第六章 数据的分析课件2025-2026学年 北师大版（2024）八年级数学上册

1 平均数与方差 第3课时 方差、标准差与离差平方和 第六章 数据的分析 学习目标 1.理解方差、标准差的意义，会进行方差、标准差的计算．（重点、难点） 2.了解离差平方和的意义，掌握离差平方和的计算方法．（重点） 某射击队三位运动员某次选拔赛的射击成绩如图所示，你认为甲、乙、丙三人中谁的发挥更稳定？ 能不能通过计算说明这三人成绩的稳定程度？ 新课导入 3 实际生活中，除了关心数据的集中趋势外，人们往往还关注数据的离散程度，即它们相对于集中趋势的偏离情况. 在统计学里，数据的离散程度可以用离差平方和、方差或标准差等统计量来刻画. 讲授新课 4 离差平方和是各个数据与它们平均数之差的平方和，即 离差平方和 例1 课程导入中，甲、乙、丙这三位运动员成绩的离差平方和分别是多少？ 甲成绩的平均数为： ，离差平方和为： 乙成绩的平均数为： ，离差平方和为： 丙成绩的平均数为： ，离差平方和为： 6 通过计算可知，甲、乙、丙这三位运动员的离差平方和分别为14，12，26，但仅仅只有他们成绩的离差平方和还不足以刻画他们发挥的稳定程度，因此，我们还将计算他们成绩的方差和标准差. 方差是各个数据与它们平均数之差的平方的平均数，即 方差与标准差 其中， 是x1，x2，...，xn的平均数. 标准差是方差的算术平方根. 要点精析： (1)方差和标准差是用来衡量一组数据的波动大小的重要量，反映的是数据在平均数附近波动的情况； (2)一般而言，一组数据的方差或标准差越小，这组数据就越稳定. 例2 小明和小兵两人参加体育项目训练，近期的五次测试成绩如下表所示.谁的成绩较为稳定？为什么？ 测试次数 1 2 3 4 5 小明 10 14 13 12 13 小兵 11 11 15 14 11 小明 1 2 3 4 5 10 14 13 12 13 小兵 1 2 3 4 5 11 11 15 14 11 1 2 3 4 5 求平方和 小明 每次测试成绩 10 14 13 12 13 （每次成绩－ 平均成绩）2 5.76 2.56 0.36 0.16 0.36 9.2 小兵 每次测试成绩 11 11 15 14 11 （每次成绩－ 平均成绩）2 1.96 1.96 6.76 2.56 1.96 15.2 计算可得： 小明5次测试成绩的标准差为 1.84； 小兵5次测试成绩的标准差为 3.04. 所以根据结果小明的成绩比较稳定 为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中抽取 了10株麦苗，测得高度(单位：cm)如下： 甲：15，15，14，11，16，14，12，14，13，15； 乙：17，14，12，16，15，14，14，14，13，11. 哪种麦苗长势整齐？ 导引： 根据题意，要比较哪种麦苗长势整齐，需比较它 们高度的方差，先求出其平均数，再根据方差的 公式计算方差，进行比较可得结论． 做一做 解： 因为s甲2＜s乙2，所以甲种麦苗长势整齐． 方法拓展 任取一个基准数a 将原数据减去a，得到一组新数据 求新数据的方差 1 2 3 1.求一组较大数据的方差，有如下简便计算方法： 2.标准差就是方差的算术平方根. (1)观察下列各组数据并填空： A：1　2　3　4　5　 ＝________，sA2＝________； B：11　12　13　14　15 ＝_______，sB2＝_______； C：10　20　30　40　50 ＝_______，sC2＝_______； D：3　5　7　9　11　 ＝________，sD2＝________； (2)比较A与B，C，D的计算结果，你能发现什么规律？ 导引：分别求平均数与方差，寻找四者之间的规律， 然后根据规律解决问题． 例3 3 2 8 7 2 200 30 13 (2) A与B比较，B组中各数据比A组中对应各数据多10， 所以 即sB2＝sA2. ，而方差不变， A与C比较，C组各数据为A组中对应各数据的10倍， 所以 A与D比较，D组各数据为A组中对应各数据的2倍多1， 所以 ＝2 ＋1＝2×3＋1＝7， sD2＝22×sA2＝4×2＝8. ＝30，sC2＝102×sA2＝200. (3)若已知一组数据x1，x2，…，xn的平均数为 ，方差为s2， 那么另一组数据3x1－2，3x2－2，…，3xn－2的平均数是 ________，方差是________． 1.人数相同的八年级（1）、（2）两班学生在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下： ， ， ，则成绩较为稳定的班级是（ ） A.甲班 B.乙班 C.两班成绩一样稳定 D.无法确定 B 当堂练习 2.数据－2，－1，0，1，2的离差平方和是___， 方差是___，标准差是 . 3.五个数1，3，a，5，8的平均数是4，则a =_____，这五个数的方差_____. 2 3 5.6 10 4. 甲、乙两台编织机纺织一种毛衣，在5天中两台编织机每天出的合格品数如下（单位：件）： 甲：7 10 8 8 7 ；乙：8 9 7 9 7 . 计算在这5天中，哪台编织机出合格品的波动较小？ 解： 所以是乙台编织机出的产品的波动性较小. =（7+10+8+8+7）÷5=8 =（8+9+7+9+7）÷5=8 数据的离散程度 离差平方和 方差 标准差 课堂小结 22 $2 中位数与箱线图 第1课时 中位数与百分位数值表 第六章 数据的分析 学习目标 1.掌握中位数的意义，学会用中位数刻画数据．（重点） 2.理解众数、平均数和中位数各自的特征.（重点） 3.了解百分位数值表，并能根据百分位数值表对数据做出简单分析．（难点） 某公司员工的月工资如下: 员工 经理 副经理 职员A 职员B 职员C 职员D 职员E 职员F 杂工G 月工资/元 7 000 4 400 2 400 2 000 1 900 1 800 1 800 1 800 1 200 我公司员工收入很高，月平均工资为2 700元. 经理 我的工资是1 900元，在公司算中等收入. 职员C 新课导入 3 应聘者 你怎样看待该公司员工的收入? 职员D 这个公司员工收入到底怎样呢？ 我们好几个人工资都是1 800元. 经理、职员C、职员D从不同的角度描述了该公司员 工的收入情况. 月平均工资2 700元，指所有员工工资的平均数是2 700元， 说明公司每月将支付工资总计2 700×9=24 300 （元）. 9个员工中有3个人的工资为1 800元，出现的次数最 多，我们称它为众数. 职员C的工资1 900元，恰好居于所有员工工资的“正 中间”（恰有4人 的工资比他高，有4人的工资比他低）， 我们称它为中位数. 中位数的定义： 一般地，n个数据按大小顺序排列，处于中间位置的一个数据（或中间两个数据的平均数）叫作这组数据的中位数. 讲授新课 6 将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列： 如果数据的个数是奇数，则称处于中间位置的数为这组数据的中位数； 如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数． 如果一组数据中有极端数据，中位数能比平均数更合理地反映该组数据的整体水平． 思考：中位数有何意义？ 思考1：中位数怎么确定？ 例1 在一次男子马拉松长跑比赛中，抽得12名选手所用的时间（单位：min）如下： 136 140 129 180 124 154 146 145 158 175 165 148 （1）样本数据（12名选手的成绩）的中位数是多少？ 解：（1）先将样本数据按照由小到大的顺序排列：__________________________________ __________________________________ 这组数据的中位数为_________________________ 的平均数，即______________. 答：样本数据的中位数是_______. 124 129 136 140 145 146 148 154 158 165 175 180 处于中间的两个数146, 148 147 （2）一名选手的成绩是142min，他的成绩如何？ （2）由（1）知样本数据的中位数为_______，它的意义是：这次马拉松比赛中，大约有____ __ 选手的成绩快于147min，有______选手的成绩慢于147min. 这名选手的成绩是142min，快于中位数________，因此可以推测他的成绩比__________选手的成绩好. 147 有一半 一半 147min 一半以上 2.如果一组数据中有极端数据，中位数能比平均数更合理地反映该组数据的整体水平． 总结归纳 1.中位数是一个位置代表值（中间数），它是唯一的. 3.如果已知一组数据的中位数，那么可以知道，小于或大于这个中位数的数据各占一半，反映一组数据的中间水平． 中位数的特征及意义： (四川自贡)某班七个合作学习小组人数如下： 4，5，5，7，6，7，8，则这组数据的中位数是(　　) A．5　　　B．5.5　　　C．6　　　D．7 解析： 从小到大排列这组数据为4，5， 5，6，7，7，8，所以中位数是6. C 练一练 例2 已知一组数据10，10，x，8(由大到小排列)的中位数与平均数相等，求x值及这组数据的中位数. 解：∵10，10，x，8的中位数与平均数相等 ∴ (10+x)÷2＝ (10+10+x+8)÷4 ∴x＝8 (10+x)÷2＝9 ∴这组数据的中位数是9. 分析：由题意可知最中间两位数是10，x，列方程求解即可. 练一练 一组数据18，22，15，13，x，7，它的中位数是16，则x的值是_______. 17 分析： 这组数据有6个，中位数是中间两个数的平均数.因为7<13<15<16<18<22，所以中间两个数必须是15，x，故(15+x)÷2=17，即x=17. 归纳总结 众数、平均数和中位数都是描述数据集中趋势的统计量，它们从不同角度描述了一组数据的“平均水平”. 平均数、中位数和众数有哪些特征? 计算平均数时，所有数据都参加运算，它能充分利用数据所提供的信息，但容易受极端值的影响,应用最为广泛. 中位数的优点是计算简单，只与其在数据中的位置有关.但不能充分利用所有数据的信息. 众数只与其在数据中重复的次数有关，而且往往不是唯一的. 不能充分利用所有的数据信息，而且当各个数据的重复次数大致相等时，众数往往没有特别的意义. 把一组数据从小到大排列，中位数处于这组数据“位置的中心”，这组数据至少有50%的数据小于或等于中位数，至少有50%的数据大于或等于中位数.因此，中位数也称为第50百分位数或50%分位数，记为m50.但仅有中位数，还不能完整地反映数据的分布.为此，通常还可以找出其他p%分位数（记为mp）,制作百分位数值表，反映数据的分布情况. 百分位数值表： 例2 某中学测试了学生的右眼视力，数据如下表： 小明的视力为4.8，求小明的视力在学校所有学生中的大致位置. 解：小明的视力为4.8，在4.5到4.9之间，所以小明的视力在学生中的大致位置是高于50%，小于75%. 1 (中考·盐城)一组数据2，4，6，4，8的中位数为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 2 (中考·泰安)某单位若干名职工参加普法知识竞赛，将成绩制成 如图所示的扇形统计图和条形统计图，根据图中提供的信息， 这些职工成绩的中位数和平均数分别是(　　) A．94分，96分 B．96分，96分 C．94分，96.4分 D．96分，96.4分 B D 当堂练习 3.为了了解开展“孝敬父母,从家务事做起”活动的实施情况,某校抽取八年级某班50名学生,调查他们一周做家务所用时间,得到一组数据,并绘制成下表,请根据下表完成各题: 每周做家务的时间(小时) 0 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 人数 2 2 6 12 13 4 3 (1)填写图表格中未完成的部分； (2)该班学生每周做家务的平均时间是 . 2.44 (3)这组数据的中位数是 ,众数是 . 2.5 3 8 4. 〈易错题〉如果四个整数数据中的三个数据分别是2，4， 6，且它们的中位数也是整数，那么它们的中位数是 ________． 解析：分4种情况考虑，设第4个数为x， 当x≤2时，中位数是(2＋4)÷2＝3. 当2＜x≤4时，中位数为(x＋4)÷2，要使中位数为整数，x可 取4，则中位数为4. 当4＜x≤6时，中位数为(4＋x)÷2，要使中位数为整数，x可 取6，则中位数为5. 当x>6时，中位数为(4＋6)÷2＝5.故中位数是3或4或5. 3或4或5 平均数、中位数、众数之间的关系： 联系： 平均数、中位数、众数都是描述一组数据集中趋势的量， 平均数是最重要的量． 区别：①平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，任 何一个数据的变动都会引起平均数的变动；②中位数与 数据的排列顺序有关，某些数据的变动对中位数没有影 响，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数 来描述其集中趋势；③众数主要研究各数据出现的频数， 其大小只与这组数据中的某些数据有关，当一组数据有 不少数据多次重复出现时，我们往往关心众数． 课堂小结 20 $1 平均数与方差 第1课时 众数与算术平均数 第六章 数据的分析 学习目标 1.掌握众数的概念，会求一组数据的众数. 1.掌握算术平均数的概念，会求一组数据的算术平均数．（重点） 2.会用众数和算术平均数解决实际生活中的问题．（难点） 随着的流行，各种大模型层出不穷，现有甲、乙两个大模型，在对甲、乙两个大模型进行深度体验后，6位评委分别对甲、乙进行打分，得到如图所示的统计表格， 评委 模型 1 2 3 4 5 6 甲 7.0 9.3 8.3 9.2 8.9 8.9 乙 8.1 9.1 8.5 8.6 8.7 8.6 新课导入 3 上述甲乙两个大模型，哪个模型得分更高？你是怎样判断的？与同伴进行交流. 众数 例如，在课程导入中甲乙两个模型得分的众数分别为：8.9，8.6 一组数据中出现次数最多的那个数据叫作这组数据的众数. 讲授新课 5 对于n个数x1，x2，…，xn，那么 (x1＋x2＋…＋xn)就是这n个数的算术平均数；记为 ． 算术平均数 一组数据中所有数据之和除以这组数据的个数，就得到这组数据的算术平均数，简称平均数. 平均数是刻画一组数据集中趋势的一项指标，反映了一组数据的“中心”. 6 例1 某次舞蹈大赛的记分规则为：从七位评委的打分 中去掉一个最高分和一个最低分后计算平均分作为最后得 分．以下是在该次比赛中七位评委对小菲与小岚的打分情 况(单位：分)： （1）两组得分的众数分别是多少？ （2）请通过计算说明谁的最后得分高． 导引：（1）众数只需找得分中出现次数最多的即可. （2）此题只需按照题中所给“记分规则”将两人的最后得分的平均分数算出来即可. 小菲 80 77 80 83 75 80 89 小岚 78 81 77 76 82 85 81 解：（1）小菲得分的众数是80；小岚得分的众数是81. （2）小菲去掉一个最高分89分，去掉一个最低分75分，最后得分为： 小岚去掉一个最高分85分，去掉一个最低分76分， 最后得分为： 因为80分＞79.8分，所以小菲的最后得分高． 例2 在一次数学考试中，抽取了20名学生的试卷进行分析．这20 名学生的数学成绩(单位：分)分别为87，83，68，72，58， 100，93，96，96，83，51，83，92，62，83，83，74，72， 65，79[注：这份试卷满分100分，60分以上(含60分)为合格]． (1)求这20名学生成绩的众数； (2)求这20名学生的平均成绩； (3)求这20名学生的合格率． 解：(1)由数据可知，出现次数最多的是83，故众数为83. (2)将原数据都减去80，得到新数据为7，3，－12，－8， …，－15，－1. 所以新数据的平均数 (－15)＋(－1)]÷20＝－1． 所以原数据的平均数 即这20名学生的平均成绩为79分． (2)这20名学生的合格率为 新数据法求平均数的方法： 1. 确定一个常数（这组数据在这个常数附近波动且 较“整”）； 2. 用每个数据减去这个常数得到一组新数，并求出 这组新数的平均数； 3. 原数据的平均数等于新数据的平均数加上这个常 数 总结 （1）一组数据的众数一定出现在这组数据中. （2）一组数据的众数可能不止一个.如1，1，2，3，3，5中众数是1和3. （3）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数，如1，1，1，2，2，5中众数是1而不是3. 思考：众数是否唯一？ 例3 一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如表所示.你能根据表中的数据为这家鞋店提供进货建议码？ 尺码/厘米 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 销售量/双 1 2 5 11 7 3 1 解：由上表看出，在鞋的尺码组成的数据中， _______是这组数据的众数，它的意义是： _______厘米的鞋销量最大.因此可以建议鞋店多进_______厘米的鞋. 思考：你还能为鞋店进货提出哪些建议？ 23.5 23.5 23.5 尺码/厘米 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 销售量/双 1 2 5 11 7 3 1 练一练 某校男子足球队的年龄分布如条形图所示，则这些队员年龄的众数是(　　) A．12岁 B．13岁 C．14岁 D．15岁 C 练一练 一组数据2，3，6，8，11的平均数是 ________． 一组数据的和为87，平均数是3，则这组数据的 个数为(　　) A．87 B．3 C．29 D．90 6 C 1.某次考试，5名学生的平均分是82，除甲外，其余4名学生的平均分是80，那么甲的得分是（ ） A.84 B. 86 C. 88 D. 90 D 2.某单位若干名职工参加普法知识竞赛，将成绩制成如图所示的扇形统计图和条形统计图，根据图中提供的信息， 这些职工成绩的众数和平均数分别是(　　) A．98分，96分 B．96分，96分 C．96分，96.4分 D．98分，96.4分 D 当堂练习 2.李大伯有一片果林，共有80棵果树．某日，李大伯开始采摘今年第一批成熟的果子，他随机选取2棵果树共摘得10个果子，质量分别为（单位：㎏）：0.28，0.26，0.24，0.23，0.25，0.24，0.26，0.26，0.25，0.23．以此估算，李大伯收获的这批果子的单个质量和总质量分别约为（　　） A.0.25 ㎏，200 ㎏ B.2.5 ㎏，100 ㎏ C.0.25 ㎏，100 ㎏ D.2.5 ㎏，200 ㎏ C 3.若x1,x2,…, xn的平均数为a， (1)则数据x1+3,x2+3,…,xn+3的平均数为 . (2)则数据10x1,10x2,… ,10xn 的平均数为 . a+3 10a 4.下面的扇形图描述了某种运动服的S号、M号、L号、XL号、XXL号在一家商场的销售情况.请你为这家商场提出进货建议. S 16% 8% 24% 30% 22% M L XL XXL 解：因为众数是M号，所以建议商场多进M号的运动服，其次是进S号，再其次进L号，少进XXL号的运动服. 2.算术平均数公式： = (x1＋x2＋…＋xn). 3.当所给的数据较大，且所给数据大部分都在某一常数a附近上下波动时，可计算各数据与a的差：x1－a＝x1′，x2－a＝x2′，…，xn－a＝xn′，则 1.我们把一组数据中出现次数最多的那个数据叫作这组数据的众数. 课堂小结 21 $ 第六章 数据的分析 3 哪个团队收益大 学习目标 1.能从统计图中获取信息，并求出相关数据的平均数、中位数、众数．（重点） 2.能够利用统计知识分析和评价数据．（难点） 通过箱线图可以获得哪些信息？ 新课导入 3 例1 甲、乙两地同一天的气温记录如下表： 时刻 0时 2时 4时 6时 8时 10时 12时 14时 16时 18时 20时 22时 24时 甲/℃ 11 9 10 12 16 21 23 24 21 18 16 14 13 乙/℃ 13 11 12 14 15 17 19 21 20 18 17 18 15 根据表中数据，分别计算甲、乙两地气温的四分位数，在同一幅图中画出箱线图，据此比较甲、乙两地的气温特点. 讲授新课 4 解：将表中两地的气温（单位℃）分别从小到大的顺序排列，可得 甲地 9，10，11，12，13， 14， 16， 16， 18， 21， 21， 23， 24 乙地 11，12， 13 ，14，15，15， 16 ，17，17 ，18 ，19 ，20 ，21 甲、乙两地气温各有13个数据.甲地气温的最小值为9，最大值为24，三个四分位数分别为 m50=16， m25=11.5， m75=21 乙地气温的最小值为11，最大值为21，三个四分位数分别是 m50=16， m25=13.5， m75=18.5 在同一幅图中画出两地的箱线图，如图所示： 可以看出，甲、乙两地气温的中位数相同，但甲地气温的波动明显比乙地的大，甲地约有25%时刻的气温高于乙地的最高气温，约有25%时刻的气温低于乙地的最低气温. 一家汽车零售店的9名销售人员10月份销售的汽车数量（单位：辆）如下： 12， 10， 3， 9 ，10， 12， 2， 6， 14 （1）计算汽车销售数量的四分位数； （2）画箱线图并分析汽车销售数量的特点. 解：（1）将该组数据从小到大排序：2， 3， 6， 9， 10， 10， 12， 12，14 最小值为2，最大值为14.三个四分位数分别为 m50=10， m25=4.5， m75=12 练一练 一家汽车零售店的9名销售人员10月份销售的汽车数量（单位：辆）如下： 练一练 12， 10， 3， 9 ，10， 12， 2， 6， 14 （2）画箱线图并分析汽车销售数量的特点. （2）在同一幅图中画出两地的箱线图，如图所示： 基于箱线图和四分位数可知，销量最大为14，最小为2，存在较大差距；有50%的员工销量在10辆或以上，大部分销售量在 6 到 12 之间。 例2 为设计学校数学节活动，学校制定了A、B两种方案供老师和学生打分，再根据得分情况选择最终的活动方案，其中编号1-5为老师评委打分，6-10号为学生评委打分，打分结果如下： a. 得分情况统计表： 评委编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 方案A得分 9 8 9 7 8 8 8 9 8 7 方案B得分 5 10 9 5 7 10 7 8 10 10 b.得分情况数据分析表： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 A方案 8.1 8 n sA2 B方案 8.1 m 10 sB2 根据以上信息，回答下列问题． （1）填空：m=____,n=____,sA2 ____ sB2（填“>”“< ”或“=”） （2）为减少极端值对数据的影响，如果将A，B两种方案的得分均去掉一个最低分和一个最高分．下列对去掉一个最低分和一个最高分后的数据的描述正确的是____（填写序号）． ①方案，得分的平均数均没有变化； ②方案，得分的中位数均没有变化； ③方案，得分的众数均没有变化； （3）既要考虑办学生喜爱的数学节，也要充分考虑老师的意见，学校决定不去掉最高分和最低分，但是赋予教师评委打分和学生评委3:7打分的权重，请你计算方案B的最终得分． 8.5 8 < ②③ 解:教师评委的平均分为 学生评委的平均分为 B方案最终得分为： 某校举办“十佳歌手”演唱比赛，五位评委进行现场打分，将甲、乙、丙三位选手的得分数据整理成下列统计图．根据以上信息，解答下列问题． （1）完成表格： 练一练 平均数(分) 中位数(分) 众数(分) 方差 甲 8.8 ①____　　 8和9 0.56 乙 ②____　　 9 9 0.96 丙 8.8 8 ③____　　 0.96 （2）从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适？请说明理由. 8 8.8 9 （2）选甲更合适．理由如下： 因为甲、乙、丙三人平均成绩一样，说明三人实力相当，但是甲的方差最小，说明甲的成绩更稳定，所以选甲更合适． 1. 如图是某校学生参加课外兴趣小组的人数占总人数比例的统计图，则参加人数最多的课外兴趣小组是(　　) A．音乐组 B．美术组 C．体育组 D．科技组 C 当堂练习 2. 小红根据去年4～10月本班同学去孔子学堂 听中国传统文化讲座的人数，绘制了如图所示的折 线统计图，图中统计数据的众数是(　　) A．46 B．42 C．32 D．27 C 3．为拓展学生的时政视野，锻炼学生的辩证思维能力与逻辑表达能力．某学校举办了“家国天下——时政达人秀”时事述评比赛．下面是根据9位评委的打分制作的表格： 平均数 中位数 众数 方差 8.6 8.3 8.2 0.15 如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（ ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 C 从某校八年级中随机抽取若干名学生进行体能测试，成绩记为1分，2分，3分，4分，5分．将测量的结果制成如图所示的扇形统计图和条形统计图，根据图中提供的信息，这些学生分数的中位数是(　　) A．1分 B．2分 C．3分 D．4分 4. C 5.某商场对今年端午节这天销售的A，B，C三种品牌的粽子情况进行了统计，绘制了如图①和图②所示的统计图．根据图中信息，解答下列问题： (1)哪一种品牌粽子的销售量最大？ (2)补全图①中的条形统计图． (3)写出A品牌粽子在图②中所对应的圆心角的度数． (4)根据上述统计信息，明年端午节期间该商场对A，B，C三种品牌的粽子如何进货？请你提一条合理的建议． (1)哪一种品牌粽子的销售量最大？ (2)补全图①中的条形统计图． (3)写出A品牌粽子在图②中所对应的圆心角的度数． (1)C品牌粽子的销售量最大． (2)如图③. (3)粽子销售总个数为1200÷50%＝2400(个)． A品牌粽子所对应的圆心角度数为 2400÷400×360°＝60°. (4)根据上述统计信息，明年端午节期间该商场对A，B，C三种品牌的粽子如何进货？请你提一条合理的建议． (4)根据上述统计信息，明年端午节期间该商场对A，B，C三种品牌的粽子可按1∶2∶3的比例进货．(答案不唯一，合理即可) 从统计图分析和评价数据 众数 平均数、方差 中位数、箱线图 课堂小结 18 $回顾与思考 第六章 数据的分析 数据的分析 平均数 定义 一组数据的平均值称为这组数据的平均数 算术平 均数 一般地，如果有n个数x1，x2，…，xn，那么 (x1＋x2＋…＋xn)叫作这n个数的算术平均数 加权平 均数 一般地，如果在n个数x1，x2，…，xn中，x1出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次(其中f1＋f2＋…＋fk＝n)，那么， 叫做x1，x2，…，xk这k个数的加权平均数，其中f1，f2，…，fk叫做x1，x2，…，xk的权，f1＋f2＋…＋fk＝n 众数 一组数据中出现次数最多的那个数据叫作这组数据的众数 (1)一组数据中众数不一定只有一个；(2)当一组数据中出现异常值时，其平均数往往不能正确反映这组数据的集中趋势，就应考虑用中位数或众数来分析 要点梳理 离差平方和 各个数据与它们平均数之差的平方和，即 方差 各个数据与它们平均数之差的平方的平均数，即 其中， 是x1，x2，...，xn的平均数. 标准差 方差的算术平方根 (1)方差和标准差是用来衡量一组数据的波动大小的重要量，反映的是数据在平均数附近波动的情况； (2)一般而言，一组数据的方差或标准差越小，这组数据就越稳定 组内离差平方和达到最小 多组数据的组内离差平方和是指每组数据的离差平方和的和 中位数 定义 一般地，n个数据按大小顺序排列，处于中间位置的一个数据（或中间两个数据的平均数）叫作这组数据的中位数 防错 提醒 确定中位数时，一定要注意先把整组数据按照大小顺序排列，再确定数据中最中间的一个数据或者中间两个数据的平均数 四分位数 25%分位数 前半部分数据的中位数m25，也称为下四分位数 50%分位数 m50把一组数据从小到大排列，把这组数据分成前、后两部分，即中位数 75%分位数 后半部分数据的中位数m75，也称为上四分位数 例1 下表是王勇家去年1-6月份的用水情况： 则王勇家去年1-6月份的月平均用水量为（　　） A．3吨 B．3.5吨 C．4吨 D．4.5吨 C 解析：（3+4+3.5+3+4.5+6）÷6=24÷6=4（吨）． 故选C． 考点精讲 例2 某班体育委员统计了全班45名同学一周的体育锻炼时间，并绘制了如图所示的折线统计图，则在体育锻炼时间这组数据中，众数和中位数分别是（　　） A．18，18 B．9，9 C．9，10 D．18，9 B 解析：由图可知，锻炼9小时的有18人，所以9在这组数中出现18次为最多，所以众数是9． 把数据从小到大排列，中位数是第23位数，第23位是9，所以中位数是9． 例3 如图是某农户2015年收入情况的扇形统计图，已知他2015年的总收入为5万元，则他的打工收入是( ) A.0.75万元 B.1.25万元 C.1.75万元 D.2万元 B 解析:5万元×25%=1.25万元. 60％ 40％ 例4 在某一年中山大学数科院的研究生入学考试中，两名考生在笔试、面试中的成绩（百分制）如下图所示，你觉得谁应该被录取？ 考生 笔试 面试 甲 86 90 乙 92 83 （笔试和面试的成绩分别按60%和40%计入总分） 6 ： 4 解：根据题意，求甲、乙成绩的加权平均数，得 答：因为_____＞_____，所以_____将被录取. 乙 例5 某城市9月份空气质量指数的箱线图如图所示. (1)这个月空气质量的最大值、最小值及四分位数分别是多少？ (2)请分析这个月空气质量的特点. 解：(1)由箱线图可知，这个月空气质量的最大值为110，最小值为30；中位数为50，下四分位数为40，上四分位数为80. (2)基于四分位数和箱线图，可知数据分布相对分散，说明这个月空气质量波动较大，且这个月50%的时间空气质量集中在30-50之间，25%的时间空气质量集中在50-80之间，25%的时间空气质量集中在80-110之间. 例6 我市某中学七、八年级各选派10名选手参加学校举办的“爱我荆门”知识竞赛，计分采用10分制，选手得分均为整数，成绩达到6分或6分以上为合格，达到9分或10分为优秀．这次竞赛后，七、八年级两支代表队选手成绩分布的条形统计图和成绩统计分析表如下所示，其中七年级代表队得6分、10分的选手人数分别为a，b. 队别 平均分 中位数 方差 合格率 优秀率 七年级 6.7 m 3.41 90% n 八年级 7.1 7.5 1.69 80% 10% (1)请依据图表中的数据，求a，b的值； (2)直接写出表中m，n的值； (3)有人说七年级的合格率、优秀率均高于八年级，所以七年级队成绩比八年级队好，但也有人说八年级队成绩比七年级队好．请你给出两条支持八年级队成绩好的理由． (1)解：依题意，得 解得 3×1+6a+7×1+8×1+9×1+10b=6.7×10 a+1+1+1+b=90％×10或1+a+1+1+1+b=10 a=5 b=1 (1)请依据图表中的数据，求a，b的值； (2)m＝6，n＝20%. (2)直接写出表中m，n的值； 队别 平均分 中位数 方差 合格率 优秀率 七年级 6.7 m 3.41 90% n 八年级 7.1 7.5 1.69 80% 10% (3)①八年级队平均分高于七年级队；②八年级队的成绩比七年级队稳定；③八年级队的成绩集中在中上游，所以支持八年级队成绩好．(注：任说两条即可) (3)有人说七年级的合格率、优秀率均高于八年级， 所以七年级队成绩比八年级队好，但也有人说八 年级队成绩比七年级队好．请你给出两条支持八 年级队成绩好的理由． 1.近十天每天平均气温(℃)统计如下： 24，23，22，24，24，27，30，31，30，29. 关 于这10个数据下列说法不正确的是(　　) A．众数是24 B．中位数是26 C．平均数是26.4 D．极差是9 B 当堂练习 2. 为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中抽取 了10株麦苗，测得高度(单位：cm)如下： 甲：15，15，14，11，16，14，12，14，13，15； 乙：17，14，12，16，15，14，14，14，13，11. 哪种麦苗长势整齐？ 导引： 根据题意，要比较哪种麦苗长势整齐，需比较它 们高度的方差，先求出其平均数，再根据方差的 公式计算方差，进行比较可得结论． 解： 因为s甲2＜s乙2，所以甲种麦苗长势整齐． 3.为了从甲、乙两名选手中选拔一个参加射击比赛，现对他们进行一次测验，两个人在相同条件下各射靶10次，为了比较两人的成绩，制作了如下统计图表： 甲、乙射击成绩统计表 平均数 中位数 方差 命中10环的次数 甲 7 0 乙 1 甲、乙射击成绩折线图 (1)请补全上述图表(请直接在表中填空和补全折线图)； (2)如果规定成绩较稳定者胜出，你认为谁应胜出？说明你的理由； (3)如果希望(2)中的另一名选手胜出，根据图表中的信息，应该制定怎样的评判规则？为什么？ 解：(1)根据折线统计图，得乙的射击成绩为2，4，6，8，7，7，8，9，9，10， 平均数为 (环) 中位数为7.5环， 方差为 [(2－7)2＋(4－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(7－7)2＋(8－7)2＋(9－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2]＝5.4. 根据折线统计图，知甲除第八次外的射击成绩为9，6，7，6，2，7，7，8，9，平均数为7， 则甲第八次成绩为70－(9＋6＋7＋6＋2＋7＋7＋8＋9)＝9(环)，所以甲的射击成绩为2，6，6，7，7，7，8，9，9，9， 中位数为7环，平均数为(2＋6＋6＋7＋7＋7＋8＋9＋9＋9)＝7(环)， 方差为[(2－7)2＋(6－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2＋(7－7)2＋(7－7)2＋(8－7)2＋(9－7)2＋(9－7)2＋(9－7)2]＝4. 补全图表如下． 甲、乙射击成绩统计表 平均数 中位数 方差 命中10环的次数 甲 7 7 4 0 乙 7 7.5 5.4 1 甲、乙射击成绩折线图 (2)甲胜出．理由：因为甲的方差小于乙的方差． (3)略. $1 平均数与方差 第4课时 方差的应用及利用“组内离差平方和达到最小”对数据进行分组 第六章 数据的分析 学习目标 1.掌握方差的意义，学会方差的应用．（重点） 2.了解组内离差平方和，并能根据“组内离差平方和达到最小”对数据进行分组．（难点） 回顾旧知 1.在统计学里，数据的离散程度可以用___________， ________或________等统计量来刻画. 离差平方和 方差 标准差 2.离差平方和是各个数据与它们平均数之差的平方和，即 3.方差是各个数据与它们平均数之差的平方的平均数，即 4.标准差是方差的算术平方根. 新课导入 3 例1 为庆祝神舟十八号载人飞船的成功发射，某学校“鲲鹏”航天社团开展航天知识竞赛活动，经过筛选，决定从甲乙丙丁四名同学中选择一名同学代表，该社团参加比赛，经过统计，四名同学成绩的平均数（单位：分）及方差（单位：分），如表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 96 96 98 98 方差 1.0 0.4 0.2 0.6 如果要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择 哪位同学？ 丙、丁两名同学的平均数高于甲、乙两名同学的平均数，丙的方差小于丁的方差，丙同学的成绩好且状态稳定，所以应该选择丙同学. 讲授新课 4 例2 春日风光好，植绿正当时．为推进绿美广东生态建设，工作人员测量了5棵芒果树树苗和5棵细叶榕树苗的生长情况，数据如下：（单位：cm） 编号 1 2 3 4 5 芒果树 350 355 360 365 370 细叶榕 340 350 350 350 360 （1）芒果树和细叶榕高度的平均数分别是多少？ （2）计算两种树苗高度的方差，并据此说明哪一种树苗生长更稳定． 解：（1）根据平均数公式计算可知： 芒果树高度的平均数为： 细叶榕高度的平均数为： （2）根据方差计算公式可知： 芒果树方差： 细叶榕方差： 因为50>40,所以细叶榕树苗高度的方差较小，生长更稳定． 总结归纳 1.方差是衡量数据离散程度的一个重要指标，在分析数据的稳定或者波动情况时，通常选择方差作为衡量标准.方差越小，数据越稳定. 2.在计算方差时，一般都需要先计算出一组数据的平均数，进而利用方差公式求出方差. 3.方差计算公式： 例3 下表记录了我国6个省份2023年人均地区生产总值（人均GDP）的数据： 数据表明，这6个省份的人均GDP是有区别的. 如果要把这6个省份依据人均GDP的多少分为两个组，你认为应当如何划分？并说出划分的道理？ 一般情况下，如果想把一组数据分成若干组，使每组组内的数据差距不大，且组与组之间的数据差别明显，那么应该遵循怎样的分组原则？ 在统计学里，分组的方法有很多，其中较常用的方法是使“组内离差平方和达到最小”.多组数据的组内离差平方和是指每组数据的离差平方和的和. 组内离差平方和达到最小 解：将人均GDP按照从小到大排序，再分成两组，总共有5种情况，分别计算出各分组的组内离差平方和，如下表： 可以看出按照第一组4个，第二组2个分组时能达到组内离差平方和最小，故分组为{省份2，省份4，省份5，省份6}，{省份1，省份3}. 1.甲、乙、丙、丁四名选手参加射击测试，每人射击10次，平均成绩均为9.5环，方差如下表所示： 则四名选手中成绩最稳定的是( ) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 B D 选手 甲 乙 丙 丁 方差 9.5 9 10 0.95 2.将数组：5，8，4，3，10中的每一个数加1，得到一个新数组．将原数组和新数组的平均数分别记为 ,方差分别记为 ,下列结论中，正确的是( ) A. B. C. D. 当堂练习 3.现有四批黄桃，从中各随机抽取40个，测量并计算得它们直径的平均数与方差如下： 批次 甲 乙 丙 丁 平均数 （单位：cm） 9.0 9.0 10.5 10.5 方差 （单位：cm） 15.0 5.0 15.0 5.0 则这四批黄桃中果型较大且整齐的一批是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 D 4.2024年起，某市各中小学校全面推行餐厅管理新模式，切实保障师生舌尖上的健康．某校餐厅计划从A、B两家食材配送公司中择优合作．根据调研，不同配送公司在食材品质、服务质量、配送速度、成本控制等方面各具优势．为此，该校从A、B两家公司收集了10次食材配送的相关数据，整理描述如下：①食材品质得分统计图（满分10分） ②服务质量得分（满分10分，得分越高表示服务质量越好） A公司6、6、7、8、8、9、9、9、9、9 B公司5、5、6、7、8、8、9、9、10、10 ③食材品质和服务质量得分统计表 项目 统计量 公司 食材品质 服务质量 平均数 方差 平均数 方差 公司 7 s12 8 s32 公司 7 s22 7.7 s42 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的s12___s22，s32___s42.（填“>”“< ”或“=”) （2）综合上表中的统计量，你认为该校应选择哪家公司配送食材？请说明理由． （3）为了从、两家公司中选出更合适的公司，你认为还应收集什么信息（列出一条即可） < < 解：（1）由食材品质得分统计图可知：B公司得分波动大于A公司得分，所以s12＜s22; 由服务质量得分统计图可知：B公司得分波动大于A公司得分，所以s32<s42. （2）应选择A公司，理由如下： 服务质纸平均得分A公司和B公司的得分相差不大，价材品质A公司得分和B公司得分的平均数相同， 但是的A公司的方差小于B公司的方差，说明A公司的食材品质和服务质量更稳定，所以应选择A公司． （3）对于食材配送，还应收集A、B两家公司的配送价格情况，（答案不唯一）． 方差的应用 方差 组内离差平方和达到最小 刻画数据的稳定程度 分组 课堂小结 16 $1 平均数与方差 第2课时 加权平均数 第六章 数据的分析 学习目标 1.掌握加权平均数的概念，会求一组数据的加权平均数．（重点） 2.会用加权平均数解决实际生活中的问题．（难点） “校园之声”社团招聘成员时，需考查应聘学生的应变能力、知识储备、朗读水平三个项目．每个项目，满分均为100分，并按照应变能力占，知识储备占，朗读水平占，计算加权平均数，作为应聘学生的最终成绩．小明三个项目得分分别为85分、90分、92分. 你能算一下小明的最终得分吗? 新课导入 3 加权平均数 在很多实际问题中，一组数据里各个数据的“重要程度”未必相同.因而，在计算这组数据的平均数时，往往根据各个数据的“重要程度”赋一个“权”． 一起来看看下面的例子 讲授新课 4 例1 某广告公司欲招聘广告策划人员一名，对A,B,C三名候选人进行了三项素质测试，他们的各项测试成绩如下表所示： 测试项目 测试成绩 A B C 创新 72 85 67 综合知识 50 74 70 语言 88 45 67 （1）如果根据三项测试的平均成绩决定录用人选，那么谁将被录用？ （2）根据实际需要，公司将创新、综合知识和语言三项测试得分按4∶3∶1的比例确定各人的测试成绩，此时谁将被录用？ 解: （1）A的平均成绩为（72+50+88）/3=70(分). B的平均成绩为（85+74+45）/3=68(分). C的平均成绩为（67+70+67）/3=68(分). 由70>68，故A被录用. （2）根据题意， A的测试成绩为 B的测试成绩为 C的测试成绩为 因此候选人B将被录用. 4，3，1 分别是创新、综合知识、语言三项测试成绩的权，而称（72×4+50×3+88×1）÷（4+3+1） 为A的三项测试成绩的加权平均数. 例2 某班级为了解同学年龄情况，作了一次年龄调查，结果如下：13岁8人，14岁16人，15岁24人，16岁2人．求这个班级学生的平均年龄（结果取整数）． 解：这个班级学生的平均年龄为：　 所以，他们的平均年龄约为14岁．　　　 加权平均数： （1）定义： ①在很多实际问题中，一组数据里各个数据的“重要程度”未必相同.因而，在计算这组数据的平均数时，往往根据各个数据的“重要程度”赋一个“权”，若n个数x1，x2，…，xn的权分别是w1，w2， …，wn，则： 叫做这n个数的加权平均数； ②在求n个数的平均数时，如果x1出现f1次，x2出现f2次，…， xk出现fk次(这里f1＋f2＋…＋fk＝n)，那么这n个数的平均 数 也叫做x1，x2，…，xk这k个 数的加权平均数，其中f1，f2，…，fk分别叫做x1，x2，…， xk的权． 练一练 老师对同学们每学期总评成绩时，并不是简单地将一个学生的平时成绩与考试成绩相加除以2而是按照“平时练习占 40%, 考试成绩占60% ”的比例计算，其中考试成绩更为重要.这样，如果一个学生的平时成绩为70分，考试成绩为90分，那么他的学期总评成绩就应该为多少呢？ 考试60% 平时40% 考试 平时 0.6 0.4 解: 该同学的学期总评成绩是: 70×30% =82(分) + 90×60% 加权平均数 权 重 权重的意义: 各个数据在该组数据中所占有的不同重要性的反映. 加权平均数的意义: 按各个数据的权重来反映该组数据的总体平均大小情况. 总结 1.若m个数的平均数为x，n个数的平均数为y，则这(m+n)个数的平均数是（ ） A.(x+y)/2 B.(x+y)/(m+n) C.(mx+ny)/(x+y) D.(mx+ny)/(m+n) D 当堂练习 2.一家公司打算招聘一名英文翻译，对甲、乙两名应试者进行了听、说、读、写的英语水平测试，他们各项的成绩（百分制）如下： 应试者 听 说 读 写 甲 85 83 78 75 乙 73 80 85 82 如果这家公司想招一名口语能力较强的翻译，听、说、读、写成绩按照3∶3∶2∶2的比确定，计算两名应试者的平均成绩(百分制).从他们的成绩看，应该录取谁？ 解：听、说、读、写的成绩按照3∶3∶2∶2的 比确定，则甲的平均成绩为 85×3＋83×3＋78×2＋75×2 3＋3＋2＋2 ＝ 81， 乙的平均成绩为 73×3＋80×3＋85×2＋82×2 3＋3＋2＋2 ＝ 79.3． 显然甲的成绩比乙的高，所以从成绩看，应该录取甲． 捐款/元 10 15 30 50 60 人数/人 3 6 11 2 13 6 3. 某校为灾区开展了“献出我们的爱”赈灾捐款活动．八年级 某班50名同学积极参加了这次赈灾捐款活动，下表是小明制 作的全班同学捐款情况的统计表： 因两处不慎被墨水污染，已无法看清，但已经知道全班平均 每人捐款38元．根据以上信息，请帮助小明计算出被污染的 数据，并写出解答过程． 解：设被墨水污染部分的人数为x，捐款为y元．由题意，得 解得 所以被污染的数据为：人数11人，捐款40元． 算术平均数与加权平均数的联系与区别： 联系：若各个数据的权相同，则加权平均数就是算术平 均数，因而可看出算术平均数实质上是加权平均 数的一种特例． 区别：算术平均数是指一组数据的和除以数据个数，加 权平均数是指在实际问题中，一组数据的“重要 程度”未必相同，即各个数据的权未必相同，因 而在计算上与算术平均数有所不同． 课堂小结 18 $ 第六章 数据的分析 2 中位数与箱线图 第2课时 箱线图 学习目标 1.掌握四分位数的意义，学会用四分位数刻画数据．（重点） 2.理解箱线图的意义和特征.（重点） 3.能够从箱线图中获取相关信息．（难点） “碳达峰”与“碳中和”是两个与全球气候变化紧密相关的概念．为了考察初中生对全球气候变化基础知识的了解程度，某校组织了一次测试，并将得分结果量化为0至100之间的分数，然后分别随机抽取了30名学生的得分数据如下： 90，65，70，70，70，100，70，90，85，85，95，100，70，90，75，80，85，85，90，60，95，100，65，70，80，90，80，80，95、100， 这30名学生得分的最小值是多少？中位数是多少？最大值是多少？ 新课导入 3 四分位数 在百分位数中，25%分位数、50%分位数、75%分位数是三个常用的百分位数.实际上，把一组数据从小到大排列，m50 把这组数据分成前、后两部分，m25是前半部分数据的中位数，m75是后半部分数据的中位数. 这样，m25，m50，m75 就把这组数据分成分数相等的四部分，因此分别称为下四分位数、中位数和上四分位数，统称为四分位数. 讲授新课 4 例1 1，3，4，5，2，6，7，8，9的下四分位数为____ 　　 分析：这组数据重新排列为1，2，3，4，5，6，7，8，9 这组数据的中位数m50=5 前一组数据为1，2，3，4，其中位数m25=2.5 2.5 后一组数据为6，7，8，9，其中位数m75=8.5 所以数据：1，3，4，5，2，6，7，8，9的下四分位数为2.5 练一练 九年级某小组的8名同学每分钟跳绳的个数分别为：165、182、136、112、145、171、155、93．这组数据中下四分位数是( ) A．102.5 B．168 C．124 D．150 分析：这8名同学每分钟跳绳的个数按从小到大的顺序排列为：93、112、136、145、155、165、171、182，则这组数据中下四分位数是第2个与第3个数的平均数，即 C 箱线图 箱线图是一种用于显示一组数据分散情况的统计图.它因形状如箱子而得名，常用于反映原始数据的分布特征，并可以进行多组数据分布特征的比较. 箱线图由一组数据的五个特征值绘制而成，包括最大值、最小值、中位数、下四分位数和上四分位数. 学习了四分位数之后，就可以根据一组数据的四分位数绘制出箱线图 例2 某校甲、乙两个班进行团体操比赛，两个班各自选了10名选手，统计了他们的得分，整理数据如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． （1）用m表示中位数，a和b分别表示下四分位数和上四分位数，求甲组数据的四分位数； （2）根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图，并谈谈对两组成绩的看法． 解：（1）把甲的成绩从小到大排列为：60，70，70，80，89，91，92，96，98，100， 所以， 根据箱线图和对四分位数，可知甲组成绩比较分散，乙成绩比较集中．（答案不唯一）． （2）如图所示： 1.如图为某地区2024年5月和6月的空气质量指数（AQI）箱线图.AQI值越小，空气质量越好；AQI值超过200，说明污染严重.则下列说法错误的是（ ） A．该地区2023年5月有严重污染天气 B．该地区2023年6月的AQI值比5月的AQI值集中 C．该地区2023年5月的AQI值比6月的AQI值集中 D．从整体上看，该地区2023年5月的空气质量略好于6月 B 当堂练习 2.有一组被墨水污染的数据4,17,7,14, ,16,10,4,4,11,其箱线图如下： ★，●，█ 则以下说法不正确的是（ ） A.这组数据的下四分位数是4 B.这组数据的中位数是10 C.这组数据的上四分位数是15 D.被墨水污染的数据中一个数时3，一个数时18 B 11 3. 已知数据：4.77，3.98，6.44，4.98，2.15，3.85，3.64，3.21，3.18，2.02，4.11，4.10 则该组数据的m25=____, m50=____, m75=____. 3.195 3.915 4.44 12 四分位数 下四分位数 上四分位数 中位数 箱线图 课堂小结 13 $