精品解析：广西南宁市青秀区南宁市新民中学2025-2026学年九年级上学期开学数学试题

2025-2026学年秋季学期九年级开学训练 数 学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器，考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 我国古代数学名著《九章算术》在“方程”章中首次出现了负数，如“卖所得的钱为正，买所付的钱为负，余钱为正，不足钱为负”如果收入300元记作元，那么元表示（ ） A. 支出90元 B. 收入90元 C. 支出300元 D. 收入300元 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正数和负数表示相反意义的量，若收入记为正，那么支出则记为负，由此即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵卖所得的钱为正，买所付的钱为负，余钱为正，不足钱为负， ∴如果收入300元记作元，那么元表示支出90元， 故选：A． 2. 下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 根据轴对称图形定义进行解答即可． 【详解】解：选项B能找到这样的一条直线，使得这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故B是轴对称图形； 选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 故选：B． 3. 在“生命安全”主题教育活动中，为了解甲、乙、丙、丁四所学校学生对生命安全知识掌握情况，小丽制定了如下方案，你认为最合理的是（　　） A. 抽取乙校初二年级学生进行调查 B. 在丙校随机抽取600名学生进行调查 C. 随机抽取150名老师进行调查 D. 在四个学校各随机抽取150名学生进行调查 【答案】D 【解析】 【分析】根据抽样调查的代表性和广泛性逐项进行判断即可得． 【详解】A. 抽取乙校初二年级学生进行调查，不具有广泛性； B. 在丙校随机抽取600名学生进行调查，不具有代表性； C. 随机抽取150名老师进行调查，与考查对象无关，不可取； D. 在四个学校各随机抽取150名学生进行调查，具有代表性和广泛性，合理， 故选D． 【点睛】本题考查了抽样调查，样本的确定，解题的关键是要明确抽样调查的样本要具有代表性和广泛性. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，积的乘方计算，合并同类项，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A. 与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 5. 下列图象中，表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了函数的定义，在某一变化过程中，两个变量、，对于的每一个值，都有唯一的值和它对应，就是的函数，根据函数的定义逐项分析即可得解，熟练掌握函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、对于的每一个值，都有唯一的值和它对应，故就是的函数，符合题意； B、对于的每一个值，不是有唯一的值和它对应，故不是的函数，不符合题意； C、对于的每一个值，不是有唯一的值和它对应，故不是的函数，不符合题意； D、对于的每一个值，不是有唯一的值和它对应，故不是的函数，不符合题意； 故选：A． 6. 石墨烯在材料学、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，所有多边形都是正六边形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角和问题，根据多边形的内角和公式计算即可得出正六边形的内角和度数，再除以边数即可得解，熟练掌握正多边形的内角和公式是解此题的关键． 【详解】解：∵所有多边形都是正六边形， ∴的度数为， 故选：C． 7. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程有实数根求参数以及解一元一次不等式，根据即可求出m的取值范围． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得：． 故选∶B． 8. 如图，在平行四边形中，对角线、相交于，下列说法一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质即可解答. 【详解】解：已知在平行四边形中，对角线、相交于， 可知对边平行，且对角线互相平分， 只有C正确， 故选C. 【点睛】本题考查平行四边形的性质，熟悉掌握是解题关键. 9. 下列的点在函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键．依据题意，分别代入各选项中点的横坐标，求出值，再对照各点的纵坐标，即可得出结论． 【详解】解：A．当时，，点不在函数的图象上，选项不符合题意； B．当时，，点不在函数的图象上，选项不符合题意； C．当时，，点在函数的图象上，选项符合题意； D．当时，，点不在函数的图象上，选项不符合题意． 故选：C． 10. 如图，是的直径，C，D是上的两点，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，由是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得的度数，继而求得的度数． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：C． 11. 如图，在中，点D是的中点，，若，且，则的面积为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了与三角形中线有关的面积的计算，三角形面积公式，先根据三角形面积公式计算得出，再结合点D是的中点计算即可得解． 【详解】解：∵，，且， ∴， ∵在中，点D是的中点， ∴， 故选：B． 12. 下表中有二次函数的自变量与函数值的几组对应值，据此判断方程的正数根的范围是（ ） 0 3 1 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．由表可知，二次函数的对称轴为，进而得出也经过点，再结合图象得出二次函数与轴正半轴的交点横坐标的范围，再根据二次函数与一元二次方程的关系即可求解． 【详解】解：由表可知，经过点和， ∴二次函数的对称轴为， ∵经过点， ∴由对称性可得，也经过点， ∵当时，；当时，， ∴二次函数与轴正半轴的交点横坐标的范围为， ∴方程的正数根的范围是． 故选：D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加法运算，根据二次根式的性质，当被开方数相同时，可以直接合并系数. 【详解】解：. 故答案为 ． 14. 利用乘法公式化简下列式子： _____ ． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了利用平方差公式计算．根据平方差公式计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 15. 如图，是四边形的外接圆，过点B作，交于点E．若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、平行线的性质，先根据圆内接四边形的性质求出，再根据平行线的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵是四边形的外接圆， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点P是y轴上的一个动点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质、勾股定理，作点关于轴的对称点，连接，，由轴对称的性质可得，，，从而可得当点、、在同一直线上时，的值最小，为，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作点关于轴的对称点，连接，， ， 由轴对称的性质可得，，， ∴， ∴当点、、在同一直线上时，的值最小，为， 由勾股定理可得：， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解分式方程，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）根据解分式方程的步骤计算即可得解． 【详解】解：（1）； （2）去分母可得：， 去括号可得：， 解得：， 检验：把代入得：， 分式方程的解为． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为． （1）把向右平移6个单位长度后得到，画出； （2）画出关于原点对称的； （3）与是否成中心对称，若是，请直接写出对称中心的坐标，若不是，请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）与是中心对称，对称中心的坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称和平移： （1）根据平移的规律得到点的对应点，再依次连接即可； （2）根据关于原点对称的特得到点，再依次连接即可； （3）利用中心对称图形的定义即可判断，再连接，，交点即为与的对称中心． 【小问1详解】 解：如图所示，为所求： 【小问2详解】 解：如图所示，为所求： 【小问3详解】 解：与是中心对称，对称中心的坐标为． 19. 2025年，“人形机器人”“”等彰显中国科技实力的人工智能迅速席卷全球．随着人工智能与各个垂直领域的不断深入融合，普通公民也越来越需要具备人工智能的基本知识和应用能力，人工智能逐步成为中小学重要教学内容之一，某同学设计了一款机器人，为了了解它的操作技能情况，对同一设计动作与人工进行了比赛，机器人和人工各操作10次，测试成绩（百分制）如下： 分析数据，得到下列表格． 平均数 中位数 众数 方差 机器人 92 95 8.2 人工 89 90 108.8 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______． （2）若成绩90分及以上为优秀，请你估计机器人操作700次，优秀次数约为多少次？ （3）根据以上数据，从平均数和方差的角度分析机器人和人工在操作技能方面谁更有优势，并说明理由． 【答案】（1），100 （2）490人 （3） 解：机器人 理由：机器人的样本数据的平均数高于人工，方差较小，可以推断其优势在于操作技能水平较高的同时还能保持稳定（答案不唯一）． 【解析】 【分析】本题主要考查了方差和众数、中位数，样本估计总体，以及利用方差做决策，解题的关键是： （1）根据众数和中位数的定义求解即可； （2）先计算出优秀所占的比例，再乘700即可； （3）根据统计表数据解答即可． 【小问1详解】 解：把机器人数据从小到大排列，排在中间的两个数分别是91和92，故中位数； 在人工数据中，100出现的次数最多，故众数， 故答案为：，100； 【小问2详解】 解：， ∴优秀次数约为490人； 【小问3详解】 略 20. 如图，是的直径，是的一条弦，，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接，由垂径定理可得，由圆周角定理可得，，即可得证； （2）设的半径为x，则，求出，再证明出，最后结合勾股定理计算即可得解． 【小问1详解】 证明：连接， ∵是的直径，， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：设的半径为x，则， ∵，， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，，则, 解得，（舍去）， ∴的半径为． 21. 为了让同学们了解东盟十国文化，某校组织全体师生走进南宁方特东盟神话，开展以“传扬初中学子魅力，争做文化交流使者”为主题的研学活动．学校准备租用甲、乙两种型号的客车（每种型号的客车至少租用一辆）．甲型车每辆租金500元，乙型车每辆租金600元，若5辆甲型和2辆乙型车坐满后共载客300人；3辆甲型和4辆乙型车坐满后共载客320人． （1）每辆甲型客车、乙型客车坐满后各载客多少人？ （2）若年级组计划租用甲型和乙型两种客车共14辆，总租金不高于7800元，并将全年级610名师生载至目的地，哪种租车方案最省钱？最少租金费用是多少元？ 【答案】（1）每辆甲型客车坐满后载客40人，乙型客车坐满后载客50人 （2）最省钱的租车方案为安排9辆甲型客车，5辆乙型客车，最少租金费用为7500元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）设每辆甲型客车坐满后载客x人，乙型客车坐满后载客y人，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）设安排甲型客车m辆，则安排乙型客车辆，总租金费用为w元，根据题意列出一元一次不等式组，求解得出，再求出关于的关系式，再由一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每辆甲型客车坐满后载客x人，乙型客车坐满后载客y人， ， 解得：， 答：每辆甲型客车坐满后载客40人，乙型客车坐满后载客50人； 【小问2详解】 解：设安排甲型客车m辆，则安排乙型客车辆，总租金费用为w元， 根据题意得：， 解得：， ， ∵， ∴随m的增大而减小 又，且m为整数， ∴当时，（元），此时（辆）， 答：最省钱的租车方案为安排9辆甲型客车，5辆乙型客车，最少租金费用为7500元． 22. 综合与实践 【问题背景】 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了相关图形研究经验，请运用已有经验，完成下面研究． 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． 【概念辨析】 （1）用三角板拼出如图所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有______（填写序号）． 【性质探究】 （2）乐思学习小组根据定义得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．如图2，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线．小组成员结合图形得到猜想：平分，请你对猜想进行证明． 【拓展应用】 （3）某市在进行新能源设备升级时，新研发的发电机某零件采用了“邻等对补四边形”结构．如图2是该零件的示意图，其中，主支架为10米，辅助支架为4米，支架夹角，工程师需要计算该零件四边形的材料用量，请你求出四边形的面积． 【答案】（1）②④；（2）见解析；（3）平方米 【解析】 【分析】1）根据邻等对补四边形的定义并结合图形即可得解； （2）设，将绕着点A顺时针旋转度得到，则，再由全等三角形的性质可得，，，再证明C，B，E三点共线，由等边对等角得出，即可得证； （3）过点A作交于F，由等腰三角形的性质可得（米），由角平分线的定义可得，由直角三角形的性质可得，再由勾股定理计算可得米，即可得解． 【详解】解：（1）根据邻等对补四边形的定义并结合图形可得：是邻等对补四边形的有②④； （2）设，将绕着点A顺时针旋转度得到，如图所示： ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴C，B，E三点共线， 在中，， ∴，即：平分； （3）过点A作交于F，如图： 由（2）知，（米）， 在中，，， ∴（米）， ∵平分， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴米， ∴四边形的面积即为（平方米）． 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 23. 平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当时， ①直接写出抛物线的解析式； ②求抛物线的顶点坐标； （2）在（1）的条件下，将该抛物线关于y轴对称后，得到新的二次函数的图象．当时，请分别求出变换后新二次函数的最大值与最小值． （3）已知，为抛物线上的两点，若，，，试判断与的大小，并说明理由． 【答案】（1）①；② （2）最大值为0，最小值为 （3），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）①将代入抛物线解析式即可得解；②将抛物线的解析式化为顶点式，由此即可得解； （2）先求出原抛物线关于y轴对称的解析式为，再结合二次函数的性质计算即可得解； （3）先求出抛物线的对称轴为，再分两种情况：当时，到对称轴的距离为，到对称轴的距离为；当时，到对称轴的距离为，到对称轴的距离为；分别利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：①当时，抛物线的解析式为； ②∵， ∴抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：关于y轴对称的点是， ∴原抛物线关于y轴对称的解析式为， ∵，对称轴为直线，， ∴，， ∴，； 【小问3详解】 解：，理由如下： ∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为， ∵，，， 当时，到对称轴的距离为，到对称轴的距离为， ∴， ∴到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ∴， 当时，到对称轴的距离为，到对称轴的距离为， ∴， ∴到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴， 综上所述，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年秋季学期九年级开学训练 数 学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器，考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 我国古代数学名著《九章算术》在“方程”章中首次出现了负数，如“卖所得的钱为正，买所付的钱为负，余钱为正，不足钱为负”如果收入300元记作元，那么元表示（ ） A. 支出90元 B. 收入90元 C. 支出300元 D. 收入300元 2. 下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在“生命安全”主题教育活动中，为了解甲、乙、丙、丁四所学校学生对生命安全知识掌握情况，小丽制定了如下方案，你认为最合理的是（　　） A. 抽取乙校初二年级学生进行调查 B. 在丙校随机抽取600名学生进行调查 C. 随机抽取150名老师进行调查 D. 在四个学校各随机抽取150名学生进行调查 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列图象中，表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 石墨烯在材料学、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，所有多边形都是正六边形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平行四边形中，对角线、相交于，下列说法一定正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 下列的点在函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是的直径，C，D是上的两点，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，点D是的中点，，若，且，则的面积为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 12. 下表中有二次函数的自变量与函数值的几组对应值，据此判断方程的正数根的范围是（ ） 0 3 1 A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 计算：________． 14. 利用乘法公式化简下列式子： _____ ． 15. 如图，是四边形的外接圆，过点B作，交于点E．若，则的度数为______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点P是y轴上的一个动点，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为． （1）把向右平移6个单位长度后得到，画出； （2）画出关于原点对称的； （3）与是否成中心对称，若是，请直接写出对称中心的坐标，若不是，请说明理由． 19. 2025年，“人形机器人”“”等彰显中国科技实力的人工智能迅速席卷全球．随着人工智能与各个垂直领域的不断深入融合，普通公民也越来越需要具备人工智能的基本知识和应用能力，人工智能逐步成为中小学重要教学内容之一，某同学设计了一款机器人，为了了解它的操作技能情况，对同一设计动作与人工进行了比赛，机器人和人工各操作10次，测试成绩（百分制）如下： 分析数据，得到下列表格． 平均数 中位数 众数 方差 机器人 92 95 8.2 人工 89 90 108.8 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______． （2）若成绩90分及以上为优秀，请你估计机器人操作700次，优秀次数约为多少次？ （3）根据以上数据，从平均数和方差的角度分析机器人和人工在操作技能方面谁更有优势，并说明理由． 20. 如图，是的直径，是的一条弦，，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 21. 为了让同学们了解东盟十国文化，某校组织全体师生走进南宁方特东盟神话，开展以“传扬初中学子魅力，争做文化交流使者”为主题的研学活动．学校准备租用甲、乙两种型号的客车（每种型号的客车至少租用一辆）．甲型车每辆租金500元，乙型车每辆租金600元，若5辆甲型和2辆乙型车坐满后共载客300人；3辆甲型和4辆乙型车坐满后共载客320人． （1）每辆甲型客车、乙型客车坐满后各载客多少人？ （2）若年级组计划租用甲型和乙型两种客车共14辆，总租金不高于7800元，并将全年级610名师生载至目的地，哪种租车方案最省钱？最少租金费用是多少元？ 22. 综合与实践 【问题背景】 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了相关图形研究经验，请运用已有经验，完成下面研究． 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． 【概念辨析】 （1）用三角板拼出如图所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有______（填写序号）． 【性质探究】 （2）乐思学习小组根据定义得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．如图2，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线．小组成员结合图形得到猜想：平分，请你对猜想进行证明． 【拓展应用】 （3）某市在进行新能源设备升级时，新研发的发电机某零件采用了“邻等对补四边形”结构．如图2是该零件的示意图，其中，主支架为10米，辅助支架为4米，支架夹角，工程师需要计算该零件四边形的材料用量，请你求出四边形的面积． 23. 平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当时， ①直接写出抛物线的解析式； ②求抛物线的顶点坐标； （2）在（1）的条件下，将该抛物线关于y轴对称后，得到新的二次函数的图象．当时，请分别求出变换后新二次函数的最大值与最小值． （3）已知，为抛物线上的两点，若，，，试判断与的大小，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $