两条直线平行与垂直的判定讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦两条直线平行与垂直的判定这一核心知识点，系统构建斜率存在与不存在两种情形下的判断逻辑，厘清平行需排除重合、垂直需考虑斜率乘积为-1或一斜率不存在一斜率为零的条件，前后衔接教材中直线方程与倾斜角内容，形成从具体到抽象的学习支架。 资料设计突出数学眼光、数学思维与数学语言的融合运用，通过例题层层递进引导学生观察图形特征、推理数量关系、表达几何结论。如例3多选题巧妙设置易错陷阱，培养学生严谨推理意识，例5三角形类型判断体现空间观念与数据处理能力，课中便于教师精准施教，课后助力学生查漏补缺，强化概念辨析与应用迁移，真正实现“学—练—悟”闭环。

第8讲 两条直线平行与垂直的判定 知识再现 一． 两条直线平行 1、直线平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 条件 对应关系 两条直线斜率都不存在 图示 2、对直线平行判定的理解 （1）成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②不重合． （2）或重合． （3）或两条直线的斜率都不存在． （4）在判断两条不重合的直线是否平行时，先判断两条直线的斜率是否存在，若斜率存在且相等，则两者平行；若斜率都不存在，两者仍然平行． 二． 两条直线垂直 1、直线垂直的判定 对应关系 与的斜率都存在，分别为，则 与中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则与的位置关系是 图示 2、对直线垂直判定的理解 （1）成立的前提条件是两条直线的斜率都存在； （2）当两条直线的斜率都存在，且时，两条直线垂直； （3）若两条直线中，一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则两条直线也垂直． 题型一：两条直线平行或垂直的判定 例1.根据下列给定的条件，判定直线与直线是否平行或重合： （1）经过点，；经过点，；( ) （2）的斜率为，经过点，；( ) （3）平行于轴，经过点，；( ) （4）经过点，，经过点，．( ) 【答案】 （1） 不平行 （2）平行或重合 （3)平行 (4） 重合 解析：（1），， ，所以与不平行． （2）的斜率，的斜率，即，无法判断两直线是否重合， 所以与平行或重合． （3）由题意，知的斜率不存在，且不是轴，的斜率也不存在，恰好是轴， 所以． （4）由题意，知，，所以与平行或重合． 需进一步研究，，，四点是否共线，．所以，，，四点共线，所以与重合． 例2.判断直线与是否垂直． (1)的斜率为，经过点，； (2)经过点，，经过点，； (3)经过点，，经过点，． 【答案】(1)；(2)；(3) 解析：（1）设直线，的斜率分别为，，则，， 因为，所以． （2）由点A，B的横坐标相等，得的倾斜角为，则， 设直线的斜率为，则，所以轴．故． （3）方法一：直线的斜率，直线的斜率， 因为，所以； 方法二：直线的方向向量，直线的方向向量， 因为，所以，所以． 例3.（多选）下列说法中正确的有（    ） A．若两直线平行，则两直线的斜率相等 B．若两直线的斜率相等，则两直线平行 C．若两直线的斜率乘积等于，则两直线垂直 D．若两直线垂直，则两直线的斜率乘积等于 解析：对于A，两直线平行，可以是斜率都不存在，所以A错误； 对于B，若两直线的斜率相等，则两直线平行，所以B正确； 对于C，若两直线的斜率乘积等于，则两直线垂直，故C正确； 对于D，若两直线垂直，可能是一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在，则不是两直线的斜率乘积等于，故D错误；故选：BC 例4．直线过点和点，直线过点和点，则直线与的位置关系是 ． 解析：①当时，直线过点和点， 直线过点和点， 此时直线的斜率，直线的斜率不存在，因此； ②当时，直线过点和点，直线过点 和点．此时直线的斜率不存在，直线的斜率，因此； ③当时，直线的斜率，直线的斜率， 此时，∴．故答案为：垂直. 例5.以点，，为顶点的三角形是（    ）． A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 解析：由题意，同理，，，， 三角形是直角三角形．故选：B． 例6.已知两直线的斜率分别为，且是方程的两根，则与的位置关系为（    ） A．平行 B．相交且垂直 C．重合 D．相交且不垂直 解析：由题意，因此两直线垂直．平面上的两直线垂直时当然相交．故选：B． 题型二 已知平行或垂直求参数 例7.过两点的直线与直线平行，直线的倾斜角为，则（    ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 解析：过两点的直线与直线平行，直线的倾斜角为，所以， 因此过两点的直线的斜率为， 因为过两点的直线与直线平行，直线的倾斜角为， 所以有，故选：A 例8.已知的倾斜角为45°，经过点．若，则实数m为（    ） A．6 B．－6 C．5 D．－5 解析：因为，，且， 所以，解得，故选：B. 例9.（多选）直线的斜率是关于k的方程的两个根，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若则 D．若，则 解析：直线，的斜率，是关于的方程的两根，∴， 若，则，得； 若，则，∴，得，故选：AD 例10.已知，，． (1)求点的坐标，满足，； (2)若点在x轴上，且，求直线的倾斜角． 【答案】(1) (2) 解析：（1）设，由已知得， 又，可得，即．　① 由已知得，又，可得，即．　② 联立①②解得，∴． （2）设，∵，∴，又∵，，∴， 解得．∴，又∵，∴轴，故直线MQ的倾斜角为90°． 例11.已知直线经过两点，经过两点． (1)若，求的值； (2)若的倾斜角互余，求的值． 【答案】(1)；(2) 解析：（1），因为，所以，得， 经检验，符合题意，所以； （2）因为的倾斜角互余， 设的倾斜角为，则直线的倾斜角为，所以，得． 课后训练 1．若直线l经过点和，且与斜率为的直线垂直，则实数a的值是（  ） A． B． C． D． 解析：由题意得，直线l的斜率必存在，且. 因为直线l与斜率为的直线垂直，所以，解得. 故选：A. 2．已知经过点和点的直线与经过点和点的直线互相垂直，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 解析：直线的斜率． ①当时，直线的斜率． 因为，所以，即，解得． ②当时，、，此时直线为轴， 又、，则直线为轴，显然．综上可知，或.故选：C. 3．已知点和，点在轴上，且为直角，则点坐标为（    ） A． B．或 C．或 D． 解析：由题意，设点，为直角，， 由，，解得或， 所以点的坐标为或故选：B 4．（多选）以为顶点的三角形，下列结论正确的有（ ） A． B． C．以点为直角顶点的直角三角形 D．以点为直角顶点的直角三角形 解析：对于A，因为，所以，所以A正确， 对于B，因为，所以，所以B错误， 对于C，因为，，所以， 所以，所以以点为直角顶点的直角三角形，所以C正确， 对于D，因为，，所以，所以D错误，故选：AC 5．已知，，，，四点构成的四边形是平行四边形，则点的坐标为 ． 【答案】或或. 解析：由题，，所以，，， 设的坐标为（且且），分以下三种情况： ①当为对角线时，有，， 所以，，，解得，即； ②当为对角线时，有，， 所以，，解得，即； ③当为对角线时，有， 所以，解得，即； 所以D的坐标为或或. 6．已知四边形的顶点. (1)求斜率与斜率； (2)求证：四边形为矩形. 【答案】(1)；(2)证明见解析 解析：（1）因为， 所以，即. （2）因为，所以. 又因为，所以，所以四边形为平行四边形， 又因为，所以，所以四边形为矩形. 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $第8讲两条直线平行与垂直的判定 知识再现 一. 两条直线平行 1、直线平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 条件 01=02≠90 41=a2=90 对应关系 4/102台k=k3 (/儿2台两条直线斜率都不存在 y/1 /2 图示 0 0 2、对直线平行判定的理解 (1)(,∥12台k1=k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l,与12不重合 (2)k,=k2→11ll2或1与12重合。 (3)1,l2→k,=k2或两条直线的斜率都不存在. (4)在判断两条不重合的直线是否平行时，先判断两条直线的斜率是否存在，若斜率存在 且相等，则两者平行；若斜率都不存在，两者仍然平行. 二，两条直线垂直 1、直线垂直的判定 ☑与12中的一条斜率不存在，另一 1与l的斜率都存在，分别为 对应关系 条斜率为零，则4与l2的位置关系 k,k2,则l⊥3台k·k2=-1 是4112 2 图示 2、对直线垂直判定的理解 (1)1,⊥1，台k1·k,=-1成立的前提条件是两条直线的斜率都存在； (2)当两条直线的斜率都存在，且k·k2=-1时，两条直线垂直； (3)若两条直线中，一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则两条直线也垂直. 题型一：两条直线平行或垂直的判定 例1.根据下列给定的条件，判定直线与直线是否平行或重合： (1)1经过点A(2,3),B(-4,0)；2经过，点M(-3,1,N(-2,2)；() 第1页共10页 (2)的斜率为，6经过这A42,82,3;() (3)Z平行于y轴，经过，点P(0,-2),Q(0,5)；( (4)Z经过点E(0,1,F(-2,-1,Z经过点G(3,4),H(2,3).() 例2.判断直线☑与☑是否垂直. (1)1的斜率为-10，☑经过，点A10,2),B(20,3); (2)☑经过，点A3,4,B(3,10),☑经过，点M(-10,40),N(10,40); 第2页共10页 3)4经过点A-1,2),B(5,-1,☑经过点C(1,0),D(4,6). 例3.（多选)下列说法中正确的有() A,若两直线平行，则两直线的斜率相等 B,若两直线的斜率相等，则两直线平行 第3页共10页 C.若两直线的斜率乘积等于-1，则两直线垂直 D.若两直线垂直，则两直线的斜率乘积等于-1 例4.直线过点Am,1和，点B-1,m,直线过，点C(m+n,n+1和，点D(n+1,n-m),则直 线4与的位置关系是一 例5.以点A-1,1,B2,-1,C(1,4)为项点的三角形是（). A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D,等边三角形 第4页共10页 例6.已知两直线1，山2的斜率分别为k1,k2,且k,k2是方程x2+x-1=0的两根，则☑与☑的位 置关系为() A.平行 B.相交且垂直C.重合 D.相交且不垂直 题型二已知平行或垂直求参数 例7.过A(m,3),B(-1,m)两，点的直线与直线1平行，直线1的倾斜角为45°，则m=() A.1 B.2 C.-1 D.-2 第5页共10页 例8.已知☑的倾斜角为45°，☑经过，点P(-2,-1),Q(3,m).若l⊥12，则实数m为() A.6 B.-6 C.5 D.-5 例9.（多选)直线l,l2的斜率k1,k,是关于k的方程2k2-4k+m=0的两个根，则下列说法正 确的是() A.若l上12，则m=-2 B.若1⊥12，则m=2 C.若1l2则m=-2 D.若41∥l2,则m=2 第6页共10页 例10.已知M(1,-1,N(2,2),P(3,0) (I)求，点Q的坐标，满足PQ⊥MN,PN∥MQ； (2)若，点Q在x轴上，且∠NQP=∠NPQ,求直线MQ的倾斜角. 例11.已知直线4经过Am,3),B(1,m)两点，☑经过P2,1,04,2)两，点. (1)若11∥l2,求m的值； (2)若l1,l2的倾斜角互余，求m的值. 第7页共10页 课后训练 1,若直线经过点4口-2，-刂和8。-2，，且与针养为弓的立线套直，则实数a的位足 () A号 c号 D.±3 第8页共10页 2.已知经过，点A-2,0和点B(1,3a的直线Z与经过，点P(0,-1)和，点Qa,-2a的直线Z互相 垂直，则实数a的值为() A.0 B.1 C.0或1 D.-1或1 3.已知点A1,1)和B(2,4)，点P在y轴上，且∠APB为直角，则点P坐标为() A.（0,2 B.(0,2或(0,3C.(0,2或(0,4)D.(0,3 4.（多选)以A(-1,1),B(2,-1),C1,4)为项，点的三角形，下列结论正确的有（) A.如号 B.kac- C.以A,点为直角项，点的直角三角形 D.以B点为直角项，点的直角三角形 5.已知A(1,3),B(5,1),C(3,7),A,B,C,D四，点构成的四边形是平行四边形，则点D的 坐标为一 第9页共10页 6.已知四边形MWPQ的顶，点M(1,1),N(3,-1),P(4,0),Q(2,2). (I)求斜率kMw与斜率kPQ; (2)求证：四边形MWPQ为矩形. 第10页共10页