圆锥曲线：斜率问题、向量问题、三点共线问题专项训练-2026届高三数学一轮复习

圆锥曲线：斜率问题、向量问题、三点共线问题专项训练 圆锥曲线：斜率问题、向量问题、三点共线问题专项训练 考点目录 圆锥曲线中的斜率问题 圆锥曲线中的向量问题 圆锥曲线中的三点共线问题 考点一 圆锥曲线中的斜率问题 1．（25-26高三上·广西桂林·开学考试）已知椭圆：的离心率为，且过点. (1)求的方程； (2)直线：与交于A，B两点，过上的点（与A，B不重合且不在坐标轴上）作轴的平行线交线段于点（与A，B不重合），直线的斜率为（为坐标原点），的面积为，的面积为，若，直线，的斜率都存在，分别记为，. （i）求证：； （ii）判断是否为定值？并说明理由. 2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知双曲线：的实轴长为2，右焦点F到双曲线的渐近线距离为. (1)求双曲线的方程； (2)过点作直线交双曲线的右支于A，B两点，连接并延长交双曲线左支于点P（O为坐标原点），求的面积的最小值； (3)设定点，过点T的直线交双曲线于M，N两点，M，N不是双曲线的顶点，若在双曲线上存在一点S，使得直线的斜率与直线的斜率之和为定值，求实数t的取值范围. 3．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知双曲线的虚轴长为2，一条渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)已知是上的三个不同点. ①若，点在双曲线的同一支上，且是等边三角形，求； ②若（异于原点）是外接圆的圆心，直线的斜率均存在，并分别记为，求的值. 4．（25-26高三上·重庆·开学考试）如图，在椭圆中，，分别为椭圆的左、右焦点，B、D分别为椭圆的左、右顶点，A为椭圆在第一象限内的任意一点，直线交椭圆于另一点C，交y轴于点E，且点、三等分线段. (1)求a的值； (2)设，，已知，求直线的斜率. 5．（2025·江苏泰州·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知点D为双曲线E：的右顶点，，在双曲线上. (1)求双曲线E的方程； (2)过点且斜率为的直线l与双曲线E的左支交于A，B两点，的外接圆的圆心为P，直线OP的斜率为，证明：为定值. 6．（2025·广东湛江·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，焦点在x轴上的椭圆C的上顶点为，线段的中垂线交C于两点，且. (1)求椭圆C的标准方程； (2)点E为椭圆C上位于直线上方（不与点重合）的动点，过点B作直线的平行线交椭圆C于点F，点M为直线与的交点，点N为直线与的交点.证明：直线与直线的斜率之积为定值； 7．（24-25高二下·广西南宁·期末）已知双曲线的离心率为，点在双曲线上． (1)求双曲线的标准方程； (2)直线与双曲线交于点，其中点在第二象限． ①求； ②已知双曲线的左、右顶点分别为，设直线的斜率分别为，求的值． 8．（24-25高二下·重庆沙坪坝·期末）椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上动点，的值域为． (1)求椭圆的标准方程； (2)设椭圆的上下顶点分别为，直线交椭圆于另一点，点和点位于轴两侧，若四点构成的四边形面积为，求直线的斜率． 考点二 圆锥曲线中的向量问题 1．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知椭圆过点，离心率为，过点的直线l与椭圆交于不同的两点． (1)求椭圆的方程； (2)若的面积为，且，求实数的值． 2．（24-25高二下·重庆·期末）已知曲线C到两个定点和的距离和为定值4. (1)求C的方程； (2)过点的直线l（斜率存在且不为0）与C交于M，N两点，N关于x轴的对称点为P.已知. （ⅰ）证明：P、M、Q三点共线； （ⅱ）求的取值范围. 3．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）设，分别是直线和上的动点，且，动点为线段的中点． (1)求动点的轨迹方程； (2)已知线段是圆的一条直径，求的最大值． 4．（24-25高二下·贵州黔西·阶段练习）已知双曲线的离心率是，焦距为6． (1)求的方程； (2)若直线与相交于两点，且（为坐标原点），求的方程． 5．（24-25高二下·云南昆明·期中）已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为2． (1)求双曲线C的方程； (2)O为坐标原点，过点且斜率不为0的直线l交双曲线C于P，Q两点（点P在第一象限，点Q在第二象限），直线OQ交双曲线C于点，求． 6．（24-25高三上·云南昭通·阶段练习）已知双曲线的左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点. (1)若离心率，求的值. (2)若为等腰三角形时，且点在第二象限，求点的坐标； (3)连接并延长，交双曲线于点，若，求的取值范围. 7．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知直线与双曲线的右支交于不同的两点，. (1)求实数的取值范围； (2)直线与轴交于点，是否存在实数使得成立？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 8．（24-25高三下·湖南永州·开学考试）已知椭圆椭圆的离心率．左顶点为A，下顶点为，是线段的中点，其中． (1)求椭圆E的方程． (2)设M为椭圆E上一动点，求的最大值． (3)过点的动直线与椭圆E有两个交点，．在轴上是否存在点使得恒成立．若存在求出这个点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由． 考点三 圆锥曲线中的三点共线问题 1．（24-25高二下·湖南长沙·期末）已知动点到点的距离比它到直线的距离小，记动点的轨迹为． (1)求轨迹的方程． (2)直线与分别与轨迹交于点和点（与同向），且，线段与交于点，线段与的中点分别为． （ⅰ）求证：三点共线； （ⅱ）若，，求四边形ABCD的面积． 2．（2025·宁夏石嘴山·三模）已知抛物线的焦点与椭圆的上顶点重合，点为坐标原点. (1)求抛物线的标准方程及其准线方程； (2)过点的直线交抛物线于两点，且，求直线的方程； (3)设点是抛物线的准线上任意一点，直线分别与抛物线相切于点，证明：三点共线. 3．（2025·重庆·模拟预测）二次函数的图象是抛物线， 现在我们用 “图象平移” 的方式讨论其焦点与准线， 举例如下: 二次函数的图象可以由的图象沿向量平移得到; 抛物线，即的焦点坐标为，准线方程为 ; 故二次函数的焦点坐标为，准线方程为 . (1)求二次函数的焦点坐标和准线方程； (2)求二次函数的焦点坐标和准线方程； (3)设过的直线与抛物线的另一个交点为，直线与直线交于点，过点作轴的垂线交抛物线于点. 是否存在定点，使得三点共线? 若存在，请求出定点的坐标; 若不存在，请说明理由. 4．（25-26高三上·福建·开学考试）已知双曲线的右焦点为，离心率为2，圆与恰有两个交点. (1)求的方程； (2)设为的左顶点，过且斜率存在的直线交的右支于两点，直线分别交圆的另一点于. （i）证明：三点共线； （ii）设直线与直线交于，证明：点在定直线上. 5．（2025·北京昌平·二模）已知椭圆的长轴长为，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形的面积为6． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，点与点关于轴对称．在轴上是否存在定点，使三点共线？若存在，求实数的值，若不存在，说明理由． 6．（2025·辽宁本溪·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，A为C上一点，的最小值为1. (1)求C的方程； (2)设点，斜率不为0的直线与C交于另一点B. （i）若弦中点的纵坐标为，求直线的斜率； （ii）若D为C上一点，且点D与点A关于x轴对称，证明：三点共线. 7．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知圆M：，动圆D过定点且与圆M内切，圆心D的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)曲线C上三个不同的动点P，E，F满足与的倾斜角互补，且P不与曲线C的顶点重合，记P关于x轴的对称点为，线段的中点为H，O为坐标原点，证明：，H，O三点共线. 8．（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）已知曲线上任意一点满足. (1)求曲线的方程； (2)曲线上三个不同的动点，，满足与的倾斜角互补，且不与曲线的顶点重合，过点且垂直于轴的直线与曲线的另一个交点为，记线段的中点为，为坐标原点，求证：，，三点共线. 2 学科网（北京）股份有限公司 $圆锥曲线：斜率问题、向量问题、三点共线问题专项训练 圆锥曲线：斜率问题、向量问题、三点共线问题专项训练 考点目录 圆锥曲线中的斜率问题 圆锥曲线中的向量问题 圆锥曲线中的三点共线问题 考点一 圆锥曲线中的斜率问题 1．（25-26高三上·广西桂林·开学考试）已知椭圆：的离心率为，且过点. (1)求的方程； (2)直线：与交于A，B两点，过上的点（与A，B不重合且不在坐标轴上）作轴的平行线交线段于点（与A，B不重合），直线的斜率为（为坐标原点），的面积为，的面积为，若，直线，的斜率都存在，分别记为，. （i）求证：； （ii）判断是否为定值？并说明理由. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析（ii），理由见解析 【详解】（1）由题意，得，解得， 所以椭圆的方程为. （2）（i）因为， 则， 因此， 而，有，即平分， 故直线的斜率互为相反数，则. （ii）设， 由，得， 因，设 则有，而， 化简得， 即 ， 于是， 故， 化简得， 又因在椭圆上，则，即则， 从而， 整理得， 又因不在直线上，即， 则得，即，因， 于是，故为定值． 2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知双曲线：的实轴长为2，右焦点F到双曲线的渐近线距离为. (1)求双曲线的方程； (2)过点作直线交双曲线的右支于A，B两点，连接并延长交双曲线左支于点P（O为坐标原点），求的面积的最小值； (3)设定点，过点T的直线交双曲线于M，N两点，M，N不是双曲线的顶点，若在双曲线上存在一点S，使得直线的斜率与直线的斜率之和为定值，求实数t的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为双曲线的实轴长为2，故， 而双曲线的渐近线为， 故右焦点到渐近线的距离为， 故双曲线的方程为：. （2） 显然直线与轴不垂直，设：，，， 由双曲线的对称性知的中点为，故，    联立 故，， 由于A，均在双曲线右支，故，故， 而， 代入韦达定理得， 令，则， 易知在上为减函数，则当时，， 综上：的面积的最小值为12. （3）不妨设，，， 若直线的斜率为，则直线与双曲线的交点为双曲线的顶点，与条件矛盾， 所以可设直线的方程为，且， 联立，消可得， 方程的判别式， 所以， 所以，， 所以， ， ， ， 所以 所以 所以， 因为直线的斜率与直线的斜率之和为定值， 所以，故， 故为定值， 所以， 因为或，，， 所以或，存在双曲线上的点满足， 使得直线的斜率与直线的斜率之和为定值，定值为， 所以的范围为. 3．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知双曲线的虚轴长为2，一条渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)已知是上的三个不同点. ①若，点在双曲线的同一支上，且是等边三角形，求； ②若（异于原点）是外接圆的圆心，直线的斜率均存在，并分别记为，求的值. 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）由题意，且，所以， 故曲线的方程为. （2）如图， ①若，设， 因为，所以. 因为在双曲线上，所以. 以上三个方程联立，解得或. 当时，则，由，得， 再由，可解得. 此时. 当时，因为在同一支上，则不满足条件，舍， 所以. ②根据条件均存在知均不为零， 设点，三角形外心， 则有， 两两相减可得：， 则的中垂线为， 将代入则：，整理得， 又点在直线上，所以有① 同理有的中垂线为， 又点在直线上，所以有② 由①②得，， 整理得：，即， 则有. 4．（25-26高三上·重庆·开学考试）如图，在椭圆中，，分别为椭圆的左、右焦点，B、D分别为椭圆的左、右顶点，A为椭圆在第一象限内的任意一点，直线交椭圆于另一点C，交y轴于点E，且点、三等分线段. (1)求a的值； (2)设，，已知，求直线的斜率. 【答案】(1)3； (2)2. 【详解】（1）设，而，由点、三等分线段，得， 则，即，由椭圆，得，解得， 所以. （2）由（1）知，椭圆左焦点，设直线的方程为， 由消去得， 设，则， ， 由，得，则，解得，而，所以. 5．（2025·江苏泰州·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知点D为双曲线E：的右顶点，，在双曲线上. (1)求双曲线E的方程； (2)过点且斜率为的直线l与双曲线E的左支交于A，B两点，的外接圆的圆心为P，直线OP的斜率为，证明：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为，在双曲线E上， 所以，故，所以E的标准方程为． （2）如图： 设直线l：，由 得，① 所以，因为直线l与双曲线E的左支交于A，B两点， 所以，且，故， 设圆P：，，由， 得，② 由双曲线的右顶点D在圆上得， 由①②得. 由，可得③ 由，可得④ 所以3④③可得，即． 6．（2025·广东湛江·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，焦点在x轴上的椭圆C的上顶点为，线段的中垂线交C于两点，且. (1)求椭圆C的标准方程； (2)点E为椭圆C上位于直线上方（不与点重合）的动点，过点B作直线的平行线交椭圆C于点F，点M为直线与的交点，点N为直线与的交点.证明：直线与直线的斜率之积为定值； 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）设椭圆，由椭圆的上顶点为，得， 线段的中垂线方程为，由，则，，解得 所以椭圆. （2） 由，且点位于直线上方，得直线与直线的斜率相等，且， 设直线，代入椭圆， 整理得， ， 当时，直线与椭圆相切，则， 设，，， 设，同理得，， 由为直线与的交点，则设， 当直线的斜率不存在时，， 整理可得，解得，则， 直线的斜率，所以； 当直线的斜率存在时，，解得， 直线的斜率，则； 所以直线与直线的斜率之积为定值，即为. 7．（24-25高二下·广西南宁·期末）已知双曲线的离心率为，点在双曲线上． (1)求双曲线的标准方程； (2)直线与双曲线交于点，其中点在第二象限． ①求； ②已知双曲线的左、右顶点分别为，设直线的斜率分别为，求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）因为点在双曲线上，所以． 离心率为，解得． 故双曲线的标准方程为． （2）①设． 联立得，则． 故． ②． 由题意得点都在双曲线的左支上，且点在第二象限，所以， 则． 故． 8．（24-25高二下·重庆沙坪坝·期末）椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上动点，的值域为． (1)求椭圆的标准方程； (2)设椭圆的上下顶点分别为，直线交椭圆于另一点，点和点位于轴两侧，若四点构成的四边形面积为，求直线的斜率． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）设，则，故， 又， 故， 由题可得，，故， 故椭圆的标准方程为； （2）若直线的斜率为0，则，不满足条件， 斜率不为0时，设直线为，直线的斜率为， 联立，消去整理得， 则， 根据点和点所在位置，如图： 如图，可得， 又四边形的面积为 ， 又，即， 故，所以直线的斜率为. 考点二 圆锥曲线中的向量问题 1．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知椭圆过点，离心率为，过点的直线l与椭圆交于不同的两点． (1)求椭圆的方程； (2)若的面积为，且，求实数的值． 【答案】(1)； (2)或 【详解】（1）由题意得，解得，椭圆C：； （2）由题知直线的斜率不为0，故设直线，， 由可得，故， 且，，    故， 解得，所以， 若，则，，解得或， 因为，所以， 若，则，若，则， 若，同理可得或， 综上，或. 2．（24-25高二下·重庆·期末）已知曲线C到两个定点和的距离和为定值4. (1)求C的方程； (2)过点的直线l（斜率存在且不为0）与C交于M，N两点，N关于x轴的对称点为P.已知. （ⅰ）证明：P、M、Q三点共线； （ⅱ）求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【详解】（1）因为，由椭圆定义可知，曲线C为以和为两焦点的椭圆， 其中，解得，，故C的方程为； （2）（ⅰ）依题意可设直线l的方程为，，，. 联立得， 由韦达定理得，， 则直线PM的方程为， 即， 其中 ， 则直线PM的方程为， 故直线PM过定点，即P、M、Q三点共线； （ⅱ）， ， 因为，所以，， 所以的取值范围为. 3．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）设，分别是直线和上的动点，且，动点为线段的中点． (1)求动点的轨迹方程； (2)已知线段是圆的一条直径，求的最大值． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1），分别是直线和上的动点， 设，，， 点为线段的中点，则，， 又， ，即， 动点的轨迹方程为. （2）线段是圆的一条直径，圆心为，半径为， ， ， ，当时，取得最大值． 4．（24-25高二下·贵州黔西·阶段练习）已知双曲线的离心率是，焦距为6． (1)求的方程； (2)若直线与相交于两点，且（为坐标原点），求的方程． 【答案】(1)． (2)或． 【详解】（1）因为双曲线的离心率是，焦距为6， 所以，，其中，解得，，所以． 因此，的方程为． （2）设，， 联立方程消去，得， 因为直线与相交于两点， 所以即且， 由韦达定理，得，， 又，， 所以， 即，所以， 将韦达定理代入上式，得，即， 解得，满足且， 因此，的方程为或． 5．（24-25高二下·云南昆明·期中）已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为2． (1)求双曲线C的方程； (2)O为坐标原点，过点且斜率不为0的直线l交双曲线C于P，Q两点（点P在第一象限，点Q在第二象限），直线OQ交双曲线C于点，求． 【答案】(1) (2)0 【详解】（1）由双曲线的左、右顶点 分别为可知， 又由离心率为2，即，可得， 又在双曲线中，可得， 所以双曲线C的方程为. （2） 因为直线过点且斜率不为0， 且直线l交双曲线C于P，Q两点（点P在第一象限，点Q在第二象限）， 所以设直线的方程为（其中为直线斜率的倒数）， （由双曲线C的方程为可知其渐近线方程为， 所以直线的斜率，解得）. 设，因为直线OQ交双曲线C于点，所以， 所以， ， 联立，可得， 所以由韦达定理可得， 所以 ， 所以. 6．（24-25高三上·云南昭通·阶段练习）已知双曲线的左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点. (1)若离心率，求的值. (2)若为等腰三角形时，且点在第二象限，求点的坐标； (3)连接并延长，交双曲线于点，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意得，则； 因此. （2）当时，双曲线，其中， 如下图所示： 因为为等腰三角形，则 当以为底时，显然点在直线上，这与点在第二象限矛盾，故舍去； 当以为底时，， 设，则点的轨迹是以为圆心，半径为3的圆， 其方程为； 联立，解得或或； 因为点在第二象限，显然不合题意，舍去； 当以为底时，， 设，其中，则点的轨迹是以为圆心，半径为3的圆， 其方程为； 则有解得. 综上所述：点的坐标为. （3）由题知， 当直线的斜率为0时，此时，不合题意，则， 则设直线， 设点，根据延长线交双曲线于点， 根据双曲线对称性知， 联立有，可得， 显然二次项系数， 其中， ①，②， 可得， 则，因为在直线上， 则， 即， 将①②代入有， 即， 所以，代入到，得. 且，解得，则， 因此. 所以的取值范围为. 7．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知直线与双曲线的右支交于不同的两点，. (1)求实数的取值范围； (2)直线与轴交于点，是否存在实数使得成立？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，得， 由，得成立. 设，则， 因为直线与双曲线的右支相交于不同的两点， 所以，即， 所以，综上得， 解得. （2）令得，依题意， 因为，且， 因为，所以， 所以，所以， 所以， 所以，计算得，又因为， 所以. 8．（24-25高三下·湖南永州·开学考试）已知椭圆椭圆的离心率．左顶点为A，下顶点为，是线段的中点，其中． (1)求椭圆E的方程． (2)设M为椭圆E上一动点，求的最大值． (3)过点的动直线与椭圆E有两个交点，．在轴上是否存在点使得恒成立．若存在求出这个点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，故，，其中为半焦距， 所以，，， 故， 故，所以，，故椭圆方程为：． （2）设M点坐标为，满足，又C点坐标为， 所以：，其中 所以当时，有最大值，所以的最大值为． （3）若过点的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：， 设， 由，可得， 故且 而， 故 ， 因为恒成立，故，解得. 若过点的动直线的斜率不存在，则或， 此时需，两者结合可得. 综上，存在，使得恒成立. 考点三 圆锥曲线中的三点共线问题 1．（24-25高二下·湖南长沙·期末）已知动点到点的距离比它到直线的距离小，记动点的轨迹为． (1)求轨迹的方程． (2)直线与分别与轨迹交于点和点（与同向），且，线段与交于点，线段与的中点分别为． （ⅰ）求证：三点共线； （ⅱ）若，，求四边形ABCD的面积． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）18 【详解】（1）动点到点的距离比它到直线的距离小， 点到的距离与到直线的距离相等， 则动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以轨迹的方程为． （2）（ⅰ）设，，，， 则直线的斜率为，， 直线的方程为，即， 直线的斜率为，， 直线的方程为，即， ，，，即，故． 又直线的斜率为， 直线的方程为，即， 令，得， 直线的斜率为， 直线的方程为，即， 令，得， 所以直线与的交点和直线与的交点重合，即为点． 所以三点共线； （ⅱ），， ，，得， ， ， 上面两式相减得， 由（ⅰ）知，即，， 过点作交于点， ，，，，， 则，， 又，不妨设，则， 四边形是平行四边形，， 分别是的中点，，， ，， 设的边上的高为，的边上的高为，则， ，， ， ，，， ．    2．（2025·宁夏石嘴山·三模）已知抛物线的焦点与椭圆的上顶点重合，点为坐标原点. (1)求抛物线的标准方程及其准线方程； (2)过点的直线交抛物线于两点，且，求直线的方程； (3)设点是抛物线的准线上任意一点，直线分别与抛物线相切于点，证明：三点共线. 【答案】(1)，准线方程为； (2)或； (3)证明见解析. 【详解】（1）椭圆的上顶点为，则抛物线的焦点， 所以抛物线的标准方程为，其准线方程为. （2）设直线方程为：，， 由消去，得，， 则，解得， 所以直线的方程为或. （3）依题意，设，， 由，求导得，因此抛物线在点处切线方程为， 即，整理得，同理抛物线在点处切线方程为， 而点是二切线的交点，则，， 于是直线的方程为，显然直线过点， 所以三点共线. 3．（2025·重庆·模拟预测）二次函数的图象是抛物线， 现在我们用 “图象平移” 的方式讨论其焦点与准线， 举例如下: 二次函数的图象可以由的图象沿向量平移得到; 抛物线，即的焦点坐标为，准线方程为 ; 故二次函数的焦点坐标为，准线方程为 . (1)求二次函数的焦点坐标和准线方程； (2)求二次函数的焦点坐标和准线方程； (3)设过的直线与抛物线的另一个交点为，直线与直线交于点，过点作轴的垂线交抛物线于点. 是否存在定点，使得三点共线? 若存在，请求出定点的坐标; 若不存在，请说明理由. 【答案】(1)焦点坐标为，准线方程为． (2)焦点坐标为，准线方程为． (3)存在， 【详解】（1）二次函数， 它的图象可以由抛物线沿向量平移得到； 抛物线即的焦点坐标为，准线方程为； 所以二次函数的焦点坐标为，准线方程为． （2）二次函数， 它的图象可以由抛物线沿向量平移得到； 抛物线即的焦点坐标为，准线方程为； 所以二次函数的焦点坐标为， 准线方程为； 即二次函数的焦点坐标为，准线方程为． （3）由（1）知抛物线可以由抛物线沿向量平移得到； 先考虑如下问题：过的直线与抛物线的另一个交点为，直线与直线交于点，过点作x轴的垂线交抛物线于点，讨论是否存在定点，使得三点共线； 设，又，则直线的方程为：，化简得：， 与直线联立得：，代入得：，即， 则直线的方程：， 化简得； 当时，恒成立，所以直线恒过定点，即存在定点，使得三点共线； 故存在定点，使得三点共线． 4．（25-26高三上·福建·开学考试）已知双曲线的右焦点为，离心率为2，圆与恰有两个交点. (1)求的方程； (2)设为的左顶点，过且斜率存在的直线交的右支于两点，直线分别交圆的另一点于. （i）证明：三点共线； （ii）设直线与直线交于，证明：点在定直线上. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析（ii）证明见解析 【详解】（1）因为圆与恰有两个交点， 由双曲线及圆的对称性知，圆过双曲线的左右顶点， 所以， 又，所以，故， 所以双曲线的方程为. （2）（i）由（1）知，, 设过的直线方程为，，如图， 由，可得， ，其中， ， ， ，为圆的一条直径， 三点共线. （ii）不妨设直线，其中， 由（i）可知， 由，可得，解得, 故可得，即， ， 直线， 由，可解得， 点在定直线上. 5．（2025·北京昌平·二模）已知椭圆的长轴长为，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形的面积为6． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，点与点关于轴对称．在轴上是否存在定点，使三点共线？若存在，求实数的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)存在； 【详解】（1）由题意得，解得． 所以椭圆的方程为，离心率． （2） 设直线的方程为，点，点． 由，得． 依据题意，， 因为点与点关于轴对称，所以点． 若在轴上存在定点，使三点共线，则． 由，得． 由，得． 因为 ，解得． 故在轴上存在定点，使三点共线． 6．（2025·辽宁本溪·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，A为C上一点，的最小值为1. (1)求C的方程； (2)设点，斜率不为0的直线与C交于另一点B. （i）若弦中点的纵坐标为，求直线的斜率； （ii）若D为C上一点，且点D与点A关于x轴对称，证明：三点共线. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【详解】（1）由题意得 解得， 所以的方程为. （2）由题可知直线的斜率存在且不为0， 设直线，则， 联立，消去，可得， 则，解得， 所以. （i）因为弦中点的纵坐标为， 所以， 解得或（舍）， 所以直线的斜率为. （ii）由题得， 因为 ， 所以， 又与有公共点，所以三点共线. 7．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知圆M：，动圆D过定点且与圆M内切，圆心D的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)曲线C上三个不同的动点P，E，F满足与的倾斜角互补，且P不与曲线C的顶点重合，记P关于x轴的对称点为，线段的中点为H，O为坐标原点，证明：，H，O三点共线. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）如图，    已知圆M的圆心为，半径为4；设动圆的圆心为，半径为， 则, 所以点的轨迹是以为分别为左右焦点，且长轴为4的椭圆， 设椭圆方程为，则有， 则曲线C的方程为. （2）    设， 由题意，可知 ，两式相减得，， 而，所以， 设直线的方程为，的方程为 将的方程代入得，， 整理得，① 因为是方程①的一个根，所以，② 将的方程代入得，， 整理得，③ 因为是方程③的一个根，所以，④ ②－④可得，，⑤ ②＋④可得，，⑥ ，⑦ 将⑤⑥代入⑦式可得，，⑧ 显然，得，⑨ 将⑨代入⑧得，， 而，所以, 又因为，所以， 即，H，O三点共线. 8．（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）已知曲线上任意一点满足. (1)求曲线的方程； (2)曲线上三个不同的动点，，满足与的倾斜角互补，且不与曲线的顶点重合，过点且垂直于轴的直线与曲线的另一个交点为，记线段的中点为，为坐标原点，求证：，，三点共线. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）设，， 又因为，所以的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆， 所以，所以， 所以曲线的方程为. （2）设， 由题意可知，，且， 因为，所以两式相减可得，所以， 所以， 而，所以， 设直线的方程为，则直线的方程为， 将的方程代入可得， 整理得①， 因为是方程①的一个实根，所以②， 将的方程代入可得， 整理得③， 因为是方程③的一个实根，所以④， ②④可得⑤， ②④可得⑥， 所以⑦， 将⑤⑥代入⑦式可得⑧， 因为，所以⑨， 将⑨代入⑧式中可得， 又因为，所以， 所以， 即三点共线.    2 学科网（北京）股份有限公司 $