（2024秋•东莞市校级期中）设，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且．则下列说法中正确的是　　 A．， B．离心率为 C．△的面积为6 D．△的面积为12 【解析】已知，是椭圆的两个焦点， 则，，， 则， 对于，是椭圆上一点，且， 则，， 即正确； 对于，离心率为， 即正确； 对于，因为， 又，， 则△为直角三角形， 则△的面积为， 即正确； 显然错误． 故选：． （多选）25．（2024秋•坪山区校级期中）已知椭圆，，分别为它的左右焦点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有　　 A．椭圆离心率为 B． C．若，则△的面积为9 D．最大值为 【解析】已知椭圆，，分别为它的左右焦点，点是椭圆上的一个动点， 则，，， 对于，椭圆离心率为， 则错误； 对于，， 则正确； 对于，若， 则， 又， 则， 则△的面积为9， 则正确； 对于，设， 则，， 则， 当且仅当或时取等号， 则正确． 故选：． 26．（2024春•龙川县校级期中）已知椭圆的左、右焦点为、，为坐标原点，为椭圆上一点．与轴交于一点，则椭圆的离心率为 　　． 【解析】因为，所以 设，． 如图所示，由题意：△△，， 可得．则，，． 可得，，．，化为：． 故答案为：． 27．（2024秋•南海区期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点作轴的垂线交椭圆与点，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为 　　． 【解析】椭圆的左、右焦点分别为，，过点作轴的垂线交椭圆与点，且直线的斜率为， 由题意得，中令得，， 故，则①， 又②，联立①②得，，所以， 解得或（舍． 故答案为：． 28．（2024秋•宝安区校级期中）设，分别为椭圆的左、右焦点，在椭圆上运动时，至少有两个位置使得，则椭圆的离心率范围是 　　 ． 【解析】设，分别为椭圆的左、右焦点， 因为动点满足，所以在以为直径的圆上， 又因为在椭圆上运动时，至少有两个位置使得， 所以， 则，即， 同除得，解之得， 则椭圆的离心率范围是，． 故答案为：． 29．（2024秋•天河区校级期中）椭圆的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线过左焦点交于，两点，且△的内切圆的面积是，若椭圆的离心率的取值范围为，则线段的长度的取值范围是　　 A． B．， C．， D． 【解析】设△的内切圆的圆心为，半径为，则，解得，又， 斜率为1的直线过左焦点交于，两点，则，则， ， 又 ， ，， ，，则， 即线段的长度的取值范围是，． 故选：． 30．（2024秋•坪山区校级期中）已知椭圆的离心率为，则　　 A． B．或 C．8或2 D．8 【解析】已知椭圆的离心率为， 当椭圆焦点在轴上时， 则， 即， 解得， 当椭圆焦点在轴上时， 则， 即， 解得． 故选：． 地 城 考点05 椭圆的切线方程及性质 31．（2024秋•天河区校级期中）已知椭圆的焦距为2，，分别为左右焦点，过的直线与椭圆交于，两点，△的周长为8． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知结论：若点，为椭圆上一点，则椭圆在该点的切线方程为．点为直线上的动点，过点作椭圆的两条不同切线，切点分别为，，直线交轴于点．证明：为定点； 【解析】（1）如图1，由已知可得， ， 所以，又，所以，． 所以椭圆的标准方程为； （2）证明：设，，，，． 则由已知可得，方程为：，方程为：． 将代入、方程整理可得，，． 显然、点坐标都满足方程． 即直线的方程为， 令，可得，即点坐标为． 所以为定点． 32．（2024春•榕城区校级期中）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图） 步骤1：设圆心是，在圆内异于圆心处取一点，标记为； 步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点； 步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕； 步骤4：不断重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕．则这些折痕所围成的图形是一个椭圆． 现取半径为的圆形纸片，定点到圆心的距离为，按上述方法折纸．以向量的方向为轴正方向，线段中点为原点建立平面直角坐标系． （1）求折痕围成的椭圆的标准方程； （2）已知点是圆上任意一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别是，，求面积的最大值，并确定此时点的坐标． 注：椭圆：上任意一点，处的切线方程是：． 【解析】（1）设为椭圆上一点， 则， 所以点轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆， 设椭圆的方程为， 所以，则， 所以椭圆方程为； （2）设，，，，，，则， 切线方程：，切线方程：，两直线都经过点， 所以，得，， 从而直线的方程是：， 由，得， 由韦达定理，得， ， 点到直线的距离， ，其中， 令，则，， 令，则， 在上递增， ，即时，的面积取到最大值，此时点． 地 城 考点06 椭圆的弦长问题 33．（2024秋•东莞市校级期中）已知椭圆的长轴长为，且点在椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆相交于不同的两点和，当时，求实数的值． 【解析】（1）由题可得：，解得：， 所以椭圆的方程为：； （2）由题，设，，，， 联立，化简得：， 则△，即， 则，， 所以 ， 化简得：， 解得：或， 所以，满足， 即的值为． 地 城 考点07 椭圆与平面向量的综合 34．（2024秋•广州校级期中）已知椭圆的左焦点，左、右顶点分别，，上顶点为，． （1）求椭圆的方程； （2）是否存在以原点为圆心的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，，且？若存在，求圆的方程以及的取值范围，若不存在，请说明理由． 【解析】（1）因为，则为锐角， 又因为， 所以， 即， 解得，可得， 而， 所以， 又因为，， 即， 解得，， 所以椭圆的方程为：； （2）由题意可得圆在椭圆内部时，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，， 设圆的方程为，且， 当圆的切线的直线的斜率不存在时，则， 设，的坐标分别为，，，， 联立， 可得， 可得， 设，，， 因为， 可得，即， 即， 解得，解得， 所以圆的方程为； 当圆的切线的斜率存在时，设切线的方程为，设，的坐标分别为，，，， 联立，整理可得：， △， 即， 可得，， 所以， 因为， 可得，即， 所以，可得，① 所以， 又因为直线与圆相切， 直线的方程为， 所以， 可得， 所以圆的方程为； 所以弦长 ， 当时，， 当时，， 当且仅当，即时取等号， 所以，． 综上所述：圆的方程为； 弦长范围为：，． 35．（2024秋•兴宁市校级期中）已知椭圆的左焦点为，且点在椭圆上． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）已知，，点为椭圆上一点． 若点在第一象限内，延长线交轴于点，与的面积之比为，求点坐标； 设直线与椭圆的另一个交点为点，直线与椭圆的另一个交点为点．设，，求证：当点在椭圆上运动时，为定值． 【解析】（Ⅰ）解：由题意知，， 解得，， 所以椭圆的方程为． （Ⅱ）解：由题意知，直线的斜率一定存在，设其方程为，， 令，则，即， 设点到直线的距离为， 因为是的中点，所以点到直线的距离为， 又与的面积之比为， 所以，所以，即点是的中点， 所以，， 因为点在椭圆上，所以，解得（舍正）， 所以，． 证明：设，，，，，，直线的方程为，其中，则， 联立，得， 所以， 因为，所以，，，所以， 所以， 设直线的方程为，其中， 同理可得，， 所以，为定值． 36．（2024秋•惠城区校级期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若斜率为的直线过椭圆的焦点以及点．点是椭圆上与左、右顶点不重合的点，且△的面积最大值． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线交椭圆于点、，且满足为坐标原点），求直线的方程． 【解析】（1）直线，直线过椭圆焦点，所以，该焦点坐标为， 则，又△的面积最大值，则， 所以，，， 故椭圆的方程为． （2）①当直线的斜率存在时，设， 代入整理得， 设，、，，则，， 所以，， 点到直线的距离， 因为，即， 又由，得， 所以，， 而，，即， 解得，此时； ②当直线的斜率不存在时，，直线交椭圆于点、， 也有，经检验，上述直线均满足， 综上：直线的方程为或． 37．（2024春•番禺区期中）已知椭圆过点，且其离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）过点的斜率不为零的直线与椭圆交于，两点，，分别为椭圆的左、右顶点．直线，交于一点，为线段上一点，满足．问是否为定值．若是，求出该定值；若不是，说明理由为坐标原点）． 【解析】（1）设椭圆的半焦距为， 由题意知，，解得，， 所以的方程为． （2）设直线的方程为，，，，， 联立，得， 所以，， 由题意知，，， 所以直线的方程为，直线的方程为， 联立两条直线的方程可得， 即， 因为，且是的中点，所以是的中点， 所以， 所以，，，是定值． 地 城 考点08 椭圆的最值问题 38．（2024秋•潮阳区校级期中）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，点，是上一点，则的最小值为　　 A． B． C． D． 【解析】设椭圆的左焦点为，则， 所以， 当且仅当，，三点共线时，， 所以的最小值为． 故选：． 39．（2024秋•南山区校级期中）已知椭圆上的动点到右焦点距离的最小值为2，则　　 A．8 B．4 C． D．2 【解析】已知椭圆， 则， 又椭圆上的动点到右焦点距离的最小值为2， 则， 即， 则， 所以． 故选：． 40．（2024秋•顺德区校级期中）已知，是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为　　 A．3 B． C．4 D． 【解析】，是椭圆的两个焦点，点在上， ，， 设点，，则， ， ，当时，取得最大值为4． 故选：． 地 城 考点09 椭圆的定点与定值问题 41．（2024秋•兴宁市校级期中）已知圆分别与、轴正半轴交于、两点，为圆上的动点． （1）若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程； （2）过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程； （3）若为圆上异于，的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值． 【解析】（1）因为圆分别与、轴正半轴交于、两点， 所以，， 设，，， 此时， 因为， 所以，，， 联立， 解得， 即， 因为点为圆上， 所以， 整理得， 则点的轨迹方程为； （2）易知过点的直线截圆所得弦长为， 所以圆心到直线的距离， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时圆心到直线的距离为3，符合题意； 当直线的斜率存在时， 设直线的方程为， 即， 此时圆心到直线的距离， 解得， 则直线的方程为， 即， 综上所述，直线的方程为或； （3）证明：设，， 此时， 直线方程， 令， 解得， 即， 同理得， 所以 ． 故为定值． 42．（2024秋•天河区校级期中）已知椭圆的焦点为，，左、右顶点分别为，，点为椭圆上异于，的动点，△的周长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线交直线于点，连接交椭圆于点，直线，的斜率分别为，． （ⅰ）求证：为定值； （ⅱ）设直线，证明：直线过定点． 【解析】（1）易知， 因为，△的周长为， 所以， 所以， 解得， 则， 故椭圆的标准方程为； （2）（ⅰ）证明：设，，，，， 由（1）知，， 此时，， 因为， 所以， 则， 因为点在椭圆上， 所以， 即， 所以， 则为定值，定值为； （ⅱ）证明：联立，消去并整理得， 此时△， 由（ⅰ）得，， ， 所以 ， 解得， 此时满足△， 则直线的方程为． 故直线过定点． 43．（2024春•黄埔区校级期中）已知椭圆的离心率为，且过点．直线与椭圆相切于点在第一象限），直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点． （1）求椭圆的方程； （2）设直线的斜率为，求证：为定值； （3）求△面积的最大值． 【解析】（1）由题意得：， 所以椭圆的标准方程为：． （2）如图： 将直线代入椭圆，得：， 整理得：， 由△， 此时设，，则，， 所以， 所以为定值． （3）如图： 在（2）中，令，得，必有判别式大于0， 设，，，，则，， 所以， 所以， 又到直线的距离为：， 由（2）知：，且由题意知，，所以， 所以， 设，， 则． 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在处取得极大值， 故当且仅当时，取得最大值． 44．（2024秋•龙岗区校级期中）已知椭圆的左、右焦点分别为和，焦距为2．动点，在椭圆上，当线段的中垂线经过时，有． （1）求椭圆的标准方程； （2）如图，过原点作的两条切线，分别与椭圆交于点和点，直线、的斜率分别记为、．当点在椭圆上运动时， ①证明：恒为定值，并求出这个值； ②求四边形面积的最大值． 【解析】（1）椭圆的左、右焦点分别为和，焦距为2， 可得，即， 取的中点记为，连结． 在△中，， 所以， 则， 即，可得， 则椭圆方程为； （2）①直线与相切， 则； 直线与相切，同理有； 则、是关于的方程的两根， 可得； ②由①问知，如图，设，，，， 由， 同理可得， ． ， ， 当，时，． 45．（2024春•广东期中）已知椭圆的焦距为4，圆与椭圆有且仅有两个公共点． （1）求椭圆的标准方程． （2）已知动直线过椭圆的左焦点，且与椭圆交于，两点．试问轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出该定值和点的坐标；若不存在，说明理由． 【解析】（1）由题可得：，，所以， 所以椭圆的标准方程为； （2）①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，，， 联立方程，消可得：， 则，， 设，则，， 所以 ， 若为定值， 则，解得， 此时，点的坐标为． ②当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 代入椭圆方程，得 不妨设，， 若，则，，所以． 综上，在轴上存在点，使得为定值． 46．（2024春•海珠区校级期中）已知椭圆的左右熊点分别为，，其长轴长为6，离心率为且，点为上一动点，△的面积的最大值为，过的直线，分别与椭圆交于，两点（异于点，与直线交于，两点，且，两点的纵坐标之和为11．过坐标原点作直线的垂线，垂足为． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）问：平面内是否存在定点，使得为定值？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】（Ⅰ）椭圆的长轴为6， 则，解得， 当点位于短轴顶点时，△面积的最大，且， ， 解得，或， 又，因此，，， 故椭圆方程为：； （Ⅱ）存在定点使得为定值， 理由如下：由题意过点的直线与椭圆交于点， 与直线交于点，与椭圆交于点， 与直线交于点， 设，，，，，． 根，两点的纵坐标之和为11， 则， 故①， 由题意可知，直线的斜率不为0， 故可设直线的方程为， 联立，整理得， 该方程有两个不同的实数根，， 则△， 由韦达定理可得，， 由①可得， ②， 结合韦达定理可知，， 又，化简得， 因此，即直线过定点 记直线过定点为， 过原点与直线的垂足为，则点在以为直径的圆上， 则的中点到的距离等于为定值， 因此存在定点即为的中点使得为定值． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 椭圆及其性质 9大高频考点概览 考点01求椭圆的标准方程 考点02根据椭圆的标准方程求参 考点03椭圆的焦点三角形 考点04椭圆的离心率 考点05椭圆的切线方程及性质 考点06椭圆的弦长问题 考点07椭圆与平面向量的综合 考点08椭圆的最值问题 考点09椭圆的定点与定值问题 地 城 考点01 求椭圆的标准方程 1．（2024秋•江城区校级期中）椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是　　 A． B． C． D． 2．（2024秋•坪山区校级期中）已知椭圆上任意一点，都满足关系式，则椭圆的标准方程为　　 A． B． C． D． 3．（2024秋•广东校级期中）长轴长是短轴长的3倍，且经过点的椭圆的标准方程为　　 A． B． C．或 D．或 4．（2024秋•罗湖区校级期中）椭圆的长轴长为6，且与椭圆有相同的焦点，则椭圆的标准方程为 　　． 5．（2024秋•潮阳区校级期中）与椭圆有相同的焦点，且过点的椭圆方程为 　　． 6．（2024秋•罗湖区校级期中）已知椭圆的左右焦点分别为，，过的直线与交于，两点．若，，且△的面积为，则椭圆的方程为 　　． 地 城 考点02 根据椭圆的标准方程求参 7．（2024春•阳江校级期中）若方程表示椭圆，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 8．（2024秋•兴宁市校级期中）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是　　． （多选）9．（2024秋•龙川县校级期中）已知曲线，则　　 A．若，则是椭圆，其焦点在轴上 B．若，则是圆，其半径为 C．若，则是双曲线，其渐近线方程为 D．若，，则是两条直线 地 城 考点03 椭圆的焦点三角形 10．（2024秋•天河区校级期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为上一点，若，则△的面积为　　 A． B． C．3 D．5 11．（2024秋•广东期中）椭圆的两个焦点分别为，，长轴长为10，点在椭圆上，则△的周长为　　 A．16 B．18 C． D．20 （多选）12．（2024秋•盐田区校级期中）设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是　　 A．到最小的距离是 B． C．△面积的最大值为6 D．到最大的距离是9 13．（2024秋•惠城区校级期中）已知椭圆的长轴长为4，离心率为．若，分别是椭圆的上、下顶点，，分别为椭圆的上、下焦点，为椭圆上任意一点，且，则△的面积为 　　． 14．（2024秋•广东校级期中）已知椭圆的左，右焦点分别是，，下顶点为点，直线交椭圆于点，设△的内切圆与相切于点，若，则的长为 　　． 15．（2024秋•天河区校级期中）若，是椭圆的两焦点，过作直线与椭圆交于，两点，则△的周长为　　． 地 城 考点04 椭圆的离心率 16．（2024秋•兴宁市校级期中）已知椭圆的焦距为，若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，则椭圆的离心率范围为　　 A． B． C． D． 17．（2024秋•黄埔区校级期中）设椭圆的左右焦点为，，右顶点为，已知点在椭圆上，若，，则椭圆的离心率为　　 A． B． C． D． 18．（2024秋•天河区校级期中）已知是椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为　　 A． B． C． D． 19．（2024秋•汕尾期中）已知，分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为　　 A． B． C． D． 20．（2024秋•佛山校级期中）已知是椭圆的左焦点，直线交椭圆于，两点．若，，则椭圆的离心率为　　 A． B． C． D． 21．（2024秋•东莞市期中）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆的面积为，焦距为，则的离心率为　　 A． B． C． D． 22．（2024秋•广州校级期中）已知椭圆的焦点为，，过的直线与椭圆交于，两点．若，，则椭圆的离心率为　　 A． B． C． D． 23．（2024秋•广东校级期中）已知椭圆中，，则椭圆的离心率的取值范围是　　 A． B． C． D． （多选）24．（2024秋•东莞市校级期中）设，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且．则下列说法中正确的是　　 A．， B．离心率为 C．△的面积为6 D．△的面积为12 （多选）25．（2024秋•坪山区校级期中）已知椭圆，，分别为它的左右焦点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有　　 A．椭圆离心率为 B． C．若，则△的面积为9 D．最大值为 26．（2024春•龙川县校级期中）已知椭圆的左、右焦点为、，为坐标原点，为椭圆上一点．与轴交于一点，则椭圆的离心率为 　　． 27．（2024秋•南海区期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点作轴的垂线交椭圆与点，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为 　　． 28．（2024秋•宝安区校级期中）设，分别为椭圆的左、右焦点，在椭圆上运动时，至少有两个位置使得，则椭圆的离心率范围是 　　 ． 29．（2024秋•天河区校级期中）椭圆的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线过左焦点交于，两点，且△的内切圆的面积是，若椭圆的离心率的取值范围为，则线段的长度的取值范围是　　 A． B．， C．， D． 30．（2024秋•坪山区校级期中）已知椭圆的离心率为，则　　 A． B．或 C．8或2 D．8 地 城 考点05 椭圆的切线方程及性质 31．（2024秋•天河区校级期中）已知椭圆的焦距为2，，分别为左右焦点，过的直线与椭圆交于，两点，△的周长为8． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知结论：若点，为椭圆上一点，则椭圆在该点的切线方程为．点为直线上的动点，过点作椭圆的两条不同切线，切点分别为，，直线交轴于点．证明：为定点； 32．（2024春•榕城区校级期中）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图） 步骤1：设圆心是，在圆内异于圆心处取一点，标记为； 步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点； 步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕； 步骤4：不断重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕．则这些折痕所围成的图形是一个椭圆． 现取半径为的圆形纸片，定点到圆心的距离为，按上述方法折纸．以向量的方向为轴正方向，线段中点为原点建立平面直角坐标系． （1）求折痕围成的椭圆的标准方程； （2）已知点是圆上任意一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别是，，求面积的最大值，并确定此时点的坐标． 注：椭圆：上任意一点，处的切线方程是：． 地 城 考点06 椭圆的弦长问题 33．（2024秋•东莞市校级期中）已知椭圆的长轴长为，且点在椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆相交于不同的两点和，当时，求实数的值． 地 城 考点07 椭圆与平面向量的综合 34．（2024秋•广州校级期中）已知椭圆的左焦点，左、右顶点分别，，上顶点为，． （1）求椭圆的方程； （2）是否存在以原点为圆心的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，，且？若存在，求圆的方程以及的取值范围，若不存在，请说明理由． 35．（2024秋•兴宁市校级期中）已知椭圆的左焦点为，且点在椭圆上． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）已知，，点为椭圆上一点． 若点在第一象限内，延长线交轴于点，与的面积之比为，求点坐标； 设直线与椭圆的另一个交点为点，直线与椭圆的另一个交点为点．设，，求证：当点在椭圆上运动时，为定值． 36．（2024秋•惠城区校级期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若斜率为的直线过椭圆的焦点以及点．点是椭圆上与左、右顶点不重合的点，且△的面积最大值． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线交椭圆于点、，且满足为坐标原点），求直线的方程． 37．（2024春•番禺区期中）已知椭圆过点，且其离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）过点的斜率不为零的直线与椭圆交于，两点，，分别为椭圆的左、右顶点．直线，交于一点，为线段上一点，满足．问是否为定值．若是，求出该定值；若不是，说明理由为坐标原点）． 地 城 考点08 椭圆的最值问题 38．（2024秋•潮阳区校级期中）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，点，是上一点，则的最小值为　　 A． B． C． D． 39．（2024秋•南山区校级期中）已知椭圆上的动点到右焦点距离的最小值为2，则　　 A．8 B．4 C． D．2 40．（2024秋•顺德区校级期中）已知，是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为　　 A．3 B． C．4 D． 地 城 考点09 椭圆的定点与定值问题 41．（2024秋•兴宁市校级期中）已知圆分别与、轴正半轴交于、两点，为圆上的动点． （1）若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程； （2）过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程； （3）若为圆上异于，的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值． 42．（2024秋•天河区校级期中）已知椭圆的焦点为，，左、右顶点分别为，，点为椭圆上异于，的动点，△的周长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线交直线于点，连接交椭圆于点，直线，的斜率分别为，． （ⅰ）求证：为定值； （ⅱ）设直线，证明：直线过定点． 43．（2024春•黄埔区校级期中）已知椭圆的离心率为，且过点．直线与椭圆相切于点在第一象限），直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点． （1）求椭圆的方程； （2）设直线的斜率为，求证：为定值； （3）求△面积的最大值． 44．（2024秋•龙岗区校级期中）已知椭圆的左、右焦点分别为和，焦距为2．动点，在椭圆上，当线段的中垂线经过时，有． （1）求椭圆的标准方程； （2）如图，过原点作的两条切线，分别与椭圆交于点和点，直线、的斜率分别记为、．当点在椭圆上运动时， ①证明：恒为定值，并求出这个值； ②求四边形面积的最大值． 45．（2024春•广东期中）已知椭圆的焦距为4，圆与椭圆有且仅有两个公共点． （1）求椭圆的标准方程． （2）已知动直线过椭圆的左焦点，且与椭圆交于，两点．试问轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出该定值和点的坐标；若不存在，说明理由． 46．（2024春•海珠区校级期中）已知椭圆的左右熊点分别为，，其长轴长为6，离心率为且，点为上一动点，△的面积的最大值为，过的直线，分别与椭圆交于，两点（异于点，与直线交于，两点，且，两点的纵坐标之和为11．过坐标原点作直线的垂线，垂足为． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）问：平面内是否存在定点，使得为定值？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $