专题06 函数的零点问题和实际应用（期中真题汇编，辽宁专用）高一数学上学期

专题06 函数的零点问题和实际应用 4大高频考点概览 考点01 求函数的零点 考点02 零点存在定理 考点03 根据零点分布求参数取值范围 考点04 函数的实际应用 地 城 考点01 求函数零点 一、单选题 1．(24-25高一上·辽宁沈阳五校协作体·期中)对任意实数表示不超过的最大整数，如，关于函数，有下列命题：①是奇函数；②是偶函数；③函数的值域为；④函数有两个不同的零点，其中正确的命题个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】B 【来源】辽宁省沈阳市五校协作体2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题 【分析】结合题意计算可得，即可得函数周期，则有，即可得其奇偶性及其值域，结合值域即可得零点. 【详解】， 故为周期函数，且周期为， 当时，， 当时，， 即，， 故不是奇函数也不是偶函数，故①、②错误； 结合其周期性可得的值域为，故③正确； 令可得，令可得， 又，，故函数有两个不同的零点，故④正确. 故选：B. 二、填空题 2．(24-25高一上·辽宁大连育明高级中学·期中)已知函数，函数，则函数的零点个数为 个． 【答案】2 【来源】辽宁省大连育明高级中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷 【分析】 函数的零点个数问题转化为求函数与直线的交点个数，求的表达式，作图数形结合即可得到结果. 【详解】 由得，函数的零点个数为函数与直线的交点个数. 由题意得，，则， ∴. 如图，在坐标系中画出函数与的图象，观察图象可知，函数只有2个零点． 故答案为：2. 3．(24-25高一上·江苏盐城五校联盟·调研)函数的零点为 . 【答案】2 【来源】江苏省盐城市五校联盟2024-2025学年高一上学期第一次学情调研（10月）数学试题 【分析】先解方程，由函数零点定义可知方程的根即为函数零点. 【详解】解方程得， 所以函数的零点为2. 故答案为：2. 三、解答题 4．(24-25高一上·辽宁辽阳·期中)已知函数，的定义域均为．    (1)请在所给的图中画出的图像； (2)若不等式的解集为，求a的取值范围； (3)讨论函数的零点个数． 【答案】(1)图象见解析 (2) (3)当或时，函数的零点个数为0；当时，函数的零点个数为1；当时，函数的零点个数为2. 【来源】辽宁省辽阳市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷 【分析】（1）将函数写成分段函数的形式，再画出图象即可； （2）利用函数图象可以解决恒成立问题； （3）将零点问题转化为两个函数图象的交点问题，再结合函数图像，分类讨论，即可解决. 【详解】（1）由题意知 ， 所以其函数图象如下所示：    （2）因为不等式的解集为，所以在上恒成立， 函数图象的对称轴为：，函数和的图象如下：      所以，由图可知： ， 故的取值范围为：. （3）因为，所以函数和图象的交点个数即为函数的零点个数， 由（2）可知，①当，或时， 函数和图象的交点个数为0，此时函数的零点个数为0， 此时或， ②当，且时， 函数和图象的交点个数为2，此时函数的零点个数为2， 此时， ③当，即时， 函数和图象的交点个数为1，此时函数的零点个数为1， 综上所述：当或时，函数的零点个数为0； 当时，函数的零点个数为1； 当时，函数的零点个数为2. 地 城 考点02 零点存在定理 一、单选题 1．(24-25高一上·辽宁抚顺六校协作体·期中)已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】辽宁省抚顺市六校协作体2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷 【分析】根据零点存在定理，结合选项，即可求解. 【详解】对于函数， 当时, ，则 ， ， ， ，， 所以根据零点存在定理可知，，，内不一定包含的零点， 内一定包含的零点． 故选：C. 2．(24-25高一上·辽宁辽阳·期中)函数的一个零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】辽宁省辽阳市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷 【分析】根据函数的单调性，结合函数零点存在性定理，即可判断. 【详解】和都是增函数，所以函数为增函数， 且，，， ，所以函数在区间存在唯一零点，所以函数的一个零点所在区间为. 故选：B 3．(23-24高一上·辽宁部分学校·期中)已知函数，则函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】辽宁省部分学校2023-2024学年高一上学期期中数学试题 【分析】可直接求的对应方程的根，即可. 【详解】由，解得，因为， 所以，则函数的零点所在区间为. 故选：C 二、填空题 4．(23-24高一上·辽宁大连育明高级中学·期中)用二分法求函数的一个零点，根据参考数据，可得函数的一个零点的近似解（精确到0.1）为 . （参考数据：，，，.） 【答案】1.8/ 【来源】辽宁省大连市育明高级中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷 【分析】根据零点存在性定理结合二分法分析求解. 【详解】由题意可知：， ， 又因为函数在上连续， 所以函数在区间上有零点，约为. 故答案为：1.8. 5．(23-24高一上·辽宁县级重点高中协作体·期中)函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】辽宁省县级重点高中协作体2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题 【分析】得到函数单调性，结合特殊点的函数值，由零点存在性定理得到答案. 【详解】的图象是一条连续不断的曲线，则在上递增， 而，，，，， 可得，满足零点存在性定理， 故零点所在的区间是. 故选：C. 地 城 考点03 根据零点分布求参数取值范围 一、单选题 1．(24-25高一上·辽宁名校联盟·期中)已知函数至少有一个零点在区间内，求实数m的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【来源】辽宁省名校联盟2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题 【分析】根据判别式、零点存在性定理、二次函数的性质等知识确定正确答案. 【详解】对于函数， ， 当，即时，没有零点，不符合题意. 当，即或时， 当时，，零点为， ，符合题意. 当时，，零点为， ，不符合题意. 当，即或时，有两个不相等的零点， 至少有一个零点在区间内， 则需或， 解得，， 另外若， 则，零点为或，不符合题意. 若， 则，零点为或， ，符合题意. 综上所述，的取值范围是：. 故选：C 2．(24-25高一上·辽宁鞍山第一中学·期中)已知，为常数，若存在互不相同的三个实数，，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】辽宁省鞍山市第一中学2024-2025学年高一上学期期中数学试题 【分析】分析与时函数的性质，再根据存在互不相同的三个实数，，满足确定的取值范围，最后根据函数性质求出的取值范围. 【详解】当时，，将其化为顶点式： 可知该函数图象开口向下，对称轴为. 当时，，根据对勾函数性质，知道函数在上单调递增，. 因为存在互不相同的三个实数，，满足，结合函数图象可知. 设，由二次函数的对称性可知，关于对称轴对称，则. 由，，即. 解不等式，即，，因为，所以. 解不等式，即，，解得，结合，所以. 则，因为，所以，即的取值范围是. 故选：D. 3．(24-25高一上·辽宁盘锦高级中学·期中)已知函数在区间内只有一个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【来源】辽宁省盘锦市高级中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷 【分析】方法一：根据函数的零点个数分类讨论，再结合零点存在性定理，解不等式组确定参数取值范围. 方法二：对解析式变形，在统一平面直角坐标系中画出函数图象，利用数形结合法求解. 【详解】解法一： 当函数只有一个零点且在区间内时， ； 当函数有两个零点时，，解得或， 当时，显然在上恒成立，此时无内的零点， 当时，又在内只有一个零点，则或或， 即或或， 解得或或． 综上所述，实数的取值范围是． 故选：C. 解法二： 由，得，又，所以， 所以， 令，，，要使在区间内只有一个零点， 只需直线与的图象在上只有一个交点，作出两函数图象如图所示， 由图可知或，解得或， 所以的取值范围是． 故选：C. 4．(24-25高一上·辽宁实验中学·期中)已知函数的三个零点分别为，，，若函数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】辽宁省实验中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷 【分析】根据题设得函数关于对称，进而有、，且，结合，得到是的两个零点，根据二次函数性质求得、，即可求的范围. 【详解】由，即，故函数关于对称， 所以，则， 故， 令，且开口向上，对称轴为， 由题意，且，它们也是的两个零点， 所以，且，故，则， 所以. 故选：C 【点睛】关键点点睛：应用因式分解及已知得到是的两个零点，且，且为关键. 5．(24-25高一上·辽宁普通高中·期中)已知函数若函数有3个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】辽宁省普通高中2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题 【分析】转化为与有3个交点，利用数形结合，即可求解. 【详解】由题意可知，有3个实数根，即和有3个交点， 画出函数的图象，    若与有3个交点，则. 故选：C 二、多选题 6．(24-25高一上·辽宁实验中学·期中)已知函数，若，且，则下列结论正确的是（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．若方程有5个不同的实根，则 D．若方程有5个不同的实根，则 【答案】BCD 【来源】辽宁省实验中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷 【分析】根据解析式画出函数大致图象，令得，数形结合可得且，结合函数零点知识依次判断各项正误. 【详解】根据解析式可得函数大致图象如下，令，则，    所以且，故，A错； 由，而从过程中对应从， 注意端点值取不到，所以，B对； 由，可得或， 由图知，对应有2个不同解，故对应必有3个不同解，所以，C对； 由图，当时原方程无解； 当时，，此时原方程只有1个解，不符； 当时，且，此时原方程有1或2或3个解，不符； 令，得或或， 当时，或或， 若，原方程无解； 若，原方程有2个解； 若，原方程有1个解， 故原方程共有3个不同解，不符； 当时，或或，原方程共有4个解，不符； 当时，或或， 若，原方程有2个解； 若，原方程有2个解； 若，原方程有1个解， 故原方程共5个不同解，符合； 当时，有1个解或有2个解，原方程共3个解，不符； 当时，，原方程只有1个解，不符； 综上，满足题设，D对. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：D项，注意从负到正依次讨论的范围，结合图象确定对应范围，进而判断解的个数. 三、填空题 7．(22-23高一上·辽宁大连大连育明高级中学·期中)已知函数有一个零点在区间内，则实数的取值范围是 . 【答案】 【来源】辽宁省大连市大连育明高级中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题 【分析】分类讨论为一次函数和二次函数，当为二次函数时再分类讨论存在一个零点和两个零点两种情况，一个零点时，两个零点时满足题意需用零点存在性定理求出实数的取值范围. 【详解】，函数的零点为，不满足题意； 当时，若二次函数只有一个零点，则，解得，此时的零点为，不满足题意； 若二次函数有两个零点，有且只有一个零点在区间中，则，解得 检验：当时，，即两个零点异号 因此当，时，函数有且只有一个零点在区间中 当若二次函数有两个零点，两个零点在区间中时 ，无解，故不存在两个零点在区间中； 故答案为： 四、解答题 8．(24-25高一上·辽宁大连第二十四中学·期中)函数是定义在上的奇函数，已知当时，； (1)求函数的解析式； (2)作出函数的图象，并写出函数的单调增区间； (3)若方程有个相异的实数根，求实数的取值集合． 【答案】(1) (2)图象见解析，的单调增区间为和 (3)或 【来源】辽宁省大连市第二十四中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷 【分析】（1）先求得，然后再根据奇偶性求解出时的解析式，则的解析式可知； （2）根据分段函数解析式作出函数图象，然后根据图象结合二次函数的对称轴确定出单调递增区间； （3）将问题转化为的图象有个不同交点，然后根据图象分析出的取值集合. 【详解】（1）当时，因为为奇函数，所以，所以； 当时，，所以， 因为为奇函数，所以，所以； 所以. （2）函数的图象如下图所示：    由图象可知，的单调增区间为和. （3）因为方程有个相异的实数根，所以的图象有个不同交点，    由图象可知，的取值集合为或. 9．(22-23高一上·辽宁协作校·期中)已知函数，有两个不同的零点． (1)若其中一个零点在区间上，求k的取值范围； (2)若函数的两个不同的零点是，，求的最小值． 【答案】(1) (2)4 【来源】辽宁省协作校2022-2023学年高一上学期期中考试数学试题 【分析】（1）由函数有两个不同的零点得，解方程，解得，，由其中一个根在上得k的取值范围. （2）利用根与系数的关系，用k表示，求出最小值. 【详解】（1）因为函数有两个不同的零点，所以， 即，所以． 令，得，，所以 （2）， 由（1）得，故当时，有最小值4，所以的最小值为4． 10．(24-25高一上·辽宁鞍山第一中学·期中)已知函数，是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且 (1)求和的解析式 (2)若对于任意，，都有，求实数的取值范围 (3)在上有两个零点，求实数的取值范围 【答案】(1)， (2) (3) 【来源】辽宁省鞍山市第一中学2024-2025学年高一上学期期中数学试题 【分析】（1）运用奇偶性得性质，构造方程组，解出解析式即可； （2）对式子变形，构造函数，研究单调性解题即可； （3）根据零点个数，结合二次函数图象，判定零点的位置与对称轴关系，构造不等式组计算. 【详解】（1）根据题意，，则， 两式相加可得， 又由是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数， 所以，即，. （2）若对于任意，都有，变形可得， 令，则在区间上单调递减， （1）若，则在上单调递减，满足题意； （2）若，则是对称轴为的二次函数， 若在区间上单调递减，或， 综上可得，所以实数的取值范围为. （3）， 函数在上有两个零点，则 ，解得， 所以实数的取值范围为. 11．(24-25高一上·辽宁沈阳东北育才中学·期中)已知函数， (1)解关于的不等式； (2)若关于的方程有两个小于的不等实根，求的取值范围： (3)若对任意的，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【来源】辽宁省沈阳市东北育才中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题 【分析】（1）原式化简得，按的不同取值分类讨论即可； （2）根据二次函数的图象和性质得到关于的不等式组，解出即可； （3）分离参数，利用均值不等式求解即可. 【详解】（1）由整理得， 所以， （i）当时，不等式解集为； （ii）当时，不等式解集为； （iii）当时，不等式解集为； 综上所述，（i）当时，不等式解集为； （ii）当时，不等式解集为； （iii）当时，不等式解集为． （2）方程有两个小于的不等实根， 所以，解得， 故的取值范围为． （3）对任意的，恒成立， 即恒成立，即对任意的，恒成立． ①时，不等式为恒成立，此时； ②当时，， 因为，所以， 所以， 当且仅当时，即，时等号成立， 所以， 综上． 12．(24-25高一上·湖北宜昌协作体·期中)若函数在区间上的值域恰为，则称区间为的一个“倒域区间”.已知定义在上的奇函数，当时，. (1)求的解析式； (2)若关于的方程在上恰有两个不相等的根，求的取值范围； (3)求函数在定义域内的所有“倒域区间”. 【答案】(1) (2) (3)和 【来源】湖北省宜昌市协作体2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题 【分析】（1）根据奇函数的性质，取相反数，利用已知的函数解析式，整理可得答案； （2）整理方程，构造函数，结合二次函数的性质，可得答案； （3）根据题目中的新定义，利用分类讨论，结合函数的单调性，建立方程，可得答案. 【详解】（1）当时，则， 由奇函数的定义可得， 所以. （2）方程即，设， 由题意知，解得. （3）因为在区间上的值域恰为， 其中且，所以，则， 所以或. ①当时，因为函数在上单调递增，在上单调递减， 故当时，，则，所以，所以， 则，解得， 所以在内的“倒域区间”为； ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 故当时，，所以，所以，所以， 则，解得， 所以在内的“倒域区间”为. 综上所述，函数在定义域内的“倒域区间”为和. 13．(24-25高一上·辽宁名校联盟·期中)已知函数 (1)方程在上有两个不等实数根，求a的取值范围 (2)求解关于x不等式 【答案】(1) (2)答案见解析 【来源】辽宁省名校联盟2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题 【分析】（1）根据方程根的分布列出不等式组求解； （2）根据对一元二次方程根的情况分类讨论，得出不等式的解集. 【详解】（1）因为方程在上有两个不等实数根， 所以需满足，即， 解得， 即a的取值范围为. （2）方程的判别式， ①当，即时，方程无实数根， 所以的解集为； ②当，即或时，方程有两相等实根， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为； ③当，即或时，方程有两不相等实根， 所以不等式的解集为或； 综上，当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当或时，不等式的解集为或. 14．(24-25高一上·辽宁沈阳五校协作体·期中)关于的方程 (1)若方程无实根，求的取值范围； (2)若方程有3个不等实根，求的取值范围； (3)若，且满足，试判断方程根的个数. 【答案】(1) (2)； (3)3个实根. 【来源】辽宁省沈阳市五校协作体2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题 【分析】（1）令，问题转化为关于的一元二次方程无实根或实根均小于零，利用判别式和韦达定理即可算出结果. （2）找到和的对应关系，根据原方程有3个不等实根分析一元二次方程实数根的情况，逐类分析验证即可得到结果. （3）确定的取值范围，利用的取值范围得到方程一根在之间，另一根大于1，即可得到结果. 【详解】（1）令，则，原方程转化为（*）， 原方程无实根，则需（*）式无实根或实根均小于零， 令， ①若（*）式无实根，则，解得， ②两根均为负，则，解得， 综合①②，可知的取值范围是. （2）作函数的图象， 可知或时，每一个值对应1个值，时一个值对应2个不同的值， 要使原方程有3个不等实根， ①（*）式一根为零，另一根在之间，所以，则（*）式为，解得或，不合题意； ②（*）有两不等根且一根大于1，另一根在之间，则，解得； ③（*）式有一根在之间，另一根为1，则，则（*）式为； 解得或，不合题意. 综上所述，取值范围为. （3）因为， 所以 因为为正实数，所以，所以，即， 当且仅当，即时等号成立，故， 由（1）知时，，， 故（*）式有两不等实根，且一根在之间，另一根大于1， 故原方程有3个实根. 【点睛】思路点睛：本题考查方程综合问题，具体思路如下： （1）找方程中相同的结构，令，问题转化为方程无实根或实根均小于零，利用判别式和韦达定理即可算出结果. （2）作函数的图象，找到和的对应关系，根据原方程有3个不等实根分析方程实数根的情况，逐类分析验证即可得到结果. （3）通过基本不等式确定的取值范围，利用的取值范围分析方程实数根的情况，结合（2）即可得到结果. 地 城 考点04 函数的实际应用 一、解答题 1．(24-25高一上·山西三晋联盟山西名校·期中)梅州金柚、德庆贡柑、信宜三华李、紫金春甜桔、连平鹰嘴蜜桃、阳春马水桔、云安砂糖桔、高州储良龙眼、从化荔枝、徐闻香蕉并称为“岭南十大佳果”．眼下正值梅州金柚热销之时，某水果店为促销梅州金柚，提供了阶梯式购买方案，购买方案如下表： 购买的金柚重量/kg 金柚单价/（元/kg） 不超过5kg的部分 10 超过5kg但不超过10kg的部分 9 超过10kg的部分 8 记顾客购买的金柚重量为xkg，消费额为元． (1)求函数的解析式； (2)已知甲、乙两人计划在这家水果店购买金柚，甲、乙计划购买的金柚重量分别为4kg，8kg，求甲、乙两人一起购买时比他们各自购买时节省了多少钱． 【答案】(1) (2)6元钱 【来源】山西省三晋联盟山西名校2024-2025学年高一上学期11月期中联考数学试题 【分析】（1）根据表格即可列出各段函数解析式； （2）分别计算各自购买的金额和一起购买金额，作差即可得到节省金额. 【详解】（1）当时，； 当时，； 当时，． 故 （2）当甲、乙两人各自购买时，消费总额为元． 当甲、乙一起购买时，消费总额为元． 故甲、乙一起购买时比他们各自购买时节省了6元钱． 2．(24-25高一上·辽宁普通高中·期中)展销会上，在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场.已知该产品年固定研发成本为80万元，每生产一台需另投入60万元.设该企业一年内生产该产品万台且全部售完，每万台的销售收入（单位：万元） (1)写出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：万台）的函数解析式；（利润销售收入成本） (2)当年产量为多少万台时，该企业获得的利润最大？并求出最大利润. 【答案】(1) (2)当时，的最大值为. 【来源】辽宁省普通高中2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题 【分析】（1）由题意，利用已知函数与公式，结合分段函数，可得答案； （2）根据函数解折式，利用二次函数性质与基本不等式，可得答案. 【详解】（1），. （2）当时，，； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立. 综上所述，当时，的最大值为. 3．(24-25高一上·辽宁辽阳·期中)辽阳大果榛子外形美观、果大皮薄，深受消费者欢迎.某辽阳大果榛子网店为回馈新老顾客，提供两种购买大果榛子的优惠方案：第一种方案，每斤的售价为24元，顾客买x（）斤，每斤的售价降低x元；第二种方案，顾客买x（）斤，每斤的售价为元．已知每位顾客限购9斤大果榛子.设一名顾客按照第一种方案购买大果榛子的付款额为元，按照第二种方案购买大果榛子的付款额为元． (1)分别求函数，的解析式； (2)已知顾客甲、乙在这家网店均选择了更经济实惠的方案购买大果榛子，甲、乙的付款总额为135元，且甲购买了5斤大果榛子，试问乙购买了多少斤大果榛子？ 【答案】(1)，；，. (2)乙购买了2斤大果榛子 【来源】辽宁省辽阳市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷 【分析】（1）根据题意，写出函数的解析式； （2）先求出，确定甲选择方案二购买，花费91元，得到乙花费44元，再分别讨论按照方案一和方案二乙可以购买的大果榛子斤数，得到答案. 【详解】（1）根据题意，，， ，. （2）由（1），，，所以，则甲选择方案二购买，花费91元， 则乙花费元， 若乙按照方案一购买，则，解得或，又， ，即乙可以购买2斤大果榛子， 若乙按照方案二购买，则，解得， 所以乙应该按照方案一购买，乙购买2斤大果榛子. 4.(24-25高一上·辽宁名校联盟·期中)2024年10月29日，小米SU7Ultra量产版正式面世，代表了我国新能源汽车的蓬勃发展.如今中国已经成为全球最大的新能源汽车消费市场，并且建成了高效的协同产业体系.某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，每生产（千辆）获利（万元），关系如下：，该公司预计2024年全年其他成本总投入为万元.由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求.记2024年的全年利润为（单位：万元）. (1)求函数的解析式； (2)当2024年产量为多少千辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由. 【答案】(1) (2)当2024年产量为4千辆时，该企业利润最大，最大利润是480万元. 【来源】辽宁省名校联盟2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题 【分析】（1）根据给定的信息，由求出解析式即得. （2）按分段求出最大值，再比较大小即得. 【详解】（1）依题意，，而， 所以函数的解析式为， 即. （2）当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，； 当时， ，当且仅当，即时取等号， 而，则当时，， 所以当2024年产量为4千辆时，该企业利润最大，最大利润是480万元. 5． FISS足球世界杯是很受全球高中生欢迎的足球赛事，中国成功获得国际中体联足球世界杯2024，2026，2028年主办权，经过大连市的积极申办，教育部正式推荐，大连最终成为2024年国际中体联足球世界杯承办地．筹备期间组委会委托A工厂生产某种纪念品，生产该纪念品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为万元，在年产量不足9万件时，（万元），在年产量不小于9万件时，（万元），每件纪念品售价为10元，通过市场分析，此纪念品当年能全部售完． (1)写出年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本） (2)年产量为多少万件时，该工厂在这一纪念品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当年产量为10万件时，所获利润最大，最大利润为30万元 【来源】辽宁省大连市滨城高中联盟2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题 【分析】（1）根据题意分和两种情况，求分段函数解析式； （2）根据题意分和两种情况，根据二次函数和基本不等式求最值. 【详解】（1）因为每件商品售价为10元，则x万件商品销售收入为10x万元， 当时，； 当时，； 所以. （2）由（1）可知： 当时，， 当时，取得最大值29； 当时，， 当且仅当时等号成立，即时，取得最大值30； 因为，所以当年产量为10万件时，所获利润最大，最大利润为30万元． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06函数的零点问题和实际应用 ☆4大高频烤点概览 考点01求函数的零点 考点02零点存在定理 考点03根据委点分布求参数取值范围 考点04函数的实际应用 目目 考点01 求函数零点 一、单选题 1.(2425高一上辽宁沈阳五校协作体期中)对任意实数x,[x]表示不超过x的最大整数，如 [3.6]=3,[-34]=-4,关于函数f(x)=[学-[等]，有下列命题：①f(x)是奇函数：② f(x)是偶函数；③函数f(x)的值域为{0,1}；④函数g(x)=f(x)-x+1有两个不同的零点，其中 正确的命题个数为() A.1 B.2 C.3 D.0 二、填空题 12-x,x≤2 2.425高一上辽宁大连育明高级中学期中)已知函数f(x)={K-2x>2,函数 g(x)=3-f(2-x),则函数y=f(x)-gx的零点个数为个. 3.(24-25高一上江苏盐城五校联盟·调研)函数y=2x-4的零点为 三、解答题 4.(24-25高一上辽宁辽阳期中)已知函数f(x)=-k-2+2,g(x)=x2-4x+a(a∈R)的定义域 均为[0,4]. -10 12:3:451 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)请在所给的图中画出f(x)的图像： (2)若不等式f(x)≥g(x)的解集为[0,4]，求a的取值范围： (3)讨论函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数， 目目 考点02 零点存在定理 一、单选题 1.(24-25高一上辽宁抚顺六校协作体期中)已知函数f(x)=x-忌，在下列区间中，一定包含f(x)零 点的区间的是() A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) 2.(24-25高一上·辽宁辽阳期中)函数f(x)=2x3+3x-7的一个零点所在的区间是() A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 3.(23-24高一上辽宁部分学校期中)已知函数f(x)=是-x2,则函数f(x)的零点所在区间为() A.(-2,-1)B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) 二、填空题 4.(23-24高一上辽宁大连育明高级中学期中)用二分法求函数(x)=lgx+x-2的一个零点，根据参考 数据，可得函数fx)的一个零点的近似解（精确到0.1）为」 (参考数据：1g1.5≈0.176,1g1.625≈0.211，lg1.75≈0,243,1g1.875≈0.273.1g1.9375≈0.287) 5.(23-24高一上辽宁县级重点高中协作体期中)函数f(x)=x3+x一20的零点所在的区间是（) A.(0,1 B.（1,2 C.(2,3 D.(3,4) 目目 考点03 根据零点分布求参数取值范围 一、 单选题 1.(24-25高一上辽宁名校联盟期中)已知函数f(x)=x2+2mx+2m+3至少有一个零点在区间0,2)内， 求实数m的取值范围是() A.m=-1 B.m=-1或m=3 C.-号<m≤-1 D.m=-1或-月<m<-名 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 x2-x+g,x<1 2.(2425高一上辽宁鞍山第一中学期中已知f(x)= 4x十毫，x≥1 ,t为常数，若存在互 不相同的三个实数a,b,c满足f(a)=f(b)=f(c)=t,则a+b十c的取值范围是() A.（-1,V2-2) B.[-1,2) C.（1V2)D.(-1,0) 3.(24-25高一上·辽宁盘锦高级中学期中)己知函数f(x)=x2+2mx+2m+3在区间(0,2)内只有一个 零点，则实数m的取值范围是() A.{mm=-1} B.{mm=-1或m=3} c.{mlm=-1或-号<m≤-名}D.{mlm=-1或-号<m<-名} 4.(24-25高一上辽宁实验中学期中)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c的三个零点分别为1，x1, x2(0<X1<X2),若函数满足f(2x+1)=-f(1-2x),则f(3)的取值范围为() A.[2,4] B.(4,6) C.(6,8) D.[4,8] 5x2-2,x≤1 5.(2425高一上辽宁普通高中期中)已知函数f(x)= 是，x>1, 若函数g(x)=f(x)-k有3 个零点，则实数k的取值范围是() A.(-2,0)B.(1,3) C.(0,3) D.(-2,3) 二、多选题 1|x-2-1,x20 6.425商-上辽宁实验中学期已知联数F(x)={21十支，x<0，若<x<x,且 f(x1)=f(x2)=f(x3),则下列结论正确的是() A.X1十X2十X3的取值范围为(-∞，4] B.受+婴的取值范围为（号+∞） C.若方程[f(x)]-(b+)f(x)+b=0有5个不同的实根，则b∈（告，1） D.若方程f(f(x)=a有5个不同的实根，则aE(,1) 三、填空题 7.(22-23高一上辽宁大连大连育明高级中学期中)己知函数f(x)=2(m+1)x2+4mx+2m-1有一 函学科网 ww w zxxk com 让教与学更高效 个零点在区间(0,1)内，则实数m的取值范围是 四、解答题 8.(24-25高一上·辽宁大连第二十四中学·期中)函数f(x)是定义在R上的奇函数，已知当x>0时， f(x)=x2-2x-3; (1)求函数f(x)的解析式： (②)作出函数F(x)的图象，并写出函数F(x)的单调增区间； (3)若方程f(x)一m=0有3个相异的实数根，求实数m的取值集合. 9.(22-23高一上辽宁协作校期中)已知函数f(x)=x2-(k十2)x+2k,有两个不同的零点. (1)若其中一个零点在区间（一1,1）上，求k的取值范围： (2)若函数的两个不同的零点是x1,x2,求x十x的最小值 10.(24-25高一上辽宁鞍山第一中学期中)已知函数f(x),g(x)是定义在R上的函数，其中f(x)是奇 函数，g(x)是偶函数，且f(x)+g(x)=ax2-x (1)求f(x)和g(x)的解析式 2)若对于任意x1,X2∈[1,2]，都有型<4，求实数a的取值范围 (3)h(x)=f(x)+g(x)+(1-a)x2-2ax+4在[1,3]上有两个零点，求实数a的取值范围 11.(24-25高一上辽宁沈阳东北育才中学.期中)已知函数f(x)=x2-(a+2)x+4,(aER) (1)解关于x的不等式f(x)≤-2a+4: (2)若关于x的方程f(x)=0有两个小于-1的不等实根，求a的取值范围： (3)若对任意的x∈[1,4]，f(x)+a+1≥0恒成立，求a的取值范围， 12.(24-25高一上湖北宜昌协作体期中)若函数f(x)在区间[a,b]上的值域恰为[吉，吉]，则称区间 [a,b]为f(x)的一个“倒域区间”.已知定义在[-2,2]上的奇函数g(x),当x∈[0,2]时， g(x)=-x2+2x (1)求g(x)的解析式： (2)若关于x的方程g(x)=一mx-m在(0,2)上恰有两个不相等的根，求m的取值范围； (3)求函数g(x)在定义域内的所有“倒域区间”， 13,(24-25高一上辽宁名校联盟期中)已知函数f(x)=x2-2ax+a+2(a∈R) (1)方程f(x)=0在(0,6)上有两个不等实数根，求a的取值范围 (2)求解关于x不等式x2+2ax十a十2>0 函学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 14.(24-25高一上·辽宁沈阳五校协作体·期中)关于x的方程 (2-1)2-k2+1-2+k+1=0(k∈R) (1)若方程无实根，求k的取值范围； (2)若方程有3个不等实根，求k的取值范围： (3)若k=a+b,且满足#十点=克，a>0,b>0,试判断方程根的个数 目目 考点04 函数的实际应用 一、解答题 1.(24-25高一上·山西三晋联盟山西名校期中)梅州金柚、德庆贡柑、信宜三华李、紫金春甜桔、连平鹰嘴 蜜桃、阳春马水桔、云安砂糖桔、高州储良龙眼、从化荔枝、徐闻香蕉并称为“岭南十大佳果”.眼下正值梅 州金柚热销之时，某水果店为促销梅州金柚，提供了阶梯式购买方案，购买方案如下表： 购买的金柚重量kg 金柚单价/（元/kg) 不超过5kg的部分 10 超过5kg但不超过10kg的部分 9 超过10kg的部分 8 记顾客购买的金柚重量为kg,消费额为f(x)元. (1)求函数f(x)的解析式： (2)已知甲、乙两人计划在这家水果店购买金柚，甲、乙计划购买的金柚重量分别为4kg,8kg,求甲、乙两 人一起购买时比他们各自购买时节省了多少钱. 2.(24-25高一上·辽宁普通高中期中)展销会上，在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展， 并决定大量投放市场.已知该产品年固定研发成本为80万元，每生产一台需另投入60万元.设该企业一年内 160-2x,0<X≤20， 生产该产品x万台且全部售完，每万台的销售收入R(x)(单位：万元) 50+290-号，x>20, (1)写出年利润S(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：万台)的函数解析式；（利润=销售收入一成 本) (2)当年产量为多少万台时，该企业获得的利润最大？并求出最大利润. 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3.(24-25高一上·辽宁辽阳·期中)辽阳大果榛子外形美观、果大皮薄，深受消费者欢迎某辽阳大果榛子网店 为回馈新老顾客，提供两种购买大果榛子的优惠方案：第一种方案，每斤的售价为24元，顾客买x (x>0)斤，每斤的售价降低x元：第二种方案，顾客买x(x>0)斤，每斤的售价为(14+安)元.已 知每位顾客限购9斤大果榛子.设一名顾客按照第一种方案购买大果榛子的付款额为f(x)元，按照第二种 方案购买大果榛子的付款额为g(x)元 (I)分别求函数f(x),g(x)的解析式： (2)已知顾客甲、乙在这家网店均选择了更经济实惠的方案购买大果榛子，甲、乙的付款总额为135元，且 甲购买了5斤大果榛子，试问乙购买了多少斤大果榛子？ 4.(24-25高一上：辽宁名校联盟·期中)2024年10月29日，小米SU7U1ra量产版正式面世，代表了我国新能 源汽车的蓬勃发展.如今中国已经成为全球最大的新能源汽车消费市场，并且建成了高效的协同产业体系某 企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，每生产x(千辆)获利W(x)(万元)，关系如下： 75(x2+3),0≤x≤2 W(x)= 7,2<x≤6 ，该公司预计2024年全年其他成本总投入为30x万元.由市场调研知， 该种车销路畅通，供不应求.记2024年的全年利润为f(x)（单位：万元) (1)求函数f(x)的解析式： (2)当2024年产量为多少千辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由 5.FI$S足球世界杯是很受全球高中生欢迎的足球赛事，中国成功获得国际中体联足球世界杯2024,2026， 2028年主办权，经过大连市的积极申办，教育部正式推荐，大连最终成为2024年国际中体联足球世界杯承 办地.筹备期间组委会委托A工厂生产某种纪念品，生产该纪念品需投入年固定成本为3万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为P(x)万元，在年产量不足9万件时，P(x)=x2+2x(万元)，在年产量 不小于9万件时，P(x)=11x+-53(万元)，每件纪念品售价为10元，通过市场分析，此纪念 品当年能全部售完， (1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x（万件)的函数解析式；（注：年利润=年销售收入一固定成本 一流动成本) (②)年产量为多少万件时，该工厂在这一纪念品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？