专题20 磁场对运动电荷的作用-2026年高考物理热点知识讲练与题型归纳（全国通用）

专题20 磁场对运动电荷的作用 题型一 对洛伦兹力的理解和应用 1 题型二 带电粒子做圆周运动分析思路 4 题型三 带电粒子在有界匀强磁场中的圆周运动 7 类型1 带电粒子在直线边界磁场中运动 8 类型2 带电粒子在圆形边界磁场中运动 10 类型3 带电粒子在环形边界磁场中运动 13 类型4 带电粒子在三角形边界磁场中运动 15 题型四 带电粒子在磁场运动的临界和极值问题 18 题型一 对洛伦兹力的理解和应用 1．洛伦兹力 磁场对运动电荷的作用力叫洛伦兹力． 2．洛伦兹力的方向 (1)判定方法 左手定则：掌心——磁感线垂直穿入掌心； 四指——指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向； 大拇指——指向洛伦兹力的方向． (2)方向特点：F⊥B，F⊥v，即F垂直于B和v决定的平面(注意：洛伦兹力不做功)． 3．洛伦兹力的大小 (1)v∥B时，洛伦兹力F＝0.(θ＝0°或180°) (2)v⊥B时，洛伦兹力F＝qvB.(θ＝90°) (3)v＝0时，洛伦兹力F＝0. 1. 如图所示，足够长光滑水平面上方空间中有垂直向里、磁感应强度为B的匀强磁场和水平向右、电场强度为E的匀强电场，水平面上有一个质量为m且不带电的绝缘物块N，在物块N左边某处静止释放一个质量为2m且带正电的物块M，带电荷量为q，物块M、N都可以看成质点，若M、N恰能相碰（碰撞时间很短），且碰后粘为一体（碰后电荷量不变），重力加速度取g，下列说法正确的是（　　） A．物块M与物块N碰前的速度是 B．物块M释放点距物块N的距离L是 C．物块M与物块N碰后的速度是 D．物块M与物块N碰后又滑动时间后会离开水平地面 2. 如图甲所示，在竖直平面内有一半径为的固定光滑绝缘圆桶，在空间中有平行圆桶轴线的水平匀强磁场，一质量为、带电量为的带电小球沿圆桶外壁做圆周运动，如图乙所示为带电小球所在处的截面图，为竖直直径，初始时带电小球位于圆环最高点A（圆桶外侧），并且有水平方向的速度（以水平向左为速度的正方向），如果带电小球在A点不脱离圆桶，带电小球初速度可能的取值为（　　） A．3m/s B．6m/s C．-3m/s D．-6m/s 3. 如图所示，空间内有一垂直纸面方向的匀强磁场（方向未知），一带正电的粒子在空气中运动的轨迹如图所示，由于空气阻力的作用，使得粒子的轨迹不是圆周，假设粒子运动过程中的电荷量不变。下列说法正确的是（　　） A．粒子的运动方向为 B．粒子所受的洛伦兹力大小不变 C．粒子在b点的洛伦兹力方向沿轨迹切线方向 D．磁场的方向垂直纸面向里 4. 一倾角为的绝缘光滑斜面处在与斜面平行的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。质量为m，电荷量为的小球，以初速度从N点沿NM边水平射入磁场。已知斜面的高度为h且足够宽，小球始终未脱离斜面。则下列说法正确的是（    ） A．小球在斜面上做变加速曲线运动 B．小球到达底边的时间为 C．小球到达底边的动能为 D．匀强磁场磁感强度的取值范围 5. 如图所示，质量为1kg的小球，带有0.5C的负电荷，套在一根与水平方向成37°角的足够长的绝缘杆上，小球与杆之间的动摩擦因数为μ=0.5，杆所在空间有磁感应强度B=0.4T的匀强磁场，小球由静止开始下滑。（）求： （1）小球刚开始下滑的加速度大小； （2）小球下滑的最大速度。 题型二 带电粒子做圆周运动分析思路 1．匀速圆周运动的规律 若v⊥B，带电粒子仅受洛伦兹力作用，在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做匀速圆周运动． 2．圆心的确定 (1)已知入射点、出射点、入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图甲所示，P为入射点，M为出射点)． (2)已知入射方向、入射点和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如图乙所示，P为入射点，M为出射点)． 3．半径的确定 可利用物理学公式或几何知识(勾股定理、三角函数等)求出半径大小． 4．运动时间的确定 粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为θ时，其运动时间表示为t＝T(或t＝)． 6. 一束γ射线（从底部进入而没有留下痕迹）从充满在气泡室中的液态氢的一个氢原子中打出一个电子，同时γ光子自身转变成一对正、负电子对（分别称为正电子、负电子，二者速度接近），其径迹如图所示。已知匀强磁场的方向垂直照片平面向里，正、负电子质量相等，则下列说法正确的是（　　） A．右侧螺旋轨迹为负电子运动的轨迹 B．正电子、负电子所受洛伦兹力大小时刻相等 C．分离瞬间，正电子速度大于负电子速度 D．正电子、负电子的动能不断减小，而被打出的电子动能不变 7. 如图（a）所示，一点电荷（不计重力）在辐向电场中围绕圆心O做匀速圆周运动，轨迹所在处的电场强度大小均为E；如图（b）所示，同一点电荷在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场中做匀速圆周运动。已知点电荷两次做圆周运动的线速度大小相等，两个圆弧轨迹的半径均为r。关于该点电荷，下列说法正确的是（　　） A．可能带负电 B．一定沿逆时针转动 C．点电荷的比荷为 D．点电荷运动的线速度大小为 8. 利用云室可以知道带电粒子的性质，如图所示，云室中存在磁感应强度大小为的匀强磁场，质量为带正电的粒子静止在磁场中，该粒子在点分裂成粒子和，、在磁场中的径迹是两个内切圆，相同时间内的径迹长度之比；半径之比，不计重力及粒子间的相互作用力，则（    ） A．粒子和所带电性可能均为正电荷 B．粒子、的质量之比 C．在相等的时间内、两粒子速度的变化量大小相等 D．在相等的时间内、两粒子洛伦兹力冲量大小相等 9. 用磁场实现对微观粒子的控制在高能物理、材料科学、核磁共振、微流控芯片等领域有着广泛的应用。如图所示为一种能够实现用磁场控制微观粒子的装置内部磁场分布图，轴上方存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小，轴下方存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小；在坐标原点处有一粒子源，可以同时发射速度大小为、方向分别沿轴正、负方向的两个带电粒子、。已知带电粒子质量均为，电荷量均为，粒子相遇时两者的运动互不影响，不计粒子重力及粒子间的相互作用。 (1)若、两粒子同时经过点，求该情况下的最小值； (2)若，且在坐标系内的磁场为矩形磁场，为使两粒子发射后能够在磁场中相遇次，求矩形磁场的最小面积； (3)两粒子发射后的运动轨迹会有很多交点，若，且两粒子发射时间不同，为使两粒子能相遇在横坐标最小的轨迹交点处，求两粒子发射的时间差。 10. 如图所示，空间存在范围足够大、垂直xOy平面向外的匀强磁场（图中未画出），一质量为m、带电荷量为+q的带电粒子从坐标原点O沿y轴正方向以速度v0射出，带电粒子恰好经过点，不计粒子受到的重力及空气阻力。匀强磁场的磁感应强度大小为（　　） A． B． C． D． 题型三 带电粒子在有界匀强磁场中的圆周运动 带电粒子在有界磁场中运动的几种常见情形 1．直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示) 2．平行边界(存在临界条件，如图所示) 3．圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图所示) 4．分析带电粒子在匀强磁场中运动的关键是： (1)画出运动轨迹； (2)确定圆心和半径； (3)利用洛伦兹力提供向心力列式． 类别 特点 图示 直线 边界 进出磁 场具有 对称性 平行 边界 存在临界条件 圆形 边界 沿径向射 入必沿径 向射出 环形 边界 与边界相切 类型1 带电粒子在直线边界磁场中运动 11. 如图，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度的大小为B，场区足够宽，磁场内有一块足够长平面感光薄板ab，板面与磁场方向平行，在距ab的距离L处有一个点状的放射源S，它在纸面内均匀的向各个方向发射比荷相等的带正电的粒子，粒子的速度大小都满足，不计重力和粒子间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．击中ab板的粒子运动的最长时间为 B．击中ab板的粒子运动的最短时间为 C．ab上被粒子打中的区域的长度为L D．放射源S发射的粒子中有20%的粒子可以击中ab板 12. 如图所示，在xOy平面的x轴上方区域范围内存在着范围足够大的匀强磁场，磁感应强度大小为。在空间坐标（x＝0，）处有一粒子源，在某一时刻向平面内各个方向均匀发射N个（N足够大）质量为m、电荷量为，速度为的带电粒子（不计粒子重力及粒子间的相互作用，题中N、a、m、q、均为已知量）。求： (1)粒子在磁场中运动的半径R和周期T； (2)x轴上能接收到粒子的区域长度L； (3)能到达x轴的粒子所占粒子总数的比例。 13. 如图所示，矩形ABCD区域内有匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，AB边长为3d，AD边长为d，E是CD边上的一点，F是AB边上的一点，且。在E点有一粒子源，大量同种粒子以相同速率从E点向磁场内沿各个方向射出，粒子均带正电，电荷量均为q，质量均为m。如图，速度与DE边的夹角为的粒子恰好从F点射出磁场，不计粒子的重力和粒子间的相互作用力，则（　　） A．磁场方向垂直于纸面向里 B．粒子做匀速圆周运动的轨道半径为d C．粒子在磁场中运动的最长时间为 D．磁场区域中有粒子通过的面积为 14. 如图所示，在坐标系的Ⅰ、Ⅳ象限有垂直纸面向里的匀强磁场，在轴上的点同时以相同速率沿纸面内向各个方向发射大量相同带电粒子（粒子重力不计），其中粒子沿平行轴正方向发射，经磁场偏转后到达轴上的点，则下列说法正确的有（　　） A．轴上有粒子射出磁场的长度为 B．轴上有粒子射出磁场的长度为 C．先后到达点的两个粒子在磁场中运动的时间差为 D．先后到达点的两个粒子在磁场中运动的时间差为 15. 如图所示，平面直角坐标系的第二象限内存在着垂直纸面向外、磁感应强度大小为2B的匀强磁场，第三象限内存在着垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一带负电的粒子从原点O以某一速度沿与y轴成30°角方向斜向上射入磁场，且在第二象限运动时的轨迹圆的半径为R，已知带电粒子的质量为m，所带电荷量为q，且所受重力能够忽视。 (1)粒子在第二象限和第三象限内运动的轨道半径之比 (2)粒子达成一次周期性运动的时间 (3)粒子从O点入射，第二次经过x轴的位置到坐标原点的距离 类型2 带电粒子在圆形边界磁场中运动 16. 如图所示，圆心为O、半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一束由相同带电粒子组成的粒子流，以相同的速度从左侧射入圆形区域内，所有粒子恰能全部汇聚于圆周上的C点，C点在圆心O的正下方。已知磁场的磁感应强度大小为B，带电粒子的比荷为k，粒子流宽度为，该粒子流可整体上下移动，且入射方向及其宽度都不改变，并全部汇聚于C点，不计粒子重力。下列说法正确的是（　　） A．带电粒子带负电 B．带电粒子的入射速度大小为kBR C．该粒子流在磁场中能到达的区域面积的最小值为 D．该粒子流在磁场中能到达的区域面积的最小值为 17. 如图所示，真空中半径为R的圆形区域内有垂直圆面，磁感应强度大小为B的匀强磁场。圆周上P点有粒子源，圆外与OP平行放置粒子收集板，板长为R，板关于与垂直于OP过圆心O的直线对称放置。粒子源可均匀地向圆形区域180°范围内各个方向发射速度大小相同，质量均为m，电荷量均为q的带正电粒子，部分粒子可垂直打在收集板上，不计粒子的重力及粒子间的相互作用力。下列说法正确的是（　　） A．圆形区域内磁场方向垂直圆面向外 B．能够打在收集板上的粒子数占总数的 C．能够打在收集板上的粒子在磁场中运动的最长时间为 D．若粒子速度增大，打在收集板上的粒子速度方向仍与收集板垂直 18. 如图所示，在xOy直角坐标系的第一象限以坐标原点为圆心、半径为R的四分之一圆OADC内，有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，D为圆弧AC的中点；从坐标原点沿x轴正向向磁场内射入各种不同速率的带电粒子，粒子的质量为m、电荷量为q（q>0），不计粒子的重力及粒子间的相互作用。关于粒子在磁场中的运动，下列说法正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动的最长时间为 B．粒子从圆弧边射出时，速度越大，粒子在磁场中运动的时间越长 C．若粒子从D点射出，则粒子出磁场时速度沿y轴正向 D．从A点射出的粒子和从D点射出的粒子在磁场中运动的时间之比为4∶1 19. 如图所示，半径为的圆形区域内有垂直于圆面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为，为圆心。在磁场边界上点有一粒子源，粒子可以沿圆面向磁场内各个方向射出质量均为、电荷量均为的带正电的粒子，粒子射出的初速度大小相同，沿与成角斜向右下射出的粒子1在磁场中运动经过点，不计粒子的重力，则下列说法正确的是（　　） A．粒子1在磁场中做圆周运动半径等于 B．粒子1在磁场中运动的偏向角为 C．粒子1在磁场中运动的时间为 D．沿方向射入的粒子从磁场出射速度与粒子1从磁场出射速度方向相同 20. 如图所示，平面直角坐标系内有一圆形有界磁场Ⅰ和一矩形有界磁场Ⅱ（未画出）。磁场Ⅰ圆心坐标为，半径为，磁场Ⅱ位于轴左侧。磁场Ⅰ、Ⅱ的方向均垂直纸面向外，磁感应强度的大小分别为，有界区域边界上均有磁场。位于坐标原点的粒子源（大小忽略不计）可以向轴右侧任意方向发射质量均为、电荷量均为、速率均为的同种带正电粒子，这些粒子的出射点都位于轴下方的一段圆弧（为圆弧上离点最远的点，未画出）上。若从点出射的带电粒子依次经过真空区域、磁场Ⅱ、真空区域后恰好能回到点，且该粒子先后两次经过轴的速度方向与轴的负方向的夹角相同。不计粒子的重力及粒子间的相互作用。求： (1)P点的坐标； (2)从P点射出的粒子在矩形磁场区域中运动的时间； (3)矩形磁场区域的最小面积。 类型3 带电粒子在环形边界磁场中运动 21. 如图为地球赤道剖面图，地球半径为R。把地面上高度为区域内的地磁场视为方向垂直于剖面的匀强磁场（磁场方向垂直纸面向里，图中未画出），一带电粒子以一定速度正对地心射入该磁场区域，轨迹恰好与地面相切。不计粒子重力，则（　　） A．粒子带负电荷 B．轨迹半径为 C．轨迹半径为 D．轨迹半径为 22. 近期以Deepseek为代表的我国自主知识产权的人工智能大模型正在迅猛发展，这些大模型在应用中都离不开能源的支撑。据统计我国每年的能源消耗是美国的两倍，是印度的六倍，现在我国67%的能源来源于火力发电。2025年3月可控核聚变实验装置“中国环流三号”又有新的技术突破，这标志着可控核聚变离并网发电又更近了一步，届时能源问题将彻底解决。利用高温超导产生的强磁场将高温反应中的带电粒子“约束”在一定区域内，使其不能射出，是可控核聚变的关键性技术难点。某同学为探究带电粒子的“约束”问题，构想了如图所示的磁场区域，假设匀强磁场的磁感应强度大小为B、垂直于纸面，其边界分别是半径为R和2R的同心圆，O为圆心，A为磁场内在圆弧上的一点，P为OA的中点。若有一粒子源向纸面内的各个方向发射出比荷为的带负电粒子，粒子速度连续分布，且无相互作用。不计粒子的重力，取sin37°=0.6，cos37°=0.8，求∶ (1)粒子源在A点时，若所有粒子都不能穿出磁场，粒子速度的最大值； (2)粒子源在O时，被磁场约束的粒子速度最大值； (3)粒子源在P点时，被磁场约束的粒子速度的最大值。 23. 如图所示，直径分别为和的同心圆处于同一竖直面内，为圆心，为大圆的水平直径。两圆之间的环形区域（I区）存在垂直圆面向里的匀强磁场，小圆内部（II区）存在垂直圆面向外的匀强磁场。质量为、电量为的粒子由点紧靠大圆内侧以速度竖直向上射入磁场。不计粒子的重力。 (1)若粒子运动轨迹与小圆相切，求I区磁感应强度的大小； (2)若I区、II区磁感应强度的大小均为，粒子运动一段时间后再次经过点，求这段时间粒子运动的路程。 24. 如图所示，在很窄的圆环空间内有沿半径向外的磁场1，其磁感应强度大小可近似认为处处相等；垂直圆环平面同时加有匀强磁场2和匀强电场（图中均未画出），磁场2的磁感应强度大小是磁场1的二倍。已知电子电荷量为e、质量为m，若电子恰好可以在圆环平面内沿顺时针方向做半径为R、速率为v的匀速圆周运动。则以下说法错误的是（    ） A．电场方向垂直圆环平面向里 B．电子运动周期为 C．匀强磁场2的磁感应强度大小为 D．电场强度大小为 25. 极光是由太阳抛射出的高能带电粒子受到地磁场作用，在地球南北极附近与大气碰撞产生的发光现象。赤道平面的地磁场，可简化为如图所示：为地球球心，为地球半径，将地磁场在半径为到之间的圆环区域看成是匀强磁场，磁感应强度大小为。磁场边缘A处有一粒子源，可在赤道平面内以相同速率向各个方向射入某种带正电粒子。不计粒子重力、粒子间的相互作用及大气对粒子运动的影响，不考虑相对论效应。其中沿半径方向（图中1方向）射入磁场的粒子恰不能到达地球表面。若和AO方向成角向上方（图中2方向）射入磁场的粒子也恰好不能到达地球表面，则（　　） A． B． C． D． 类型4 带电粒子在三角形边界磁场中运动 26. 如图所示，等腰直角三角形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，为边的中点，为边上的一点。现有一带正电的粒子（不计重力）从点以大小不同的速率沿方向射入磁场，分别从点射出磁场，其轨迹圆心分别为（图中未标出），所用时间分别为，且，边长度为，则（　　） A． B．带电粒子的比荷为 C．带电粒子从点与从点射出的速率之比为 D．两点距离为 27. 如图所示，在直角三角形区域（含边界）内存在垂直于纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场，，点处的粒子源持续将比荷为的带正电粒子以大小和方向不同的速度射入磁场中，不计粒子的重力及粒子之间的相互作用，则粒子在磁场中运动的最长时间为（　　） A． B． C． D． 28. 如图，直角三角形中，，处在磁感应强度B、方向垂直纸面向外的匀强磁场，c点处的粒子源可向磁场区域各个方向发射速度大小为（k为粒子的比荷）的带正电粒子。不计粒子的重力和相互间作用力，则（　　） A．边上有粒子到达区域的长度为 B．边上有粒子到达区域的长度为 C．从边射出的粒子在磁场中运动的最短时间为 D．从边射出的粒子在磁场中运动的最长时间为 29. 如图所示，在直角三角形OPN区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外。一电荷量为的粒子从静止开始经电压为U的电场加速后，沿平行于x轴的方向射入磁场。一段时间后，该粒子在OP边上某点以垂直于x轴的方向射出。已知O点为坐标原点，N点在y轴上，OP与x轴的夹角为，粒子进入磁场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离为d。不计重力。求： (1)带电粒子的质量m； (2)带电粒子运动至x轴的位置到坐标原点的距离x； (3)带电粒子在磁场中运动的时间t。 30. 如图所示，在直角区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场（未画出），磁感应强度大小为。点处的粒子源可向纸面内磁场区域各个方向发射带电粒子。已知带电粒子的质量为，电荷量为，速率均为长为且，忽略粒子重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（　　） A．从边射出的粒子在磁场中运动的最短时间为 B．带电粒子在磁场中的运动半径为 C．AC边上有粒子到达区域的长度为 D．边上有粒子到达区域的长度为 题型四 带电粒子在磁场运动的临界和极值问题 （1）动态放缩法 当带电粒子射入磁场的方向确定，但射入时的速度v大小或磁场的强弱B变化时，粒子做圆周运动的轨道半径r随之变化。在确定粒子运动的临界情景时，可以以入射点为定点，将轨道半径放缩，作出一系列的轨迹，从而探索出临界条件。如图所示，粒子进入长方形边界OABC形成的临界情景为②和④。 （2）定圆旋转法 当带电粒子射入磁场时的速率v大小一定，但射入的方向变化时，粒子做圆周运动的轨道半径r是确定的。在确定粒子运动的临界情景时，可以以入射点为定点，将轨迹圆旋转，作出一系列轨迹，从而探索出临界条件，如图所示为粒子进入单边界磁场时的情景。 31. 如图所示，正方形区域abcd内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一不计重力的带电粒子，以大小为v的速度，从ab边的中点M垂直于ab边和磁场射入正方形区域，并从bc边的中点N射出。下列说法正确的是（　　） A．若仅将B加倍，则粒子在正方形区域的运动时间加倍 B．若仅将B加倍，则粒子在正方形区域的运动时间不变 C．若仅将加倍，则粒子在正方形区域的运动位移为原来的2倍 D．若仅将加倍，则粒子在正方形区域的运动位移为原来的倍 32. 如图所示，在平面直角坐标系xOy的第四象限有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B=2.0T。一个质量为、电荷量为的带电粒子从P点沿图示方向以v=20m/s的速度进入磁场，从x轴上的Q点离开磁场（Q点未画出）。已知OP=25cm，粒子重力不计。求： (1)OQ的距离及粒子从P运动到Q的时间； (2)若粒子不能进入x轴上方，则磁感应强度B'满足的条件。 33. 如图所示，S为一离子源，MN为足够长的荧光屏，S到MN的距离为SP=L，MN左侧区域有足够大的匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。某时刻离子源S一次性沿平行纸面各个方向均匀地喷发大量的质量为m、电荷量为q、速率为的正离子（此后不再喷发），不计离子重力，不考虑离子之间的相互作用力。则下列说法不正确的是（　　） A．打中荧光屏的最短时间为 B．打中荧光屏的宽度为 C．打中荧光屏的最长时间为 D．打到荧光屏的离子数与发射的离子数比值为1∶2 34. 在Oxy平面存在垂直于纸面向里且范围足够大的匀强磁场，磁感应强度大小为；在y轴有一离子源S，其坐标为，向平面内各个方向均匀发射质量为m，电量为，速率为且带正电的粒子。现沿x轴放置一足够长且不可穿过的挡板，挡板上有C、D两点，C点横坐标，D点横坐标，不考虑带电粒子的重力以及粒子间的相互作用力。 (1)若出射方向沿y轴正方向，求粒子打到挡板上的x轴坐标； (2)求所有出射粒子中能够打到CD区间的占比； (3)若在挡板上不同位置放一些微型粒子探测器可视为质点，发现在一些位置上粒子只会从一个方向进入探测器，而在另一些位置上粒子会从两个方向进入探测器，试确定能从两个方向进入探测器的位置所在区间。 35. 如图所示，和是竖直圆的两条相互垂直的直径，水平，为过点且平行的直线，圆内部充满磁感应强度大小为、方向垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出）。现有一束宽度和相等、电荷量为、质量为的带正电粒子以相同速率平行直径射入圆，粒子均通过点进入直线下方。已知圆的半径为，不计重力及粒子间的相互作用。 (1)求粒子的速率； (2)若直线下方充满磁感应强度大小为、方向垂直纸面向外的匀强磁场，分别射向和中点的两粒子进入直线下方后又均从点射出下方磁场，求点到点的距离； (3)若直线下方、延长线的右侧存在一个垂直纸面向里的矩形匀强磁场，直线和延长线分别为其两个边界，该磁场竖直方向边长为，水平方向边长为。已知粒子在该磁场中做圆周运动的半径介于到之间，在该磁场中运动时间最长的粒子的运动时间恰好为粒子在该磁场中做圆周运动周期的，求矩形磁场的磁感应强度大小。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题20 磁场对运动电荷的作用 题型一 对洛伦兹力的理解和应用 1 题型二 带电粒子做圆周运动分析思路 6 题型三 带电粒子在有界匀强磁场中的圆周运动 12 类型1 带电粒子在直线边界磁场中运动 14 类型2 带电粒子在圆形边界磁场中运动 20 类型3 带电粒子在环形边界磁场中运动 26 类型4 带电粒子在三角形边界磁场中运动 32 题型四 带电粒子在磁场运动的临界和极值问题 39 题型一 对洛伦兹力的理解和应用 1．洛伦兹力 磁场对运动电荷的作用力叫洛伦兹力． 2．洛伦兹力的方向 (1)判定方法 左手定则：掌心——磁感线垂直穿入掌心； 四指——指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向； 大拇指——指向洛伦兹力的方向． (2)方向特点：F⊥B，F⊥v，即F垂直于B和v决定的平面(注意：洛伦兹力不做功)． 3．洛伦兹力的大小 (1)v∥B时，洛伦兹力F＝0.(θ＝0°或180°) (2)v⊥B时，洛伦兹力F＝qvB.(θ＝90°) (3)v＝0时，洛伦兹力F＝0. 1. 如图所示，足够长光滑水平面上方空间中有垂直向里、磁感应强度为B的匀强磁场和水平向右、电场强度为E的匀强电场，水平面上有一个质量为m且不带电的绝缘物块N，在物块N左边某处静止释放一个质量为2m且带正电的物块M，带电荷量为q，物块M、N都可以看成质点，若M、N恰能相碰（碰撞时间很短），且碰后粘为一体（碰后电荷量不变），重力加速度取g，下列说法正确的是（　　） A．物块M与物块N碰前的速度是 B．物块M释放点距物块N的距离L是 C．物块M与物块N碰后的速度是 D．物块M与物块N碰后又滑动时间后会离开水平地面 【答案】B 【详解】A．M在电场力的作用下向右加速，同时洛伦兹力向上且大小也在增加。若M、N恰好能相碰，此时有，求得。故A错误； B．设物块释放点距物块的距离是，根据动能定理得 代入得，故B正确； C．碰撞过程满足动量守恒，且碰后粘为一体， 解得，故C错误； D．物块与物块碰后粘为一体后运动速度为时离开水平地面，则有 可求得速度 连接体受到电场力的作用加速运动，加速度 所以时间，故D错误。 故选B。 2. 如图甲所示，在竖直平面内有一半径为的固定光滑绝缘圆桶，在空间中有平行圆桶轴线的水平匀强磁场，一质量为、带电量为的带电小球沿圆桶外壁做圆周运动，如图乙所示为带电小球所在处的截面图，为竖直直径，初始时带电小球位于圆环最高点A（圆桶外侧），并且有水平方向的速度（以水平向左为速度的正方向），如果带电小球在A点不脱离圆桶，带电小球初速度可能的取值为（　　） A．3m/s B．6m/s C．-3m/s D．-6m/s 【答案】A 【详解】假设初速度向左，则小球所受洛伦兹力竖直向下，小球不脱离圆桶需满足 即 求得 故选A。 3. 如图所示，空间内有一垂直纸面方向的匀强磁场（方向未知），一带正电的粒子在空气中运动的轨迹如图所示，由于空气阻力的作用，使得粒子的轨迹不是圆周，假设粒子运动过程中的电荷量不变。下列说法正确的是（　　） A．粒子的运动方向为 B．粒子所受的洛伦兹力大小不变 C．粒子在b点的洛伦兹力方向沿轨迹切线方向 D．磁场的方向垂直纸面向里 【答案】D 【详解】A．由于空气阻力做负功，粒子运动过程中速率逐渐减小，由 得 所以粒子运动的轨道半径逐渐减小，粒子的运动方向为，A错误； B．由公式可知粒子所受的洛伦兹力逐渐减小，B错误； C．粒子所受的洛伦兹力与速度方向垂直，方向指向弯曲轨迹的内侧，所以粒子在b点的洛伦兹力并不沿切线方向，C错误； D．由左手定则可知匀强磁场的方向垂直纸面向里，D正确。 故选D。 4. 一倾角为的绝缘光滑斜面处在与斜面平行的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。质量为m，电荷量为的小球，以初速度从N点沿NM边水平射入磁场。已知斜面的高度为h且足够宽，小球始终未脱离斜面。则下列说法正确的是（    ） A．小球在斜面上做变加速曲线运动 B．小球到达底边的时间为 C．小球到达底边的动能为 D．匀强磁场磁感强度的取值范围 【答案】B 【详解】A．小球运动过程中，小球受到的洛伦兹力、重力恒定不变，则小球受到的合力不变，且合力方向与初速度方向不在同一直线上，故小球在斜面上做匀变速曲线运动，故A错误； B．小球做类平抛运动，在NM方向上，小球做匀速直线运动，在斜面方向上，小球做匀加速直线运动，则 小球的加速度为 解得小球到达底边的时间为 故B正确； C．根据动能定理，小球到达底边的动能为 故C错误； D．根据左手定则，小球受到的洛伦兹力垂直斜面向上，为使小球不脱离斜面，则 解得匀强磁场磁感强度的取值范围为 故D错误。 故选B。 5. 如图所示，质量为1kg的小球，带有0.5C的负电荷，套在一根与水平方向成37°角的足够长的绝缘杆上，小球与杆之间的动摩擦因数为μ=0.5，杆所在空间有磁感应强度B=0.4T的匀强磁场，小球由静止开始下滑。（）求： （1）小球刚开始下滑的加速度大小； （2）小球下滑的最大速度。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）小球刚开始下滑，洛伦兹力为0，根据牛顿第二定律 解得小球刚开始下滑的加速度大小为 （2）以小球为研究对象，通过分析受力可知，小球受重力，垂直杆的支持力和洛伦兹力，摩擦力，根据左手定则，小球受到的洛伦兹力垂直绝缘杆向下，当时，即小球的速度最大，即 垂直绝缘杆方向有 解得 题型二 带电粒子做圆周运动分析思路 1．匀速圆周运动的规律 若v⊥B，带电粒子仅受洛伦兹力作用，在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做匀速圆周运动． 2．圆心的确定 (1)已知入射点、出射点、入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图甲所示，P为入射点，M为出射点)． (2)已知入射方向、入射点和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如图乙所示，P为入射点，M为出射点)． 3．半径的确定 可利用物理学公式或几何知识(勾股定理、三角函数等)求出半径大小． 4．运动时间的确定 粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为θ时，其运动时间表示为t＝T(或t＝)． 6. 一束γ射线（从底部进入而没有留下痕迹）从充满在气泡室中的液态氢的一个氢原子中打出一个电子，同时γ光子自身转变成一对正、负电子对（分别称为正电子、负电子，二者速度接近），其径迹如图所示。已知匀强磁场的方向垂直照片平面向里，正、负电子质量相等，则下列说法正确的是（　　） A．右侧螺旋轨迹为负电子运动的轨迹 B．正电子、负电子所受洛伦兹力大小时刻相等 C．分离瞬间，正电子速度大于负电子速度 D．正电子、负电子的动能不断减小，而被打出的电子动能不变 【答案】AC 【详解】A．匀强磁场的方向垂直照片平面向里，根据粒子运动轨迹结合左手定则可知，左侧螺旋轨迹为正电子运动的轨迹，右侧螺旋轨迹为负电子运动的轨迹，故A正确； B．正电子、负电子所受洛伦兹力大小为 正电子、负电子的速度大小不是时刻相等，则正电子、负电子所受洛伦兹力大小不是时刻相等，故B错误； C．根据洛伦兹力提供向心力有 解得 根据运动轨迹可知正电子与负电子分离瞬间，左侧正电子的轨迹半径大于右侧负电子的轨迹半径，故分离瞬间，正电子速度大于负电子速度，故C正确； D．正、负电子在气泡室运动时，根据轨迹可知运动的轨迹半径逐渐减小，则速度逐渐减小，动能逐渐减小，被打出的电子，在气泡室中克服阻力做功，动能也逐渐减小，故D错误。 故选 AC。 7. 如图（a）所示，一点电荷（不计重力）在辐向电场中围绕圆心O做匀速圆周运动，轨迹所在处的电场强度大小均为E；如图（b）所示，同一点电荷在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场中做匀速圆周运动。已知点电荷两次做圆周运动的线速度大小相等，两个圆弧轨迹的半径均为r。关于该点电荷，下列说法正确的是（　　） A．可能带负电 B．一定沿逆时针转动 C．点电荷的比荷为 D．点电荷运动的线速度大小为 【答案】BCD 【详解】AB．图（a）中，点电荷受到的电场力提供向心力，方向与场强方向相同，所以点电荷一定带正电；对图（b）由左手定则可知点电荷一定沿逆时针转动，故A错误，B正确； CD．对图（a）有 对图（b）有 联立可得，，故CD正确。 故选BCD。 8. 利用云室可以知道带电粒子的性质，如图所示，云室中存在磁感应强度大小为的匀强磁场，质量为带正电的粒子静止在磁场中，该粒子在点分裂成粒子和，、在磁场中的径迹是两个内切圆，相同时间内的径迹长度之比；半径之比，不计重力及粒子间的相互作用力，则（    ） A．粒子和所带电性可能均为正电荷 B．粒子、的质量之比 C．在相等的时间内、两粒子速度的变化量大小相等 D．在相等的时间内、两粒子洛伦兹力冲量大小相等 【答案】D 【详解】AB．由于、粒子的轨迹为内切圆，两电荷一定为异种电荷，根据动量守恒可知，分裂后两粒子动量等大反向 由 所以 得到，故A、B错误； C．由于 则周期相等，相等的时间速度的偏转角相等，速度大小不同故速度的变化量大小不等，故C错误； D．相等的时间内、两粒子受洛伦兹力的冲量等于各自动量的变化量，根据两粒子动量守恒，所以两粒子的动量变化量大小相等，故D正确。 故选D。 9. 用磁场实现对微观粒子的控制在高能物理、材料科学、核磁共振、微流控芯片等领域有着广泛的应用。如图所示为一种能够实现用磁场控制微观粒子的装置内部磁场分布图，轴上方存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小，轴下方存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小；在坐标原点处有一粒子源，可以同时发射速度大小为、方向分别沿轴正、负方向的两个带电粒子、。已知带电粒子质量均为，电荷量均为，粒子相遇时两者的运动互不影响，不计粒子重力及粒子间的相互作用。 (1)若、两粒子同时经过点，求该情况下的最小值； (2)若，且在坐标系内的磁场为矩形磁场，为使两粒子发射后能够在磁场中相遇次，求矩形磁场的最小面积； (3)两粒子发射后的运动轨迹会有很多交点，若，且两粒子发射时间不同，为使两粒子能相遇在横坐标最小的轨迹交点处，求两粒子发射的时间差。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由洛伦磁力提供向心力，有 解得 由洛伦磁力提供向心力，有 解得 若B最小，说明H点是P、Q粒子在x轴上第一次相遇的点，P、Q粒子同时从O点出发，运动轨迹如图1所示 可知 解得B的最小值为 （2）当时，由洛伦磁力提供向心力，有 解得 由洛伦磁力提供向心力，有 解得 P、Q两粒子同时发射后，每经过一个周期在x轴上相遇一次，P粒子每个周期内轨迹与x轴的交点向正方向移动 n个周期向正方向移动 所以磁场右边界的x轴坐标为 磁场的左边界x轴坐标为 磁场沿x轴方向宽度为 磁场沿y轴方向宽度为 所加矩形磁场的最小面积 （3）横坐标最小的轨迹交点如图2中所示的G点 O1O2之间距离与AO之间距离相等，易知 可得=45° 结合 可得， P粒子运动至G点转过国心角为45°，所用时间     Q粒子运动至G点，在x轴下方转过圆心角为180°，在x轴上方转过圆心角为135°，所用时间 两粒子从O点出发的时间之差 10. 如图所示，空间存在范围足够大、垂直xOy平面向外的匀强磁场（图中未画出），一质量为m、带电荷量为+q的带电粒子从坐标原点O沿y轴正方向以速度v0射出，带电粒子恰好经过点，不计粒子受到的重力及空气阻力。匀强磁场的磁感应强度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设轨迹半径为R，磁感应强度为B，根据洛伦兹力提供向心力有 结合几何关系 解得 故选A。 题型三 带电粒子在有界匀强磁场中的圆周运动 带电粒子在有界磁场中运动的几种常见情形 1．直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示) 2．平行边界(存在临界条件，如图所示) 3．圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图所示) 4．分析带电粒子在匀强磁场中运动的关键是： (1)画出运动轨迹； (2)确定圆心和半径； (3)利用洛伦兹力提供向心力列式． 类别 特点 图示 直线 边界 进出磁 场具有 对称性 平行 边界 存在临界条件 圆形 边界 沿径向射 入必沿径 向射出 环形 边界 与边界相切 类型1 带电粒子在直线边界磁场中运动 11. 如图，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度的大小为B，场区足够宽，磁场内有一块足够长平面感光薄板ab，板面与磁场方向平行，在距ab的距离L处有一个点状的放射源S，它在纸面内均匀的向各个方向发射比荷相等的带正电的粒子，粒子的速度大小都满足，不计重力和粒子间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．击中ab板的粒子运动的最长时间为 B．击中ab板的粒子运动的最短时间为 C．ab上被粒子打中的区域的长度为L D．放射源S发射的粒子中有20%的粒子可以击中ab板 【答案】C 【详解】A．击中板的粒子中运动最长时间，则使粒子竖直向下运动，轨迹圆与相切，轨迹圆的弧长为周长，所用时长，故A错误； B．击中ab板的粒子运动的最短时间，应使粒子与竖直方向成向上运动，轨迹圆的弦长最短，此时粒子在磁场中运动的时间最短，轨迹圆的弧长为周长，所用时长，故B错误； C．由牛顿第二定律得 解得 轨迹如图所示 上被粒子打中的区域的长度，故C正确； D．沿竖直向上方向和沿竖直向下方向射出的粒子均与屏相切，即射出在S点右侧的粒子可以打在平面感光板上，射出方向所占夹角为，故各个方向均匀发射的粒子中有的粒子可以击中板，故D错误。 故选C。 12. 如图所示，在xOy平面的x轴上方区域范围内存在着范围足够大的匀强磁场，磁感应强度大小为。在空间坐标（x＝0，）处有一粒子源，在某一时刻向平面内各个方向均匀发射N个（N足够大）质量为m、电荷量为，速度为的带电粒子（不计粒子重力及粒子间的相互作用，题中N、a、m、q、均为已知量）。求： (1)粒子在磁场中运动的半径R和周期T； (2)x轴上能接收到粒子的区域长度L； (3)能到达x轴的粒子所占粒子总数的比例。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）由洛伦兹力提供向心力可得   解得轨迹半径 根据周期 联立解得 （2）粒子打x轴上的范围如图所示，x轴右侧长度为 x轴左侧，F与x轴相切，由几何关系知 联立可得 （3）粒子恰好跟x轴负半轴相切，半径与y轴夹角，满足       解得 粒子恰好跟x轴正半轴相切，半径与y轴夹角，满足       则 则能到达x轴粒子所占粒子总数的比例 13. 如图所示，矩形ABCD区域内有匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，AB边长为3d，AD边长为d，E是CD边上的一点，F是AB边上的一点，且。在E点有一粒子源，大量同种粒子以相同速率从E点向磁场内沿各个方向射出，粒子均带正电，电荷量均为q，质量均为m。如图，速度与DE边的夹角为的粒子恰好从F点射出磁场，不计粒子的重力和粒子间的相互作用力，则（　　） A．磁场方向垂直于纸面向里 B．粒子做匀速圆周运动的轨道半径为d C．粒子在磁场中运动的最长时间为 D．磁场区域中有粒子通过的面积为 【答案】BD 【详解】A．粒子运动轨迹如图所示 速度与DE的夹角为的粒子恰好从F点射出磁场，粒子带正电，由粒子运动的轨迹根据左手定则可判断，磁场方向垂直于纸面向外，故A错误； B．由此粒子的运动轨迹结合几何关系可知，粒子做圆周运动的半径 故B正确； C．由于粒子做圆周运动的速度大小相同，因此在磁场中运动的轨迹越长，时间越长，分析可知，粒子在磁场中运动的最长弧长为二分之一圆周，因此最长时间为二分之一周期，即最长时间为 故C错误； D．由图可知，磁场区域有粒子通过的面积为图中区域的面积，即为 故D正确。 故选BD。 14. 如图所示，在坐标系的Ⅰ、Ⅳ象限有垂直纸面向里的匀强磁场，在轴上的点同时以相同速率沿纸面内向各个方向发射大量相同带电粒子（粒子重力不计），其中粒子沿平行轴正方向发射，经磁场偏转后到达轴上的点，则下列说法正确的有（　　） A．轴上有粒子射出磁场的长度为 B．轴上有粒子射出磁场的长度为 C．先后到达点的两个粒子在磁场中运动的时间差为 D．先后到达点的两个粒子在磁场中运动的时间差为 【答案】AC 【详解】AB．设粒子在磁场中运动的轨道半径为，作出粒子的运动的轨迹如图所示 由几何关系得 解得 令粒子能到达轴的最高点为，对应弦长为直径，则长度 粒子能到达轴的最低点为，对应轨迹与y轴相切，则长度 则轴上有粒子射出磁场的长度为，故A正确，B错误； CD．粒子的偏转角 解得 后到达点的粒子轨迹如图所示，根据几何关系可知，其偏转角 粒子在磁场中运动的时间 粒子在磁场中运动的时间 它们到达点的时间差，故C正确，D错误。 故选AC。 15. 如图所示，平面直角坐标系的第二象限内存在着垂直纸面向外、磁感应强度大小为2B的匀强磁场，第三象限内存在着垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一带负电的粒子从原点O以某一速度沿与y轴成30°角方向斜向上射入磁场，且在第二象限运动时的轨迹圆的半径为R，已知带电粒子的质量为m，所带电荷量为q，且所受重力能够忽视。 (1)粒子在第二象限和第三象限内运动的轨道半径之比 (2)粒子达成一次周期性运动的时间 (3)粒子从O点入射，第二次经过x轴的位置到坐标原点的距离 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设粒子的速度为，由 得粒子在第二象限的轨道半径为 粒子在第三象限的轨道半径为 则 （2）粒子从O点射入第二象限到再次射入第二象限，完成一次周期性运动,如图所示，粒子在磁场中运动时的圆心角为 由 得粒子在第二象限中运动的时间为 粒子在第三象限中运动的时间为 则粒子达成一次周期性运动的时间为 （3）粒子从O点入射，第一次经过x轴的位置到坐标原点的距离为 第二次经过x轴的位置到第一次经过x轴的位置的距离为 则粒子第二次经过x轴的位置到坐标原点的距离为 类型2 带电粒子在圆形边界磁场中运动 16. 如图所示，圆心为O、半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一束由相同带电粒子组成的粒子流，以相同的速度从左侧射入圆形区域内，所有粒子恰能全部汇聚于圆周上的C点，C点在圆心O的正下方。已知磁场的磁感应强度大小为B，带电粒子的比荷为k，粒子流宽度为，该粒子流可整体上下移动，且入射方向及其宽度都不改变，并全部汇聚于C点，不计粒子重力。下列说法正确的是（　　） A．带电粒子带负电 B．带电粒子的入射速度大小为kBR C．该粒子流在磁场中能到达的区域面积的最小值为 D．该粒子流在磁场中能到达的区域面积的最小值为 【答案】ABD 【详解】A．带电粒子往下偏转，由左手定则可知，带电粒子带负电，故A正确； B．所有粒子恰能全部汇聚于圆周上的C点，作出运动轨迹如图所示 根据几何关系可知，图中四边形为菱形，则粒子在磁场中运动轨迹的半径等于区域圆的半径，则有 解得，故B正确； CD．当粒子流按如上图所示的方式入射时，所经过区域面积最小，故C错误，D正确。 故选ABD。 17. 如图所示，真空中半径为R的圆形区域内有垂直圆面，磁感应强度大小为B的匀强磁场。圆周上P点有粒子源，圆外与OP平行放置粒子收集板，板长为R，板关于与垂直于OP过圆心O的直线对称放置。粒子源可均匀地向圆形区域180°范围内各个方向发射速度大小相同，质量均为m，电荷量均为q的带正电粒子，部分粒子可垂直打在收集板上，不计粒子的重力及粒子间的相互作用力。下列说法正确的是（　　） A．圆形区域内磁场方向垂直圆面向外 B．能够打在收集板上的粒子数占总数的 C．能够打在收集板上的粒子在磁场中运动的最长时间为 D．若粒子速度增大，打在收集板上的粒子速度方向仍与收集板垂直 【答案】BC 【详解】A．由左手定则可知圆内的磁场方向垂直纸面向里，故A错误； B．从磁场射出的刚好打在收集板左端、右端的粒子，其运动轨迹如图所示 由几何关系可得α=30°，入射速度方向与PO的夹角θ=θ′=30°，则能够打在收集板上的粒子数占总数的比例为，故B正确； C．粒子在磁场中运动，解得，打在右端的粒子在磁场中运动的时间最长，则有，故C正确； D．由磁发散原理可知，粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径r与圆形磁场的半径R相等，则有，解得，若粒子速度增大，则运动半径增大，不符合磁发散条件，打在收集板上的粒子速度方向与收集板不垂直，故D错误。 故选BC。 18. 如图所示，在xOy直角坐标系的第一象限以坐标原点为圆心、半径为R的四分之一圆OADC内，有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，D为圆弧AC的中点；从坐标原点沿x轴正向向磁场内射入各种不同速率的带电粒子，粒子的质量为m、电荷量为q（q>0），不计粒子的重力及粒子间的相互作用。关于粒子在磁场中的运动，下列说法正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动的最长时间为 B．粒子从圆弧边射出时，速度越大，粒子在磁场中运动的时间越长 C．若粒子从D点射出，则粒子出磁场时速度沿y轴正向 D．从A点射出的粒子和从D点射出的粒子在磁场中运动的时间之比为4∶1 【答案】C 【详解】A．粒子从y轴射出在磁场中运动的时间最长，最长为，故A错误； B．不同速度的粒子从圆弧边射出时，在磁场中运动轨道所对的弦长相同，速度越大，半径越大，轨迹所对的圆心角越小，运动时间越短，故B错误； C．若粒子从D点出射，运动轨迹如图 根据几何关系，轨迹所对的圆心角为90°，因此粒子从D点出磁场时，速度沿y轴正向，故C正确； D．从A点出射的粒子在磁场中运动的时间为半个周期，从D点出射的粒子在磁场中运动的时间为四分之一个周期，因此时间之比为2∶1，故D错误。 故选C。 19. 如图所示，半径为的圆形区域内有垂直于圆面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为，为圆心。在磁场边界上点有一粒子源，粒子可以沿圆面向磁场内各个方向射出质量均为、电荷量均为的带正电的粒子，粒子射出的初速度大小相同，沿与成角斜向右下射出的粒子1在磁场中运动经过点，不计粒子的重力，则下列说法正确的是（　　） A．粒子1在磁场中做圆周运动半径等于 B．粒子1在磁场中运动的偏向角为 C．粒子1在磁场中运动的时间为 D．沿方向射入的粒子从磁场出射速度与粒子1从磁场出射速度方向相同 【答案】AD 【详解】A．沿与成角斜向右下射出的粒子1在磁场中运动经过点，如图所示 设粒子在磁场中做圆周运动的半径为，根据几何关系可知，故A正确； B．粒子从磁场出射时，速度与垂直，即偏向角为，故B错误； C．粒子1在磁场中运动的时间为，故C错误； D．由于粒子在磁场中做圆周运动的半径等于圆形有界场的半径，因此根据磁场发散原理可知，所有粒子从磁场出射的速度方向相同，故D正确。 故选AD。 20. 如图所示，平面直角坐标系内有一圆形有界磁场Ⅰ和一矩形有界磁场Ⅱ（未画出）。磁场Ⅰ圆心坐标为，半径为，磁场Ⅱ位于轴左侧。磁场Ⅰ、Ⅱ的方向均垂直纸面向外，磁感应强度的大小分别为，有界区域边界上均有磁场。位于坐标原点的粒子源（大小忽略不计）可以向轴右侧任意方向发射质量均为、电荷量均为、速率均为的同种带正电粒子，这些粒子的出射点都位于轴下方的一段圆弧（为圆弧上离点最远的点，未画出）上。若从点出射的带电粒子依次经过真空区域、磁场Ⅱ、真空区域后恰好能回到点，且该粒子先后两次经过轴的速度方向与轴的负方向的夹角相同。不计粒子的重力及粒子间的相互作用。求： (1)P点的坐标； (2)从P点射出的粒子在矩形磁场区域中运动的时间； (3)矩形磁场区域的最小面积。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在磁场Ⅰ中，根据洛伦兹力提供向心力 解得，由题意知，与轴正方向的夹角为 根据几何关系有， 解得， 即点坐标为 （2）粒子在磁场Ⅱ中，根据洛伦兹力提供向心力，解得 由题意知粒子在磁场Ⅱ转过的角度为，，解得 （3）设最小矩形的长为，宽为，由几何关系知， 矩形面积 联立解得 类型3 带电粒子在环形边界磁场中运动 21. 如图为地球赤道剖面图，地球半径为R。把地面上高度为区域内的地磁场视为方向垂直于剖面的匀强磁场（磁场方向垂直纸面向里，图中未画出），一带电粒子以一定速度正对地心射入该磁场区域，轨迹恰好与地面相切。不计粒子重力，则（　　） A．粒子带负电荷 B．轨迹半径为 C．轨迹半径为 D．轨迹半径为 【答案】AC 【详解】A．粒子向下偏转，根据左手定则可知粒子带负电荷，故A正确； BCD．如图所示 设轨迹半径为r，根据几何关系可得 解得，故C正确，BD错误。 故选AC。 22. 近期以Deepseek为代表的我国自主知识产权的人工智能大模型正在迅猛发展，这些大模型在应用中都离不开能源的支撑。据统计我国每年的能源消耗是美国的两倍，是印度的六倍，现在我国67%的能源来源于火力发电。2025年3月可控核聚变实验装置“中国环流三号”又有新的技术突破，这标志着可控核聚变离并网发电又更近了一步，届时能源问题将彻底解决。利用高温超导产生的强磁场将高温反应中的带电粒子“约束”在一定区域内，使其不能射出，是可控核聚变的关键性技术难点。某同学为探究带电粒子的“约束”问题，构想了如图所示的磁场区域，假设匀强磁场的磁感应强度大小为B、垂直于纸面，其边界分别是半径为R和2R的同心圆，O为圆心，A为磁场内在圆弧上的一点，P为OA的中点。若有一粒子源向纸面内的各个方向发射出比荷为的带负电粒子，粒子速度连续分布，且无相互作用。不计粒子的重力，取sin37°=0.6，cos37°=0.8，求∶ (1)粒子源在A点时，若所有粒子都不能穿出磁场，粒子速度的最大值； (2)粒子源在O时，被磁场约束的粒子速度最大值； (3)粒子源在P点时，被磁场约束的粒子速度的最大值。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）如图1所示 由题意可知当粒子从A点与内圆相切向上射入磁场，轨迹恰好与外圆相切，根据几何关系有 洛伦兹力提供带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律有 解得 （2）如图2所示 当粒子源在O时，粒子在磁场中的运动轨迹与磁场外边界相切时，被磁场约束的粒子每次经过磁场时间为最大值，设粒子运动半径为，在中有OA2+AC2=OC2 即 解得 洛伦兹力提供带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的向心力 根据牛顿第二定律有 解得 （3）如图3所示 当粒子源在P点时，越大，轨迹半径越大 根据正弦定理有 又因为的最大值为1，故的最大值为0.5 粒子在磁场中的运动轨迹与磁场外边界相切时，被磁场约束的粒子的半径最大，速度为最大值，设粒子运动半径为，根据几何关系可得 洛伦兹力提供带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的向心力 根据牛顿第二定律有 解得 23. 如图所示，直径分别为和的同心圆处于同一竖直面内，为圆心，为大圆的水平直径。两圆之间的环形区域（I区）存在垂直圆面向里的匀强磁场，小圆内部（II区）存在垂直圆面向外的匀强磁场。质量为、电量为的粒子由点紧靠大圆内侧以速度竖直向上射入磁场。不计粒子的重力。 (1)若粒子运动轨迹与小圆相切，求I区磁感应强度的大小； (2)若I区、II区磁感应强度的大小均为，粒子运动一段时间后再次经过点，求这段时间粒子运动的路程。 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）设I区内磁感应强大小为，粒子做圆周运动的半径为，粒子的运动轨迹与小圆相切有两种情况，如图所示 第一种情况，若粒子轨迹与小圆外切，根据几何关系可得 根据洛伦兹力提供向心力有 解得 若粒子轨迹与小圆内切，由几何关系得 根据洛伦兹力提供向心力有 解得 （2）由题意可知，I区和II内的磁感应强度大小均为，设粒子在I区和II区做圆周运动的半径都为，根据洛伦兹力提供向心力有 代入解得 根据题意作出粒子运动轨迹如图所示 根据几何关系可得， 可知粒子在I区域转过两个圆心角的圆弧；粒子在II区域转过两个圆心角的圆弧，则这段时间粒子经过的路程 24. 如图所示，在很窄的圆环空间内有沿半径向外的磁场1，其磁感应强度大小可近似认为处处相等；垂直圆环平面同时加有匀强磁场2和匀强电场（图中均未画出），磁场2的磁感应强度大小是磁场1的二倍。已知电子电荷量为e、质量为m，若电子恰好可以在圆环平面内沿顺时针方向做半径为R、速率为v的匀速圆周运动。则以下说法错误的是（    ） A．电场方向垂直圆环平面向里 B．电子运动周期为 C．匀强磁场2的磁感应强度大小为 D．电场强度大小为 【答案】D 【详解】A．根据左手定则可知电子在磁场1中受到的洛伦兹力的方向垂直圆环平面向里，由于电子在垂直圆环平面上受力平衡，即电子所受电场力与电子在磁场1中受到的洛伦兹力等大反向，故电场力方向垂直圆环平面向外，则电场方向垂直圆环平面向里，故A正确； B．电子在圆环平面内沿顺时针方向做半径为R、速率为v的匀速圆周运动，则电子运动周期为 故B正确； C．电子受到磁场2的洛伦兹力提供电子做匀速圆周运动的向心力，有 解得 故C正确； D．磁场1的磁感应强度大小 电子在垂直圆环平面上受力平衡，则有 解得 故D错误。 故选D。 25. 极光是由太阳抛射出的高能带电粒子受到地磁场作用，在地球南北极附近与大气碰撞产生的发光现象。赤道平面的地磁场，可简化为如图所示：为地球球心，为地球半径，将地磁场在半径为到之间的圆环区域看成是匀强磁场，磁感应强度大小为。磁场边缘A处有一粒子源，可在赤道平面内以相同速率向各个方向射入某种带正电粒子。不计粒子重力、粒子间的相互作用及大气对粒子运动的影响，不考虑相对论效应。其中沿半径方向（图中1方向）射入磁场的粒子恰不能到达地球表面。若和AO方向成角向上方（图中2方向）射入磁场的粒子也恰好不能到达地球表面，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若高能粒子仍以速率v射入地球磁场，可知沿径向方向射入的粒子会和地球相切而出，和AO方向成角向上方射入磁场的粒子也恰从地球上沿相切射出，在此日角范围内的粒子能到达地球，其余进入磁场粒子不能到达地球，作A点该速度垂直和过切点与O点连线延长线交于F点，则F点为圆心，如图所示 由图中几何关系可得， 则有 故选A。 类型4 带电粒子在三角形边界磁场中运动 26. 如图所示，等腰直角三角形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，为边的中点，为边上的一点。现有一带正电的粒子（不计重力）从点以大小不同的速率沿方向射入磁场，分别从点射出磁场，其轨迹圆心分别为（图中未标出），所用时间分别为，且，边长度为，则（　　） A． B．带电粒子的比荷为 C．带电粒子从点与从点射出的速率之比为 D．两点距离为 【答案】ACD 【详解】A．粒子运动轨迹如图所示 从d、c两点射出时，对应的圆心角相等，都等于90°，所以，它们在磁场中运动时间也相等，即，又由于t1：t3=3：2 因此t2：t3=3：2 故A正确； B．由于t1：t3=3：2，又因为，从d点射出时对应的圆心角为90°，所以，从e点射出时，对应的圆心角为60°，即 变形得 故B错误； C．根据ab=L，由几何关系得，， 根据牛顿第二定律得 得 由于q、m、B相同，速度与半径成正比 故C正确； D．两点距离为 故D正确； 故选ACD。 27. 如图所示，在直角三角形区域（含边界）内存在垂直于纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场，，点处的粒子源持续将比荷为的带正电粒子以大小和方向不同的速度射入磁场中，不计粒子的重力及粒子之间的相互作用，则粒子在磁场中运动的最长时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】粒子沿ac边界方向射入磁场从ab边射出磁场时转过的圆心角最大，粒子在磁场中的运动时间最长，粒子运动轨迹如图所示 由几何知识可知，其偏转得圆心角 根据洛伦兹力提供向心力则有 粒子运动周期 解得 故粒子在磁场中运动得时间 结合题意解得 故选B。 28. 如图，直角三角形中，，处在磁感应强度B、方向垂直纸面向外的匀强磁场，c点处的粒子源可向磁场区域各个方向发射速度大小为（k为粒子的比荷）的带正电粒子。不计粒子的重力和相互间作用力，则（　　） A．边上有粒子到达区域的长度为 B．边上有粒子到达区域的长度为 C．从边射出的粒子在磁场中运动的最短时间为 D．从边射出的粒子在磁场中运动的最长时间为 【答案】B 【详解】AB．粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力得 解得 如图所示 由几何关系可得边上有粒子到达区域的长度为，故A错误，B正确； C．当点入射速度方向趋近于平行时，从边射出的粒子在磁场中运动的时间趋近于0，故C错误； D．如图所示 粒子从边上点射出时，对应的圆心角最大，所用时间最长，由几何关系可知，最大圆心角为，则最长时间为，故D错误。 故选B。 29. 如图所示，在直角三角形OPN区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外。一电荷量为的粒子从静止开始经电压为U的电场加速后，沿平行于x轴的方向射入磁场。一段时间后，该粒子在OP边上某点以垂直于x轴的方向射出。已知O点为坐标原点，N点在y轴上，OP与x轴的夹角为，粒子进入磁场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离为d。不计重力。求： (1)带电粒子的质量m； (2)带电粒子运动至x轴的位置到坐标原点的距离x； (3)带电粒子在磁场中运动的时间t。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设粒子在电场中加速获得的速度为v，有 设粒子在磁场中做半径为r的匀速圆周运动，如图所示 洛伦兹力提供向心力，有 其中 得 （2）由几何关系可得带电粒子运动至x轴的位置到坐标原点的距离 （3）设粒子做圆周运动的周期为T，粒子在磁场中运动的时间 周期 得 30. 如图所示，在直角区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场（未画出），磁感应强度大小为。点处的粒子源可向纸面内磁场区域各个方向发射带电粒子。已知带电粒子的质量为，电荷量为，速率均为长为且，忽略粒子重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（　　） A．从边射出的粒子在磁场中运动的最短时间为 B．带电粒子在磁场中的运动半径为 C．AC边上有粒子到达区域的长度为 D．边上有粒子到达区域的长度为 【答案】ACD 【详解】AB．根据 解得 自AC边射出的粒子在磁场中运动的最短时间的运动轨迹交AC于M点，圆弧所对应的圆心角为60°，自AC边射出的粒子在磁场中运动的最长时间的运动轨迹交AC于N点，交OC于D点，圆弧所对应的圆心角为120°，如图所示 根据 解得 综上所述，可得，，故A正确，B错误； C．AC边上有粒子到达区域的长度为MN之间的距离，由几何关系可得，故C正确； D．OC边上有粒子到达区域的长度为OD之间的距离，由几何关系可得，故D正确。 故选ACD。 题型四 带电粒子在磁场运动的临界和极值问题 （1）动态放缩法 当带电粒子射入磁场的方向确定，但射入时的速度v大小或磁场的强弱B变化时，粒子做圆周运动的轨道半径r随之变化。在确定粒子运动的临界情景时，可以以入射点为定点，将轨道半径放缩，作出一系列的轨迹，从而探索出临界条件。如图所示，粒子进入长方形边界OABC形成的临界情景为②和④。 （2）定圆旋转法 当带电粒子射入磁场时的速率v大小一定，但射入的方向变化时，粒子做圆周运动的轨道半径r是确定的。在确定粒子运动的临界情景时，可以以入射点为定点，将轨迹圆旋转，作出一系列轨迹，从而探索出临界条件，如图所示为粒子进入单边界磁场时的情景。 31. 如图所示，正方形区域abcd内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一不计重力的带电粒子，以大小为v的速度，从ab边的中点M垂直于ab边和磁场射入正方形区域，并从bc边的中点N射出。下列说法正确的是（　　） A．若仅将B加倍，则粒子在正方形区域的运动时间加倍 B．若仅将B加倍，则粒子在正方形区域的运动时间不变 C．若仅将加倍，则粒子在正方形区域的运动位移为原来的2倍 D．若仅将加倍，则粒子在正方形区域的运动位移为原来的倍 【答案】BD 【详解】AB．设正方形区域的边长为L，粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则 解得 根据 解得 当所有条件不变时，根据左手定则和几何关系可知，此时粒子的转动半径 此时粒子在磁场中的运动时间为 当磁场加倍时，粒子的转动半径变为原来的一半，运动周期也变为原来的一半，即 根据左手定则和几何关系，粒子将在b点射出磁场，所以此时粒子在磁场中运动的时间 即将B加倍，则粒子在正方形区域的运动时间不变，A错误，B正确； CD．当所有条件不变时，根据左手定则和几何关系可知，粒子的位移 仅将速度加倍，则粒子的转动半径加倍，根据左手定则和几何关系可知，粒子从bc边距离b点为的位置射出，则粒子此时的位移 即将加倍，则粒子在正方形区域的运动位移为原来的倍，C错误，D正确。 故选BD。 32. 如图所示，在平面直角坐标系xOy的第四象限有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B=2.0T。一个质量为、电荷量为的带电粒子从P点沿图示方向以v=20m/s的速度进入磁场，从x轴上的Q点离开磁场（Q点未画出）。已知OP=25cm，粒子重力不计。求： (1)OQ的距离及粒子从P运动到Q的时间； (2)若粒子不能进入x轴上方，则磁感应强度B'满足的条件。 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）带电粒子仅在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动 解得 过P点做速度的垂线，交x轴于O1点。 O1P的长度为 O1点就是轨迹的圆心。OQ的距离为 带电粒子仅在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动的周期为 从P运动到Q转过了150°，从P运动到Q的时间为 解得 （2）若粒子恰好不能进入x轴上方，带电粒子轨迹如图所示 又因为 解得 若粒子不能进入x轴上方，则磁感应强度。 33. 如图所示，S为一离子源，MN为足够长的荧光屏，S到MN的距离为SP=L，MN左侧区域有足够大的匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。某时刻离子源S一次性沿平行纸面各个方向均匀地喷发大量的质量为m、电荷量为q、速率为的正离子（此后不再喷发），不计离子重力，不考虑离子之间的相互作用力。则下列说法不正确的是（　　） A．打中荧光屏的最短时间为 B．打中荧光屏的宽度为 C．打中荧光屏的最长时间为 D．打到荧光屏的离子数与发射的离子数比值为1∶2 【答案】C 【详解】A．离子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律得 解得离子轨道半径为 离子轨迹对应弦长最短时运动时间最短，即离子轨迹恰好经过P点，如图所示 根据几何关系可知，轨迹对应的圆心角为60°，能打中荧光屏的最短时间为 故A正确，不符合题意； C．当时，离子的轨道半径为 离子运动轨迹如图所示 离子速度为v1从下侧回旋，刚好和边界相切，离子速度为v2时从上侧回旋，刚好和上边界相切，打在荧光屏上的离子的周期 打中荧光屏的最长时间为 故C错误，符合题意； B．离子打中荧光屏的范围总长度为图中得AB长度，由几何关系可知 打中荧光屏的宽度为，故B正确，不符合题意； D．当时，离子的轨道半径为 离子恰好打到MN上的临界运动轨迹如图所示 离子速度为v1从下侧回旋，刚好和边界相切；离子速度为v2时从上侧回旋，刚好和上边界相切，打到N点的离子离开S时的初速度方向和打到点的离子离开S时的初速度方向夹角 故能打到荧光屏上的离子数与发射的粒子总数之比为 故D正确，不符合题意。 故选C。 34. 在Oxy平面存在垂直于纸面向里且范围足够大的匀强磁场，磁感应强度大小为；在y轴有一离子源S，其坐标为，向平面内各个方向均匀发射质量为m，电量为，速率为且带正电的粒子。现沿x轴放置一足够长且不可穿过的挡板，挡板上有C、D两点，C点横坐标，D点横坐标，不考虑带电粒子的重力以及粒子间的相互作用力。 (1)若出射方向沿y轴正方向，求粒子打到挡板上的x轴坐标； (2)求所有出射粒子中能够打到CD区间的占比； (3)若在挡板上不同位置放一些微型粒子探测器可视为质点，发现在一些位置上粒子只会从一个方向进入探测器，而在另一些位置上粒子会从两个方向进入探测器，试确定能从两个方向进入探测器的位置所在区间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据 可得 如图1所示，根据几何关系，打到挡板上的粒子x坐标为 （2）如图2所示；与负y轴成出射的粒子打到挡板上的位置恰为D点，沿负x轴出射的粒子打到挡板上的位置恰为C点，在此角度范围内出射的粒子可以打到CD区间，它们占所有出射粒子的比例为 （3）如图3所示；当出射粒子速度为方向时，粒子刚好打到板上C点，由几何关系知：方向与y轴正向夹角为，打到板上的坐标值为；出射粒子速度从方向逆时针逐渐转到方向，当粒子打到挡板上的位置据S点距离变大，当出射方向为，打到挡板上的位置据S点最远为2R，最远点E的横坐标 出射粒子速度从方向逆时针逐渐转到方向，粒子刚好再次打到板上C点； 综上判断，在EC区间的探测器能够探测到粒子从两个方向进入探测器相应区间为 35. 如图所示，和是竖直圆的两条相互垂直的直径，水平，为过点且平行的直线，圆内部充满磁感应强度大小为、方向垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出）。现有一束宽度和相等、电荷量为、质量为的带正电粒子以相同速率平行直径射入圆，粒子均通过点进入直线下方。已知圆的半径为，不计重力及粒子间的相互作用。 (1)求粒子的速率； (2)若直线下方充满磁感应强度大小为、方向垂直纸面向外的匀强磁场，分别射向和中点的两粒子进入直线下方后又均从点射出下方磁场，求点到点的距离； (3)若直线下方、延长线的右侧存在一个垂直纸面向里的矩形匀强磁场，直线和延长线分别为其两个边界，该磁场竖直方向边长为，水平方向边长为。已知粒子在该磁场中做圆周运动的半径介于到之间，在该磁场中运动时间最长的粒子的运动时间恰好为粒子在该磁场中做圆周运动周期的，求矩形磁场的磁感应强度大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据题意可知，以相同速率平行直径射入圆，粒子均通过点进入直线下方，由磁聚焦可知，粒子在磁场中做圆周运动半径为 根据洛伦兹力提供向心力有 联立解得 （2）结合上述分析可知，粒子进入下方后做圆周运动的半径为 由几何关系可得，两粒子从点射出圆形磁场时速度方向与延长线的夹角相等，设为，则 由几何关系可得 联立解得 （3）设矩形磁场磁感应强度大小为，粒子做圆周运动的轨道半径为，根据洛伦兹力提供向心力，得 解得 当时，在磁场中运动的时间最长的粒子，其轨迹是圆心为的圆弧，圆弧与矩形磁场的边界相切，如图所示 设该粒子在矩形磁场中运动的时间为，依题意 回旋角度为，设该粒子进入矩形磁场时的速度方向与竖直方向间的夹角为，由几何关系得，， 解得，（舍） 联立解得 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $