精品解析：河北省石家庄习德高级中学2025-2026学年高一上学期学情检测数学试卷

习德中学2025-2026学年第一学期学情检测 高一数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分60分，考试时间40分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用0.5mm黑色签字笔在答题卡相应栏内填写自己的班级、姓名、考场、准考证号，并用2B铅笔将考试科目、准考证号涂写在答题卡上. 2.Ⅱ卷内容须用0.5mm黑色签字笔写在答题卡相应空格或区域内. 3.考试结束，将答题卡交回. Ⅰ卷（选择题，共24分） 一、单选题：本题共8小题，每小题3分，共24分. 1. 要使式子有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由求解即可. 【详解】由题意可得， 解得. 故选：D. 2. 已知，若与相似比为，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得解. 【详解】相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方. 因为与相似比为， 所以与的面积之比为. 故选：D 3. 下列各多项式中，能直接用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平方差公式的结构特征逐项判断即可. 【详解】对于A，不能直接用平方差公式分解因式，不合题意； 对于B，，能用完全平方公式分解因式， 不能直接用平方差公式分解因式，不合题意； 对于C，，不能直接用平方差公式分解因式，不合题意； 对于D，，能直接用平方差公式分解因式，符合题意. 故选：D 4. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据多项式除以单项式的运算法则将原式化简，即可得到结果. 【详解】原式. 故选：D 5. 已知，则（ ） A. 64 B. 8 C. 6 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】由已知得，进而根据同底数幂的乘法计算即可. 【详解】 故选：B. 6. 如图所示各图中反映了变量是的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的概念，对于任意的都有唯一的与之对应，逐一验证即可. 【详解】根据函数的概念，对于任意的都有唯一的与之对应，故D正确. 故选：D. 7. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为m，n，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】由韦达定理代入计算，即可得到结果. 【详解】方程，即，设方程的两根分别为， 由韦达定理可得，， 即点在第三象限. 故选：C 8. 在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，点C的坐标为（），则的最小值是（ ） A. 6 B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】求出点所在直线方程，再求关于直线的对称点，转化为求的最小值即可得解. 【详解】如图， ， 在直线上， 设点A关于直线的对称点为A'，则所在直线为， 代入点，可得，解得， 故所在直线为， 联立，解得， 故直线与直线交点， 则点关于直线的对称点的坐标为， ， 因为， 所以的最小值是， 故选：C Ⅱ卷（非选择题，共96分） 二、填空题：本题共4小题，共16分. 9. 在平面内，到点的距离等于8的点的集合是__________. 【答案】以点为圆心，以8为半径的圆 【解析】 【分析】根据圆的定义求解. 【详解】在平面内到点的距离等于8的点的集合是：以点为圆心，以8为半径的圆. 故答案为：以点为圆心，以8为半径的圆. 10. 如图，直线a，b被直线c所截，且.若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意及两直线平行的性质可得答案. 【详解】如图，因，可得，又， 则. 故答案为： 11. 若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，结合因式分解化简分式，再代入求值. 【详解】当时，. 故答案为： 12. 如果，那么我们规定.例如：因为，所以. （1）记，，，则三者之间的数量关系是__________； （2）若，则__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用指数式与对数式的相互转化，依次用对数式表示出，最后结合对数的运算性质即可判断； （2）设，，，根据题意，利用指数运算性质，即可求出的值. 【详解】（1）依题意，即，， 即，， 即，， 易得，即， 故答案为：. （2）设，，， 则，，， 若， 则，则，即， 即，所以. 三、解答题：本题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 13. （1）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； （2）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； （3）直接写出不等式组的解集. 【答案】（1），数轴见解析；（2），数轴见解析；（3） 【解析】 【分析】根据题意，利用不等式（组）的解法，求得不等式（组）的解集，再在数轴上表示不等式的解集，即可得到答案. 【详解】解：（1）由不等式，可得，所以不等式的解集为， 在数轴上表示出其解集，如图所示： （2）由不等式，可得，所以不等式的解集为， 在数轴上表示出其解集，如图所示： （3）由不等式组，可得，所以， 即不等式组的解集为. 14. 解下列方程或方程组： （1）； （2） 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）用因式分解法解一元二次方程. （2）用代入消元法解方程组. 【小问1详解】 原方程可化为：，所以或. 所以原方程的解为：或. 【小问2详解】 由得， 将其代入得， 整理得. 将代入得. 所以原方程组的解为： 15. 如图，在四边形ABCD中，M，N分别是CD，BC的中点，且，. （1）求证：； （2）若，，求四边形ABCD的面积. 【答案】（1）证明见解析； （2）24. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线段垂直平分线的性质及等腰三角形性质推理得证. （2）由已知，结合勾股定理求出等腰三角形底边上的高，进而求出面积. 【小问1详解】 连接，由，是的中点，得，则平分等腰顶角， 即，同理可证， 所以. 【小问2详解】 在中，，是的中点，则，而， 则，在中，，是的中点， 则，又，于是， 所以四边形ABCD的面积. 16. 把代数式通过配凑手段，得到局部完全平方式，再进行运算和解题，这种方法叫做配方法. 如：①用配方法分解因式：. 解：原式. ②，利用配方法求的最小值. 解：.∵，∴当时，有最小值. 请根据上述材料解决下列问题： （1）利用上述方法分解因式：； （2）若，求的最小值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）通过配方法将二次三项式化为完全平方与常数的差，再利用平方差公式分解因式； （2）通过配方法将代数式化为完全平方与常数的和，利用平方的非负性求最小值. 【小问1详解】 对原式进行配方，得 ； 【小问2详解】 将原式进行配方，得， 因为恒成立，所以当时，M有最小值. 17. 如图，是圆的直径，弦交于点，，. （1）求的度数； （2）若，求扇形的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）运用圆周角定理及其推论，结合几何关系即可求解； （2）连接，结合几何关系求得，，再结合扇形面积公式即可求解. 【小问1详解】 连接，如图，根据题意，可得， 又是圆的直径，所以，所以， 又，， 所以. 【小问2详解】 连接，则， 又，，所以， 所以， 又，， 所以，， 所以扇形的面积. 18. 如图，直线与x轴、y轴相交于B，C两点，抛物线（）过点，且与x轴另一个交点为A，以OC，OA为边作矩形OADC，CD交抛物线于点G. （1）求抛物线的解析式以及点A的坐标； （2）已知直线交OA于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，请用含m的代数式表示PM的长； （3）在（2）的条件下，连接PC，若△PCF和△AEM相似，求m的值. 【答案】（1）； （2） （3）或1或 【解析】 【分析】（1）根据直线的解析式易求的坐标，再把其坐标分别代入，即可求出抛物线的解析式，设，解方程即可求出的坐标； （2）先根据的坐标，用待定系数法求出直线的解析式，进而根据抛物线和直线的解析式分别表示出点的坐标，即可得到的长； （3）由于和都是直角，和对应，则若以为顶点的三角形和相似时，分情况进行讨论：或；可分别用含的代数式表示出的长，根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，求出的值． 【小问1详解】 因为与x轴、y轴相交于B，C两点， 令，所以， 令，所以， 又（）过点， 所以， 所以， 令，， 解得或， 所以； 【小问2详解】 设直线的解析式为， 因为和，所以， 所以直线的解析式为， 因为点的横坐标为，点在上， 所以， 因为点的横坐标为,点在抛物线上， 所以， 所以， 所以，其中. 【小问3详解】 在(2)的条件下，连结，在上方的抛物线部分存在这样的点， 使得以为顶点的三角形和相似. 理由如下：因为存在，故与不重合即或. 由题意得当时，， 若以为顶点的三角形和相似，分两种情况： 若，则， 所以，且， 解得； 若，则， 所以，且， 解得， 当时， ， 若，则， 所以，且， 解得， 若，则， 所以，且， 解得（舍去） 综上所述,存在这样的点使与相似。此时的值为或1或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 习德中学2025-2026学年第一学期学情检测 高一数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分60分，考试时间40分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用0.5mm黑色签字笔在答题卡相应栏内填写自己的班级、姓名、考场、准考证号，并用2B铅笔将考试科目、准考证号涂写在答题卡上. 2.Ⅱ卷内容须用0.5mm黑色签字笔写在答题卡相应空格或区域内. 3.考试结束，将答题卡交回. Ⅰ卷（选择题，共24分） 一、单选题：本题共8小题，每小题3分，共24分. 1. 要使式子有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，若与相似比为，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各多项式中，能直接用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 4. （ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. 64 B. 8 C. 6 D. 12 6. 如图所示各图中反映了变量是的函数是（ ） A. B. C. D. 7. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为m，n，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，点C的坐标为（），则的最小值是（ ） A. 6 B. C. D. 5 Ⅱ卷（非选择题，共96分） 二、填空题：本题共4小题，共16分. 9. 在平面内，到点的距离等于8的点的集合是__________. 10. 如图，直线a，b被直线c所截，且.若，则__________. 11. 若，则__________. 12. 如果，那么我们规定.例如：因为，所以. （1）记，，，则三者之间的数量关系是__________； （2）若，则__________. 三、解答题：本题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 13. （1）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； （2）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； （3）直接写出不等式组的解集. 14. 解下列方程或方程组： （1）； （2） 15. 如图，在四边形ABCD中，M，N分别是CD，BC的中点，且，. （1）求证：； （2）若，，求四边形ABCD的面积. 16. 把代数式通过配凑手段，得到局部完全平方式，再进行运算和解题，这种方法叫做配方法. 如：①用配方法分解因式：. 解：原式. ②，利用配方法求的最小值. 解：.∵，∴当时，有最小值. 请根据上述材料解决下列问题： （1）利用上述方法分解因式：； （2）若，求的最小值. 17. 如图，是圆的直径，弦交于点，，. （1）求的度数； （2）若，求扇形的面积. 18. 如图，直线与x轴、y轴相交于B，C两点，抛物线（）过点，且与x轴另一个交点为A，以OC，OA为边作矩形OADC，CD交抛物线于点G. （1）求抛物线的解析式以及点A的坐标； （2）已知直线交OA于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，请用含m的代数式表示PM的长； （3）在（2）的条件下，连接PC，若△PCF和△AEM相似，求m的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $