精品解析：四川省成都市成实外教育集团2025-2026学年高一上学期入学统考数学试题

成实外教育集团高2025级高一年级入学统考试题 数学 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 我国是历史上最早认识和使用负数的国家，若获利1000元记作元，则支出2000元应记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 据统计，2025年参加全国普通高校招生统一考试的考生人数为1335万人，较2024年的1342万减少7万人，首次出现下降趋势.数据1335万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 某学校组织了一场体育测试，现抽出60个人的体育考试分数，并对此进行统计，如图所示，关于这60人的分数，下列说法正确的是（ ） A. 众数是85 B. 中位数是80 C. 众数是21 D. 中位数是12 6. 《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海.今凫雁俱起，问何日相逢？”（凫：野鸭.所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇？”）如果设经过天能够相遇，根据题意，得（ ） A. B. C. D. 7. 关于菱形的下列命题中，假命题是（ ） A. 菱形是轴对称图形，也是中心对称图形 B. 菱形的两条对角线互相平分且相等 C. 菱形的每条对角线平分两组对角 D. 菱形的面积等于两条对角线乘积的一半 8. 二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为，且图象经过点，则下列结论错误的是（ ） A. 抛物线与轴的另外一个交点坐标是 B. ； C. ； D. 若，两点都在抛物线的图象上，则 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 分解因式：______ 10. 若点，都在反比例函数的图象上，则______（填“”或“”）. 11. 声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度（）与温度（）部分对应数值如下表：研究发现，满足公式（，为常数，且）.当温度为时，声音传播的速度为______ 温度（） 0 10 30 声音传播的速度（） 324 330 336 348 12. 如图，是的内接三角形，.若的半径为3，则劣弧的长为______. 13. 如图，是的角平分线.按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点.若，，，则的长为______. 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 解答下列各题： （1）计算： （2）解不等式组： 15. 为加强劳动教育，学校制定了《劳动习惯养成计划》，实施“家校社”联动行动，引导学生参与家务劳动、公益劳动等实践活动.学校在学期初和学期末分别对高一年级学生开展了“一周参与劳动时间”的问卷调查，两次调查均随机抽取50名学生.根据收集到的数据，将劳动时间（单位：）分为（），（），（），（）四组进行统计，并绘制了学期初调查数据条形图，学期末调查数据扇形图，部分信息如下. （1）在学期初调查数据条形图中，组人数是______人，并补全条形图； （2）高一年级有1200名学生，估计学期末高一年级学生一周参与劳动时间不低于的人数； （3）在本次学期末抽样调查中，有2名男生和1名女生的“一周参与劳动时间”都是5小时，现从他们中随机选取2人代表参加学校组织的“劳动光荣”演讲比赛，求选中的2人恰好是1名男生和1名女生的概率. 16. 随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛.如图，，是同一水平线上的两点，无人机从点竖直上升到点，在点测得点的俯角为，，两点的距离为.无人机继续竖直上升到点，在点测得点的俯角为. （1）求两点之间的距离； （2）求无人机从点到点的上升高度（结果精确到）.（点，，，在同一平面内，参考数据：，，，） 17. 如图，等腰中，，点在边上，点在边上，以为半径的经过点，与相交于点，延长交于点，连接与相交于点. （1）若，求证：为的切线； （2）在（1）的条件下，若，，求的半径和线段的长. 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点. （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）点为反比例函数图像上一点，连接，，若的面积为5，求点的坐标； （3）将直线绕点顺时针旋转，求旋转后的直线与双曲线的另一个交点坐标. B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 已知代数式，其中为的小数部分，则的值为______. 20. 已知是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根,且满足,则的值是___________． 21. 几何学有两个伟大的瑰宝，一个是毕达哥拉斯定理，另一个是黄金分割.毕达哥拉斯几何学中有一个关于五角星结构的问题.如图，一个边长为1的正五边形有5条对角线，这些对角线分别相交于，，，，五点，它们组成了另一个正五边形，现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是______. 22. 如图，矩形的对角线交于点，将沿着翻折到，与交于点.设，的面积为，则______.（用和表示） 23. 在综合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数中，任取两数之和不大于的取法种数进行了探究.发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，可得；……若时，则的值为______；若，则的值为______. 二、解答题（本大题共3个小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24. 2025年成都世界运动会的吉祥物名为“蜀宝”和“锦仔”，分别以大熊猫和川金丝猴为原型.设计团队通过这两个吉祥物展现了成都生态宜居、热情友好的城市形象，同时融入了三星堆、太阳神鸟、芙蓉花等城市符号，体现了成都“山水之美”和“热情似火”的城市气质.某商品店现有“蜀宝”和“锦仔”两种吉祥物，供消费者购买.已知“蜀宝”的单价比锦仔的单价高20元，用10000元购买“蜀宝”的数量和用8000元购买“锦仔”的数量相同. （1）求“蜀宝”和“锦仔”两种吉祥物每件的售价分别是多少元； （2）需购买“蜀宝”和“锦仔”两种吉祥物共120个（两种吉祥物都要购买），“锦仔”的数量不能多于“蜀宝”数量的，设购买“蜀宝”个，总费用为元，求总费用（元）与（个）的函数关系式，并求出的取值范围和总费用最低时的购买方案. 25. 已知二次函数. （1）已知该函数在时取到最小值，且图象经过点和点，求这个二次函数的表达式； （2）若，点，，均在该二次函数的图象上，且，求的取值范围； （3）若，，，且，，，是抛物线上四点（如图），点在轴下方，满足，，是线段中点，求证：轴. 26. 在中，（其中），点是边上一动点（点不与重合），点是边的中点，连接，将沿直线进行翻折，其顶点翻折后的对应点为，连接并延长，交边于点. （1）如图1，过点作的平分线，交的边于点.求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，当点与点重合时如图2，连接，若、、三点在同一直线上时，求的值； （3）如图3，若，当点与点重合时，连接，若、、三点在同一直线上，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成实外教育集团高2025级高一年级入学统考试题 数学 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 我国是历史上最早认识和使用负数的国家，若获利1000元记作元，则支出2000元应记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】D 【解析】 【分析】根据数的表示直接得出即可. 【详解】由题意得支出2000元记作：元， 故选：D. 2. 据统计，2025年参加全国普通高校招生统一考试的考生人数为1335万人，较2024年的1342万减少7万人，首次出现下降趋势.数据1335万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将1335万转换为具体数字，再根据科学记数法定义，即可得答案. 【详解】1335万=. 故选：B 3. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由指数幂的运算法则，逐一判断即得. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，与不是同类项，不能合并，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：BD 4. 如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平行线及对顶角的性质求解即可. 【详解】由题意可得∥，∥， 又因为，， 所以，， 所以. 故选：C. 5. 某学校组织了一场体育测试，现抽出60个人的体育考试分数，并对此进行统计，如图所示，关于这60人的分数，下列说法正确的是（ ） A. 众数是85 B. 中位数是80 C. 众数是21 D. 中位数是12 【答案】A 【解析】 【分析】按照众数与中位数这两个概念进行求解即可 【详解】从统计图中知，85分出现的次数最多，故众数是85； 把分数按大小排列，最中间的两个数是第30与31个数， 而，故中位数是； 故只有选项A正确； 故选：A． 6. 《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海.今凫雁俱起，问何日相逢？”（凫：野鸭.所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇？”）如果设经过天能够相遇，根据题意，得（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设北海至南海的距离为，则野鸭每天飞行的路程为，大雁每天飞行的路程为，结合路程、速度、时间的关系列方程可得结论. 【详解】设北海至南海的距离为，则野鸭每天飞行的路程为，大雁每天飞行的路程为， 因为野鸭和大雁经过天能够相遇， 则 所以， 故选：C. 7. 关于菱形的下列命题中，假命题是（ ） A. 菱形是轴对称图形，也是中心对称图形 B. 菱形的两条对角线互相平分且相等 C. 菱形的每条对角线平分两组对角 D. 菱形的面积等于两条对角线乘积的一半 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质依次分析选项即可. 【详解】菱形既是轴对称图形，也是中心对称图形，其对角线为对称轴，对角线的交点为对称中心，故A正确； 菱形的两条对角线互相平分但不一定相等，故B错误； 菱形的每条对角线平分两组对角，故C正确； 菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，故D正确； 故选：B 【点睛】 8. 二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为，且图象经过点，则下列结论错误的是（ ） A. 抛物线与轴的另外一个交点坐标是 B. ； C. ； D. 若，两点都在抛物线的图象上，则 【答案】D 【解析】 【分析】由二次函数的图象经过点结合二次函数对称性即可判断A；由二次函数对称轴公式即可判断B；由结合二次函数的图象经过点求出即可判断；由点与对称轴距离的远近即可判断D. 【详解】因为二次函数的图象经过点，其对称轴为， 所以由二次函数对称性可得二次函数的图象经过点，A正确； 由二次函数的图象对称轴为可得，即，B正确； 由因为二次函数的图象经过点得，即， 所以，所以，C正确； 因为，所以由二次函数开口向下及抛物线对称性可得，D错误. 故选：D 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 分解因式：______ 【答案】 【解析】 【分析】利用提取公因式法和完全平方公式易得. 【详解】. 故答案为： 10. 若点，都在反比例函数的图象上，则______（填“”或“”）. 【答案】> 【解析】 【分析】先将的表达式求出来，然后进行比较大小即可. 【详解】因为点都在反比例函数上， 所以. 由于，所以. 所以. 故答案为：>. 11. 声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度（）与温度（）部分对应数值如下表：研究发现，满足公式（，为常数，且）.当温度为时，声音传播的速度为______ 温度（） 0 10 30 声音传播的速度（） 324 330 336 348 【答案】342 【解析】 【分析】先根据表格数据求出的值，进而得出的表达式，然后将代入计算即可. 【详解】由题意，当时，， 则，① 当时，， 则，② 联立 ①②解得， 所以， 将代入，则（）， 故答案为：342. 12. 如图，是的内接三角形，.若的半径为3，则劣弧的长为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，由弧长公式代入计算，即可得到结果. 【详解】同弧所对的圆周角是圆心角的一半，由可得， 再由弧长公式. 故答案为： 13. 如图，是的角平分线.按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点.若，，，则的长为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据作图步骤推理得到≌，则得，再结合角平分线的定义，得到∽，再利用相似三角形对应边成比例求出，进而可得. 【详解】根据题意连接，，作图如下. 根据作图步骤可得，， 所以≌，则. 又平分，所以，故得∽. 又，，， 所以，则. 故答案为：. 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 解答下列各题： （1）计算： （2）解不等式组： 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据绝对值、根式、分数指数幂及特殊三角函数的值求解即可； （2）由不等式组的解法求解即可. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 解：由，可得， 即， 解得. 15. 为加强劳动教育，学校制定了《劳动习惯养成计划》，实施“家校社”联动行动，引导学生参与家务劳动、公益劳动等实践活动.学校在学期初和学期末分别对高一年级学生开展了“一周参与劳动时间”的问卷调查，两次调查均随机抽取50名学生.根据收集到的数据，将劳动时间（单位：）分为（），（），（），（）四组进行统计，并绘制了学期初调查数据条形图，学期末调查数据扇形图，部分信息如下. （1）在学期初调查数据条形图中，组人数是______人，并补全条形图； （2）高一年级有1200名学生，估计学期末高一年级学生一周参与劳动时间不低于的人数； （3）在本次学期末抽样调查中，有2名男生和1名女生的“一周参与劳动时间”都是5小时，现从他们中随机选取2人代表参加学校组织的“劳动光荣”演讲比赛，求选中的2人恰好是1名男生和1名女生的概率. 【答案】（1）；条形图见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用总人数减去三组的人数即可； （2）利用学期末调查数据扇形图即可求解； （3）利用古典概型的概率公式即可求解； 【小问1详解】 学期初随机抽取50名学生，组人数为人； 补全条形图如下： 【小问2详解】 由学期末调查数据扇形图可知，劳动时间不低于的为组和组， 其中组占比，组占比， 则劳动时间不低于的人数占比为， 高一年级有1200名学生，则学期末高一年级学生一周参与劳动时间不低于的人数估计为人； 【小问3详解】 记名男生为男1，男2，名女生为女， 从3人中随机选取2人，所有可能结果为：（男1，男2），（男1，女），（男2，女），共3种， 其中恰好是1名男生和1名女生的结果有2种：（男1，女），（男2，女）， 所以选中的2人恰好是1名男生和1名女生的概率为. 16. 随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛.如图，，是同一水平线上的两点，无人机从点竖直上升到点，在点测得点的俯角为，，两点的距离为.无人机继续竖直上升到点，在点测得点的俯角为. （1）求两点之间的距离； （2）求无人机从点到点的上升高度（结果精确到）.（点，，，在同一平面内，参考数据：，，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在直角三角形中根据已知的角度利用三角函数的定义求解即可； （2）在与中利用正弦函数和正切函数分别求出的长即可得出. 【小问1详解】 在中，， 由题意知， 所以， 即， 所以两点之间的距离大约为. 【小问2详解】 在中，， 所以， 即， 在中，， 所以， 由题意可得， 所以 所以， 即无人机从点到点的上升高度大约是. 17. 如图，等腰中，，点在边上，点在边上，以为半径的经过点，与相交于点，延长交于点，连接与相交于点. （1）若，求证：为的切线； （2）在（1）的条件下，若，，求的半径和线段的长. 【答案】（1）证明见解析； （2）6， 【解析】 【分析】（1）连接，由证明，即可求证； （2）由条件得到，，由，先求得，即可得半径，然后求得，进而根据求得的长. 【小问1详解】 证明：连接. 因为，所以. 因为，， 所以. 所以， 所以， 所以. 所以为的切线； 【小问2详解】 因为，所以. 由，可得， 所以， 所以 因为， 即 所以， 所以. 所以. 因为，对应内角相等， 所以. 所以. 所以. 所以的长是. 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点. （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）点为反比例函数图像上一点，连接，，若的面积为5，求点的坐标； （3）将直线绕点顺时针旋转，求旋转后的直线与双曲线的另一个交点坐标. 【答案】（1）； （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入反比例函数，解出，即可得反比例函数的表达式，将点坐标代入反比例函数，得出，再将点坐标代入一次函数，解出，即可得一次函数的表达式. （2）设点，过点作平行于轴的直线，再利用已知三角形的面积，即可解出. （3）构造等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的几何性质，结合两垂直直线斜率的乘积等于，即可解出. 【小问1详解】 由已知点，在一次函数与反比例函数上， 所以，解得，所以，则. 因此，解得. 综上，反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为. 【小问2详解】 根据题意，过点作平行于轴的直线与直线交于点，如图. 由（1）知反比例函数，可令点，则， 则. 因为，，. 因为，所以. 当时，整理得，解得或. 当时，整理得，此时判别式，方程无实数解. 综上，点的坐标为或. 【小问3详解】 根据题意，过点作直线垂直旋转后的直线与点，取线段的中点，过点，作直线，如图. 由已知得点，为等腰直角三角形，. 因为，即，所以，所以. 设点，又， 即，整理得， 即，解得或（舍），则. 故直线的表达式为，即. 联立，解得交点坐标，， 故旋转后的直线与双曲线的另一个交点坐标为. B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 已知代数式，其中为的小数部分，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先确定的值，然后代入代数式中进行化简求解即可. 【详解】因为，为的小数部分， 则. 所以 故答案为：. 20. 已知是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根,且满足,则的值是___________． 【答案】3 【解析】 【分析】由一元二次方程有两个不相等的实数根可求出的取值范围,再由根与系数关系可求得的值，结合,可求出答案. 【详解】一元二次方程有两个不相等的实数根,则,解得. ,,则,即,解得或,因为,所以只有符合题意. 故答案为:3. 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数关系的应用，考查了学生的计算能力，属于基础题. 21. 几何学有两个伟大的瑰宝，一个是毕达哥拉斯定理，另一个是黄金分割.毕达哥拉斯几何学中有一个关于五角星结构的问题.如图，一个边长为1的正五边形有5条对角线，这些对角线分别相交于，，，，五点，它们组成了另一个正五边形，现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据正五边形的性质，可求得各个角度，进而可得相似于，计算可得的长，则所求落在阴影部分概率，即为阴影面积与正五边形面积之比，即可得答案. 【详解】因为正五边形， 所以每个内角度数为， 即， 所以在中，， 因为， 所以，则， 所以， 所以， 所以， 设， 因为，， 所以相似于， 所以，即，解得（负值舍去）， 所以， 则这个点取在阴影部分的概率. 故答案为： 22. 如图，矩形的对角线交于点，将沿着翻折到，与交于点.设，的面积为，则______.（用和表示） 【答案】 【解析】 【分析】设，利用平面几何知识和题设条件求得，根据三角形面积相等求得，在中，利用三角函数求出，从而得到，将代入化简即得结果. 【详解】设，由题意，， 在中，，则， 因矩形，，则， 又，联立解得(*)， 因，则， 在中， ，即，解得， 故， 将(*)代入，可得. 故答案为：. 23. 在综合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数中，任取两数之和不大于的取法种数进行了探究.发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，可得；……若时，则的值为______；若，则的值为______. 【答案】 ①. 16 ②. 2550 【解析】 【分析】根据探究总结发现规律，分别求出时，的值即可. 【详解】由题意知：当时， 设在这8个数中任取两数分别为，则满足取法有： 当时，可以取共7种， 当时，可以取共5种， 当时，可以取共3种， 当时，可以取共1种， 所以此时， 由题意知：当时， 设在这101个数中任取两数分别为，则满足取法有： 当时，可以取共100种， 当时，可以取共98种， 当时，可以取共96种， 当时，可以取共94种， 当时，可以取共4种， 当时，可以取共2种， 当时，没有满足条件的值， 所以当时， ， 故答案为：16；2550. 二、解答题（本大题共3个小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24. 2025年成都世界运动会的吉祥物名为“蜀宝”和“锦仔”，分别以大熊猫和川金丝猴为原型.设计团队通过这两个吉祥物展现了成都生态宜居、热情友好的城市形象，同时融入了三星堆、太阳神鸟、芙蓉花等城市符号，体现了成都“山水之美”和“热情似火”的城市气质.某商品店现有“蜀宝”和“锦仔”两种吉祥物，供消费者购买.已知“蜀宝”的单价比锦仔的单价高20元，用10000元购买“蜀宝”的数量和用8000元购买“锦仔”的数量相同. （1）求“蜀宝”和“锦仔”两种吉祥物每件的售价分别是多少元； （2）需购买“蜀宝”和“锦仔”两种吉祥物共120个（两种吉祥物都要购买），“锦仔”的数量不能多于“蜀宝”数量的，设购买“蜀宝”个，总费用为元，求总费用（元）与（个）的函数关系式，并求出的取值范围和总费用最低时的购买方案. 【答案】（1）吉祥物 “锦仔”每件的售价为元，吉祥物“蜀宝”每件的售价为元， （2），，当购买“蜀宝”个，“锦仔”个时，总费用最低. 【解析】 【分析】（1）设吉祥物 “锦仔”每件的售价为元，由条件列方程可得，解方程可得结论， （2）由条件可得，是整数，由此可求的范围，再由条件列函数关系式，结合函数性质求其最小值即可. 【小问1详解】 设吉祥物 “锦仔”每件的售价为元，则吉祥物“蜀宝”每件的售价为元， 因为用10000元购买“蜀宝”的数量和用8000元购买“锦仔”的数量相同， 所以，由已知， 所以， 所以，故， 所以吉祥物 “锦仔”每件的售价为元，吉祥物“蜀宝”每件的售价为元， 【小问2详解】 因为所购买的“蜀宝”和“锦仔”两种吉祥物共120个， 其中购买的吉祥物“蜀宝”有个， 所以所购买的吉祥物“锦仔”有个，是整数， 因为“锦仔”的数量不能多于“蜀宝”数量的， 所以，所以， 所以， 所以，是整数， 因为函数随的增大而增大， 所以当时，取最小值，最小值为元， 所以总费用（元）与（个）的函数关系式为， 的取值范围为是整数， 当购买“蜀宝”个，“锦仔”个时，总费用最低，最低费用为元. 25. 已知二次函数. （1）已知该函数在时取到最小值，且图象经过点和点，求这个二次函数的表达式； （2）若，点，，均在该二次函数的图象上，且，求的取值范围； （3）若，，，且，，，是抛物线上四点（如图），点在轴下方，满足，，是线段中点，求证：轴. 【答案】（1）. （2）或. （3）证明见详解 【解析】 【分析】（1）由对称轴可设二次函数的顶点式，代入已知点坐标，即可求得二次函数表达式； （2）由点的坐标可知图象关于对称，分情况作函数大致图象即可得到的取值范围； （3）设点坐标，由中点坐标公式求得坐标，由抛物线表达式解出点横坐标，由横坐标的关系即可得证. 【小问1详解】 由题意可设二次函数为， ∴，解得，即， 故该二次函数的表达式为. 【小问2详解】 由题意可知点与关于对称轴对称，则函数图象的对称轴为：， ①当时，当时，函数值随的增大而增大，∴，不符合题意； ②当时，即，根据题意函数大致图象为： 要使，由图可知：，解得； ③当时，即，根据题意函数大致图象为： 要使，由图可知：； 综上所述：或. 【小问3详解】 设，，，因，， 则，， 又是线段中点，则有， 由点是抛物线上一点，则，整理得， 同理可得， ∴， 化简得，即， 因，则，即， 故轴. 26. 在中，（其中），点是边上一动点（点不与重合），点是边的中点，连接，将沿直线进行翻折，其顶点翻折后的对应点为，连接并延长，交边于点. （1）如图1，过点作的平分线，交的边于点.求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，当点与点重合时如图2，连接，若、、三点在同一直线上时，求的值； （3）如图3，若，当点与点重合时，连接，若、、三点在同一直线上，求. 【答案】（1）证明见详解 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题，可得，，进而可得，得证； （2）易证可得，，由对称性可得，，进而可得，又由，可得，得解； （3）延长与的延长线交于点，过点作，交的延长线于点，设，则，证明可得，进而可得，在中，由勾股定理列式求得. 【小问1详解】 如图1，，， 由题可得，， 所以，所以. 【小问2详解】 由题，可得，又，所以， 又，， 所以，所以，， 又由翻折的对称性可得，， 由（1）得，所以，又， ，即， 又由，可得，又， 所以，则，即， 所以. 【小问3详解】 如图，延长与的延长线交于点，过点作，交的延长线于点， 设，则， 由翻折对称可得，又，得， ，则， 设，由，，则，， 由，，所以， 又，所以， 所以，即， 所以，解得， 又，，所以，， 所以，， 在中，由，得， 解得或（舍）. 所以的值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $