第9讲直线的点斜式与斜截式方程讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第9讲直线的点斜式与斜截式方程方程 知识再现 一，直线的点斜式方程 1、点斜式方程的推导 如图，直线I经过点P(xo,yo),且斜率为k· 设P(x,y)是直线l上不同于点P的任意一点，因为直线l的斜率为k, 由斜率公式得k=-出，即y-y,=k(x-x,) x-xo 2、直线的点斜式方程 方程y-y=k(x-x)由直线上一个定点(x,yo)及该直线的斜率k确定，我们把它叫做 直线的点斜式方程，简称点斜式 【注意】对直线，点斜式方程的理解 (1)点斜式的前提条件：①斜率必须存在；②已知直线上一点(x,yo)和直线的斜率k· (2)当k任意实数时，方程y-y。=k(x-x)表示恒过定，点x,yo)的无数条直线. 3、两种特殊的直线： 倾斜 图象特征 斜率 直线方程 角 Po(xoY01 tan0°=0，即 y-y0=0, 即 0 k=0 y=yo 0 yt P(xo-Yo) tan90°无意义， 90° x-x0=0,即X=x0 即k不存在 0 4、求直线点斜式方程的一般步骤： (1)求直线点斜式的步骤为：定点Pxo,yo)→定斜率k→写出方程y-yo=k(x-x) (2)点斜式方程y-y。=k(x-xo)可表示过点P(x,)的所有直线，但x=x除外。 二，直线的斜截式方程 第1页共7页 1、斜截式方程的推导 如图，如果斜率为k的直线1过，点P(0,b)，这时P是直线l与y轴的交点，代入直线的点 斜式方程，得y-b=k(x-0),即y=kx+b. (0,b) 0 2、直线的斜截式方程 我们把直线1与y轴的交点为(0，b)的纵坐标叫做直线I在y轴上的截距，这样，方程 y=x+b由直线的斜率k与它在y轴上的截距确定，我们把方程y=x+b叫做直线的斜 截式方程，简称斜截式 【注意】斜截式方程适用于斜率存在的直线，不能表示斜率不存在的直线，故利用斜截式设 直线方程时要讨论斜率是否存在， 3、斜截式的几种特例 b=0 y=kx表示过原，点的直线 k=0,b≠0 y=b表示与x轴平行的直线 k=0,b=0 y=0表示x轴 题型一：直线的点斜式方程 例1.过，点(-√3,5)且倾斜角为150°的直线1的方程为(） 第2页共7页 A.y--3x+2 B.y= x+4 C.y=3x+8 3 D.y=5 +6 例2.直线y=k(x+1)(k>0)可能是（) y 例3.已知在第一象限的△ABC中，A(1,1),B(5,1),A=60°，B=60°，求直线BC的点斜式 方程. 例4.已知在平面直角坐标系x0y中，已知△ABC的三个顶点为A2,4),B(1,-2),C(-2,3), 求：(I)BC所在直线的方程；(2)BC边上的高AD所在直线的方程. 第3页共7页 题型二：直线的斜截式方程 例5.倾斜角为45°且在y轴上的截距是-2的直线方程是() A=+2B-?y=95Dy= x+√2 2 例6.过，点(-2,3)且与直线2x+y+1=0垂直的直线1的斜截式方程是一 例7.根据条件写出下列直线的斜截式方程. (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是-2. 第4页共7页 例8.直线y=-3x+5不经过的象限为() A.第一象限 B,第二象限 C.第三象限 D,第四象限 例9.（多选)同一坐标系中，直线l:y=ax+b与l:y=bx-a大致位置正确的是（) 题型三：点斜式与斜截式的应用 例10在平面直角坐标系中，过点2，)且领斜育为受的立线不经过 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D,第四象限 第5页共7页 例11.已知直线1：y=x-8,则下列结论正确的是() A.点2,6在直线1上 B.直线1的一个方向向量为u=(1,1) C.直线1在y轴上的截距为8 D.直线1的倾斜角为4 例12.直线1的方程为y=a+3-0 5 (I)证明：直线I恒经过第一象限； (2)若直线1一定经过第二象限，求a的取值范围. 第6页共7页 例13.已知直线的方程为y=-2x+3. (1)若直线与☑平行，且过点(-1,3)，求直线☑的方程； (2)若直线☑与乙垂直，且2与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线☑的方程 第7页共7页 第9讲 直线的点斜式与斜截式方程 知识再现 一，直线的点斜式方程 1、点斜式方程的推导 如图，直线经过点，且斜率为． 设是直线上不同于点的任意一点，因为直线的斜率为， 由斜率公式得，即． 2、直线的点斜式方程 方程由直线上一个定点及该直线的斜率确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 【注意】对直线点斜式方程的理解 （1）点斜式的前提条件：①斜率必须存在；②已知直线上一点和直线的斜率． （2）当任意实数时，方程表示恒过定点的无数条直线． 3、两种特殊的直线： 倾斜角 图象特征 斜率 直线方程 0° ，即 ，即 90° 无意义， 即不存在 ，即 4、求直线点斜式方程的一般步骤： （1）求直线点斜式的步骤为：定点定斜率写出方程 （2）点斜式方程可表示过点的所有直线，但除外． 二，直线的斜截式方程 1、斜截式方程的推导 如图，如果斜率为的直线过点，这时是直线与轴的交点，代入直线的点斜式方程，得，即． 2、直线的斜截式方程 我们把直线与轴的交点为的纵坐标叫做直线在轴上的截距．这样，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，我们把方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 【注意】斜截式方程适用于斜率存在的直线，不能表示斜率不存在的直线，故利用斜截式设直线方程时要讨论斜率是否存在． 3、斜截式的几种特例 表示过原点的直线 ， 表示与轴平行的直线 ， 表示轴 题型一：直线的点斜式方程 例1.过点且倾斜角为150°的直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 解析：依题意，直线l的斜率， 故直线l的方程为，即，故选：B. 例2.直线可能是（    ） A． B． C． D． 解析：因为，所以A C错；当时，，故B对；故选：B 例3.已知在第一象限的中，，，，，求直线BC的点斜式方程. 【答案】 解析：如图：    因为，所以， 故直线BC的点斜式方程为. 例4.已知在平面直角坐标系中，已知的三个顶点为，，，求：(1)所在直线的方程； (2)边上的高所在直线的方程. 【答案】(1)；(2). 解析：（1）由，，得直线的斜率为， 所以所在直线的方程为，即. （2）由（1）知，直线的斜率为，而， 则边上的高所在直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 题型二：直线的斜截式方程 例5.倾斜角为且在轴上的截距是的直线方程是（    ） A． B． C． D． 解析：倾斜角为，直线的斜率为1， 在轴上的截距是，直线方程.故选：B. 例6.过点且与直线垂直的直线的斜截式方程是 . 解析：因为直线与直线垂直，所以，解得，所以直线的方程为，化简可得.故答案为： 例7.根据条件写出下列直线的斜截式方程. (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为，在y轴上的截距是. 【答案】(1)；(2). 解析：（1）由直线的斜截式方程知，所求直线方程为. （2）因为直线的倾斜角，则该直线的斜率. 所以该直线的斜截式方程为. 例8. 直线不经过的象限为（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：画出直线方程得：故直线不过第三象限，故选：C 例9.（多选）同一坐标系中，直线与大致位置正确的是（    ） A． B． C． D． 解析：因为，， 对于A，由图可得直线的斜率，在轴上的截距； 而的斜率，矛盾，故A错误； 对于B，由图可得直线的斜率，在轴上的截距； 而的斜率，在轴上的截距，即，符合题意，故B正确； 对于C，由图可得直线的斜率，在轴上的截距； 而的斜率，在轴上的截距，即，符合题意，故C正确． 对于D，由图可得直线的斜率，在轴上的截距； 而的斜率，矛盾，故D错误.故选：BC. 题型三：点斜式与斜截式的应用 例10.在平面直角坐标系中，过点(2，1)且倾斜角为的直线不经过 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：由题得，且直线过点，则直线方程为， 整理有，该直线过点和，可知直线经过一，二，四象限，故选C． 例11.已知直线l：，则下列结论正确的是（） A．点在直线l上 B．直线l的一个方向向量为 C．直线l在y轴上的截距为8 D．直线l的倾斜角为 解析：对于A选项，把代入到得，所以点不在直线l上，A错误； 对于B选项，因为直线l：，即为：，直线的斜率为1， 所以为直线的一个方向向量，B正确； 对于C选项，当时，，所以直线l在y轴上的截距为，C错误； 对于D选项，因为直线的斜率为1，所以直线l的倾斜角为，D正确. 故选：BD 例12.直线的方程为. (1)证明：直线恒经过第一象限； (2)若直线一定经过第二象限，求a的取值范围． 解析：（1），即直线一定过定点， 该点在第一象限，于是直线一定经过第一象限. （2）由于直线经过第一象限的定点， 只要该直线在轴上的截距大于即可，而 经过轴上的点，则，解得 例13.已知直线的方程为y＝－2x＋3. (1)若直线与平行，且过点，求直线的方程； (2)若直线与垂直，且l2与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线的方程． 解析：（1）由直线与平行，可设的方程为， 将代入，得，即得，所以直线的方程为 （2）由直线与垂直，可设的方程为， 令，得，令，得，故三角形面积， 所以，解得，所以直线的方程是或 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $