数列：奇偶数列问题、数列不等式恒成立问题、数列递推问题专项训练-2026届高三数学一轮复习

数列：奇偶数列问题、数列不等式恒成立问题、数列递推问题专项训练 数列：奇偶数列问题、数列不等式恒成立问题、数列递推问题专项训练 考点目录 奇偶数列问题 数列不等式恒成立问题 数列递推问题 考点一 奇偶数列问题 1．（24-25高二下·广东广州·期末）已知数列的通项公式，则数列的前10项和为（   ） A．35 B．40 C．45 D．50 【答案】C 【详解】因为， 则． 故选：C 2．（24-25高二下·四川眉山·期末）已知数列的通项公式为，则数列的前n项和（   ） A．107 B．1409 C．1414 D．112 【答案】B 【详解】因为， 则． 故选：B． 3．（25-26高三上·河北·开学考试）已知数列的首项为1，，则数列的前20项和为（    ） A．190 B．380 C．210 D．420 【答案】C 【详解】根据，由可得， ，， 由此可归纳通项公式为， 则， 故选：C. 4．（24-25高二下·广西钦州·期末）已知数列满足，，且，则的前51项的和为（    ） A．37 B．40 C．42 D．46 【答案】B 【详解】当为奇数时，也是奇数，因为，所以当为奇数时，， ，令，则，令，则， 令，则，令，则， 以此类推，偶数项为和交替， 前项中有项奇数项，和为， 有项偶数项，有个、个，和为， 所以的前51项的和为. 故选：B. 5．（24-25高二下·贵州六盘水·期末）已知数列满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵ 又，∴成以首项为，公比为的等比数列 ，，即． 故选：C 6．（2025·海南海口·模拟预测·多选）若数列满足：，已知，则（   ） A．14 B．15 C．17 D．18 【答案】ABD 【详解】解：由题意可知，当为偶数时，；当为奇数时，， 因为，所以，则或， 若，则或， 所以或； 当时，则，所以， 综上所述，的所有可能取值为14，15，18． 故选：ABD． 7．（25-26高三上·湖南怀化·开学考试·多选）已知是数列的前n项和，，，则（    ）． A．是递增数列 B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，由数列递推式，无论为奇数，还是偶数，都有成立，故是递增数列，A正确； 对于B，若n为奇数，则是偶数，是奇数， 所以，，即， 则数列的奇数项构成首项为、公差为3的等差数列， 故，B正确； 对于C，若n为偶数，则是奇数，是偶数， 所以，，即， 则数列的偶数项构成首项为、公差为3的等差数列， 故，C错误； 对于D，由前面分析得 ，D正确． 故选：ABD 8．（2025·湖北黄冈·二模）已知数列的首项为，前项和为，且，若，则的取值范围为 【答案】 【详解】当为奇数，则，即， 所以的奇数项是首项为，公比为2的等比数列， 则，即， 当为偶数，则，即， 所以的偶数项是首项为，公比为2的等比数列， 则，即， 所以， 若，则，即. 故答案为： 9．（24-25高二下·河南南阳·期中）已知数列满足，则数列的前20项和 ． 【答案】 【详解】由数列满足，， 得， 又，所以， 令，可得， 所以，由，可得，所以， 所以数列表示首项为1，公比为2的等比数列， 所以，所以， 则， 因为，适合上式，所以， 所以数列的前20项的和为 . 故答案为：1756 10．（24-25高二下·云南临沧·阶段练习）已知数列满足：． (1)若，求数列的通项公式； (2)若为数列的前项和，求． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）依题意，，当 时， ，当时， ， 则，，而，则， 因此数列是以为首项，为公比的等比数列，， 所以数列的通项公式 （2）由（1）知， ，则 ， ， 所以 . 11．（25-26高三上·浙江温州·开学考试）在已知数列中， (1)求数列的通项公式. (2)数列中是否存在不同的三项恰好成等差数列？若存在，求出的关系；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【详解】（1）由题意得，， 所以成等比数列，故； ，而， 所以成等比数列，故，故； （2）设中存在不同的三项恰好成等差数列， ①若均为奇数，不妨设，则，即， 得，因为是奇数，是偶数，故不可能成立； ②若二奇一偶，不妨设为奇数，为偶数， 则为偶数，为奇数，则，即， 因为被3除余2，同理也被3除余2， 故被3除余1，而为3的倍数，故不可能成立； ③若一奇二偶，不妨设为偶数，为奇数，则为奇数，为偶数， 则，即， 因为为3的倍数，不是3的倍数（被3除余1），故不可能成立； ④若均为偶数，不妨设，则，即， 得，因为被3除余是3的倍数，故不可能成立， 综上中不存在不同的三项恰好成等差数列. 12．（2025·云南玉溪·模拟预测）设是等差数列，是等比数列，，且. (1)求与的通项公式； (2)设，求的前项和． 【答案】(1)，； (2) 【详解】（1）是等差数列，设公差为，是等比数列，设公比为，则， 因为，， 所以，解得或（舍去） 所以，； （2）， . 13．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知数列的首项是 (1)证明：的奇数项成等差数列； (2)求的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：若为奇数，则是偶数，是奇数， 所以，即， 所以的奇数项是首项为，公差为3的等差数列． （2）当时， . 因为， 所以当时， . 综上所述，. 14．（25-26高三上·浙江·开学考试）记为正项数列的前项和，已知 (1)求数列的通项公式； (2)设数列，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1），当时，, 当时， 两式相减得，得， 因为，所以， ， 为等差数列，； （2） 15．（24-25高二下·北京延庆·期中）已知各项均为正数的无穷数列满足：，其中是正实数. (1)若，，写出，，的值； (2)若数列中存在一项，，证明：； (3)若数列中每一项都不是，证明：，. 【答案】(1)，，； (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1），，， （2）因为， 当是奇数时，、为偶数，为奇数， ， ，， 可得，整理得：，解得， 当是偶数，、均为奇数， ，所以， 所以， 综上，当时，. （3）因为，是偶数，所以， 对于而言，由于为奇数，所以，所以有， 由于数列每一项均为正数，所以利用基本不等式，有， 由于取不到等号，故， 所以数列从第3项开始，奇次项均大于， 又因为 ， ， 同时有， 所以数列从第4项开始，偶次项均小于， ，. 考点二 数列不等式恒成立问题 1．（24-25高二上·广西百色·期末）已知为数列的前n项和，且，若对任意正整数n恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】数列中，，当时，，即， 当时，，解得，则数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 因此，，依题意，对任意正整数n恒成立， 令，由，得，即数列单调递减， 则，于是，所以实数的取值范围是. 故选：D 2．（24-25高二下·安徽铜陵·阶段练习）已知数列满足，且，则使不等式成立的的最大值为（    ） A．98 B．99 C．100 D．101 【答案】B 【详解】由，可得， 易知，两侧同时除，可得，整理得， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 则， 故， 故， 易知单调递增，，所以. 故选：B 3．（24-25高二下·江西九江·阶段练习）已知数列满足，设数列的前项和为，若恒成立，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以当时，， 所以， 所以， 当时，， 所以当时，， 当时，， 所以，，时，也适合， 由恒成立，可得， 所以的最小值为， 故选：D. 4．（2025·重庆·模拟预测）已知等差数列、的前项和分别为、，若，对，，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】等差数列、的前项和分别为、，且， 则， 且当时，， 因为，，，则，即的最小值为. 故选：C. 5．（24-25高二下·浙江·期中）已知数列是等差数列，，且，，数列的前n项和为，若不等式恒成立，则实数的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】由题设，则，又为等差数列，则其公差， 所以，故， 所以，而不等式恒成立， 所以，即实数的最小值为. 故选：B 6．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知数列的前项和为，且，，数列满足，记的前项和为，若恒成立，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】因为 ，① 当时，，∵，∴； 当时，，② ①②两式相减得，整理，得 ∴，又， ∴数列是首项为，公比为的等比数列. ∴，∴． ∴. ∴. 对于，，， 所以. 由恒成立，得. 故选：D. 7．（24-25高二上·云南大理·期末·多选）已知等比数列的首项，公比为，前项和为，前项积为，则（    ） A．若数列是递增数列，则 B．当时，数列是常数列 C．当时，存在实数，使得恒成立 D．若，则使得成立的的最大值为10 【答案】ACD 【详解】A：若数列是递增数列，则当时，， 因为，所以，故A正确； B：， 因为，所以数列不是常数列，故B错误； C：因为当时，， 故存在，使得恒成立，故C正确； D：因为，若， 则，， 所以，所以，，，， 所以，，则使得成立的的最大值为10，故D正确. 故选：ACD. 8．（24-25高二下·福建福州·期中·多选）已知为数列的前n项和，且，若对任意正整数n恒成立，则实数的值可以为（   ） A． B． C．5 D． 【答案】ABC 【详解】由， 当时，，所以， 当时，，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 则，即为， 所以对任意正整数n恒成立， 又因为， 所以. 故选：ABC. 9．（24-25高三上·江西宜春·阶段练习·多选）已知首项均为1的等差数列和等比数列的公差恰好为公比的倒数，若恒成立，则的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由题设，， 当，则，， 若为奇数且，则，又，此时， 若为偶数，则，令，则，此时恒成立， 综上，有恒成立，A对； 当，则，，此时，不合题设，B错； 当，则，，而， 所以，满足题设，C对； 当，则，， 所以，， 数学归纳法证明对任意正整数都成立， 当，则，即两侧相等， 若，的正整数时，成立， 当，则， 而，即， 综上，，故上述不等式也成立， 所以对任意正整数都成立，D对. 故选：ACD 10．（25-26高三上·重庆沙坪坝·开学考试）对数列，，对于任意的，都有，若对于任意的恒成立，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】根据题意，令，则，所以数列为等比数列，且，公比， 所以. 对数列，由. 随着的增大，的值越来越大. 且当时，；当时，. 所以数列的最小值为：. 由对于任意的恒成立，则的最大值为. 故答案为： 11．（24-25高三下·江苏南京·开学考试）已知各项均不为0的数列的前项和为，且，． （1）的通项公式为 ． （2）若对于任意，恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】（1），， 当时，可得， 两式相减得， 因为，故， 所以及均为公差为4的等差数列， 当时，由及，解得， 所以，， 所以数列的通项公式为． （2）由（1）知，可得， 因为对于任意，恒成立，所以恒成立， 设，则， 时，时，，， 所以，故，所以， 即实数的取值范围为． 故答案为：（1）；（2）． 12．（25-26高三上·山东日照·开学考试）已知数列的通项公式是，记为在区间内的项的个数，则使得不等式成立的的最小值为 . 【答案】12 【详解】由，得， 当为奇数时，； 当为偶数时，， 则当为奇数时，， 由，解得，而为奇数，则； 当为偶数时，，由，解得， 所以使得不等式成立的的最小值为12. 故答案为：12 13．（2025·浙江宁波·模拟预测）记等差数列的前n项和为，已知，． (1)求的通项公式； (2)求的前n项和； (3)若时，恒成立，求正整数的最小值． 【答案】(1) (2) (3)11 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，， 所以，解得， 所以. （2）由（1）可得，， 当时，， 当时， ， 故． （3）因为，, 所以， 整理得，解得或， 因为，，所以正整数的最小值为． 14．（25-26高三上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）设数列的前项和为，且是公差为的等差数列． (1)证明：数列是等比数列； (2)求的通项公式； (3)若对于任意正整数均成立，求整数的最大值． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【详解】（1）因为， 由题意可知：数列是以为首项，公差为的等差数列， 则，可得， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列. （2）由（1）可知：，即，且， 当时，则， 所以. （3）若对于任意正整数均成立， 若，则，即； 若，则，即； 可得，此时整数的最大值为， 若，则，符合题意； 综上所述：整数的最大值为. 15．（25-26高三上·广西南宁·开学考试）已知． (1)求的通项公式； (2)令，为的前项之积，求证：． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）由，左右同时除以得， 所以，则， 故是以3为首项，3为公差的等差数列， 所以，可得； （2）令函数，求导得， 在上单调递增，，即， 取，则，于是， 由（1）知，, ， 所以. 16．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知数列满足，且对任意正整数有，数列满足 (1)证明：数列是等比数列； (2)设，数列的前项和； ①求； ②若不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【详解】（1）证明：因为， 所以． 因为，所以． 又，所以，即证得是首项为1，公比为2的等比数列． （2）①由（1）可得，则， ， ， 两式相减得：， 即， 所以，则． ②因为不等式对任意的正整数恒成立， 即对任意的正整数恒成立， 当为偶数时，因为在为增函数， 所以； 当为奇数时，对任意的正整数恒成立， 所以，解得． 综上，实数的取值范围为． 17．（25-26高三上·四川绵阳·开学考试），都存在唯一的实数，使得，则称函数存在“源数列”．已知． (1)证明：存在源数列； (2)①若恒成立，求的取值范围； ②记的源数列为，前项和为．证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②证明见解析 【详解】（1）由，得，即在上单调递减， 又，当且无限趋近于0时，趋向于正无穷大，即的值域为， 对于可以取到任意正整数，且在上都有存在唯一自变量与之对应， 故对于，令，其在上的解必存在且唯一， 不妨设解为，即，则都存在唯一的实数，使得， 即存在源数列． （2）①恒成立，即恒成立， 令，即恒成立， 令，则， 令，则，仅在时取等号， 即在上单调递减，故，即在上单调递增， 故，故； ②由①得，故，即，则， 当时，． 当时，； 当时， 当时， ， 综上：． 18．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，若对任意的，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，，解得， 当时，由，可得，相减可得，对也成立， 由此可得数列是首项为，公比为的等比数列，所以， 所以，数列的通项公式为. （2）， 则 两式相减可得： , 整理可得, 若对任意的，恒成立,即为恒成立， 设，则，当时，即时，所以当时，， 所以当时，，当时，， 当时，，当时，， 可以看出在处取得最小值，所以从后才开始递增，即当，，时，， 当时，，所以， 所以的取值范围为. 考点三 数列递推问题 1．（24-25高二下·辽宁锦州·期末）已知数列中，，则（   ） A． B． C． D．5 【答案】A 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 所以，...， 所以数列是周期为3的数列，所以. 故选：A 2．（24-25高二下·吉林白山·期末）已知数列满足，且，若表示不超过x的最大整数，例如[2.6]＝2，[－1.8]＝－2，则＝（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【详解】因为，所以， 又，所以是以4为首项，2为公差的等差数列， 所以， 所以， 所以，又， 当n＝1时，；当时，， 所以． 故选：C． 3．（2025·江西新余·模拟预测）已知数列满足，且，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，知， 所以，即， 故，又适合上式，故． 故选：C. 4．（24-25高二下·山东淄博·期末）数列满足，且，则（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】B 【详解】法一：由已知，则，则， 则，归纳可得，所以. 法二：由题可得，，即，所以是常数数列， ，即，所以. 故选：B. 5．（2025·四川广安·模拟预测）已知数列满足，，则使得成立的最小自然数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【详解】由，则， 所以，则数列为常数列， 又，则，即，为递增数列， 因为，， 所以使得成立的最小自然数为8. 故选：D. 6．（24-25高二下·四川资阳·期末·多选）数列满足，，则（   ） A． B．为递增数列 C．为周期数列 D． 【答案】AC 【详解】由题可知：，，，， 所以可知：AC正确，B错误，数列的最小正周期为3，所以，故D错误. 故选：AC 7．（24-25高二下·广东揭阳·阶段练习·多选）记为正项数列的前项和，且，则（    ） A． B． C．数列单调递增 D． 【答案】ACD 【详解】对于选项A： ，化简得：. 所以，选项A正确； 对于选项B： ，化简得：. 因为，数列为正向数列，所以. 所以，故B错误； 对于选项CD： . ， 所以，化简， 若，则，即或， 则或（舍去）， 因为，所以，所以，， 所以为递增数列，所以， 所以， 所以，CD正确. 故选：ACD. 8．（24-25高二下·江西吉安·期末·多选）已知数列满足，其前项和为，则（    ） A． B．数列为等差数列 C．存在，使得为整数 D．对任意，均有 【答案】ABD 【详解】由，即， 因为，所以，故选项A正确； 由， 即数列是以为首项，2为公差的等差数列，故选项B正确； 因为，所以， 则，当时，不可能为整数，故选项C错误； 设，则， 即函数在上单调递增，故，即， 令，则有，即， 所以， 所以 即，故选项D正确； 故选：ABD. 9．（24-25高一下·上海·期末）已知数列满足，且为正整数，则 ． 【答案】 【详解】， 则是以为首项，公比为3的等比数列， 则. 故答案为： 10．（24-25高二下·广东江门·期末）已知数列满足，记数列的前n项和为，则 . 【答案】15 【详解】当时，； 当时，； 当时，； 所以. 故答案为：15 11．（24-25高二下·河南焦作·期末）在数列中，，且，则 . 【答案】 【详解】由题意得，则， 所以数列为常数列， 因此，即， 则， 所以 . 故答案为：. 12．（24-25高二下·江西赣州·期末）数列满足，且对于，都有. (1)求数列的，，； (2)证明数列是等差数列； (3)求. 【答案】(1)，， (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）由，， 所以， ， ； （2）由得，等式两边同时除以， 可得，即， 当时，. 所以是以2为首项，1为公差的等差数列， （3）由（2）知，则， 当时由累加法得： ， 等式两边同乘2，得. 两式相减得 ， 因为，所以（）， 当时上式也成立， 综上. 13．（24-25高二下·广西北海·期末）已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)若，记数列的前项和为，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为，所以， 又，所以，所以是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以，所以； （2）由（1）知， 所以 ， 又，所以． 14．（24-25高二下·河南鹤壁·期末）已知函数，，（，且），记. (1)求、； (2)证明是等差数列，并求的通项公式； (3)令，求数列的前项和. 【答案】(1)，. (2)证明见解析， (3) 【详解】（1）因为，，， 所以，. （2）因为，所以， 即，即，且， 又，所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以. （3）， 设数列、的前项和分别为、，则， ， ①， 则②， ①②，得 ，则. 因此，数列的前项和. 15．（24-25高二下·江西·期末）已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)若集合，且中仅有2个元素，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由，得， 又，所以数列是首项为1、公差为2的等差数列， 所以，故． （2）由（1）知， 所以， 则， 两式相减得 ． 所以． （3）由（1）知， 所以， 因为当或2时，，当时，， 所以， 又，若中仅有2个元素，则这2个元素为， 所以，即的取值范围是． 16．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知数列的前项和为． (1)求的通项公式； (2)若，且，求数列的通项公式； (3)在（2）的条件下，若，求的前项和． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由可得，， 以上两式相减可得，即， 因为，所以，即是公差为1的等差数列，从而， 由，所以是公差为1的等差数列，从而， 所以. （2）因为，所以， 即， 因为，所以为常数列，即. （3），所以， 所以. 17．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）已知各项均为正数的数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，若，求满足条件的最小正整数. 【答案】(1) (2)8 【详解】（1）， ， ，，又，              数列是以为首项，为公差的等差数列， ； （2）， ， ，，， 或（舍去）， ，满足条件的最小正整数为 18．（24-25高二下·辽宁·期末）已知数列满足，且． (1)求，，； (2)求数列的通项公式； (3)设，求数列的前项和． 【答案】(1)，， (2) (3) 【详解】（1）由，则， 又， 得， ， ． （2）由， 得， 所以， 又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 故． （3）由（2）得， 所以． 设，① 则，② 由①－②得 则； 当为奇数时， ；             当为偶数时， ； 故 2 学科网（北京）股份有限公司 $数列：奇偶数列问题、数列不等式恒成立问题、数列递推问题专项训练 数列：奇偶数列问题、数列不等式恒成立问题、数列递推问题专项训练 考点目录 奇偶数列问题 数列不等式恒成立问题 数列递推问题 考点一 奇偶数列问题 1．（24-25高二下·广东广州·期末）已知数列的通项公式，则数列的前10项和为（   ） A．35 B．40 C．45 D．50 2．（24-25高二下·四川眉山·期末）已知数列的通项公式为，则数列的前n项和（   ） A．107 B．1409 C．1414 D．112 3．（25-26高三上·河北·开学考试）已知数列的首项为1，，则数列的前20项和为（    ） A．190 B．380 C．210 D．420 4．（24-25高二下·广西钦州·期末）已知数列满足，，且，则的前51项的和为（    ） A．37 B．40 C．42 D．46 5．（24-25高二下·贵州六盘水·期末）已知数列满足，则（   ） A． B． C． D． 6．（2025·海南海口·模拟预测·多选）若数列满足：，已知，则（   ） A．14 B．15 C．17 D．18 7．（25-26高三上·湖南怀化·开学考试·多选）已知是数列的前n项和，，，则（    ）． A．是递增数列 B． C． D． 8．（2025·湖北黄冈·二模）已知数列的首项为，前项和为，且，若，则的取值范围为 9．（24-25高二下·河南南阳·期中）已知数列满足，则数列的前20项和 ． 10．（24-25高二下·云南临沧·阶段练习）已知数列满足：． (1)若，求数列的通项公式； (2)若为数列的前项和，求． 11．（25-26高三上·浙江温州·开学考试）在已知数列中， (1)求数列的通项公式. (2)数列中是否存在不同的三项恰好成等差数列？若存在，求出的关系；若不存在，请说明理由. 12．（2025·云南玉溪·模拟预测）设是等差数列，是等比数列，，且. (1)求与的通项公式； (2)设，求的前项和． 13．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知数列的首项是 (1)证明：的奇数项成等差数列； (2)求的前项和. 14．（25-26高三上·浙江·开学考试）记为正项数列的前项和，已知 (1)求数列的通项公式； (2)设数列，求数列的前项和. 15．（24-25高二下·北京延庆·期中）已知各项均为正数的无穷数列满足：，其中是正实数. (1)若，，写出，，的值； (2)若数列中存在一项，，证明：； (3)若数列中每一项都不是，证明：，. 考点二 数列不等式恒成立问题 1．（24-25高二上·广西百色·期末）已知为数列的前n项和，且，若对任意正整数n恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·安徽铜陵·阶段练习）已知数列满足，且，则使不等式成立的的最大值为（    ） A．98 B．99 C．100 D．101 3．（24-25高二下·江西九江·阶段练习）已知数列满足，设数列的前项和为，若恒成立，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·重庆·模拟预测）已知等差数列、的前项和分别为、，若，对，，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·浙江·期中）已知数列是等差数列，，且，，数列的前n项和为，若不等式恒成立，则实数的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 6．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知数列的前项和为，且，，数列满足，记的前项和为，若恒成立，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 7．（24-25高二上·云南大理·期末·多选）已知等比数列的首项，公比为，前项和为，前项积为，则（    ） A．若数列是递增数列，则 B．当时，数列是常数列 C．当时，存在实数，使得恒成立 D．若，则使得成立的的最大值为10 8．（24-25高二下·福建福州·期中·多选）已知为数列的前n项和，且，若对任意正整数n恒成立，则实数的值可以为（   ） A． B． C．5 D． 9．（24-25高三上·江西宜春·阶段练习·多选）已知首项均为1的等差数列和等比数列的公差恰好为公比的倒数，若恒成立，则的取值可以是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高三上·重庆沙坪坝·开学考试）对数列，，对于任意的，都有，若对于任意的恒成立，则的最大值为 ． 11．（24-25高三下·江苏南京·开学考试）已知各项均不为0的数列的前项和为，且，． （1）的通项公式为 ． （2）若对于任意，恒成立，则实数的取值范围为 ． 12．（25-26高三上·山东日照·开学考试）已知数列的通项公式是，记为在区间内的项的个数，则使得不等式成立的的最小值为 . 13．（2025·浙江宁波·模拟预测）记等差数列的前n项和为，已知，． (1)求的通项公式； (2)求的前n项和； (3)若时，恒成立，求正整数的最小值． 14．（25-26高三上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）设数列的前项和为，且是公差为的等差数列． (1)证明：数列是等比数列； (2)求的通项公式； (3)若对于任意正整数均成立，求整数的最大值． 15．（25-26高三上·广西南宁·开学考试）已知． (1)求的通项公式； (2)令，为的前项之积，求证：． 16．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知数列满足，且对任意正整数有，数列满足 (1)证明：数列是等比数列； (2)设，数列的前项和； ①求； ②若不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围． 17．（25-26高三上·四川绵阳·开学考试），都存在唯一的实数，使得，则称函数存在“源数列”．已知． (1)证明：存在源数列； (2)①若恒成立，求的取值范围； ②记的源数列为，前项和为．证明：． 18．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，若对任意的，恒成立，求的取值范围. 考点三 数列递推问题 1．（24-25高二下·辽宁锦州·期末）已知数列中，，则（   ） A． B． C． D．5 2．（24-25高二下·吉林白山·期末）已知数列满足，且，若表示不超过x的最大整数，例如[2.6]＝2，[－1.8]＝－2，则＝（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 3．（2025·江西新余·模拟预测）已知数列满足，且，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·山东淄博·期末）数列满足，且，则（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 5．（2025·四川广安·模拟预测）已知数列满足，，则使得成立的最小自然数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．（24-25高二下·四川资阳·期末·多选）数列满足，，则（   ） A． B．为递增数列 C．为周期数列 D． 7．（24-25高二下·广东揭阳·阶段练习·多选）记为正项数列的前项和，且，则（    ） A． B． C．数列单调递增 D． 8．（24-25高二下·江西吉安·期末·多选）已知数列满足，其前项和为，则（    ） A． B．数列为等差数列 C．存在，使得为整数 D．对任意，均有 9．（24-25高一下·上海·期末）已知数列满足，且为正整数，则 ． 10．（24-25高二下·广东江门·期末）已知数列满足，记数列的前n项和为，则 . 11．（24-25高二下·河南焦作·期末）在数列中，，且，则 . 12．（24-25高二下·江西赣州·期末）数列满足，且对于，都有. (1)求数列的，，； (2)证明数列是等差数列； (3)求. 13．（24-25高二下·广西北海·期末）已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)若，记数列的前项和为，求证：． 14．（24-25高二下·河南鹤壁·期末）已知函数，，（，且），记. (1)求、； (2)证明是等差数列，并求的通项公式； (3)令，求数列的前项和. 15．（24-25高二下·江西·期末）已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)若集合，且中仅有2个元素，求的取值范围． 16．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知数列的前项和为． (1)求的通项公式； (2)若，且，求数列的通项公式； (3)在（2）的条件下，若，求的前项和． 17．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）已知各项均为正数的数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，若，求满足条件的最小正整数. 18．（24-25高二下·辽宁·期末）已知数列满足，且． (1)求，，； (2)求数列的通项公式； (3)设，求数列的前项和． 2 学科网（北京）股份有限公司 $