专题25 电磁感应的综合问题-2026年高考物理热点知识讲练与题型归纳（全国通用）

专题25 电磁感应的综合问题 题型一 电磁感应中的图像问题 1 类型1 动生电动势的图像 2 类型2 感生电动势的图像 5 类型3 动力学图像 8 题型二 电磁感应的动力学问题 11 题型三 电磁感应中的动力学和能量问题 14 题型四 动量定理与电磁感应结合问题 15 类型1 “单棒+电阻”模型 15 类型2 双棒模型 18 类型3 “电容器+棒”模型 21 题型五 动量守恒定律在电磁感应现象中的应用 24 题型一 电磁感应中的图像问题 1．图象类型 (1)磁感应强度B、磁通量Φ、感应电动势E和感应电流I，随时间t变化的图象，即B－t图象、Φ－t图象、E－t图象和I－t图象． (2)对于切割磁感线产生感应电动势和感应电流的情况，还常涉及感应电动势E和感应电流I随位移x变化的图象，即E－x图象和I－x的图象． 2．问题类型 (1)由给定的电磁感应过程判断或画出正确的图象． (2)由给定的有关图象分析电磁感应过程，求解相应的物理量． (3)利用给出的图象判断或画出新的图象． 类型1 动生电动势的图像 1. 已知长直导线在其周围空间产生的磁场大小，其中是常量。是导线中的电流，是空间某点到导线的垂直距离。如图所示，在水平面上固定间距为的光滑导轨，左端接有阻值为的电阻。一质量为、阻值也为的导体棒在水平拉力作用下沿导轨运动，已知运动过程中电阻上的电功率恒为，不计导轨电阻，导体棒的速度和加速度随导体棒到直导线的距离关系图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 2. 如图1所示，两根光滑长直导轨AM和AN在A点连接，处于磁感应强度为B的匀强磁场中。一根长直金属杆垂直AM放置，开始时与A点相距L，杆与A点之间的导轨上连接一阻值为R的电阻。时刻，在水平外力作用下，杆沿平行AM方向以初速度水平向右运动，位移为L时到达PQ，杆速度倒数与位移x间的关系如图2所示，不计其余电阻。则（　　） A．前一半时间内的平均感应电动势比后一半时间内的平均感应电动势小 B．位移时，速度大小为 C．运动到PQ过程中，通过电阻的电量为 D．运动到PQ过程中，电阻上产生的热量为 3. 如图1所示，固定在水平地面上的两足够长平行光滑金属导轨ae、bf相距，与水平地面间的夹角为，导轨底部连接一阻值的电阻，两导轨的ac段、bd段长度均为、导轨单位长度的电阻为，ce段和df段的电阻可忽略，整个装置处于磁感应强度大小为、方向垂直导轨平面向上的匀强磁场中，一质量、电阻不计的导体棒垂直导轨放置在最底端。时刻起，对导体棒施加一平行导轨向上的拉力F，导体棒向上运动的图像如图2所示，不计空气阻力，重力加速度g取。在上述过程中，求∶ (1)导体棒运动到cd处时受到的安培力大小； (2)流过电阻R的电流与导体棒运动时间t的关系式； (3)导体棒在ac、bd段运动过程中所受拉力F的最大值。 4. 如图所示，ABC、DEF为电阻忽略不计的金属导轨，导轨间距不变。AB、DE部分水平，粗糙，其间有竖直向下、大小为B的匀强磁场。BC、EF部分倾斜，光滑。G、H为BC、EF上的两等高点，GH与BE平行，离CF足够远。GHFC间有垂直GHFC向下、大小为B的匀强磁场。初始时导体棒MN静置于AB、DE上，MN离BE足够远。导轨、导体棒接触良好。导体棒PQ从倾斜导轨上GH上方某处无初速释放，则导体棒PQ从释放到进入磁场中的一段时间内的速度时间图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 5. 某游乐园中过山车从倾斜轨道最高点无动力静止滑下后到水平直轨道停下。为保证安全，水平轨道上安装有磁力刹车装置，其简化示意图如图所示。水平直轨道右侧与定值电阻相连，虚线的右侧有竖直向上的匀强磁场，左侧无磁场。过山车的刹车金属片可等效为一根金属杆，其从倾斜轨道上某一位置由静止释放，最终静止在水平轨道某一位置，忽略摩擦力和空气阻力。下列关于金属棒运动过程中速率、加速度大小与运动时间或运动路程的关系图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 类型2 感生电动势的图像 6. 如图甲所示，金属圆环和金属线框相互靠近且固定在水平面上，金属棒PQ放在金属框上，圆环a、b端接如图乙所示的余弦交变电流，金属棒PQ始终保持静止。以图甲中电流方向为正方向，则下列说法正确的是（    ） A．内，金属棒中的感应电流方向为 B．内，金属棒受到水平向右的静摩擦力 C．时刻，金属棒受到的安培力最大 D．内，金属棒中的感应电流先增大后减小 7. 如图甲所示，圆形线圈置于垂直线圈平面向外的匀强磁场中，阻值为的电阻两端分别与线圈两端、相连，其他电阻忽略不计。磁感应强度B随时间变化的规律如图乙所示，不考虑线圈缺口对感应电动势的影响，下列关于感应电流、通过电阻的电荷量、电阻中产生的热量、线圈的张力随时间变化的图像中可能正确的是（　　） A． B． C． D． 8. 某同学设计了图（a）所示装置模拟涡流的形成。用n个横截面积均为S、电阻率均为ρ的同轴薄金属圆环条模拟“圆盘形导体”，内环半径及相邻环的间距均为r（r远大于环的厚度）；将“圆盘形导体”水平放置在竖直方向、磁感应强度B随时间t按正弦规律变化的交变圆形磁场区域中，圆形磁场区域半径为4r，圆心与圆盘形导体圆形重合，其B-t图像如图（b）所示（规定竖直向上为正方向）。不考虑环中感应电流磁场的影响，则（　　） A．时刻，从上往下看，各环内感应电流均为顺时针方向 B．时刻，内环中感应电流大小为 C．时间内，半径为5r的圆环条通过横截面的电荷量为 D．半径为5r圆环条的平均发热功率为 9. 如图甲所示，圆形金属框内充满垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B0，长为L的导体棒ab绕固定于圆心的a端以角速度ω顺时针匀速转动；两竖直平行金属导轨MN、PQ间距为L，上端分别用导线与圆形金属框和a端相连，M、P间接有定值电阻R；长为L的导体棒cd与MN、PQ垂直且接触良好，cd始终处于垂直纸面向外的“”形磁场中，磁感应强度大小随时间的变化规律如图乙所示。0时刻cd棒从磁场的上边界以的速度开始向下匀速运动，t0时刻锁定cd棒。已知Rab=Rcd=R，其它电阻不计，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．0~t0通过MP的电流大小为 B．cd棒的质量为 C．t0~2t0通过MP间电阻的电量为 D．t0~2t0回路消耗的总功率为 10. 如图甲，在圆柱形区域内存在一方向竖直向下、磁感应强度大小B随时间t的变化关系如图乙所示磁的磁场，在此区域内，沿水平面固定一半径为r的圆环形光滑细玻璃管，环心O在区域中心。一质量为m、带电荷量为（q（q>0）的小球t=0时静止在管内的E点，2T0时刻小球第二次经过F点且不受细管侧壁的作用力，角EOF为120°，小球在运动过程中电荷量保持不变，对原磁场的影响可忽略。下列说法正确的是（　　） A．2T0时刻小球过F点的速度大小为 B．小球两次过F点时受到洛伦兹力的大小之比为2∶5 C．T0时刻细玻璃管内的电场强度大小为 D．T0时刻小球受细管侧壁的作用力等于零 类型3 动力学图像 11. 如图，在光滑水平桌面上有一边长为、电阻为的正方形导线框；在导线框右侧有一宽度为的条形匀强磁场区域，磁场的边界与边平行，磁场方向竖直向下。导线框以某一初速度向右运动，时边恰与磁场的左边界重合，随后导线框在垂直于边的水平外力作用下沿直线匀加速通过磁场区域。下列图像中，可能正确描述上述过程的是（　　） A． B． C． D． 12. 如图所示，正六边形线框边长为，放置在绝缘平面上，线框右侧有一宽度为的匀强磁场区域，、为磁场边界线，，线框以垂直方向的速度匀速向右运动。设线框中感应电流为，磁场对线框的安培力为。以逆时针方向为线框中感应电流的正方向，水平向左为安培力的正方向。线框点进入磁场时开始计时，下列图像可能正确的是（    ） A． B． C． D． 13. 如图所示，垂直纸面向里的匀强磁场的区域宽度为，磁感应强度的大小为。一直角边长为的等腰直角三角形均匀导线框ABC从图示位置开始沿轴正方向以速度匀速穿过磁场区域。规定逆时针电流方向为正，水平向左为安培力的正方向。则关于线框中的电流，线框受到的安培力与线框移动距离的关系图像可能正确的是（　　）    A．   B．   C．   D．   14. 如图所示，平面直角坐标系xOy内有一边长为2a的正六边形区域，该区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，正六边形的左顶点O位于坐标原点。平面内有一矩形匀质导线框MNPQ，线框边长，，且NP边与y轴重合，O点位于NP边的中点。施加外力使线框自O点开始沿x轴水平向右匀速运动，设线框中感应电流为I，磁场对线框的安培力为F，线框运动的位移为x，以逆时针方向为线框中感应电流的正方向，水平向左为安培力的正方向，下列图象可能正确的是（　　） A． B． C． D． 15. 如图所示，矩形闭合导体线框在匀强磁场上方，由不同高度静止释放，用、分别表示线框ab边和cd边刚进入磁场的时刻。线框下落过程形状不变，ab边始终保持与磁场水平边界线OO′平行，线框平面与磁场方向垂直。设OO′下方磁场区域足够大，不计空气影响，则下列图像可能反映线框下落过程中速度v随时间t变化规律的是（　　） A． B． C． D． 题型二 电磁感应的动力学问题 1．安培力的大小 由感应电动势E＝Blv、感应电流I＝和安培力公式F＝BIl得F＝. 2．安培力的方向判断 (1)对导体切割磁感线运动，先用右手定则确定感应电流的方向，再用左手定则确定安培力的方向． (2)根据安培力阻碍导体和磁场的相对运动判断． 3．电磁感应中的力和运动 电磁感应与力学问题的综合，涉及两大研究对象：电学对象与力学对象．联系两大研究对象的桥梁是磁场对感应电流的安培力，其大小与方向的变化，直接导致两大研究对象的状态改变． 16. 如图所示，固定在绝缘水平面上、半径为r的金属圆环处在方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。竖直导电转轴经过金属圆环的圆心O点，长度为2r、粗细均匀的金属棒ab的a端固定在O点，金属棒ab随转轴匀速转动，转动过程中金属棒ab与金属圆环接触良好。圆环左侧有两根足够长、间距为L、倾角为的平行光滑固定金属导轨，两根导轨通过导线和电刷分别与金属圆环和导电转轴相连。导轨所在空间存在垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小也为B。质量为m、长度为L、电阻为R的金属棒cd垂直放置在导轨上且刚好能保持静止，重力加速度大小为g，除金属棒cd外，其余电阻均不计。 (1)求通过金属棒cd的电流I和ab的转动方向（从上往下看）； (2)求金属棒ab的角速度； (3)若金属棒ab转动的角速度变为原来的三分之一，将金属棒cd从导轨上由静止释放，经过时间t，金属棒cd速度达到稳定，已知金属棒cd运动过程中与导轨始终垂直并接触良好，求该过程中金属棒cd运动的位移大小x。 17. 如图所示，左侧有一半径为的水平金属圆盘绕竖直中心轴匀速转动，角速度大小。圆盘所在空间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小。右侧有两根足够长的光滑平行金属导轨固定在水平面内，间距d=1m，中间部分导轨非常短且光滑绝缘。导轨所在空间存在另一竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小。两根质量均为m=0.2kg、长度均为d=1m、阻值均为的导体棒M、N静止垂直放置在导轨上，导体棒M到导轨处的距离足够长，导体棒N到导轨处的距离。从圆盘中心和圆盘边缘用电刷引出两根导线分别接在两根导轨上，闭合开关，导体棒M会沿金属导轨向右运动，达到最大速度后，再通过导轨，之后与导体棒N发生弹性正碰，碰撞时间极短，不计金属圆盘和导轨的电阻，求： (1)闭合开关瞬间，导体棒M的加速度大小； (2)从闭合开关到导体棒M达到最大速度的过程中，通过导体棒M的电荷量； (3)最终稳定后，M、N两导体棒之间的距离。 18. 新型电动汽车在制动时，可以用发电机来回收能量。假设此发电机的原理可抽象建模如图所示。绕有n匝导线的线圈为长方形，其面积为S，整个线圈都处在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度的大小为B。线圈可绕处在线圈平面内且与磁场垂直的转轴转动，线圈外接有阻值为R的纯电阻负载，忽略线圈的电阻，电动汽车的质量为M。 (1)初始时刻线圈平面和磁场垂直，若线圈角速度恒为ω，写出电路开路时线圈两端的电压u随时间t变化的关系式； (2)第一种制动模式建模如下：电动汽车受到地面施加的阻力恒为，发电机线圈转动导致汽车受到的阻力与汽车的速度v成正比，即：（k为已知常量），假设汽车开始制动时的速度为，经过时间t，汽车的速度减为零。求该过程中汽车前进的距离x和回收的动能； (3)第二种制动模式建模如下：假设电动汽车制动时受到的地面摩擦等阻力与发电机线圈转动导致汽车受到的阻力相比可以忽略，即制动时汽车受到的阻力完全是由线圈转动导致的，从而汽车减少的动能全部用来发电，回收的电能与上面图示模型中电阻R消耗的电能相等。某时刻线圈平面和磁场平行，此时线圈转动角速度为，电动汽车在水平面上减速至速度，求此时汽车加速度a的大小。 题型三 电磁感应中的动力学和能量问题 1．能量转化 导体切割磁感线或磁通量发生变化，在回路中产生感应电流，这个过程中机械能或其他形式的能转化为电能，具有感应电流的导体在磁场中受安培力作用或通过电阻发热，又可使电能转化为机械能或内能．因此，电磁感应过程中总是伴随着能量的转化． 2．电磁感应过程的实质是不同形式的能量转化的过程，而能量的转化是通过安培力做功的形式实现的，安培力做功的过程，是电能转化为其他形式能的过程，外力克服安培力做功，则是其他形式的能转化为电能的过程． 19. 如图所示，间距L为2m的两根平行光滑金属导轨MN、PQ固定在同一水平面内，导轨电阻不计，两导轨间存在大小为0.1T、方向垂直导轨平面向外的匀强磁场，导轨左端串接一个阻值为1Ω的电阻，一根质量为1kg、电阻为1Ω的导体棒垂直于导轨放在导轨上，导体棒与绝缘T形支架相连，当右侧的水平圆盘匀速转动时，固定在圆盘边缘上的小圆柱可在T形支架的滑槽中滑动，从而带动T形支架在水平方向做往复运动。小圆柱到圆盘圆心的距离为，圆盘转动的角速度为50rad/s，A、C两点的连线为平行于导体棒的直径，D点为AC右侧圆弧的中点，导体棒与导轨始终接触良好，不计一切摩擦，求： (1)当小圆柱转动过A点时，导体棒中感应电动势大小EA； (2)从小圆柱运动到AD圆弧中点P时，流过电阻R的电流大小IP； (3)小圆柱从A点运动到D点的过程中，T形支架对导体棒做的功W。 20. 如图所示，固定在绝缘水平面上的、半径为r的金属圆环处在方向竖直向下、磁感应强度大小为B₀的匀强磁场中。竖直导电转轴OO′经过金属圆环的圆心O点，长度为2r、阻值为2R、粗细均匀的金属棒ab的a端固定在竖直导电转轴的O点，随转轴逆时针（从上往下看）匀速转动，转动过程中金属棒ab与金属圆环接触良好。圆环左侧有两根足够长、间距为2r、倾角为θ的平行光滑金属导轨，两根导轨通过导线分别与金属圆环和导电转轴OO′相连。导轨所在空间存在垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小也为B0。质量为m、长度为2r、电阻为2R的金属棒cd垂直放置在导轨上且刚好能保持静止，重力加速度为g，除两金属棒外其余电阻均不计。 (1)求导电转轴OO′转动的角速度ω大小； (2)求金属棒ab两端的电压Uab； (3)若金属棒ab转动的角速度变为原来的一半，将金属棒cd在导轨上由静止释放，经过时间t0金属棒cd速度达到稳定，已知金属棒cd运动过程中与导轨始终垂直并接触良好，求该过程中金属棒cd运动的位移大小。 题型四 动量定理与电磁感应结合问题 导体棒或金属框在感应电流所引起的安培力作用下做非匀变速直线运动时，安培力的冲量为： 类型1 “单棒+电阻”模型 21. 如图，平行光滑金属导轨被固定在水平绝缘桌面上，导轨间距为，右端连接一定值电阻。水平导轨上足够长的矩形区域存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为。某装置从左侧沿导轨水平向右发射第1根导体棒，导体棒以初速度进入磁场，速度减为0时被锁定；从原位置再发射第2根相同的导体棒，导体棒以初速度进入磁场，速度减为0时被锁定；此时导轨上第1根导体棒与第2根导体棒之间的距离为（未知）。已知导体棒的质量为、阻值与定值电阻的阻值相同，长度恰好等于导轨间距，与导轨接触良好（发射前导体棒与导轨不接触），不计空气阻力及导轨的电阻，忽略回路中的电流对原磁场的影响。求： (1)第1根导体棒刚进入磁场时，定值电阻两端的电压； (2)从第1根导体棒进入磁场到第2根导体棒被锁定，定值电阻上产生的焦耳热； (3)能否从原位置发射第3根相同的导体棒，进入磁场后速度为0时被锁定，停在第2根导体棒左侧，与第2根导体棒的距离也等于（未知）。若能，求出发射速度；若不能，通过计算说明。 22. 如图，足够长的间距的平行光滑金属导轨、固定在水平面内，导轨间存在一个宽度的匀强磁场区域，磁感应强度大小为，方向如图所示。一根质量，阻值的金属棒a以的初速度从左端开始沿导轨滑动，另一根阻值的金属棒b静止在导轨上，两金属棒始终与导轨垂直且接触良好。导轨电阻不计，则（　　） A．金属棒a刚进入磁场时，金属棒a两端的电压为4V B．金属棒a不能穿过磁场区域 C．金属棒a刚穿出磁场区域时的速度大小为8m/s D．金属棒a在磁场中运动的过程中，金属棒b上产生的焦耳热为1.08J 23. 如图甲所示，平行金属长导轨M、N固定在同一水平面内，导轨间距为L，电阻不计。两虚线PQ、ST与导轨垂直，PQ左侧存在竖直向上的匀强磁场，ST右侧存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小均为B。质量为m的金属棒ab与导轨垂直，静置在左侧磁场中。位于两虚线之间的金属棒cd与导轨夹角为θ，在外力作用下以速度 v向右始终做匀速直线运动，从c端进入右侧磁场时开始计时，回路中的电流i随时间t的变化关系如图乙所示，图中（部分为直线，为已知量，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，导轨与导体棒接触良好，则（　　） A．t₁时刻cd棒所受的安培力大小为 B．2t₁时刻金属棒cd完全进入磁场中 C．0~2t₁时间内，通过回路某截面电荷量为 D．ab棒的最终速度大小为 24. 某电磁缓冲装置如图所示，两足够长、间距为L的平行金属导轨置于同一水平面内，导轨左端与一阻值为R的定值电阻相连，导轨段与段粗糙，其余部分光滑，右侧处于竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，一质量为m的金属杆垂直导轨放置。现让金属杆以初速度沿导轨向右经过进入磁场，最终恰好停在处。已知金属杆接入导轨之间的阻值为R，与粗糙导轨间的动摩擦因数为，。导轨电阻不计，重力加速度为g，下列说法正确的是（    ） A．金属杆在磁场中运动时，回路中电流沿顺时针方向 B．金属杆经过时的速度小于 C．在整个过程中，定值电阻R产生的热量为 D．金属杆经过与区域过程中，所受安培力的冲量相同 25. 如图1所示，MN、PQ为两根水平放置、相距、平行且光滑的金属导轨，PM两点间接阻值的定值电阻，质量的导体棒放置在导轨上，与导轨垂直且接触良好。时刻给导体棒施加水平向右、的恒力，导体棒从静止开始运动，时导体棒的速度．已知匀强磁场的磁感应强度，方向竖直向上，不计导轨、导体棒的电阻，重力加速度g取．则在导体棒向右运动的过程中，求： (1)时导体棒切割磁感线产生的感应电动势的大小E； (2)时导体棒的加速度大小a，分析并在图2中定性画出导体棒运动过程的速度v随时间t变化的图像； (3)到的过程中，导体棒通过的位移大小x。 类型2 双棒模型 26. 如图所示，半径为r的法拉第圆盘通过边缘和竖直转轴上的电刷分别与固定在绝缘平台上的平行直导轨MN、M'N'连接，平台右下方的导轨PQ、P'Q'段是固定在竖直面内的圆心角为，半径为r的圆弧，圆弧底端与固定在绝缘水平面上且足够长的直导轨QR、Q'R'平滑连接，导轨间距均为L，法拉第圆盘和两部分直导轨均处在竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。质量均为m、电阻均为R的相同导体棒a和b分别静置在两部分直导轨上。某时刻圆盘开始以角速度ω匀速转动，经过一段时间后导体棒a从NN'端水平抛出，恰能无碰撞地从PP'处以速度v滑入导轨，且最终恰好没有与导体棒b相碰。已知重力加速度为g，不计一切摩擦及空气阻力，除导体棒a和b外各处电阻均不计，求： (1)导体棒a在刚到达QQ'处时对圆弧导轨的压力大小； (2)导体棒a在导轨MN、M'N'上运动时产生的焦耳热Q； (3)导体棒b与导轨QR、Q'R'左端（处）的初始距离x。 27. 如图所示，两根足够长的金属直导轨水平平行放置，导轨间距为，整个装置处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为。现将质量均为的金属棒a、b垂直导轨放置，a、b金属棒接入导轨之间的电阻分别为，。a棒光滑，b棒与导轨间动摩擦因数，运动过程中金属棒与导轨始终垂直且接触良好，金属棒始终未滑出导轨，导轨电阻忽略不计，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小，当给a棒施加水平向右恒定的拉力，a棒开始向右运动，经过时间t=3s，b棒恰好要开始运动，则在此过程中： (1)a棒速度为多大时，b棒开始运动？此时a棒的加速度为多大？ (2)这段时间内通过b棒任一截面的电量为多大？ (3)这段时间内回路中产生的热量为多大。 28. 如图所示，平行倾斜光滑导轨与足够长的平行水平光滑导轨平滑连接，导轨电阻不计。质量分别为m和的金属棒b和c静止放在间距为L的水平导轨上，b、c两棒均与导轨垂直且两金属棒电阻均为R。图中de虚线往右有范围足够大、方向竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B。质量为m的绝缘棒a垂直于倾斜导轨静止释放，释放位置与水平导轨的高度差为h。已知绝缘棒a滑到水平导轨上与金属棒b发生弹性正碰，金属棒b进入磁场后始终未与金属棒c发生碰撞。重力加速度为g，求： (1)绝缘棒a与金属棒b发生弹性正碰后分离时两棒的速度大小； (2)金属棒b上最终产生的焦耳热； (3)金属棒c初始位置距离磁场边界de的最小距离为多少？ 29. 如图所示，足够长且光滑的平行金属导轨固定在水平面内， 导轨间距为，导轨间存在垂直导轨平面的匀强磁场，磁感应强度大小。导轨上静置有质量为，电阻为的金属棒，质量为，电阻为的金属棒，两金属棒长度均为。某时刻获得一瞬时冲量以的速度沿导轨向右运动。两金属棒始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻不计，未发生碰撞。求∶ (1)整个运动过程中，上产生的焦耳热； (2)开始时、之间的最小距离。 30. 两根平行的光滑金属轨道，间距为，电阻不计，每条轨道由直线部分和弯曲部分组成，如图甲所示安装，使得和处于同一水平面。金属杆1静止放置在轨道的左端，距离平面的高度为。金属杆2放置在轨道的右端。在右侧的水平轨道区域内，存在大小为的竖直向上的均匀磁场。让杆2以初速度沿轨道向左移动，同时杆1被释放。在杆1沿轨道滑动到位置的过程中，通过杆2的平均电流为。若从杆1到达的时刻开始计时，并设向右为正方向，两根杆的速度随时间变化关系如图乙所示。已知杆1和杆2的电阻分别为和，质量分别为和，重力加速度大小为。则（　　） A．杆1在弯曲轨道上滑动的时间为 B．杆1在弯曲轨道上滑动的时间为 C．杆2中产生的总热量为 D．杆2中产生的总热量为 类型3 “电容器+棒”模型 31. 如图所示，竖直和水平放置的等间距金属导轨由绝缘的两段四分之一圆轨连接，其半径为，两段导轨间距均为，分别处在与各自所在平面垂直的匀强磁场中，磁感应强度大小均为，竖直导轨上端接电容为的电容器。现将质量为，电阻不计的导体杆甲从竖直导轨上某处静止释放，质量为电阻为的导体杆乙静止在水平导轨上。甲杆以速度在水平导轨上与乙杆发生完全弹性碰撞，之后甲杆被锁定。忽略所有摩擦和其余电阻，杆与导轨始终垂直且接触良好。 (1)甲杆在竖直导轨处运动时，求： ①当速度为时，电容器所积累的电荷量； ②该过程的加速度。 (2)从两杆碰撞到乙杆速度减为，求该过程中，乙杆产生的焦耳热Q。 32. 如图所示，PQ和MN是两根互相平行、竖直固定的光滑金属导轨，匀强磁场垂直于纸面向里。PM间接一电容为C 的电容器，ab是一与导轨垂直且始终接触良好的金属杆。现让 ab由静止开始自由下落，电容器两端的电压为U，金属杆的动能为Eₖ、动量为p、机械能为E，金属杆运动的位移为x、时间为t。假设整个过程电容器始终未被击穿，导轨及金属杆的电阻忽略不计，则上述物理量间关系的图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 33. 如图所示，足够长倾斜型导轨顶端连有一电容器，电容器规格为“，100V”，导轨处有垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为，导轨倾角。将质量为的金属棒在导轨某处由静止释放，一段时间后，电容器被击穿。已知倾斜导轨宽度为，金属棒与导轨间的动摩擦因数为，，重力加速度取，导轨及金属棒电阻不计，金属棒始终与导轨垂直且接触良好。以金属棒开始运动为计时起点，下列说法正确的是（　　） A．金属棒向下做加速度减小的加速运动，最后匀速 B．时，电容器被击穿 C．时，金属棒下滑的距离为 D．时，电容器储存的电能为 34. 我国首艘弹射型航空母舰福建舰采用了世界上最先进的电磁弹射技术，装备了三条电磁弹射轨道。为了研究问题方便，将其简化为如图所示的模型（俯视图）。发射轨道被简化为两个固定在水平面上、间距为且相互平行的足够长金属导轨，整个导轨平面处在竖直向下、磁感应强度大小为的匀强磁场中。发射导轨的左端为储能装置电容器，电容为。舰载机等载体被简化为一根质量为、长度也为、阻值为的金属导体棒。金属导体棒垂直放置于平行金属导轨上，忽略一切摩擦以及导轨和导线的电阻。每次发射前对电容器进行充电，满电带电荷量为，则（　　） A．导体棒能获得的最大发射速度为 B．闭合开关瞬间，导体棒的加速度为 C．闭合开关后，导体棒做匀加速直线运动 D．整个发射过程中流过导体棒的电荷量最大为 35. 某兴趣小组为研究电动汽车能量回收装置原理，设计了如图所示的模型：两个半径不同的同轴圆柱体间存在由内至外沿半径方向的辐向磁场。有一根质量为m、长度为L、电阻为R的金属棒MN通过导电轻杆与中心轴相连，可绕轴转动，金属棒所在之处的磁感应强度大小均为B，整个装置竖直方向放置。中心轴右侧接一单刀双掷开关：开关接通1，由电动势为E，内阻为r的电源给金属棒供电，棒MN受到阻力f方向与速度相反，大小与速度成正比，，k为已知常数。当MN运动的路程为s时已经匀速运动。若开关接通2，开始能量回收，给电容为C的电容器充电。初始时电容器不带电、金属棒MN静止，电路其余部分的电阻不计。 (1)在开关接通1瞬间，求棒MN受安培力大小； (2)开关接通1，求稳定后棒MN的最大速度； (3)接第（2）问，若最大速度已知，记为，则 ①求开始转动到最大速度过程中，电源把多少其他形式能转化为电能； ②达到最大速度后，开关接通2，若此后阻力不计，在一段时间后金属棒将再次匀速转动，求此时电容器C上的带电量Q。 题型五 动量守恒定律在电磁感应现象中的应用 在双金属棒切割磁感线的系统中，双金属棒和导轨构成闭合回路，安培力充当系统内力，如果它们不受摩擦力，且受到的安培力的合力为0时，满足动量守恒，运用动量守恒定律解题比较方便。 36. 如图所示，两根固定的平行金属导轨（足够长，电阻不计）由倾角为的倾斜部分和水平部分平滑连接构成，两导轨的间距为，整个装置处于磁感应强度大小为的匀强磁场中，倾斜导轨区域的磁场方向垂直导轨所在平面向上，水平导轨区域的磁场方向竖直向上。现将一质量为、电阻为、长度为的导体棒锁定在水平导轨的左端，从倾斜导轨顶端由静止释放另一相同的导体棒，棒到达倾斜导轨底端前已匀速运动，当棒刚到达水平导轨左端时，将棒解锁，两棒在水平导轨上发生弹性正碰，碰撞时间极短。两棒始终与导轨垂直且接触良好，重力加速度大小为，不计一切摩擦。下列说法正确的是（　　） A．碰撞前瞬间，棒的速率为 B．碰撞后，棒的最大加速度为 C．两棒最终以相同的速率匀速运动 D．从碰撞结束到两棒稳定运动，系统产生的总焦耳热为 37. 如图所示，相距的平行光滑金属导轨由水平和倾斜两部分组成，水平部分导轨足够长，处在竖直向下的磁感应强度大小为的匀强磁场中，倾斜部分导轨与水平导轨平滑连接。有两根完全相同的金属棒甲和乙固定在倾斜导轨上，将甲从图中位置由静止释放，到达倾斜导轨底端的速度，当甲进入磁场后速度为零时，将乙从图中位置由静止释放，最后乙与甲达到稳定状态（未相碰）。已知甲、乙的初始位置到倾斜导轨底端的距离之比为，甲和乙的质量均为，接入电路的电阻均为，运动过程中甲、乙始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻不计。求： (1)金属棒乙运动到倾斜导轨底端时的速度大小； (2)金属棒甲速度为零前在磁场中运动的距离； (3)整个过程甲金属棒产生的焦耳热. 38. 如图甲所示，水平面内有两根足够长的光滑平行金属导轨，导轨固定且间距为L。空间中存在磁感应强度方向竖直向下、大小为B的匀强磁场，两根材料相同、横截面积不同、长度均为L的金属棒ab、cd分别静置在导轨上。现使ab棒获得水平向右的瞬时速度，ab棒的速度随时间变化的关系如图乙所示。cd棒的质量为m，电阻为R，两金属棒运动过程中，始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻可忽略不计，下列说法正确的是（　　） A．ab棒和cd棒组成的系统动量守恒 B．ab棒的电阻为2R C．时间内，cd棒产生的热量为 D．时间内，通过cd棒任一横截面的电荷量为 39. 如图所示，e1f1g1和e2f2g2是两根足够长且电阻不计的固定光滑平行金属轨道，其中f1g1和f2g2为轨道的水平部分，e1f1和e2f2是倾角θ=37°的倾斜部分。在f1f2右侧空间中存在磁感应强度大小B=2T，方向竖直向上的匀强磁场，不计导体棒在轨道连接处的动能损失。将导体棒ab置于倾斜导轨上，距离斜面轨道底端高度h=5m，另一完全相同的导体棒cd静止于水平导轨上，导轨间距均为L=1m，导体棒ab的质量为m=1kg，电阻R=10Ω，t=0时，导体棒ab从静止释放，到两棒最终稳定运动过程中，ab、cd棒未发生碰撞，且两导体棒始终与导轨保持垂直，g取10m/s2。求： (1)ab棒刚滑到斜面轨道底端时回路中产生的电流； (2)从cd棒开始运动，到最终运动达到稳定的过程中，cd棒产生的热量； (3)从开始计时到两棒最终稳定运动过程中，通过回路的电荷量。 40. 如图所示，光滑平行的四分之一圆弧金属导轨ab、a′b′，半径为r=1.25m，与水平固定的光滑平行金属导轨bc、b′c′平滑连接，圆弧部分在竖直平面内，足够长的光滑平行金属导轨ef、e′f′固定在水平面上，两导轨间距均为L=1m，c′点与e′点的高度差为h=0.2m，水平距离为x=0.9m，导轨ab、a′b′左端接阻值为R=0.8Ω的定值电阻，两导轨水平部分均处在垂直于导轨平面竖直向上的匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小均为B=0.3T。质量为m2=0.15kg，电阻R2=0.4Ω的金属棒Q垂直静止放在金属导轨ef、e′f′上，距离左端d=2m。质量为m1=0.3kg，电阻R1=0.2Ω的金属棒P，从导轨ab、a′b′的顶端处由静止自由释放，从cc′处水平飞出后恰好落在ee′端，此时，金属棒P在竖直方向的分速度变为零，水平方向的分速度不变，并沿着ef、e′f′向右滑行与金属棒Q发生碰撞粘合在一起。重力加速度大小为g=10m/s2，不计导轨电阻，不计一切摩擦及空气阻力。运动过程中两金属棒P、Q始终与金属导轨垂直并接触良好。求： (1)金属棒P刚进入磁场时的安培力； (2)平行金属导轨bc的长度； (3)在整个过程中，金属棒P上产生的焦耳热。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题25 电磁感应的综合问题 题型一 电磁感应中的图像问题 1 类型1 动生电动势的图像 2 类型2 感生电动势的图像 7 类型3 动力学图像 13 题型二 电磁感应的动力学问题 22 题型三 电磁感应中的动力学和能量问题 26 题型四 动量定理与电磁感应结合问题 30 类型1 “单棒+电阻”模型 30 类型2 双棒模型 37 类型3 “电容器+棒”模型 43 题型五 动量守恒定律在电磁感应现象中的应用 48 题型一 电磁感应中的图像问题 1．图象类型 (1)磁感应强度B、磁通量Φ、感应电动势E和感应电流I，随时间t变化的图象，即B－t图象、Φ－t图象、E－t图象和I－t图象． (2)对于切割磁感线产生感应电动势和感应电流的情况，还常涉及感应电动势E和感应电流I随位移x变化的图象，即E－x图象和I－x的图象． 2．问题类型 (1)由给定的电磁感应过程判断或画出正确的图象． (2)由给定的有关图象分析电磁感应过程，求解相应的物理量． (3)利用给出的图象判断或画出新的图象． 类型1 动生电动势的图像 1. 已知长直导线在其周围空间产生的磁场大小，其中是常量。是导线中的电流，是空间某点到导线的垂直距离。如图所示，在水平面上固定间距为的光滑导轨，左端接有阻值为的电阻。一质量为、阻值也为的导体棒在水平拉力作用下沿导轨运动，已知运动过程中电阻上的电功率恒为，不计导轨电阻，导体棒的速度和加速度随导体棒到直导线的距离关系图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】AB．由电功率公式可得 由闭合电路欧姆定律可得 由导体棒切割磁感线得电动势 解得 即导体棒的速度和距离成正比，故AB错误； CD．加速度 联立解得 即加速度和距离成正比，故C正确，D错误。 故选C。 2. 如图1所示，两根光滑长直导轨AM和AN在A点连接，处于磁感应强度为B的匀强磁场中。一根长直金属杆垂直AM放置，开始时与A点相距L，杆与A点之间的导轨上连接一阻值为R的电阻。时刻，在水平外力作用下，杆沿平行AM方向以初速度水平向右运动，位移为L时到达PQ，杆速度倒数与位移x间的关系如图2所示，不计其余电阻。则（　　） A．前一半时间内的平均感应电动势比后一半时间内的平均感应电动势小 B．位移时，速度大小为 C．运动到PQ过程中，通过电阻的电量为 D．运动到PQ过程中，电阻上产生的热量为 【答案】CD 【详解】A．由图像可知图线方程 故 所以为一定值，故A错误； B．由可知，当时，，故B错误； C．电流 为一定值，根据图像速度倒数与位移x所围面积为时间，故可得运动到PQ所用时间 通过电阻的电量为，故C正确； D．运动到PQ过程中，电阻上产生的热量为，故D正确。 故选CD。 3. 如图1所示，固定在水平地面上的两足够长平行光滑金属导轨ae、bf相距，与水平地面间的夹角为，导轨底部连接一阻值的电阻，两导轨的ac段、bd段长度均为、导轨单位长度的电阻为，ce段和df段的电阻可忽略，整个装置处于磁感应强度大小为、方向垂直导轨平面向上的匀强磁场中，一质量、电阻不计的导体棒垂直导轨放置在最底端。时刻起，对导体棒施加一平行导轨向上的拉力F，导体棒向上运动的图像如图2所示，不计空气阻力，重力加速度g取。在上述过程中，求∶ (1)导体棒运动到cd处时受到的安培力大小； (2)流过电阻R的电流与导体棒运动时间t的关系式； (3)导体棒在ac、bd段运动过程中所受拉力F的最大值。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题图2可知，导体棒运动的加速度大小 设导体棒运动到cd处时的速度大小为v，则有 此时回路中的总电阻为 回路中的感应电流大小为 导体棒受到的安培力大小为 联立解得 （2）导体棒运动到cd两点时所用的时间为 导体棒运动的位移大小随时间的变化关系为 当导体棒在ac、bd段运动时，回路中的电阻为 当导体棒在ce、df段运动时，回路中的电阻为 导体棒在任一时刻t的速度大小为 根据可知，流过电阻R的电流I随时间t的变化关系为 （3）导体棒在ac、bd段运动时，由牛顿第二定律可得 又因为， 解得 由数学知识可得，当t=2s时，F有最大值，解得拉力F的最大值 4. 如图所示，ABC、DEF为电阻忽略不计的金属导轨，导轨间距不变。AB、DE部分水平，粗糙，其间有竖直向下、大小为B的匀强磁场。BC、EF部分倾斜，光滑。G、H为BC、EF上的两等高点，GH与BE平行，离CF足够远。GHFC间有垂直GHFC向下、大小为B的匀强磁场。初始时导体棒MN静置于AB、DE上，MN离BE足够远。导轨、导体棒接触良好。导体棒PQ从倾斜导轨上GH上方某处无初速释放，则导体棒PQ从释放到进入磁场中的一段时间内的速度时间图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】AB．导体棒PQ进入磁场后，若最终MN没有运动，根据牛顿第二定律有 根据法拉第电磁感应定律有 且 则有 则PQ开始做匀加速运动，进入磁场后可能做匀速运动或加速度减小的加速运动或加速度减小的减速运动直至匀速，故A错误，B正确； C．导体棒PQ开始做匀加速运动，进入磁场后，若速度太大，则会减速，但不会减小为零，故C错误； D．导体棒PQ进入磁场后，若速度太大，则会减速，同时MN可能会加速。若当PQ加速度减小为零，MN仍在加速且速度小于PQ，则接下来PQ做加速度增大的加速运动，MN做加速度减小的加速运动，当两者加速度相等时一起做加速度不变的匀加速运动，故D正确。 故选BD。 5. 某游乐园中过山车从倾斜轨道最高点无动力静止滑下后到水平直轨道停下。为保证安全，水平轨道上安装有磁力刹车装置，其简化示意图如图所示。水平直轨道右侧与定值电阻相连，虚线的右侧有竖直向上的匀强磁场，左侧无磁场。过山车的刹车金属片可等效为一根金属杆，其从倾斜轨道上某一位置由静止释放，最终静止在水平轨道某一位置，忽略摩擦力和空气阻力。下列关于金属棒运动过程中速率、加速度大小与运动时间或运动路程的关系图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】AB．金属棒在倾斜轨道上受重力和支持力作用，加速度恒定不变，由知，速度随时间均匀增大；由知，速度与运动路程的关系图像为开口向右的抛物线，故A正确，B错误； C．金属棒进入水平轨道后，切割磁感线产生感应电流，受到向左的安培力作用，由知，金属棒在水平轨道上做加速度减小的减速运动，由于加速度与速度成正比，因此加速度随时间变化的趋势与速率随时间变化的趋势相同，故C错误； D．在极短时间内，对金属棒由动量定理有，即，则速度随运动路程均匀减小，因此加速度随运动路程也均匀减小，故D错误。 故选A。 类型2 感生电动势的图像 6. 如图甲所示，金属圆环和金属线框相互靠近且固定在水平面上，金属棒PQ放在金属框上，圆环a、b端接如图乙所示的余弦交变电流，金属棒PQ始终保持静止。以图甲中电流方向为正方向，则下列说法正确的是（    ） A．内，金属棒中的感应电流方向为 B．内，金属棒受到水平向右的静摩擦力 C．时刻，金属棒受到的安培力最大 D．内，金属棒中的感应电流先增大后减小 【答案】BD 【详解】A．内，圆环中电流沿正方向减小，穿过金属线框所在的回路的磁通量向外减小，根据楞次定律可知，金属棒中的感应电流方向为，选项A错误； B．内，圆环中电流增加，则穿过金属棒所在回路的磁通量增加，则根据“增缩减扩”可知，金属棒有向左运动的趋势，则受到水平向右的静摩擦力，选项B正确； C．时刻，圆环中电流变化率为零，则金属棒中产生的感应电动势为零，可知金属棒受到的安培力为零，选项C错误； D．内，圆环中电流变化率先增加后减小，则金属棒中的感应电动势先增加后减小，感应电流先增大后减小，选项D正确。 故选BD。 7. 如图甲所示，圆形线圈置于垂直线圈平面向外的匀强磁场中，阻值为的电阻两端分别与线圈两端、相连，其他电阻忽略不计。磁感应强度B随时间变化的规律如图乙所示，不考虑线圈缺口对感应电动势的影响，下列关于感应电流、通过电阻的电荷量、电阻中产生的热量、线圈的张力随时间变化的图像中可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A．由法拉第电磁感应定律和欧姆定律得，感应电动势 结合图乙可知感应电动势恒定不变，感应电流恒定不变，故A错误； B．通过电阻的电荷量，则图像为正比例函数，故B错误； C．电阻中产生的热量，则图像为正比例函数，故C正确； D．线圈的张力 为线圈的周长，B增大，张力随时间逐渐增大，故D错误。 故选C。 8. 某同学设计了图（a）所示装置模拟涡流的形成。用n个横截面积均为S、电阻率均为ρ的同轴薄金属圆环条模拟“圆盘形导体”，内环半径及相邻环的间距均为r（r远大于环的厚度）；将“圆盘形导体”水平放置在竖直方向、磁感应强度B随时间t按正弦规律变化的交变圆形磁场区域中，圆形磁场区域半径为4r，圆心与圆盘形导体圆形重合，其B-t图像如图（b）所示（规定竖直向上为正方向）。不考虑环中感应电流磁场的影响，则（　　） A．时刻，从上往下看，各环内感应电流均为顺时针方向 B．时刻，内环中感应电流大小为 C．时间内，半径为5r的圆环条通过横截面的电荷量为 D．半径为5r圆环条的平均发热功率为 【答案】AD 【详解】A．时刻，从上往下看，由楞次定律可知各环内感应电流均为顺时针方向，故A正确， B．由图（b）可得 根据法拉第电磁感应定律及数学知识可得，内环感应电动势 则时刻，内环中感应电流大小 故B错误； C．至时间内，半径为5r的圆环条通过内环横截面的电荷量 故C错误； D．结合前面分析，可得半径为5r圆环条的发热功率 故D正确。 故选AD。 9. 如图甲所示，圆形金属框内充满垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B0，长为L的导体棒ab绕固定于圆心的a端以角速度ω顺时针匀速转动；两竖直平行金属导轨MN、PQ间距为L，上端分别用导线与圆形金属框和a端相连，M、P间接有定值电阻R；长为L的导体棒cd与MN、PQ垂直且接触良好，cd始终处于垂直纸面向外的“”形磁场中，磁感应强度大小随时间的变化规律如图乙所示。0时刻cd棒从磁场的上边界以的速度开始向下匀速运动，t0时刻锁定cd棒。已知Rab=Rcd=R，其它电阻不计，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．0~t0通过MP的电流大小为 B．cd棒的质量为 C．t0~2t0通过MP间电阻的电量为 D．t0~2t0回路消耗的总功率为 【答案】AC 【详解】A．0~t0时间内，ab棒匀速转动，产生的感应电动势为 cd棒匀速下滑，产生的感应电动势为， 由于两个电源并联，所以通过MP的电流大小为 故A正确； B．对cd棒，根据平衡条件可得 所以 故B错误； C．t0时刻锁定cd棒，磁场均匀增大，产生的感应电动势为 由于两个电源并联，所以通过MP的电流大小为 所以t0~2t0通过MP间电阻的电量为 故C正确； D．t0~2t0回路消耗的总功率为 故D错误。 故选AC。 10. 如图甲，在圆柱形区域内存在一方向竖直向下、磁感应强度大小B随时间t的变化关系如图乙所示磁的磁场，在此区域内，沿水平面固定一半径为r的圆环形光滑细玻璃管，环心O在区域中心。一质量为m、带电荷量为（q（q>0）的小球t=0时静止在管内的E点，2T0时刻小球第二次经过F点且不受细管侧壁的作用力，角EOF为120°，小球在运动过程中电荷量保持不变，对原磁场的影响可忽略。下列说法正确的是（　　） A．2T0时刻小球过F点的速度大小为 B．小球两次过F点时受到洛伦兹力的大小之比为2∶5 C．T0时刻细玻璃管内的电场强度大小为 D．T0时刻小球受细管侧壁的作用力等于零 【答案】BD 【详解】A．设2T0时刻小球过F点的速度，由此可知，此时洛伦兹力提供圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律可得 解得 A错误； BC．从开始到2T0时刻小球第二次经过F点，设涡流产生的电场强度为,由动量定理可得 结合上述结论解得 从开始运动到第二次经过F点电场力所做的功 由动能定理可得 设从开始运动到第一次经过F点时的速度为，电场力所做的功为，则有， 联立解得 根据牛顿第二定律可得 代入上述结论解得 故第一次经过F点所用时间 此时磁感应强度 故第一次经过F点的洛伦兹力为 即小球两次过F点时受到洛伦兹力的大小之比为2∶5，B正确，C错误； D．结合上述分析可知T0时刻小球速度 若小球在时刻不受细管的作用力，则有 解得 故T0时刻小球受细管侧壁的作用力等于零，D正确。 故选BD。 类型3 动力学图像 11. 如图，在光滑水平桌面上有一边长为、电阻为的正方形导线框；在导线框右侧有一宽度为的条形匀强磁场区域，磁场的边界与边平行，磁场方向竖直向下。导线框以某一初速度向右运动，时边恰与磁场的左边界重合，随后导线框在垂直于边的水平外力作用下沿直线匀加速通过磁场区域。下列图像中，可能正确描述上述过程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】线框刚进入磁场及刚出磁场时，对线框受力分析，根据牛顿第二定律可得 其中， 联立可得 由于线框始终做匀加速直线运动，故此阶段的图像为一次函数，当线框完全进入磁场时，线框不受安培力的作用，此时，即线框受到的外力大小不变，只是比刚进入磁场和刚出磁场时的拉力略小。 故选C。 12. 如图所示，正六边形线框边长为，放置在绝缘平面上，线框右侧有一宽度为的匀强磁场区域，、为磁场边界线，，线框以垂直方向的速度匀速向右运动。设线框中感应电流为，磁场对线框的安培力为。以逆时针方向为线框中感应电流的正方向，水平向左为安培力的正方向。线框点进入磁场时开始计时，下列图像可能正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】第一步：判断进磁场过程线框中电流方向 线框进磁场过程，线框中的磁通量向里增大，根据楞次定律可知，线框中感应电流沿逆时针方向。 第二步：按阶段划分线框运动过程 开始计时后，在时刻，线框点到磁场左边界的距离［提示：由选项可知］。当时，线框的有效切割长度 感应电动势 又线框电阻不变，则回路中的感应电流随时间均匀增大，线框所受安培力 方向水平向左，安培力与时间的关系图像是过原点，开口向上的抛物线。 当时，线框的有效切割长度不变，为，感应电动势不变，感应电流不变，为沿逆时针方向，安培力大小不变，为，方向水平向左。 当时，线框的有效切割长度 感应电动势 线框中电流随时间均匀减小，沿逆时针方向，线框所受安培力 方向水平向左，安培力与时间的关系图像是顶点坐标为、开口向上的抛物线。 分析可知，线框出磁场过程的电流时间图线与进磁场过程的电流时间图线关于点中心对称，线框出磁场过程的安培力时间图线与进磁场过程的安培力时间图线关于对称，综上所述。 故选D。 13. 如图所示，垂直纸面向里的匀强磁场的区域宽度为，磁感应强度的大小为。一直角边长为的等腰直角三角形均匀导线框ABC从图示位置开始沿轴正方向以速度匀速穿过磁场区域。规定逆时针电流方向为正，水平向左为安培力的正方向。则关于线框中的电流，线框受到的安培力与线框移动距离的关系图像可能正确的是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【详解】AB．导线框进入磁场中切割磁感线的有效长度与位移大小相等，导线框进入磁场中的感应电动势 此过程的感应电流 感应电流与位移大小成正比，根据右手定则可知，感应电流方向沿逆时针方向，即感应电流为正值，上述过程导线框的位移为L；当导线框的A出磁场后，导线框切割磁感线的有效长度始终为L，即感应电动势一定，感应电流一定，根据右手定则可知，感应电流方向沿逆时针方向，感应电流为正值，此过程维持的位移大小为L；当导线框的BC边开始进入磁场时，令从导线框刚刚进入磁场作为初始位置，总位移为，则磁感线的有效长度，导线框进入磁场中的感应电动势 根据右手定则可知，感应电流方向沿顺时针方向，为负值，则此过程的感应电流 结合上述可知，A正确，B错误； CD．结合上述可知，导线框刚刚进入磁场时感应电流方向沿逆时针方向，根据左手定则可知，安培力方向向左，安培力为正值，大小为 可知，安培力与位移成二次函数的关系；当导线框的A出磁场后，感应电流方向沿逆时针方向，根据左手定则可知，安培力方向向左，安培力为正值，大小为 当导线框的BC边开始进入磁场时，感应电流方向沿顺时针方向，根据左手定则可知，安培力方向向左，安培力为正值，大小为 可知，安培力与位移成二次函数的关系，故CD错误。 故选A。 14. 如图所示，平面直角坐标系xOy内有一边长为2a的正六边形区域，该区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，正六边形的左顶点O位于坐标原点。平面内有一矩形匀质导线框MNPQ，线框边长，，且NP边与y轴重合，O点位于NP边的中点。施加外力使线框自O点开始沿x轴水平向右匀速运动，设线框中感应电流为I，磁场对线框的安培力为F，线框运动的位移为x，以逆时针方向为线框中感应电流的正方向，水平向左为安培力的正方向，下列图象可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当线框运动的位移为x，当，根据楞次定律可知线框中感应电流方向为逆时针方向,导线框运动过程中有效切割长度越来越大，与时间成线性关系，即 则 由欧姆定律可知感应电流 即感应电流随线框位移均匀增大，线框受到的安培力 根据左手定则可知安培力方向水平向左； 当过程中，此过程中NP切割磁感线长度不变，等于NP，即 则感应电动势不变，为 感应电流方向为逆时针方向，大小为 则感应电流不变，安培力不变 根据左手定则可知安培力方向水平向左； 同理当过程中，此过程中NP切割磁感线长度不变，MQ切割磁感线长度变大，为 根据楞次定律可知线框中感应电流方向为逆时针方向；感应电动势为 则感应电流 感应电流随线框位移均匀变小，由 安培力大小时位移的一元二次函数，为抛物线，根据左手定则可知安培力方向水平向左。 当过程中，此过程中MQ切割磁感线长度不变，NP切割磁感线长度变小，NP切割磁感线长度 根据楞次定律可知线框中感应电流方向为顺时针方向；感应电动势为 则感应电流 感应电流随线框位移均匀变小，由 安培力大小时位移的一元二次函数，为抛物线，根据左手定则可知安培力方向水平向左。 当过程中，此过程中NP在磁场外，不切割磁感线，MQ切割磁感线长度不变，感应电动势为 感应电流方向为顺时针方向，大小为 则感应电流不变，安培力不变 根据左手定则可知安培力方向水平向左； 当过程中，此过程中NP在磁场外，不切割磁感线，MQ切割磁感线长度变小，MQ切割磁感线长度 感应电动势为 根据楞次定律可知线框中感应电流方向为顺时针方向，大小为 感应电流随线框位移均匀变小，由 安培力大小时位移的一元二次函数，为抛物线，根据左手定则可知安培力方向水平向左。 故选D。 15. 如图所示，矩形闭合导体线框在匀强磁场上方，由不同高度静止释放，用、分别表示线框ab边和cd边刚进入磁场的时刻。线框下落过程形状不变，ab边始终保持与磁场水平边界线OO′平行，线框平面与磁场方向垂直。设OO′下方磁场区域足够大，不计空气影响，则下列图像可能反映线框下落过程中速度v随时间t变化规律的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】AB．线框先做自由落体运动，若安培力大于重力，ab边进入磁场先做减速运动，根据安培力公式 可知，线框的加速度应该是逐渐减小，v-t图象的斜率应逐渐减小，先线框所受的安培力与重力二力平衡后，做匀速直线运动，速度不变；线框完全进入磁场后，磁通量不变，没有感应电流产生，线框只受重力，做加速度为g的匀加速直线运动，故v-t图象的斜率可能先不变，后减小，再为零，最后又不变，故A错误，B正确； C．线框先做自由落体运动，ab边进入磁场后因为重力大于安培力，做加速度减小的加速运动，cd边离开磁场做匀加速直线运动，加速度为g，故C正确; D．线框先做自由落体运动，ab边进入磁场后因为重力等于安培力，做匀速直线运动，cd边离开磁场做匀加速直线运动，加速度为g，故D正确。 故选BCD。 题型二 电磁感应的动力学问题 1．安培力的大小 由感应电动势E＝Blv、感应电流I＝和安培力公式F＝BIl得F＝. 2．安培力的方向判断 (1)对导体切割磁感线运动，先用右手定则确定感应电流的方向，再用左手定则确定安培力的方向． (2)根据安培力阻碍导体和磁场的相对运动判断． 3．电磁感应中的力和运动 电磁感应与力学问题的综合，涉及两大研究对象：电学对象与力学对象．联系两大研究对象的桥梁是磁场对感应电流的安培力，其大小与方向的变化，直接导致两大研究对象的状态改变． 16. 如图所示，固定在绝缘水平面上、半径为r的金属圆环处在方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。竖直导电转轴经过金属圆环的圆心O点，长度为2r、粗细均匀的金属棒ab的a端固定在O点，金属棒ab随转轴匀速转动，转动过程中金属棒ab与金属圆环接触良好。圆环左侧有两根足够长、间距为L、倾角为的平行光滑固定金属导轨，两根导轨通过导线和电刷分别与金属圆环和导电转轴相连。导轨所在空间存在垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小也为B。质量为m、长度为L、电阻为R的金属棒cd垂直放置在导轨上且刚好能保持静止，重力加速度大小为g，除金属棒cd外，其余电阻均不计。 (1)求通过金属棒cd的电流I和ab的转动方向（从上往下看）； (2)求金属棒ab的角速度； (3)若金属棒ab转动的角速度变为原来的三分之一，将金属棒cd从导轨上由静止释放，经过时间t，金属棒cd速度达到稳定，已知金属棒cd运动过程中与导轨始终垂直并接触良好，求该过程中金属棒cd运动的位移大小x。 【答案】(1)，方向为c→d，逆时针转动 (2) (3) 【详解】（1）对金属棒cd受力分析，有 又    解得 由题意知安培力方向沿导轨平面向上，由左手定则可知，电流经过金属棒cd的方向为c→d，又由右手定则可知，从上往下看，金属棒ab逆时针转动。 （2）金属棒ab在圆环内的一半接入电路，接入部分的电压 金属棒ab未接入电路部分产生的电压大小 解得 （3）若金属棒ab转动的角速度变为原来的三分之一，则金属棒ab接入电路部分产生的电动势只有原来的三分之一，即金属棒ab产生的电动势在金属棒cd两端的电压 设金属棒cd速度稳定时，速度大小为，金属棒cd切割磁感线产生的电动势 则实际通过金属棒cd的电流大小 又此时金属棒cd受力平衡，有 解得 金属棒cd从静止到速度稳定，由动量定理有 又， 解得 17. 如图所示，左侧有一半径为的水平金属圆盘绕竖直中心轴匀速转动，角速度大小。圆盘所在空间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小。右侧有两根足够长的光滑平行金属导轨固定在水平面内，间距d=1m，中间部分导轨非常短且光滑绝缘。导轨所在空间存在另一竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小。两根质量均为m=0.2kg、长度均为d=1m、阻值均为的导体棒M、N静止垂直放置在导轨上，导体棒M到导轨处的距离足够长，导体棒N到导轨处的距离。从圆盘中心和圆盘边缘用电刷引出两根导线分别接在两根导轨上，闭合开关，导体棒M会沿金属导轨向右运动，达到最大速度后，再通过导轨，之后与导体棒N发生弹性正碰，碰撞时间极短，不计金属圆盘和导轨的电阻，求： (1)闭合开关瞬间，导体棒M的加速度大小； (2)从闭合开关到导体棒M达到最大速度的过程中，通过导体棒M的电荷量； (3)最终稳定后，M、N两导体棒之间的距离。 【答案】(1) (2)2C (3)0.6m 【详解】（1）圆盘匀速转动过程中，圆盘中心与边缘的电势差为 解得 闭合开关，圆盘与导体棒M形成闭合回路，回路中的电流大小为 导体棒M受到的安培力为 解得F=20N 所以闭合开关瞬间，导体棒M的加速度大小为。 （2）当导体棒M加速度为0时，速度最大；此时导体棒M受到的安培力大小为0，即回路中的电流为0；设此时导体棒M的速度为v0，则此时导体棒M切割磁感线产生的电动势大小为 且满足 从闭合开关S到导体棒M达到最大速度的过程中，由动量定理可知 解得通过导体棒M的电荷量。 （3）导体棒M通过导轨后到与导体棒N发生碰撞前，回路中的电动势大小为 回路中的电流 设微元时间内，对导体棒M，有 对导体棒N，有 整理得， 对导体棒M通过导轨后到与导体棒N发生碰撞前的过程累计求和有 所以， 解得， 两导体棒发生弹性正碰，根据动量守恒，有 机械能守恒，有 解得， 碰撞后两导体棒组成的系统动量守恒，最终稳定时，两导体棒共速，有 解得 该过程中对导体棒N，由动量定理，有 解得 所以最终稳定后M、N两导体棒之间的距离为0.6m。 18. 新型电动汽车在制动时，可以用发电机来回收能量。假设此发电机的原理可抽象建模如图所示。绕有n匝导线的线圈为长方形，其面积为S，整个线圈都处在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度的大小为B。线圈可绕处在线圈平面内且与磁场垂直的转轴转动，线圈外接有阻值为R的纯电阻负载，忽略线圈的电阻，电动汽车的质量为M。 (1)初始时刻线圈平面和磁场垂直，若线圈角速度恒为ω，写出电路开路时线圈两端的电压u随时间t变化的关系式； (2)第一种制动模式建模如下：电动汽车受到地面施加的阻力恒为，发电机线圈转动导致汽车受到的阻力与汽车的速度v成正比，即：（k为已知常量），假设汽车开始制动时的速度为，经过时间t，汽车的速度减为零。求该过程中汽车前进的距离x和回收的动能； (3)第二种制动模式建模如下：假设电动汽车制动时受到的地面摩擦等阻力与发电机线圈转动导致汽车受到的阻力相比可以忽略，即制动时汽车受到的阻力完全是由线圈转动导致的，从而汽车减少的动能全部用来发电，回收的电能与上面图示模型中电阻R消耗的电能相等。某时刻线圈平面和磁场平行，此时线圈转动角速度为，电动汽车在水平面上减速至速度，求此时汽车加速度a的大小。 【答案】(1) (2)； (3) 【详解】（1）初始时刻线圈平面和磁场垂直，电路开路时线圈两端的电压 （2）对汽车，根据动量定理有 又 整理可得 解得汽车速度从到停下来运动的距离 回收的动能 可得 （3）线圈转动角速度为时，线圈平面和磁场平行，此时线圈产生的电动势为 电阻的功率 又 解得 根据牛顿第二定律有 解得 题型三 电磁感应中的动力学和能量问题 1．能量转化 导体切割磁感线或磁通量发生变化，在回路中产生感应电流，这个过程中机械能或其他形式的能转化为电能，具有感应电流的导体在磁场中受安培力作用或通过电阻发热，又可使电能转化为机械能或内能．因此，电磁感应过程中总是伴随着能量的转化． 2．电磁感应过程的实质是不同形式的能量转化的过程，而能量的转化是通过安培力做功的形式实现的，安培力做功的过程，是电能转化为其他形式能的过程，外力克服安培力做功，则是其他形式的能转化为电能的过程． 19. 如图所示，间距L为2m的两根平行光滑金属导轨MN、PQ固定在同一水平面内，导轨电阻不计，两导轨间存在大小为0.1T、方向垂直导轨平面向外的匀强磁场，导轨左端串接一个阻值为1Ω的电阻，一根质量为1kg、电阻为1Ω的导体棒垂直于导轨放在导轨上，导体棒与绝缘T形支架相连，当右侧的水平圆盘匀速转动时，固定在圆盘边缘上的小圆柱可在T形支架的滑槽中滑动，从而带动T形支架在水平方向做往复运动。小圆柱到圆盘圆心的距离为，圆盘转动的角速度为50rad/s，A、C两点的连线为平行于导体棒的直径，D点为AC右侧圆弧的中点，导体棒与导轨始终接触良好，不计一切摩擦，求： (1)当小圆柱转动过A点时，导体棒中感应电动势大小EA； (2)从小圆柱运动到AD圆弧中点P时，流过电阻R的电流大小IP； (3)小圆柱从A点运动到D点的过程中，T形支架对导体棒做的功W。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）小圆柱运动的线速度 当滑槽运动到AC连线上时，导体棒的速度等于v，导体棒中感应电动势的最大值 （2）导体棒的速度等于小圆柱沿垂直于滑槽方向的分速度，如图 从小圆柱运动到P点时，水平方向速度 导体棒中感应电动势 由闭合电路欧姆定律得，R中的电流 解得 （3）从小圆柱运动到A点开始计时，且取电流方向从P经R流向M为正方向，则导体棒中的感应电动势 则导体棒中感应电动势为正弦交流电，且最大值 由闭合电路欧姆定律得，流过电阻R的电流的有效值 小圆柱从A点运动到D点的时间 当小圆柱运动到D点时，导体棒的速度为零，对导体棒由动能定理得 电路中产生的热量 由功能关系可知 联立解得 20. 如图所示，固定在绝缘水平面上的、半径为r的金属圆环处在方向竖直向下、磁感应强度大小为B₀的匀强磁场中。竖直导电转轴OO′经过金属圆环的圆心O点，长度为2r、阻值为2R、粗细均匀的金属棒ab的a端固定在竖直导电转轴的O点，随转轴逆时针（从上往下看）匀速转动，转动过程中金属棒ab与金属圆环接触良好。圆环左侧有两根足够长、间距为2r、倾角为θ的平行光滑金属导轨，两根导轨通过导线分别与金属圆环和导电转轴OO′相连。导轨所在空间存在垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小也为B0。质量为m、长度为2r、电阻为2R的金属棒cd垂直放置在导轨上且刚好能保持静止，重力加速度为g，除两金属棒外其余电阻均不计。 (1)求导电转轴OO′转动的角速度ω大小； (2)求金属棒ab两端的电压Uab； (3)若金属棒ab转动的角速度变为原来的一半，将金属棒cd在导轨上由静止释放，经过时间t0金属棒cd速度达到稳定，已知金属棒cd运动过程中与导轨始终垂直并接触良好，求该过程中金属棒cd运动的位移大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设金属棒ab转动的角速度大小为ω，金属棒ab只有一半接人电路，接入电路部分产生的电动势大小为 回路中的电流为 金属棒cd受到的安培力大小为 金属棒cd受力平衡有 解得 （2）金属棒ab未接入电路部分产生的电动势大小为 导电转轴到圆弧的电势差 故金属棒ab的两端的电势差 解得 （3）若金属棒ab转动的角速度变为原来的一半，接入电路部分产生的电动势 金属棒cd运动切割磁感线产生的电动势 回路中的电流大小为 金属棒cd速度达到稳定时，受力平衡，即 解得 从静止释放至金属棒cd达到稳定状态的过程中，对金属棒cd由动量定理可知 其中 该过程中金属棒cd运动的距离为 解得 题型四 动量定理与电磁感应结合问题 导体棒或金属框在感应电流所引起的安培力作用下做非匀变速直线运动时，安培力的冲量为： 类型1 “单棒+电阻”模型 21. 如图，平行光滑金属导轨被固定在水平绝缘桌面上，导轨间距为，右端连接一定值电阻。水平导轨上足够长的矩形区域存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为。某装置从左侧沿导轨水平向右发射第1根导体棒，导体棒以初速度进入磁场，速度减为0时被锁定；从原位置再发射第2根相同的导体棒，导体棒以初速度进入磁场，速度减为0时被锁定；此时导轨上第1根导体棒与第2根导体棒之间的距离为（未知）。已知导体棒的质量为、阻值与定值电阻的阻值相同，长度恰好等于导轨间距，与导轨接触良好（发射前导体棒与导轨不接触），不计空气阻力及导轨的电阻，忽略回路中的电流对原磁场的影响。求： (1)第1根导体棒刚进入磁场时，定值电阻两端的电压； (2)从第1根导体棒进入磁场到第2根导体棒被锁定，定值电阻上产生的焦耳热； (3)能否从原位置发射第3根相同的导体棒，进入磁场后速度为0时被锁定，停在第2根导体棒左侧，与第2根导体棒的距离也等于（未知）。若能，求出发射速度；若不能，通过计算说明。 【答案】(1) (2) (3)能，见解析 【详解】（1）第1根导体棒刚进入磁场时，产生的感应电动势为 设定值电阻阻值为，则回路中的感应电流大小为 定值电阻两端的电压 解得 （2）第1根导体棒从进入磁场到停止运动，回路中的焦耳热 定值电阻上产生的焦耳热为 第2根导体棒从进入磁场到停止运动，回路中的焦耳热 定值电阻上产生的焦耳热为 从第1根导体棒进入磁场到第2根导体棒被锁定，定值电阻上产生的焦耳热 解得 （3）第1根导体棒从进入磁场到停止的过程，回路中的平均电流为 根据动量定理，设初速度方向为正方向，则 导体棒运动的位移为 解得 第2根导体棒从进入磁场到停止的过程，回路中的平均电流为 根据动量定理，设初速度方向为正方向，则 导体棒运动的位移为    解得 同理可得 其中 由题意，有 解得 所以可以从原位置以速度发射第3根导体棒，速度为0时与第2根导体棒的距离也等于。 22. 如图，足够长的间距的平行光滑金属导轨、固定在水平面内，导轨间存在一个宽度的匀强磁场区域，磁感应强度大小为，方向如图所示。一根质量，阻值的金属棒a以的初速度从左端开始沿导轨滑动，另一根阻值的金属棒b静止在导轨上，两金属棒始终与导轨垂直且接触良好。导轨电阻不计，则（　　） A．金属棒a刚进入磁场时，金属棒a两端的电压为4V B．金属棒a不能穿过磁场区域 C．金属棒a刚穿出磁场区域时的速度大小为8m/s D．金属棒a在磁场中运动的过程中，金属棒b上产生的焦耳热为1.08J 【答案】CD 【详解】A．金属棒刚进入磁场时的感应电动势 金属棒两端的电压，故A错误； B．设金属棒最终停在距磁场左边界处，由动量定理可得 根据闭合电路欧姆定律有 根据法拉第电磁感应定律有 联立解得，金属棒能穿过磁场区域，故B错误； C．金属棒刚穿出磁场区域，由动量定理可得 根据闭合电路欧姆定律有 根据法拉第电磁感应定律有 联立解得，故C正确； D．由能量守恒定律可得，回路中产生的总焦耳热 金属棒上产生的焦耳热，故D正确。 故选CD。 23. 如图甲所示，平行金属长导轨M、N固定在同一水平面内，导轨间距为L，电阻不计。两虚线PQ、ST与导轨垂直，PQ左侧存在竖直向上的匀强磁场，ST右侧存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小均为B。质量为m的金属棒ab与导轨垂直，静置在左侧磁场中。位于两虚线之间的金属棒cd与导轨夹角为θ，在外力作用下以速度 v向右始终做匀速直线运动，从c端进入右侧磁场时开始计时，回路中的电流i随时间t的变化关系如图乙所示，图中（部分为直线，为已知量，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，导轨与导体棒接触良好，则（　　） A．t₁时刻cd棒所受的安培力大小为 B．2t₁时刻金属棒cd完全进入磁场中 C．0~2t₁时间内，通过回路某截面电荷量为 D．ab棒的最终速度大小为 【答案】AB 【详解】B．在外力作用下以速度v向右始终做匀速直线运动，从c端进入右侧磁场时开始计时，当金属棒cd完全进入磁场的时间为，故B正确； A．时刻cd棒所受的安培力大小为，故A正确； C．由图可知时刻ab棒开始运动，则 设电路总电阻为，时刻回路中感应电动势为 时刻，回路中感应电动势为 解得时刻棒的速度大小为 对ab棒在时间内由动量定理 而时间内通过回路某截面的总电量为 联立解得，故C错误； D．最终ab棒向左匀速运动，设速度为，有 联立解得，故D错误。 故选AB。 24. 某电磁缓冲装置如图所示，两足够长、间距为L的平行金属导轨置于同一水平面内，导轨左端与一阻值为R的定值电阻相连，导轨段与段粗糙，其余部分光滑，右侧处于竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，一质量为m的金属杆垂直导轨放置。现让金属杆以初速度沿导轨向右经过进入磁场，最终恰好停在处。已知金属杆接入导轨之间的阻值为R，与粗糙导轨间的动摩擦因数为，。导轨电阻不计，重力加速度为g，下列说法正确的是（    ） A．金属杆在磁场中运动时，回路中电流沿顺时针方向 B．金属杆经过时的速度小于 C．在整个过程中，定值电阻R产生的热量为 D．金属杆经过与区域过程中，所受安培力的冲量相同 【答案】D 【详解】A．金属杆向右运动的过程中切割磁感线，根据楞次定律可知，回路中电流沿逆时针方向，故A错误； B．金属杆在区域运动的过程中，有， 根据动量定理有 则 由于 则上面方程左右两边累计求和，可得 则 设金属杆在区域运动的时间为，同理可得，金属杆在区域运动的过程中有 解得 综上有 则金属杆经过的速度大于，故B错误； C．在整个过程中，根据能量守恒有，定值电阻R产生的热量 ，故C错误； D．金属杆经过与区域过程中，所受安培力的冲量 金属杆所受安培力的冲量相同，故D正确。 故选D。 25. 如图1所示，MN、PQ为两根水平放置、相距、平行且光滑的金属导轨，PM两点间接阻值的定值电阻，质量的导体棒放置在导轨上，与导轨垂直且接触良好。时刻给导体棒施加水平向右、的恒力，导体棒从静止开始运动，时导体棒的速度．已知匀强磁场的磁感应强度，方向竖直向上，不计导轨、导体棒的电阻，重力加速度g取．则在导体棒向右运动的过程中，求： (1)时导体棒切割磁感线产生的感应电动势的大小E； (2)时导体棒的加速度大小a，分析并在图2中定性画出导体棒运动过程的速度v随时间t变化的图像； (3)到的过程中，导体棒通过的位移大小x。 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）导体棒切割磁感线的动生电动势 解得 （2）由闭合电路欧姆定律，此时通过导体棒的电流 故导体棒所受安培力 由牛顿第二定律 故此时导体棒的加速度 导体棒做加速运动，随着棒的速度增大，其感应电动势和所受的安培力增大，加速度减小。当时，导体棒的加速度为零，解得速度最大值为 故图像如图所示 （3）对棒，由动量定理 其中安培力的冲量 导体棒的位移大小 代入数据解得 类型2 双棒模型 26. 如图所示，半径为r的法拉第圆盘通过边缘和竖直转轴上的电刷分别与固定在绝缘平台上的平行直导轨MN、M'N'连接，平台右下方的导轨PQ、P'Q'段是固定在竖直面内的圆心角为，半径为r的圆弧，圆弧底端与固定在绝缘水平面上且足够长的直导轨QR、Q'R'平滑连接，导轨间距均为L，法拉第圆盘和两部分直导轨均处在竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。质量均为m、电阻均为R的相同导体棒a和b分别静置在两部分直导轨上。某时刻圆盘开始以角速度ω匀速转动，经过一段时间后导体棒a从NN'端水平抛出，恰能无碰撞地从PP'处以速度v滑入导轨，且最终恰好没有与导体棒b相碰。已知重力加速度为g，不计一切摩擦及空气阻力，除导体棒a和b外各处电阻均不计，求： (1)导体棒a在刚到达QQ'处时对圆弧导轨的压力大小； (2)导体棒a在导轨MN、M'N'上运动时产生的焦耳热Q； (3)导体棒b与导轨QR、Q'R'左端（处）的初始距离x。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）导体棒a从PP'处到QQ'处的过程中，根据机械能守恒定律有 解得 导体棒a在刚到达QQ'处时，根据牛顿第二定律有 解得 根据牛顿第三定律，此时导体棒a 对圆弧导轨的压力大小 （2）根据平抛运动的规律，导体棒a离开上方导轨时的速度 解得 导体棒a从开始运动到离开上方导轨的过程中，根据动量定理有 由 解得 圆盘转动产生的电动势为 根据能量守恒定律有 解得 （3）导体棒a、b达到共速的过程中，根据动量守恒定律有 设导体棒a、b运动的速度分别为v₁、v₂，根据欧姆定律有 对导体棒b，根据动量定理有 联立得 导体棒a恰好没有与导体棒b相碰，则初始距离 解得 27. 如图所示，两根足够长的金属直导轨水平平行放置，导轨间距为，整个装置处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为。现将质量均为的金属棒a、b垂直导轨放置，a、b金属棒接入导轨之间的电阻分别为，。a棒光滑，b棒与导轨间动摩擦因数，运动过程中金属棒与导轨始终垂直且接触良好，金属棒始终未滑出导轨，导轨电阻忽略不计，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小，当给a棒施加水平向右恒定的拉力，a棒开始向右运动，经过时间t=3s，b棒恰好要开始运动，则在此过程中： (1)a棒速度为多大时，b棒开始运动？此时a棒的加速度为多大？ (2)这段时间内通过b棒任一截面的电量为多大？ (3)这段时间内回路中产生的热量为多大。 【答案】(1)4m/s，1m/s2 (2)2C (3)8J 【详解】（1）b棒开始运动时 根据闭合电路欧姆定律得 根据法拉第电磁感应定律得 解得 对a棒，根据牛顿第二定律得 解得 （2）对a棒，全过程根据动量定理得 得 解得q=2C （3）由 对a棒，全过程根据法拉第电磁感应定律得 得： 解得x=8m 由能量转化守恒得 28. 如图所示，平行倾斜光滑导轨与足够长的平行水平光滑导轨平滑连接，导轨电阻不计。质量分别为m和的金属棒b和c静止放在间距为L的水平导轨上，b、c两棒均与导轨垂直且两金属棒电阻均为R。图中de虚线往右有范围足够大、方向竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B。质量为m的绝缘棒a垂直于倾斜导轨静止释放，释放位置与水平导轨的高度差为h。已知绝缘棒a滑到水平导轨上与金属棒b发生弹性正碰，金属棒b进入磁场后始终未与金属棒c发生碰撞。重力加速度为g，求： (1)绝缘棒a与金属棒b发生弹性正碰后分离时两棒的速度大小； (2)金属棒b上最终产生的焦耳热； (3)金属棒c初始位置距离磁场边界de的最小距离为多少？ 【答案】(1)0， (2) (3) 【详解】（1）设a棒滑到水平导轨时速度为，根据动能定理，有 解得 a棒与b棒发生弹性正碰，取向右为正方向，由动量守恒定律 由机械能守恒定律得 联立解得， （2）最终b、c以相同的速度匀速运动。取向右为正方向，由动量守恒定律可得 由能量守恒定律可得 联立解得 则b棒最终产生的焦耳热 （3）对c棒，从b棒进入到b、c共同匀速运动，由动量定理有 而 考虑到b、c的相对位移为 即金属棒c初始位置距离磁场边界de的最小距离 29. 如图所示，足够长且光滑的平行金属导轨固定在水平面内， 导轨间距为，导轨间存在垂直导轨平面的匀强磁场，磁感应强度大小。导轨上静置有质量为，电阻为的金属棒，质量为，电阻为的金属棒，两金属棒长度均为。某时刻获得一瞬时冲量以的速度沿导轨向右运动。两金属棒始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻不计，未发生碰撞。求∶ (1)整个运动过程中，上产生的焦耳热； (2)开始时、之间的最小距离。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）、组成的系统动量守恒，当、共速后回路中不再产生感应电流；由动量守恒得 解得 由能量守恒定律得 上产生的焦耳热为 联立解得 （2）设、共速前某一时刻、的速度大小分别为、，此时回路中的电动势为 由闭合电路欧姆定律可得此时回路中感应电流的大小为 对由动量定理得 又 联立解得 则开始时、之间的最小距离为。 30. 两根平行的光滑金属轨道，间距为，电阻不计，每条轨道由直线部分和弯曲部分组成，如图甲所示安装，使得和处于同一水平面。金属杆1静止放置在轨道的左端，距离平面的高度为。金属杆2放置在轨道的右端。在右侧的水平轨道区域内，存在大小为的竖直向上的均匀磁场。让杆2以初速度沿轨道向左移动，同时杆1被释放。在杆1沿轨道滑动到位置的过程中，通过杆2的平均电流为。若从杆1到达的时刻开始计时，并设向右为正方向，两根杆的速度随时间变化关系如图乙所示。已知杆1和杆2的电阻分别为和，质量分别为和，重力加速度大小为。则（　　） A．杆1在弯曲轨道上滑动的时间为 B．杆1在弯曲轨道上滑动的时间为 C．杆2中产生的总热量为 D．杆2中产生的总热量为 【答案】AC 【详解】AB．设杆1沿轨道滑动到位置时杆2的速度大小为，由乙图可知此时杆2速度大小为，对杆2运用动量定理，有 解得，故A正确；B错误； CD．对杆1由静止下滑到平直导轨上的过程中，由动能定理有 解得v1=5m/s 设最后两杆共同的速度为，由动量守恒定律得 解得 由能量守恒定律可知两杆中产生的焦耳热为 解得 杆2中产生的焦耳热为，故C正确；D错误。 故选AC。 类型3 “电容器+棒”模型 31. 如图所示，竖直和水平放置的等间距金属导轨由绝缘的两段四分之一圆轨连接，其半径为，两段导轨间距均为，分别处在与各自所在平面垂直的匀强磁场中，磁感应强度大小均为，竖直导轨上端接电容为的电容器。现将质量为，电阻不计的导体杆甲从竖直导轨上某处静止释放，质量为电阻为的导体杆乙静止在水平导轨上。甲杆以速度在水平导轨上与乙杆发生完全弹性碰撞，之后甲杆被锁定。忽略所有摩擦和其余电阻，杆与导轨始终垂直且接触良好。 (1)甲杆在竖直导轨处运动时，求： ①当速度为时，电容器所积累的电荷量； ②该过程的加速度。 (2)从两杆碰撞到乙杆速度减为，求该过程中，乙杆产生的焦耳热Q。 【答案】(1)① ，② (2) 【详解】（1）①甲杆电动势与电容器两端电压相等，即 电容器所积累的电荷量 ②甲杆在竖直导轨运动过程中，电流 根据牛顿第二定律 联立解得 （2）甲、乙两杆发生完全弹性碰撞，且二者质量相等，根据能量守恒定律和动量守恒定律，可得乙杆速度为，减速过程动能转化为电能，根据能量守恒定律 解得焦耳热 32. 如图所示，PQ和MN是两根互相平行、竖直固定的光滑金属导轨，匀强磁场垂直于纸面向里。PM间接一电容为C 的电容器，ab是一与导轨垂直且始终接触良好的金属杆。现让 ab由静止开始自由下落，电容器两端的电压为U，金属杆的动能为Eₖ、动量为p、机械能为E，金属杆运动的位移为x、时间为t。假设整个过程电容器始终未被击穿，导轨及金属杆的电阻忽略不计，则上述物理量间关系的图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A．由电容定义式可知，电容C与U无关，A错误； B．根据法拉第电磁感应定律可得 结合电流， 联立解得 对于金属杆，由牛顿第二定律 解得金属杆的加速度 故金属杆做匀加速直线运动，受到的合外力不变，由动能定理可知，图像的斜率表示合外力，应为直线，故B错误； C．由动量定理可知，图像的斜率表示合外力，故C错误； D．由功能关系可知，图像的斜率绝对值表示安培力，由于合力恒定，则安培力恒定，故D正确。 故选D。 33. 如图所示，足够长倾斜型导轨顶端连有一电容器，电容器规格为“，100V”，导轨处有垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为，导轨倾角。将质量为的金属棒在导轨某处由静止释放，一段时间后，电容器被击穿。已知倾斜导轨宽度为，金属棒与导轨间的动摩擦因数为，，重力加速度取，导轨及金属棒电阻不计，金属棒始终与导轨垂直且接触良好。以金属棒开始运动为计时起点，下列说法正确的是（　　） A．金属棒向下做加速度减小的加速运动，最后匀速 B．时，电容器被击穿 C．时，金属棒下滑的距离为 D．时，电容器储存的电能为 【答案】BD 【详解】A．根据题意可得 由牛顿第二定律 联立上述两式可解得 即导体棒向下做匀加速直线运动，故A错误； B．当导体棒两端电压等于电容器击穿电压时，即 可解得时，电容器被击穿，再由，可解得，故B正确； CD．当时，导体棒下滑的距离为 克服安培力做功 由功能关系知电容器储存的电能，故C错误，D正确。 故选BD。 34. 我国首艘弹射型航空母舰福建舰采用了世界上最先进的电磁弹射技术，装备了三条电磁弹射轨道。为了研究问题方便，将其简化为如图所示的模型（俯视图）。发射轨道被简化为两个固定在水平面上、间距为且相互平行的足够长金属导轨，整个导轨平面处在竖直向下、磁感应强度大小为的匀强磁场中。发射导轨的左端为储能装置电容器，电容为。舰载机等载体被简化为一根质量为、长度也为、阻值为的金属导体棒。金属导体棒垂直放置于平行金属导轨上，忽略一切摩擦以及导轨和导线的电阻。每次发射前对电容器进行充电，满电带电荷量为，则（　　） A．导体棒能获得的最大发射速度为 B．闭合开关瞬间，导体棒的加速度为 C．闭合开关后，导体棒做匀加速直线运动 D．整个发射过程中流过导体棒的电荷量最大为 【答案】BD 【详解】A．设某一时刻，电容器电荷量为q，电压为​ 导体棒速度为v，感应电动势为 电流I方向为电容器正极流出，因此 当速度最大时，可得 根据动量定理可得 代入解得，故A错误； B．闭合开关瞬间，电容器初始电压为 导体棒初速度，因此感应电动势为0，初始电流为 初始安培力 故初始加速度为，故B正确； C．由，可得随着速度的增大，加速度减小，故导体棒做加速度逐渐减小的加速运动，最终达到最大速度，故C错误； D．最大电荷量即为初始电荷量 Q（全部放完）。但导体棒达到最大速度时，电容器仍有剩余电荷 因此流过导体棒的电荷量为，故D正确。 故选BD。 35. 某兴趣小组为研究电动汽车能量回收装置原理，设计了如图所示的模型：两个半径不同的同轴圆柱体间存在由内至外沿半径方向的辐向磁场。有一根质量为m、长度为L、电阻为R的金属棒MN通过导电轻杆与中心轴相连，可绕轴转动，金属棒所在之处的磁感应强度大小均为B，整个装置竖直方向放置。中心轴右侧接一单刀双掷开关：开关接通1，由电动势为E，内阻为r的电源给金属棒供电，棒MN受到阻力f方向与速度相反，大小与速度成正比，，k为已知常数。当MN运动的路程为s时已经匀速运动。若开关接通2，开始能量回收，给电容为C的电容器充电。初始时电容器不带电、金属棒MN静止，电路其余部分的电阻不计。 (1)在开关接通1瞬间，求棒MN受安培力大小； (2)开关接通1，求稳定后棒MN的最大速度； (3)接第（2）问，若最大速度已知，记为，则 ①求开始转动到最大速度过程中，电源把多少其他形式能转化为电能； ②达到最大速度后，开关接通2，若此后阻力不计，在一段时间后金属棒将再次匀速转动，求此时电容器C上的带电量Q。 【答案】(1) (2) (3)①；② 【详解】（1）由闭合电路的欧姆定律 安培力 可得 （2）匀速转动时回路中电流，则 匀速转动，动力与阻力平衡 解得 （3）①由动量定理 解得 其他形形式能转化为电能 ②令再次匀速v，电容器电量Q，由 解得 题型五 动量守恒定律在电磁感应现象中的应用 在双金属棒切割磁感线的系统中，双金属棒和导轨构成闭合回路，安培力充当系统内力，如果它们不受摩擦力，且受到的安培力的合力为0时，满足动量守恒，运用动量守恒定律解题比较方便。 36. 如图所示，两根固定的平行金属导轨（足够长，电阻不计）由倾角为的倾斜部分和水平部分平滑连接构成，两导轨的间距为，整个装置处于磁感应强度大小为的匀强磁场中，倾斜导轨区域的磁场方向垂直导轨所在平面向上，水平导轨区域的磁场方向竖直向上。现将一质量为、电阻为、长度为的导体棒锁定在水平导轨的左端，从倾斜导轨顶端由静止释放另一相同的导体棒，棒到达倾斜导轨底端前已匀速运动，当棒刚到达水平导轨左端时，将棒解锁，两棒在水平导轨上发生弹性正碰，碰撞时间极短。两棒始终与导轨垂直且接触良好，重力加速度大小为，不计一切摩擦。下列说法正确的是（　　） A．碰撞前瞬间，棒的速率为 B．碰撞后，棒的最大加速度为 C．两棒最终以相同的速率匀速运动 D．从碰撞结束到两棒稳定运动，系统产生的总焦耳热为 【答案】ACD 【详解】A．设棒在倾斜导轨上匀速运动时的速率为，有 解得，故A正确； B．设碰后瞬间a、b速度分别为，规定向右为正方向，对两棒碰撞的过程有、 解得、 两棒碰撞后瞬间棒的加速度最大，最大加速度，故B错误； C．碰撞后两棒在水平导轨上向右运动，棒的速度增大，棒的速度减小，最终两棒的速度差为零（无感应电流），故C正确； D．稳定时两棒的速度相同，有 系统产生的总焦耳热 解得，故D正确。 故选ACD。 37. 如图所示，相距的平行光滑金属导轨由水平和倾斜两部分组成，水平部分导轨足够长，处在竖直向下的磁感应强度大小为的匀强磁场中，倾斜部分导轨与水平导轨平滑连接。有两根完全相同的金属棒甲和乙固定在倾斜导轨上，将甲从图中位置由静止释放，到达倾斜导轨底端的速度，当甲进入磁场后速度为零时，将乙从图中位置由静止释放，最后乙与甲达到稳定状态（未相碰）。已知甲、乙的初始位置到倾斜导轨底端的距离之比为，甲和乙的质量均为，接入电路的电阻均为，运动过程中甲、乙始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻不计。求： (1)金属棒乙运动到倾斜导轨底端时的速度大小； (2)金属棒甲速度为零前在磁场中运动的距离； (3)整个过程甲金属棒产生的焦耳热. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）金属棒在倾斜导轨上运动，只有重力做功，机械能守恒。设甲初始位置到倾斜导轨底端距离为，乙为， 根据机械能守恒 为倾斜导轨倾角，即 速度与成正比。 已知甲到达底端速度 根据甲乙下滑距离比值，乙到达底端速度为 （2）对甲在磁场中运动，根据动量定理 又 其中 为甲在磁场中运动距离，因两棒电阻均为，所以总电阻 解得 （3）乙进入磁场后，甲、乙最终共速，设共速为，根据动量守恒 得 甲第一次在磁场中产生焦耳热，根据能量守恒，甲初始动能全部转化为焦耳热，两棒电阻相同 乙进入磁场后，系统产生焦耳热 甲在这过程中产生焦耳热 甲产生总焦耳热 38. 如图甲所示，水平面内有两根足够长的光滑平行金属导轨，导轨固定且间距为L。空间中存在磁感应强度方向竖直向下、大小为B的匀强磁场，两根材料相同、横截面积不同、长度均为L的金属棒ab、cd分别静置在导轨上。现使ab棒获得水平向右的瞬时速度，ab棒的速度随时间变化的关系如图乙所示。cd棒的质量为m，电阻为R，两金属棒运动过程中，始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻可忽略不计，下列说法正确的是（　　） A．ab棒和cd棒组成的系统动量守恒 B．ab棒的电阻为2R C．时间内，cd棒产生的热量为 D．时间内，通过cd棒任一横截面的电荷量为 【答案】ABD 【详解】A．根据左手定则可知，两金属棒所受安培力大小相等，方向相反，对两金属棒构成的系统，所受外力合力为0，则ab棒和cd棒组成的系统动量守恒，故A正确； D．根据图像可知，当两金属棒速度相等时，根据动量守恒定律有 解得 对cd棒进行分析，根据动量定理有 结合上述解得，故D正确； B．金属棒ab、cd材料相同、横截面积不同、长度均为L，则有， 两材料密度相同，则有 解得，故B正确； C．时间内，根据能量守恒定律有 cd棒产生的热量 解得，故C错误。 故选ABD。 39. 如图所示，e1f1g1和e2f2g2是两根足够长且电阻不计的固定光滑平行金属轨道，其中f1g1和f2g2为轨道的水平部分，e1f1和e2f2是倾角θ=37°的倾斜部分。在f1f2右侧空间中存在磁感应强度大小B=2T，方向竖直向上的匀强磁场，不计导体棒在轨道连接处的动能损失。将导体棒ab置于倾斜导轨上，距离斜面轨道底端高度h=5m，另一完全相同的导体棒cd静止于水平导轨上，导轨间距均为L=1m，导体棒ab的质量为m=1kg，电阻R=10Ω，t=0时，导体棒ab从静止释放，到两棒最终稳定运动过程中，ab、cd棒未发生碰撞，且两导体棒始终与导轨保持垂直，g取10m/s2。求： (1)ab棒刚滑到斜面轨道底端时回路中产生的电流； (2)从cd棒开始运动，到最终运动达到稳定的过程中，cd棒产生的热量； (3)从开始计时到两棒最终稳定运动过程中，通过回路的电荷量。 【答案】(1)1A (2)12.5J (3)2.5C 【详解】（1）ab棒从斜面轨道滑到底端，根据动能定理有 解得 ab棒产生的感应电动势为 由闭合电路欧姆定律有 解得， （2）金属轨道光滑，且两导体棒所受的安培力始终大小相等、方向相反，将两棒组成的系统作为研究对象，系统动量守恒，两棒最终稳定运动时，速度相等，由动量守恒定律有 解得 系统产生的总的焦耳热 稳定时cd棒上产生的焦耳热 （3）从ab棒刚进入磁场到与cd棒共速，对导体棒ab，由动量定理得 其中 解得 40. 如图所示，光滑平行的四分之一圆弧金属导轨ab、a′b′，半径为r=1.25m，与水平固定的光滑平行金属导轨bc、b′c′平滑连接，圆弧部分在竖直平面内，足够长的光滑平行金属导轨ef、e′f′固定在水平面上，两导轨间距均为L=1m，c′点与e′点的高度差为h=0.2m，水平距离为x=0.9m，导轨ab、a′b′左端接阻值为R=0.8Ω的定值电阻，两导轨水平部分均处在垂直于导轨平面竖直向上的匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小均为B=0.3T。质量为m2=0.15kg，电阻R2=0.4Ω的金属棒Q垂直静止放在金属导轨ef、e′f′上，距离左端d=2m。质量为m1=0.3kg，电阻R1=0.2Ω的金属棒P，从导轨ab、a′b′的顶端处由静止自由释放，从cc′处水平飞出后恰好落在ee′端，此时，金属棒P在竖直方向的分速度变为零，水平方向的分速度不变，并沿着ef、e′f′向右滑行与金属棒Q发生碰撞粘合在一起。重力加速度大小为g=10m/s2，不计导轨电阻，不计一切摩擦及空气阻力。运动过程中两金属棒P、Q始终与金属导轨垂直并接触良好。求： (1)金属棒P刚进入磁场时的安培力； (2)平行金属导轨bc的长度； (3)在整个过程中，金属棒P上产生的焦耳热。 【答案】(1)，方向水平向左 (2) (3) 【详解】（1）金属棒P从圆弧顶端下滑至底端过程中，由机械能守恒得 进入磁场时，感应电动势为 感应电流为 安培力为 由以上各式解得 方向水平向左。 （2）金属棒P平抛运动过程中，由平抛运动可得，竖直方向 水平方向 P棒在bc段运动过程中，由动量定理可得 平均电流 水平距离 由以上各式解得 （3）金属棒P在bc段运动过程中，由能量守恒可得全电路产生的焦耳热为 代入数据得 根据电路规律可得P棒在bc段运动过程中，P棒产生的焦耳热为 则P棒从进入ef段直到两棒相碰前，由动量守恒定律可得 对P棒由动量定理可得 代入数据得， 此过程中，由能量守恒定律可得 代入数据得 根据电路规律可得P棒在ef段运动过程中，P棒产生的焦耳热为 在整个过程中，金属棒P上产生的焦耳热 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $