直线的倾斜角与斜率 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第7讲直线的倾斜角与斜率 知识再现 一.直线的倾斜角 1、倾斜角的定义：当直线I与x轴相交时，我们把x轴称为基准，x轴的正向与1向上的方 向之间所产生的角叫做直线I的倾斜角. 2、倾斜角的范围： 当直线1与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°.因此，直线的倾斜角的取值 范围为0°≤α<180°.直线的图象与倾斜角的关系如下表 倾斜角 0=0° 0°<0<90° 0=90° 90°<0<180° 直线 平行于x轴 由左向右上升 垂直于x轴 由左向右下降 ◆Y -l 图示 3、对倾斜角的理解 (1)定义中含有的三个条件：①直线向上方向；②x轴正向；③小于180°的角 (2)从运动学观，点看，直线的倾斜角是由x轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角· (③)直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应· (4)已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可 以唯一确定直线的位置 二·直线的斜率 1、斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角0（≠90°）的正切值叫做这条直线的斜率， 常用小写字母k表示，即k=tana. 2、倾斜角与斜率的关系 直线的情况 平行于x轴 由左向右上升 垂直于x轴 由左向右下降 0的大小 0a=0 0°<a<90 a=90° 90°<a<180 k的取值范 k=0 k>0 不存在 k<0 围 k的增减性 k随0的增大而增 k随的增大而减增 大 大 3、倾斜角与斜率的区别和联系 (1)每条直线都有唯一的倾斜角，但不是所有的直线都有斜率，倾斜角为90°的直线没有 斜率； 第1页共10页 (2)不同的倾斜角对应不同的斜率，当倾斜角不是90°时，倾斜角的正切值是斜率，此时 斜率和倾斜角可以互相转化，因此，确定一条不垂直于x轴的直线，只要知道直线上的一个 点和直线的斜率即可 三.过两，点的直线的斜率公式 1、斜率公式：经过两点B(:,片)、B(G,)(G≠x)的直线的斜率公式为k=当-出 x2-X1 2、对斜率公式的理解 (1)当x,=x2时，直线与x轴垂直，直线的倾斜角为90°，斜率不存在，此时公式不适用. 因此，在研究直线的斜率问题时，一定要注意斜率的存在与不存在两种情况 (2)直线的斜率公式中k的值与P,P两，点都在该直线上的位置无关，即在直线上任取不 同的两，点，其斜率均不变 (3)斜率公式与两，点坐标的顺序无关，即两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调 换，也就是说，如果分子式y2-y1,分母必须是2一x；如果分子是y,-y2，分母必须是 X-龙，即k=当上=-丛 x2-X1X1-x2 3、直线的斜率与方向向量的关系 我们知道直线PD上的向量PD以及与它平行的向量都是直线的方向向量，直线D的方 向向量E的坐标为（化，-x,2-).当直线B与x轴不垂直时，此时向量1P职也 是直线PB的方向向量，且它的坐标1体，-片-)，即0，上二当)=(，)，共中 X2-X1 X2-x1 k是直线P的斜率，因此，若直线1的斜率为k,它的一个方向向量的坐标为(x,y),则 斜率为飞=上 题型一：直线的倾斜角 例1若直线1的斜率为√5，则该直线的倾斜角为（) A.30° B.45° C.60° D.120° 第2页共10页 例2.在下列四个命题中，正确的是() A.若一条直线的斜率为tana,则此直线的倾斜角为a B.若一条直线的倾斜角为a,则此直线的斜率为tanc C.坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 D.直线的倾斜角的取值范围是[0，π) 例3.设直线1的斜率为k,且-1≤k<V3,则直线l的倾斜角0的取值范围为() a.[好B.0[经c.().[到[ 第3页共10页 例4.设直线1与x轴交于，点A,其倾斜角为0，直线1绕，点A顺时针旋转45°后得直线☑，有 下列四个值：①a+45°；②a+135°；③a-45°；④135°-a.则直线的倾斜角为() A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 题型二：直线的斜奉 例5已知直线1的领斜角为写里直线经过P(-2,0-m,0)两点，则实数m的值为（) A.2 B.3 C.4 D.5 第4页共10页 例6.经过两点A(m,2),B(-m,-2m-1)的直线的倾斜角是60°，则实数m的值为(） A.45-B.45+D c.3v5-) D.35+少 3 3 4 4 例7.经过两，点A(1,m),B(m-1,3)的直线的倾斜角是钝角，则实数m的范围是（) A.(-00,-3)U(-2,+0) B.(-0,-3)U(2,+0) C.(-00,-2)U(3,+0) D.(-00,2)U(3,+0) 第5页共10页 例8.已知直线I的倾斜角为，并且0°≤a<120°，直线1的斜率k的范围是（) A.-√5<k≤0B.k>-V5C.k≥0或k<-√5 D.k≥0或k<-5 3 例9.若直线l的斜率为sinθ(0∈R),则直线l的倾斜角的取值范围是一 题型三：斜率与倾斜角的转化 例10.下列关于直线斜率和倾斜角的说法中，正确的是（) A.任意一条直线都有斜率 B.倾斜角的范围为0，π C.倾斜角为0的直线只有一条，即x轴D.若直线的倾斜角为，则sin∈(0，I) 第6页共10页 例11.（多选)在下列四个命题中，正确的是() A.若直线的倾斜角为锐角，则其斜率一定大于0 B.任意直线都有倾斜角，且当a≠90°时，斜率为tana C.若一条直线的斜率为tana,则此直线的倾斜角为c D.直线的倾斜角越大，则其斜率越大 例12.已知直线，l2,l的斜率分别是k,k2,k3,如图所示，则（） A.k1<k2<k3 B.k3<k2<ky C.k<k3<k2 D.k3<k<k2 第7页共10页 例13.直线(，2，，☑的图象如图所示，则斜率最小和最大的直线是() A.4, B.Z,4 C.☑，Z D.Z,4 题型四：直线的方向向量与三点共线问题 例14.已知直线1的一个方向向量为ā=(3，-2)，则直线1的斜率为（) a身 R子 C. D 3-2 第8页共10页 例15.已知直线1的一个方向向量为AB=1,V3),则直线1的倾斜角为() A.30° B.45 C.60 D.90 例16若三点42,83，-2列，c行m关线，则m= 例17.已知A4,5),B1,2),C(3,m三，点共线，则实数m的值为 题型五：直线斜率公式的运用 例18.设，点A(4,-3),B(-2,-2),直线I过，点PL,)且与线段AB相交，则直线I的斜率k的取值 范围是() A.k≥1或g-4B.k21或k≤号C.4≤ks1 3 D.sks1 第9页共10页 例19.已知，点A(0,-8),B(2,-2),C(4,m,若线段AB,AC,BC不能构成三角形，则m 的值是 例20.已知正△ABC的项，点A1,1),B1,3),顶点C在第一象限，若，点P(x,y)是△ABC内部 及其边界上一点，则少的最大值为() x+1 B.3 D.3V5-3 2 2 第10页共10页 第7讲 直线的倾斜角与斜率 知识再现 一 .直线的倾斜角 1、倾斜角的定义：当直线与轴相交时，我们把轴称为基准，轴的正向与向上的方向之间所产生的角叫做直线的倾斜角． 2、倾斜角的范围： 当直线与轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.因此,直线的倾斜角的取值范围为．直线的图象与倾斜角的关系如下表. 倾斜角 直线 平行于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降 图示 3、对倾斜角的理解 （1）定义中含有的三个条件：①直线向上方向；②轴正向；③小于的角． （2）从运动学观点看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角． （3）直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应． （4）已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置． 二 .直线的斜率 1、斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角（）的正切值叫做这条直线的斜率，常用小写字母表示，即． 2、倾斜角与斜率的关系 直线的情况 平行于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降 的大小 的取值范围 不存在 的增减性 — 随的增大而增大 — 随的增大而减增大 3、倾斜角与斜率的区别和联系 （1）每条直线都有唯一的倾斜角，但不是所有的直线都有斜率，倾斜角为90°的直线没有斜率； （2）不同的倾斜角对应不同的斜率，当倾斜角不是90°时，倾斜角的正切值是斜率，此时斜率和倾斜角可以互相转化．因此，确定一条不垂直于轴的直线，只要知道直线上的一个点和直线的斜率即可． 三. 过两点的直线的斜率公式 1、斜率公式：经过两点、的直线的斜率公式为． 2、对斜率公式的理解 （1）当时，直线与轴垂直，直线的倾斜角为90°，斜率不存在，此时公式不适用．因此，在研究直线的斜率问题时，一定要注意斜率的存在与不存在两种情况． （2）直线的斜率公式中的值与，两点都在该直线上的位置无关，即在直线上任取不同的两点，其斜率均不变． （3）斜率公式与两点坐标的顺序无关，即两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换，也就是说，如果分子式，分母必须是；如果分子是，分母必须是，即． 3、直线的斜率与方向向量的关系 我们知道直线上的向量以及与它平行的向量都是直线的方向向量，直线的方向向量的坐标为．当直线与轴不垂直时，此时向量也是直线的方向向量，且它的坐标，即，其中是直线的斜率．因此，若直线的斜率为，它的一个方向向量的坐标为，则斜率为． 题型一：直线的倾斜角 例1.若直线l的斜率为，则该直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 解析：由定义：斜率 ，其中 为直线l的倾斜角， ， 又 ；故选：C. 例2．在下列四个命题中，正确的是（    ） A．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 B．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 C．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 D．直线的倾斜角的取值范围是 解析：对于A，直线的斜率为1，而，显然不是直线的倾斜角，A错误； 对于B，直线的倾斜角为，而直线的斜率不存在，B错误； 对于C，坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角，而垂直于x轴的直线没有斜率，C错误； 对于D，直线的倾斜角的取值范围是，D正确. 故选：D 例3.设直线l的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 解析：由题意可知，，当时，则为钝角，且； 当时，此时，. 综上所述，直线的倾斜角的取值范围为.故选：D. 例4.设直线l与x轴交于点A，其倾斜角为，直线l绕点A顺时针旋转后得直线，有下列四个值：①；②；③；④．则直线的倾斜角为（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 解析：直线l绕点A顺时针旋转后得直线，当时，直线的倾斜角为； 当时，直线的倾斜角为． 综上，直线的倾斜角为或.故选：B 题型二：直线的斜率 例5.已知直线的倾斜角为，且直线经过，两点，则实数的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 解析:由题意，直线的斜率为，解得，故选：B． 例6.经过两点，的直线的倾斜角是，则实数m的值为  （    ） A． B． C． D． 解析：当时，，，此时直线的倾斜角为，不符合题意； 所以，由题意，解得．故选：D. 例7．经过两点，的直线的倾斜角是钝角，则实数m的范围是（    ） A． B． C． D． 解析：直线的倾斜角是钝角，则直线斜率，解得或． 故选：D． 例8.已知直线的倾斜角为，并且，直线的斜率的范围是（    ） A． B． C．或 D．或 解析：因为斜率，且，其中时直线无斜率， 当时，得；当时，得；故选：C. 例9.若直线的斜率为，则直线的倾斜角的取值范围是 . 解析：由题意可得直线的斜率， 令直线的倾斜角为，则，解得，故答案为： 题型三：斜率与倾斜角的转化 例10.下列关于直线斜率和倾斜角的说法中，正确的是（    ） A．任意一条直线都有斜率 B．倾斜角的范围为 C．倾斜角为0的直线只有一条，即x轴 D．若直线的倾斜角为，则 解析：对于A，垂直于x轴的直线没有斜率，A错误； 对于B，直线倾斜角的范围为，B正确； 对于C，垂直于y轴的直线倾斜角都为0，C错误； 对于D，直线的倾斜角为，则，D错误.故选：B 例11.（多选）在下列四个命题中，正确的是（    ） A．若直线的倾斜角为锐角，则其斜率一定大于0 B．任意直线都有倾斜角，且当时，斜率为 C．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 D．直线的倾斜角越大，则其斜率越大 解析：当时，其斜率，所以A正确； 根据直线倾斜角的定义可得每一条直线都有一条确定的倾斜角，由斜率定义可得当直线的倾斜角时，直线的斜率为，所以 B正确； 若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为，且. ，故C不正确； 直线的倾斜角为锐角是斜率大于0，倾斜角为钝角时斜率小于0，故D不正确； 故选：AB. 例12.已知直线的斜率分别是，如图所示，则（   ） A． B． C． D． 解析：由图象可知：，，； 设的倾斜角分别为，则，，即， .故选：C. 例13.直线，，，的图象如图所示，则斜率最小和最大的直线是（    ）    A．， B．， C．， D．， 解析：直线的倾斜角为钝角，斜率为负，直线的倾斜角为锐角，斜率为正， 其中的倾斜角大于的倾斜角角，的倾斜角大于的倾斜角， 因此直线的斜率最大，直线的斜率最小，故选：B. 题型四：直线的方向向量与三点共线问题 例14.已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 解析：因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率为.故选：B 例15.已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 解析：设直线的倾斜角为，， 由直线的一个方向向量为，得，则.故选：C． 例16.若三点，，共线，则 . 解析：由题意，直线的斜率为，直线的斜率为：， 因三点共线，故，即，解得：. 例17.已知三点共线，则实数的值为 . 解析：因为的横坐标不相同，故三点共线 可得，则，解得. 题型五：直线斜率公式的运用 例18.设点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 解析：依题意，直线的斜率分别为， 如图所示： 若直线过点且与线段相交，则的斜率满足或， 即的斜率的取值范围是或 .故选：B 例19.已知点，，，若线段，，不能构成三角形，则的值是 . 解析：因为线段，，不能构成三角形，所以三点共线， 显然直线的斜率存在，故，即，解得， 故答案为：4 例20.已知正的顶点，，顶点在第一象限，若点是内部及其边界上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 解析：正的顶点，且顶点在第一象限，故顶点的坐标为，， 可看作内部及其边界上一点与点的连线斜率， 当运动到点时，直线的斜率最大，故的最大值为故选：B. 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $