专题21 带电粒子在组合场的运动-2026年高考物理热点知识讲练与题型归纳（全国通用）

专题21 带电粒子在组合场的运动 题型一 带电粒子在组合场中的运动 1 类型1 带电粒子由磁场进入电场 3 类型2 带电粒子由电场进入磁场 6 类型3 带电粒子在磁场和电场中往复运动 8 类型4 带电粒子在组合场中的动量问题 10 题型二 组合场中运动的实例分析 14 类型1 质谱仪的原理及应用 15 类型2 回旋加速器的原理和应用 17 题型一 带电粒子在组合场中的运动 1.组合场概念： 静电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，静电场、磁场分时间段交替出现。 2．三种场的比较 　　项目 名称　　 力的特点 功和能的特点 重力场 大小：G＝mg 方向：竖直向下 重力做功与路径无关 重力做功改变物体的重力势能 静电场 大小：F＝qE 方向：①正电荷受力方向与场强方向相同 ②负电荷受力方向与场强方向相反 静电力做功与路径无关 W＝qU 静电力做功改变电势能 磁场 洛伦兹力大小：F＝qvB 方向：根据左手定则判定 洛伦兹力不做功，不改变带电粒子的动能 3．带电粒子在复合场中的运动分类 (1)静止或匀速直线运动 当带电粒子在复合场中所受合力为零时，将处于静止状态或做匀速直线运动。 (2)匀速圆周运动 当带电粒子所受的重力与静电力大小相等，方向相反时，带电粒子在洛伦兹力的作用下，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动。 (3)较复杂的曲线运动 当带电粒子所受合力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线。 (4)分阶段运动 带电粒子可能依次通过几个情况不同的复合场区域，其运动情况随区域发生变化，其运动过程由几种不同的运动阶段组成。 4．常见的基本运动形式 电偏转 磁偏转 偏转条件 带电粒子以v⊥E进入匀强电场 带电粒子以v⊥B进入匀强磁场 示意图 受力情况 只受恒定的静电力 只受大小恒定的洛伦兹力 运动情况 类平抛运动 匀速圆周运动 运动轨迹 抛物线 圆弧 物理规律 类平抛运动规律、牛顿第二定律 牛顿第二定律、向心力公式 基本公式 L＝vt，y＝at2 a＝，tanθ＝ qvB＝，r＝ T＝，t＝ sinθ＝ 做功情况 静电力既改变速度方向，也改变速度大小，对电荷做功 洛伦兹力只改变速度方向，不改变速度大小，对电荷永不做功 类型1 带电粒子由磁场进入电场 1． 如图所示，在平面直角坐标系的第一象限内有一半径的圆形区域，圆与轴相切于点，点坐标，，圆形区域内存在磁感应强度大小、方向垂直纸面向里的匀强磁场。点处有一粒子源，有大量质量，电荷量的粒子以相同的速率在平面内沿不同方向从点射入磁场，已知垂直轴方向射入磁场的粒子恰好从点水平射出磁场，点为圆左侧与圆心等高的位置，不考虑粒子间的相互作用，不计粒子的重力。在匀强磁场的左侧存在一有界匀强电场，电场强度，方向沿轴负方向，电场左边界为轴，右边界与轴的距离。求： (1)粒子射入磁场时的速率； (2)射入磁场时速度方向与轴正方向成的粒子在磁场中运动的时间（结果可用表示）； (3)某粒子经磁场与电场的偏转恰好能到达坐标原点，求该粒子从点射入磁场到点离开电场运动的总时间（结果可用表示）。 2． 空间直角坐标系如图所示，在，z>0的空间内存在沿y轴正方向的匀强磁场（图中未画出）；在，z>0的空间内存在沿x轴正方向的匀强电场（图中未画出）。一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，由空间中A点处以大小为的初速度射出，速度方向平行于平面、与y轴正方向的夹角。时刻，粒子恰好从P点穿过平面射入电场区域，经过P点时沿z轴方向的速度分量为0，时粒子再次穿过平面，不计粒子重力。求： (1)粒子由A运动至P所用的时间； (2)匀强磁场磁感应强度的大小； (3)电场强度的大小及时粒子的位置坐标。 3． 如图，在xOy直角坐标系中，有一质量m=1.0×10−12kg，带电量q=2.0×10−10C的带正电的粒子（不计重力），垂直x轴从A点以v=200m/s的初速度进入x轴上方的匀强磁场中。磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度B=1T。粒子经磁场偏转后又从B点垂直x轴进入第四象限，第四象限中有平行于x轴负方向的匀强电场E，粒子随后经过y轴负半轴上的C点，此时速度方向与y轴负半轴成60°。已知OB=OA。（结果可用π和根号表示）求: (1)粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径r和周期T； (2)第四象限中场强E的大小； (3)粒子从A点运动到C点所用的时间。 4． 如图所示，平面直角坐标系的第四象限内，一虚线边界与y轴之间有沿y轴正方向的匀强电场，在半径为R的圆形区域内有垂直于坐标平面向外匀强磁场Ⅰ，圆与x轴相切于P点，在第二、三象限内有垂直于坐标平面向里、磁感应强度大小与第四象限相同的匀强磁场Ⅱ，在第三象限内有一平行于x轴的无限长荧光屏（图中未画出），在P点有一粒子源向第四象限内各方向发射速度大小为v0、质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，其中沿y轴负方向发射的粒子在磁场Ⅰ中偏转后从虚线边界上A点沿x轴负方向进入电场，经电场偏转刚好从坐标原点O射入匀强磁场Ⅱ中，后恰好垂直打在荧光屏上。已知A点和y轴间距为，不计粒子的重力。 (1)求磁感应强度和电场强度的大小； (2)若粒子进入电场后均能从O点射入磁场Ⅱ，求虚线边界需满足的轨迹方程； (3)在满足第（2）问的条件下，求荧光屏上能接收到粒子的区域长度。 5． 如图所示，半径为R的虚线圆内有垂直纸面向外的匀强磁场，且O1O、O1P分别是虚线圆的竖直半径与水平半径。P点右侧存在一均匀辐向分布的电场，方向沿径向指向圆心O2点，半径为R的圆弧PQ的圆心也在O2点，经过圆弧PQ处的电场强度大小为E，且∠PO2Q=53°，水平虚线QH与竖直虚线QG之间存在水平向左、电场强度大小也为E的匀强电场，M点是此区域内的一固定点，现有一质量为m、带电荷量为+q的粒子（重力不计）从O点沿OO1方向垂直射入磁场，接着运动到P点，然后沿圆弧PQ运动经Q点进入匀强电场，随后恰好运动到M点时速度竖直向下，sin53°=0.8，cos53°=0.6。 (1)求粒子在P点的速度大小以及匀强磁场的磁感应强度B的大小； (2)求粒子从Q点到M点的运动时间以及粒子从O点运动到M点所受的平均作用力大小； (3)N点是匀强电场区域内的一个固定点，且∠GQN=53°，若电场强度大小为E的匀强电场方向改为由Q点指向N点，求Q、M两点之间的电势差。 类型2 带电粒子由电场进入磁场 1. 圆心为O、半径为R的圆形区域内存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面的匀强磁场(未画出)，磁场边缘上的A点有一带正电粒子源，半径OA竖直，MN与OA平行，且与圆形边界相切于B点，在MN的右侧有范围足够大且水平向左的匀强电场，电场强度大小为E.当粒子的速度大小为v0且沿AO方向时，粒子刚好从B点离开磁场，不计粒子重力和粒子间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．圆形区域内磁场方向垂直纸面向外 B．粒子的比荷为 C．粒子在磁场中运动的总时间为 D．粒子在电场中运动的总时间为 2. 如图所示的平面直角坐标系xOy中，第二象限内有沿y轴负方向的匀强电场，第四象限内存在垂直纸面向里的有界匀强磁场，磁场边界分别为x轴、MN和y轴，M、N两点的坐标分别为（L，0）、（0，）。一质量为m、电荷量为+q（q>0）的带电粒子从第二象限的A点沿x轴正方向以初速度v0射出，A点坐标为（，），粒子恰好从坐标原点O进入第四象限，之后粒子从MN上的P点（图中未标出）进入磁场，经磁场偏转后从x轴上的Q点（图中未标出）垂直于x轴射出磁场，不计粒子重力。求： (1)匀强电场的电场强度大小E和匀强磁场的磁感应强度大小B。 (2)粒子从A点运动到Q点所用的时间t。 3. 如图所示，纸面内边长为的正方形区域内，有一磁感应强度大小为、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，在的上方有一电场强度大小为、方向垂直向下的匀强电场。现将一质量为、电荷量为的带正电粒子从延长线上的点由静止释放，结果粒子通过点后恰好从点射出磁场。不计粒子所受的重力。 (1)求、两点间的距离； (2)若点可以在的延长线上移动，要使粒子通过点后不会从点左侧（包括点）进入电场区域，求、两点间的距离应满足的条件。 4. 现代科学仪器中常利用电、磁场控制带电粒子的运动。如图甲所示，纸面内存在上、下宽度均为d的匀强电场与匀强磁场，电场的下边界与磁场的上边界重合，电场强度方向竖直向下，磁感应强度方向垂直纸面向里。现有一质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力）从电场的上边界的P点由静止释放，运动到磁场的下边界的Q点时正好与该边界相切，图中点与P点等高。已知电场强度大小为。 (1)求匀强磁场的磁感应强度大小B； (2)求粒子从释放至回到与P点等高位置所用的时间t； (3)若把电场下移至磁场所在区域，如图乙所示，重新让粒子从上边界M点由静止释放，经过一段时间粒子第一次到达最低点N。求粒子到达N点的速度以及M、N两点间的竖直距离h。 5. 如图所示，直角坐标系第一、四象限存在磁感应强度分别为和的匀强磁场，方向分别为垂直纸面向外和向里。第二象限内有一抛物线，抛物线与轴正半轴之间存在沿轴负方向的匀强电场。某时刻在抛物线上点和轴上点同时发射两个带电球形微粒甲、乙，微粒甲沿轴正方向，微粒乙速度方向与轴正方向夹角，二者恰好在原点发生对心碰撞（即正碰），碰撞后二者合为一体，质量和电量均发生叠加（将其称为“组合体”）。已知甲、乙微粒的质量分别为和，电量分别为和点的横坐标为点的纵坐标为，忽略微粒重力和微粒间的相互作用。 (1)若抛物线方程为，则值为多少； (2)求第二象限的电场强度大小和微粒甲发射时的速度大小； (3)求碰撞后，组合体第二次经过轴时的横坐标。 类型3 带电粒子在磁场和电场中往复运动 6. 如图所示，xOy平面内第一象限有沿方向的匀强电场，第二象限有垂直于纸面向外的匀强磁场，且在处有一无限大平行轴的挡板，质量为、带电量为的粒子从A点，以方向的速度射入磁场，当粒子进入电场时其速度与方向的夹角为60°，然后粒子又射出电场重新进入磁场垂直打在挡板上，不计重力。 (1)求磁感应强度的大小； (2)求电场强度的大小； (3)若粒子从A点以与方向成30°角的速度射入磁场，向下移动挡板的位置，仍然使粒子打在相同位置，求移动后挡板位置的坐标。 7. 如图所示，在第二象限存在垂直纸面向里、磁感应强度大小的匀强磁场，在第三象限存在平行于轴且向上、电场强度大小的匀强电场，一比荷的正粒子从轴上的点垂直轴射入第二象限，最终垂直轴射入第三象限，不计粒子重力，求： (1)粒子的初速度大小； (2)粒子在第三象限离轴的最远距离； (3)粒子从点运动至第3次经过轴的时间； (4)粒子从点运动至第100次经过轴的总路程。 8. 某空间存在着一个变化的电磁场，电场方向向右（即图中由B到C的方向），电场大小变化如E-t图像，磁感应强度的变化如B-t图像，在A点从t=1s（即1s末）开始每隔2s有一相同带电粒子（重力不计）沿AB方向（垂直于BC）以速度v射出，恰都能击中C点，若AC=2BC，且粒子在A、C间运动的时间小于1s，则（　　） A．磁场的方向垂直纸面向里 B．图像中E0和B0的比值为 C．图像中E0和B0的比值为 D．若第一个粒子击中C点的时刻已知为（1+t）s，那么第二个粒子击中C点的时刻是 9. 如图所示，在坐标系的空间内充满匀强电场，电场强度大小为，方向平行于平面，与轴正方向夹角为斜向下；在的空间内充满匀强磁场，方向垂直于平面向外。一质量为，电荷量为的粒子从坐标原点，沿轴正方向以速率射入电场，然后经过轴上A点进入磁场，当再次返回电场时，恰好经过坐标原点。不计粒子重力，求 (1)粒子通过轴上A点时的速度大小； (2)匀强磁场的磁感应强度大小； (3)粒子第次从磁场进入电场时的横坐标。 10. 如图所示，在xOy平面内y轴左侧存在沿x轴正方向的匀强电场，场强大小为E；y轴右侧有垂直于xOy平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m，电量为的粒子从坐标为的M点由静止释放，忽略粒子重力。求： (1)粒子从M点到达O点的过程中电场力冲量I的大小； (2)粒子第2次到达y轴时距O点的距离s； (3)粒子由开始运动到第6次到达y轴的时间t。 类型4 带电粒子在组合场中的动量问题 11. 如图所示，在直角坐标系中，x轴下方存在竖直向上的匀强电场，电场强度为E，在x轴上方，0<y≤L的范围内存在垂直于纸面向外，磁感应强度大小为的匀强磁场区域Ⅰ，在L<y≤2L的范围内存在垂直于纸面向里，磁感应强度大小也为的匀强磁场区域Ⅱ。有一质量为m，电荷量为+q的带电粒子从y轴负半轴上某点P静止释放，恰好不能进入磁场区域Ⅱ中，不计粒子重力。 (1)求释放点P的坐标； (2)若磁场区域Ⅰ的磁感应强度变为，仍从P点静止释放该粒子，求粒子从释放到离开磁场的时间； 12. 某离子控制装置如图所示，以为圆心的圆形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场（未画出），在磁场上方一足够长的荧光屏与y轴垂直放置，荧光屏被离子击中时会发光。点A坐标为，点B坐标为，点D为与荧光屏的交点，右侧有水平向右的匀强电场，电场强度大小为。原点O的离子源能在图示角度范围内持续均匀发射离子，发射离子的质量、带电荷量、速率。在处放置长的挡板，离子均垂直击中挡板，击中挡板后以原速率反弹。不考虑电场边缘效应和离子间的相互作用。取。 (1)求磁场的磁感应强度大小。 (2)求挡板上有离子击中区域的长度。 (3)若离子源单位时间内发射的总离子数为n，求挡板上纵坐标范围所受的冲击力大小。 (4)设，求同一时刻从离子源射出的离子到达荧光屏的最大时间差与h的关系，以及荧光屏上亮线的长度L与h的关系。 13. 如图所示的坐标系中，第一象限存在竖直向下的匀强电场，第二象限存在水平向右的匀强电场，电场强度大小为，在y轴的负半轴上A点静止一质量为、不带电的粒子乙，另一质量为m、带电荷量为的粒子甲由第二象限的S点静止释放，经过一段时间由y轴上的P点进入第一象限，然后粒子甲由x轴上的Q点离开电场。假设粒子甲运动到Q点的瞬间立即撤去电场，同时在整个空间充满垂直纸面向外的匀强磁场，最终粒子甲刚好沿x轴的负方向与粒子乙发生弹性碰撞，同时有的电荷转移到粒子乙上。忽略粒子的重力以及粒子间的静电力。已知S点的坐标为，Q点的坐标为。 (1)求第一象限匀强电场的电场强度大小。 (2)求磁感应强度的大小以及A点坐标。 (3)求碰后两粒子的轨迹半径和从碰撞到两粒子第一次同时经过y轴的时间。 14. 如图，是交替出现的宽为的匀强电场和匀强磁场区域，其中编号1、3区域为电场，场强均为，2、4区域为磁场，场强均为，方向如图所示。质量为，带电量为的正粒子，从1区上边界由静止释放，不计重力。下列说法中正确的是（　　） A．粒子从4区下边界穿出后的动能一定为 B．粒子从4区下边界穿出后的水平速度一定为 C．粒子从4区下边界穿出时的速度与水平方向夹角的余弦为 D．若粒子恰未从第4场区射出，则需满足 15. 如图所示，间距为的两平行板之间有方向水平向右的匀强电场，电场强度为，与右侧板相切的圆筒内（俯视图）有垂直于纸面向里的匀强磁场，两平行板中点M、N与切点处有小孔。现电荷量与质量均相同的两个带正电的粒子与在孔处先后由静止释放，粒子经电场加速后从点沿半径进入匀强磁场中运动，当粒子与筒壁碰3次刚好回到时与后释放的粒子恰好相碰，以后粒子与粒子均在点相碰，所有碰撞均为弹性碰撞，不计重力，不计碰撞时间。求： (1)圆筒的半径； (2)粒子与在孔处先后由静止释放，若仅调整匀强电场的电场强度和极板间距，使粒子在磁场内与筒壁碰5次后与粒子在点相碰且二者以后每次仍在点相碰，则场强和极板间距应改为多少？ 类型5 带电粒子在组合场中的立体空间问题 16. 如图甲所示，足够大的两平行板P、Q水平固定，间距为d，板间有可独立控制的周期性变化的电场和磁场。电场和磁场都取垂直纸面向里为正方向，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示，电场强度随时间的变化规律如图丙所示。t=0时刻，一质量为m、带电量为+q的带电粒子（不计重力），以初速度v0由Q板左端靠近板面的位置水平向右射入两板间。当B0、TB、TE取某些特定值时，可使粒子经一段时间垂直打在P板上（不考虑粒子反弹）。上述m、q、E0、v0、d为已知量。 (1)若只加磁场且磁感应强度，粒子垂直打在P板上，求粒子在板间运动的时间以及水平位移； (2)若同时加电场和磁场，且磁感应强度，粒子垂直打在P板上，求粒子在板间运动的位移大小。 题型二 组合场中运动的实例分析 1．质谱仪(如图) 原理：粒子由静止被加速电场加速，qU＝mv2. 粒子在磁场中做匀速圆周运动，有qvB＝m. 由以上两式可得r＝，m＝，＝. 2．回旋加速器(如图) 原理：交流电的周期和粒子做圆周运动的周期相等，粒子经电场加速，经磁场回旋，由qvB＝，得Ekm＝，可见同种粒子获得的最大动能由磁感应强度B和D形盒半径r决定，与加速电压无关． 类型1 质谱仪的原理及应用 17. 质谱仪是一种测定带电粒子质量和分析同位素的重要工具，它的构造如图所示。粒子源S产生的各种不同正粒子束（速度可视为零），粒子质量为m、带电量为q，粒子重力不计，经电压为U的加速电场加速后，从小孔N垂直于磁感线进入匀强磁场，运转半周后到达照相底片上的M点。则下列说法正确的是（　　） A．粒子从小孔N垂直于磁感线进入匀强磁场的速度大小为 B．若粒子束q相同而m不同，则MN距离越大对应的粒子质量越小 C．进入匀强磁场中的粒子只要MN距离相同，则粒子的比荷一定相等 D．进入匀强磁场中的粒子只要MN距离相同，则粒子的电荷量一定相等 18. 如图所示为某质谱仪的简化示意图，它由加速电场、静电偏转区、真空通道和磁场偏转区组成。现有一α粒子在P点从静止开始经电压恒定的电场加速后进入静电偏转区，然后匀速通过真空通道后进入磁场偏转区，最终打到M点，运动轨迹如图中虚线所示。α粒子在静电偏转区和磁场偏转区中均做匀速圆周运动。下列说法正确的是（    ） A．静电偏转区内的电场是匀强电场 B．磁场偏转区内磁场方向垂直于纸面向外 C．仅将α粒子改为质子，质子仍能在静电偏转区沿虚线运动 D．仅将α粒子改为氘核（H），氘核仍会沿虚线运动到M点 19. 在芯片制造过程，离子注入是芯片制造重要的工序。图a是我国自主研发的离子注入机，图b是简化的原理图。静止于A处的离子，经电压为的电场加速后，沿图中半径为的圆弧虚线通过磁分析器，然后从点垂直进入矩形区域。已知磁分析器截面是四分之一圆环，内部为垂直纸面向里的匀强磁场；，。整个装置处于真空中，离子的质量为、电荷量为，离子重力不计。求： (1)离子进入匀强磁场区域点时的速度大小及磁分析器通道内磁感应强度大小； (2)若区域内只存在方向平行CD的匀强电场，要求离子刚好打在点上，求电场强度的大小； (3)若区域内只存在垂直纸面向里的磁场，要求离子能最终打在边上，求磁场磁感应强度的取值范围； 类型2 回旋加速器的原理和应用 20. 如图所示为一种改进后的回旋加速器示意图。该加速器由靠得很近、间距为d且电势差恒定为U的平行电极板M、N构成，电场被限制在M、N板间，虚线之间无电场。某带电量为q，质量为m的粒子，在板M的狭缝P0处由静止开始经加速电场加速，后进入D形盒中的匀强磁场做匀速圆周运动，每当回到P0处会再次经加速电场加速并进入D形盒，直至达到预期速率后，被特殊装置引出。已知P1、P2、P3分别是粒子在D形盒中做第一、第二、第三次圆周运动时，其运动轨迹与虚线的交点，不计粒子重力。求： (1)粒子到达P2处的速率； (2)图中相邻弧间距离P1P2与P2P3的比值。 21. 回旋加速器是一种利用磁场和高频电场对带电粒子进行加速的装置，主要应用在核医学与放射性同位素生产、癌症治疗、工业和科研等领域。如图所示为回旋加速器的示意图，D形盒置于匀强磁场中，两盒间高频电源的频率为，一质子（电荷量为，质量为）从中心粒子源释放，多次回旋并加速后从边缘射出，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．交变电压的周期应等于粒子在磁场中运动周期的2倍 B．所加匀强磁场的磁感应强度 C．若考虑相对论效应，质子质量会增大，则高频交流电的频率应减小，才能保证粒子动能持续增加 D．仅使高频交流电电压加倍时，粒子每次加速增加的动能加倍，最终获得的动能加倍 22. 回旋加速器的示意图如图所示。它由两个铝制D型金属扁盒组成，两个D形盒正中间开有一条狭缝；两个D型盒处在匀强磁场中并接在高频交变电源上。在盒中心A处有粒子源，它产生并发出带电粒子，经狭缝电压加速后，进入盒中。在磁场力的作用下运动半个圆周后，垂直通过狭缝，再经狭缝电压加速；为保证粒子每次经过狭缝都被加速，设法使交变电压的周期与粒子在狭缝及磁场中运动的周期一致。如此周而复始，速度越来越大，运动半径也越来越大，最后到达D型盒的边缘，以最大速度被导出。已知某粒子所带电荷量为q，质量为m，加速时电极间电压大小恒为U，磁场的磁感应强度为B，D型盒的半径为R，设狭缝很窄，粒子通过狭缝的时间可以忽略不计。设该粒子从粒子源发出时的初速度为零，不计粒子重力和粒子间的相互作用力，忽略相对论效应，求： （1）交变电压的周期T； （2）粒子被加速后获得的最大动能； （3）粒子在回旋加速器中运动的总时间。    1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题21 带电粒子在组合场的运动 题型一 带电粒子在组合场中的运动 1 类型1 带电粒子由磁场进入电场 3 类型2 带电粒子由电场进入磁场 11 类型3 带电粒子在磁场和电场中往复运动 18 类型4 带电粒子在组合场中的动量问题 25 题型二 组合场中运动的实例分析 37 类型1 质谱仪的原理及应用 37 类型2 回旋加速器的原理和应用 41 题型一 带电粒子在组合场中的运动 1.组合场概念： 静电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，静电场、磁场分时间段交替出现。 2．三种场的比较 　　项目 名称　　 力的特点 功和能的特点 重力场 大小：G＝mg 方向：竖直向下 重力做功与路径无关 重力做功改变物体的重力势能 静电场 大小：F＝qE 方向：①正电荷受力方向与场强方向相同 ②负电荷受力方向与场强方向相反 静电力做功与路径无关 W＝qU 静电力做功改变电势能 磁场 洛伦兹力大小：F＝qvB 方向：根据左手定则判定 洛伦兹力不做功，不改变带电粒子的动能 3．带电粒子在复合场中的运动分类 (1)静止或匀速直线运动 当带电粒子在复合场中所受合力为零时，将处于静止状态或做匀速直线运动。 (2)匀速圆周运动 当带电粒子所受的重力与静电力大小相等，方向相反时，带电粒子在洛伦兹力的作用下，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动。 (3)较复杂的曲线运动 当带电粒子所受合力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线。 (4)分阶段运动 带电粒子可能依次通过几个情况不同的复合场区域，其运动情况随区域发生变化，其运动过程由几种不同的运动阶段组成。 4．常见的基本运动形式 电偏转 磁偏转 偏转条件 带电粒子以v⊥E进入匀强电场 带电粒子以v⊥B进入匀强磁场 示意图 受力情况 只受恒定的静电力 只受大小恒定的洛伦兹力 运动情况 类平抛运动 匀速圆周运动 运动轨迹 抛物线 圆弧 物理规律 类平抛运动规律、牛顿第二定律 牛顿第二定律、向心力公式 基本公式 L＝vt，y＝at2 a＝，tanθ＝ qvB＝，r＝ T＝，t＝ sinθ＝ 做功情况 静电力既改变速度方向，也改变速度大小，对电荷做功 洛伦兹力只改变速度方向，不改变速度大小，对电荷永不做功 类型1 带电粒子由磁场进入电场 1． 如图所示，在平面直角坐标系的第一象限内有一半径的圆形区域，圆与轴相切于点，点坐标，，圆形区域内存在磁感应强度大小、方向垂直纸面向里的匀强磁场。点处有一粒子源，有大量质量，电荷量的粒子以相同的速率在平面内沿不同方向从点射入磁场，已知垂直轴方向射入磁场的粒子恰好从点水平射出磁场，点为圆左侧与圆心等高的位置，不考虑粒子间的相互作用，不计粒子的重力。在匀强磁场的左侧存在一有界匀强电场，电场强度，方向沿轴负方向，电场左边界为轴，右边界与轴的距离。求： (1)粒子射入磁场时的速率； (2)射入磁场时速度方向与轴正方向成的粒子在磁场中运动的时间（结果可用表示）； (3)某粒子经磁场与电场的偏转恰好能到达坐标原点，求该粒子从点射入磁场到点离开电场运动的总时间（结果可用表示）。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）垂直轴方向射入磁场的微粒恰好从点水平射出磁场，由几何关系可知，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径 对微粒，根据洛伦兹力提供向心力有 可得 （2）如图所示，射入磁场时速度方向与轴正方向成的微粒从点射出，其轨道圆心记为，则四边形为菱形。 与平行，则有 则粒子在磁场中的运动时间为 可得 （3）由于粒子做匀速圆周运动的半径，所有射入磁场的粒子在磁场右侧出射时都有水平向左的速度，要粒子能够经电场偏转过点，对粒子在电场中的运动分析： 轴方向 轴方向 根据牛顿第二定律有 解得， 该粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，粒子在磁场中的出射点为，过做的垂线，垂足为 由几何关系可知，可得， 由此可知 则粒子在磁场中的运动时间为 粒子在出磁场未进入电场前做匀速直线运动，运动时间 则运动的总时间 2． 空间直角坐标系如图所示，在，z>0的空间内存在沿y轴正方向的匀强磁场（图中未画出）；在，z>0的空间内存在沿x轴正方向的匀强电场（图中未画出）。一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，由空间中A点处以大小为的初速度射出，速度方向平行于平面、与y轴正方向的夹角。时刻，粒子恰好从P点穿过平面射入电场区域，经过P点时沿z轴方向的速度分量为0，时粒子再次穿过平面，不计粒子重力。求： (1)粒子由A运动至P所用的时间； (2)匀强磁场磁感应强度的大小； (3)电场强度的大小及时粒子的位置坐标。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）粒子沿y轴正方向做匀速直线运动，速度大小为 沿y轴正方向有 解得 （2）粒子在平行于的平面内做匀速圆周运动，线速度大小为 运动的轨迹半径为 由洛伦兹力提供向心力有 解得 （3）设粒子在电场中的加速度大小为a，则有 粒子在P点的速度可分解为沿y轴正方向的速度，和沿x轴负方向的速度，沿x轴方向，根据速度公式有 解得 时，粒子在y轴上的坐标为 解得 粒子在x轴上的坐标为 解得 粒子在z轴上的坐标为 故时，粒子的位置坐标为 3． 如图，在xOy直角坐标系中，有一质量m=1.0×10−12kg，带电量q=2.0×10−10C的带正电的粒子（不计重力），垂直x轴从A点以v=200m/s的初速度进入x轴上方的匀强磁场中。磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度B=1T。粒子经磁场偏转后又从B点垂直x轴进入第四象限，第四象限中有平行于x轴负方向的匀强电场E，粒子随后经过y轴负半轴上的C点，此时速度方向与y轴负半轴成60°。已知OB=OA。（结果可用π和根号表示）求: (1)粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径r和周期T； (2)第四象限中场强E的大小； (3)粒子从A点运动到C点所用的时间。 【答案】(1)1m，π×10−2s (2)300V/m (3) 【详解】（1）作出粒子运动轨迹如图所示 粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律有 代入数据解得 粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期 （2）设粒子运动到C点时，沿x轴负向的分速度大小为v1，则有 解得 根据匀变速直线运动的速度位移公式有 因粒子是垂直于磁场边界进入的，所以从该边界射出时，仍垂直于边界，所以有 根据牛顿第二定律有 联立解得 （3）粒子在磁场中偏转了半个周期，则在磁场中运动的时间为 粒子在电场中做类平抛运动，则沿x轴方向有 联立解得 则粒子从A点运动到C点所用的时间为 4． 如图所示，平面直角坐标系的第四象限内，一虚线边界与y轴之间有沿y轴正方向的匀强电场，在半径为R的圆形区域内有垂直于坐标平面向外匀强磁场Ⅰ，圆与x轴相切于P点，在第二、三象限内有垂直于坐标平面向里、磁感应强度大小与第四象限相同的匀强磁场Ⅱ，在第三象限内有一平行于x轴的无限长荧光屏（图中未画出），在P点有一粒子源向第四象限内各方向发射速度大小为v0、质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，其中沿y轴负方向发射的粒子在磁场Ⅰ中偏转后从虚线边界上A点沿x轴负方向进入电场，经电场偏转刚好从坐标原点O射入匀强磁场Ⅱ中，后恰好垂直打在荧光屏上。已知A点和y轴间距为，不计粒子的重力。 (1)求磁感应强度和电场强度的大小； (2)若粒子进入电场后均能从O点射入磁场Ⅱ，求虚线边界需满足的轨迹方程； (3)在满足第（2）问的条件下，求荧光屏上能接收到粒子的区域长度。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）粒子在磁场Ⅰ中的运动，由几何关系知，运动半径 根据洛伦兹力提供向心力有 联立可得 在匀强电场中，粒子做类平抛运动 由类平抛规律得，， 联立可得 （2）经分析知，所有粒子均垂直于y轴进入匀强电场，且均能从O点进入磁场Ⅱ，则电场中类平抛运动，有， 联立可得 （3）设O点的速度为v1，与x轴负方向的夹角为θ，则有， 故为定值即为荧光屏到x轴的距离，即所有粒子进入磁场后做圆周运动的圆心均在荧光屏上，且均垂直打到荧光屏上，由几何知识得，打到屏上与y轴的距离为 经分析，在P点沿x轴正方向进入磁场Ⅰ的粒子，进入磁场Ⅱ时速度最大，半径最大，且与x轴负方向的夹角最大，打在荧光屏上时与y轴的距离最远；在P点沿x轴负方向进入磁场Ⅰ的粒子，打在荧光屏上时与y轴的距离最近，在P点沿x轴正方向进入磁场Ⅰ的粒子，进入电场中运动，有 由动能定理得，，， 代入数据解得 同理，在P点沿x轴负方向进入磁场Ⅰ的粒子，在O点沿x轴负方向进入磁场Ⅱ，速度 打荧光屏上与y轴的距离为 故荧光屏上能接收到粒子的区域长度为 5． 如图所示，半径为R的虚线圆内有垂直纸面向外的匀强磁场，且O1O、O1P分别是虚线圆的竖直半径与水平半径。P点右侧存在一均匀辐向分布的电场，方向沿径向指向圆心O2点，半径为R的圆弧PQ的圆心也在O2点，经过圆弧PQ处的电场强度大小为E，且∠PO2Q=53°，水平虚线QH与竖直虚线QG之间存在水平向左、电场强度大小也为E的匀强电场，M点是此区域内的一固定点，现有一质量为m、带电荷量为+q的粒子（重力不计）从O点沿OO1方向垂直射入磁场，接着运动到P点，然后沿圆弧PQ运动经Q点进入匀强电场，随后恰好运动到M点时速度竖直向下，sin53°=0.8，cos53°=0.6。 (1)求粒子在P点的速度大小以及匀强磁场的磁感应强度B的大小； (2)求粒子从Q点到M点的运动时间以及粒子从O点运动到M点所受的平均作用力大小； (3)N点是匀强电场区域内的一个固定点，且∠GQN=53°，若电场强度大小为E的匀强电场方向改为由Q点指向N点，求Q、M两点之间的电势差。 【答案】(1)， (2)， (3) 【详解】（1）带电粒子在辐向电场中做匀速圆周运动，电场力提供向心力，则有带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有 由几何关系可得粒子在磁场内做圆周运动的半径 联立解得， （2）由几何关系可得粒子在Q点时的速度方向与水平方向的夹角为53°，将速度分别沿水平方向和竖直方向分解，则有 粒子从Q点运动到M点，在竖直方向上以vy=vsin53°向下做匀速直线运动，在水平方向上以vx=vcos53°向右做匀减速直线运动，且到达M点时水平方向的分速度为0；粒子在匀强电场中，由牛顿第二定律得 则有 联立解得 带电粒子从O点运动到Q点经历的时间 粒子从O点到M点，速度变化量为 由动量定理可得 联立解得 （3）粒子从Q点运动到M点，在水平方向上有 在竖直方向上有 若电场强度大小为E的匀强电场方向改为由Q点指向N点，如图所示， QM连线沿电场强度方向的投影距离为QK=d，则Q、M两点的电势差为 由几何关系可得 其中 因此 则 类型2 带电粒子由电场进入磁场 1. 圆心为O、半径为R的圆形区域内存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面的匀强磁场(未画出)，磁场边缘上的A点有一带正电粒子源，半径OA竖直，MN与OA平行，且与圆形边界相切于B点，在MN的右侧有范围足够大且水平向左的匀强电场，电场强度大小为E.当粒子的速度大小为v0且沿AO方向时，粒子刚好从B点离开磁场，不计粒子重力和粒子间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．圆形区域内磁场方向垂直纸面向外 B．粒子的比荷为 C．粒子在磁场中运动的总时间为 D．粒子在电场中运动的总时间为 【答案】ABD 【详解】A．根据题意可知，粒子从A点进入磁场时，受到洛伦兹力的作用，根据左手定则可知，圆形区域内磁场方向垂直纸面向外，故A正确； B．根据题意可知，粒子在磁场中的运动轨迹如图甲所示 根据几何关系可知，粒子做圆周运动的半径为R，粒子在磁场中运动轨迹所对圆心角为，根据洛伦兹力提供向心力则有 解得，故B正确； C．根据题意可知，粒子从B点进入电场之后，先向右做减速运动，再向左做加速运动，再次到达B点时，速度的大小仍为v0，再次进入磁场，运动轨迹如图乙所示． 则粒子在磁场中的运动时间为，故C错误； D．粒子在电场中，根据牛顿第二定律有Eq＝ma 解得 根据v0＝at结合对称性可得，粒子在电场中运动的总时间为，故D正确。 故选ABD。 2. 如图所示的平面直角坐标系xOy中，第二象限内有沿y轴负方向的匀强电场，第四象限内存在垂直纸面向里的有界匀强磁场，磁场边界分别为x轴、MN和y轴，M、N两点的坐标分别为（L，0）、（0，）。一质量为m、电荷量为+q（q>0）的带电粒子从第二象限的A点沿x轴正方向以初速度v0射出，A点坐标为（，），粒子恰好从坐标原点O进入第四象限，之后粒子从MN上的P点（图中未标出）进入磁场，经磁场偏转后从x轴上的Q点（图中未标出）垂直于x轴射出磁场，不计粒子重力。求： (1)匀强电场的电场强度大小E和匀强磁场的磁感应强度大小B。 (2)粒子从A点运动到Q点所用的时间t。 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）粒子的轨迹如图所示，在电场中做类平抛运动 则有， 又 联立解得，， 粒子运动到O点速度与x轴正方向的夹角正切，即 粒子运动到O点的速度 在磁场区域，根据几何关系可得 又洛伦兹力提供向心力，有 解得 （2）由几何关系可知，从O点到磁场之间，粒子运动的位移为L，则运动的时间 在磁场中，粒子运动的周期 则运动的时间 粒子从A点运动到Q点所用的时间 3. 如图所示，纸面内边长为的正方形区域内，有一磁感应强度大小为、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，在的上方有一电场强度大小为、方向垂直向下的匀强电场。现将一质量为、电荷量为的带正电粒子从延长线上的点由静止释放，结果粒子通过点后恰好从点射出磁场。不计粒子所受的重力。 (1)求、两点间的距离； (2)若点可以在的延长线上移动，要使粒子通过点后不会从点左侧（包括点）进入电场区域，求、两点间的距离应满足的条件。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设粒子通过点时的速度大小为，根据动能定理有 根据几何关系可知，粒子在磁场中做圆周运动的半径 洛伦兹力提供粒子做圆周运动所需的向心力，有 联立解得 （2）根据几何关系可知，在粒子通过点后不进入电场区域而直接到达点的情况下，粒子在磁场中做圆周运动的半径 设此种情况下粒子在磁场中做圆周运动的线速度大小为，有 设此种情况下、两点间的距离为，根据动能定理有 解得 因此，要使粒子通过点后不会从点左侧（包括点）进入电场区域，、两点间的距离应满足的条件为。 4. 现代科学仪器中常利用电、磁场控制带电粒子的运动。如图甲所示，纸面内存在上、下宽度均为d的匀强电场与匀强磁场，电场的下边界与磁场的上边界重合，电场强度方向竖直向下，磁感应强度方向垂直纸面向里。现有一质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力）从电场的上边界的P点由静止释放，运动到磁场的下边界的Q点时正好与该边界相切，图中点与P点等高。已知电场强度大小为。 (1)求匀强磁场的磁感应强度大小B； (2)求粒子从释放至回到与P点等高位置所用的时间t； (3)若把电场下移至磁场所在区域，如图乙所示，重新让粒子从上边界M点由静止释放，经过一段时间粒子第一次到达最低点N。求粒子到达N点的速度以及M、N两点间的竖直距离h。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）从P到粒子离开电场过程，有 解得 粒子在磁场中运动的半径 粒子在磁场中运动有 解得 （2）设粒子在电场中加速一次时间为，有 根据运动对称性可知粒子在电场减速一次的时间 粒子在磁场中做圆周运动的圆心角为； 粒子在磁场中运动周期为 粒子在磁场中运动半圈时间为 粒子的运动为周期性运动，故粒子回到与P点等高位置所用的时间 （3）将粒子从M点到N点的过程中某时刻的速度分解为水平向右和竖直向下的分量，分别为、，再把粒子受到的洛伦兹力分别沿水平方向和竖直方向分解，两个洛伦兹力分量分别为， 设粒子在最低点N的速度大小为，M、N两点的竖直距离为h。以向右为正方向，水平方向上由动量定理可得 由动能定理得 解得， 5. 如图所示，直角坐标系第一、四象限存在磁感应强度分别为和的匀强磁场，方向分别为垂直纸面向外和向里。第二象限内有一抛物线，抛物线与轴正半轴之间存在沿轴负方向的匀强电场。某时刻在抛物线上点和轴上点同时发射两个带电球形微粒甲、乙，微粒甲沿轴正方向，微粒乙速度方向与轴正方向夹角，二者恰好在原点发生对心碰撞（即正碰），碰撞后二者合为一体，质量和电量均发生叠加（将其称为“组合体”）。已知甲、乙微粒的质量分别为和，电量分别为和点的横坐标为点的纵坐标为，忽略微粒重力和微粒间的相互作用。 (1)若抛物线方程为，则值为多少； (2)求第二象限的电场强度大小和微粒甲发射时的速度大小； (3)求碰撞后，组合体第二次经过轴时的横坐标。 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）由乙粒子在磁场中的运动可知，到达原点时，速度方向与轴成，甲、乙完成对心碰撞，则甲粒子也必然与轴成 由可知，点的纵坐标为 代入 可解得 （2）对甲粒子有，， 乙微粒运动时间， 且甲乙粒子运动时间相等，联立以上各式可解得， （3）到点时甲的速度 运动轨迹如图所示 由几何关系知，微粒乙在第四象限运动轨迹半径，由 可得乙的速度 由动量守恒， 解得 组合体电量为，质量为，由， 第二次到达轴时的坐标 联立解得 类型3 带电粒子在磁场和电场中往复运动 6. 如图所示，xOy平面内第一象限有沿方向的匀强电场，第二象限有垂直于纸面向外的匀强磁场，且在处有一无限大平行轴的挡板，质量为、带电量为的粒子从A点，以方向的速度射入磁场，当粒子进入电场时其速度与方向的夹角为60°，然后粒子又射出电场重新进入磁场垂直打在挡板上，不计重力。 (1)求磁感应强度的大小； (2)求电场强度的大小； (3)若粒子从A点以与方向成30°角的速度射入磁场，向下移动挡板的位置，仍然使粒子打在相同位置，求移动后挡板位置的坐标。 【答案】(1) (2) (3)见解析 【详解】（1）根据题意，作出粒子运动轨迹如图所示，由几何关系有   解得 由牛顿第二定律有   解得 （2）由对称性可知，粒子射出电场时，速度大小仍为，方向与轴的夹角为60°，由几何关系可得粒子在电场中沿方向的距离 则粒子在电场中的运动时间为 沿电场方向上，由牛顿第二定律有 由运动学公式有 解得。 （3）粒子的运动轨迹如图所示，由几何关系可知，挡板移动后的位置坐标为下列值时，粒子会打在相同位置上 7. 如图所示，在第二象限存在垂直纸面向里、磁感应强度大小的匀强磁场，在第三象限存在平行于轴且向上、电场强度大小的匀强电场，一比荷的正粒子从轴上的点垂直轴射入第二象限，最终垂直轴射入第三象限，不计粒子重力，求： (1)粒子的初速度大小； (2)粒子在第三象限离轴的最远距离； (3)粒子从点运动至第3次经过轴的时间； (4)粒子从点运动至第100次经过轴的总路程。 【答案】(1)4m/s (2)0.4m (3) (4) 【详解】（1）由题意可知粒子在磁场中运动的轨道半径为r=2m，根据 解得 （2）粒子平行电场方向进入电场做匀减速运动，则当速度减为零时距离x轴最远，则最远距离 解得L=0.4m （3）粒子在磁场中运动的周期 从进入电场到到达最远处的时间 粒子从点运动至第3次经过轴的时间 （4）粒子从点运动至第100次经过轴的总路程 8. 某空间存在着一个变化的电磁场，电场方向向右（即图中由B到C的方向），电场大小变化如E-t图像，磁感应强度的变化如B-t图像，在A点从t=1s（即1s末）开始每隔2s有一相同带电粒子（重力不计）沿AB方向（垂直于BC）以速度v射出，恰都能击中C点，若AC=2BC，且粒子在A、C间运动的时间小于1s，则（　　） A．磁场的方向垂直纸面向里 B．图像中E0和B0的比值为 C．图像中E0和B0的比值为 D．若第一个粒子击中C点的时刻已知为（1+t）s，那么第二个粒子击中C点的时刻是 【答案】BD 【详解】A．根据题意可知，粒子在电场中的偏转方向与电场方向相同，故粒子带正电，由左手定则可知，磁场方向垂直纸面向外，故A错误； BC．在至间，第一个粒子从A到C做匀速圆周运动，以O为圆心，设，AC=2BC=2d， 由几何知识可得，粒子圆周运动的半径 粒子在磁场中运动时，洛伦兹力提供向心力，则有 解得 粒子在电场中运动时，粒子做类平抛运动，沿AC方向则有 沿BC方向则有 联立解得 则，故B正确，C错误； D．根据上述分析可知，粒子在磁场中运动的时间 由题可知 第二个粒子在电场中运动时间 联立可知，第二个粒子击中C点的时刻为，故D正确。 故选BD。 9. 如图所示，在坐标系的空间内充满匀强电场，电场强度大小为，方向平行于平面，与轴正方向夹角为斜向下；在的空间内充满匀强磁场，方向垂直于平面向外。一质量为，电荷量为的粒子从坐标原点，沿轴正方向以速率射入电场，然后经过轴上A点进入磁场，当再次返回电场时，恰好经过坐标原点。不计粒子重力，求 (1)粒子通过轴上A点时的速度大小； (2)匀强磁场的磁感应强度大小； (3)粒子第次从磁场进入电场时的横坐标。 【答案】(1) (2) (3)（n=1，2，3…） 【详解】（1）作出粒子运动轨迹如图所示 在电场中，粒子在轴方向上做匀加速直线运动，则有， 粒子在y轴方向上做匀变速直线运动，则有，， 粒子在A点速度 解得 （2）OA间距离 令A点速度与轴正方向夹角为，则有 令粒子在磁场中运动的半径为，由几何关系有 根据牛顿第二定律有 解得 （3）根据圆周运动的对称性，粒子每次进入电场时的竖直速度均为，每次在电场中的运动时间均为t，粒子下一次进入电场时轴方向上的速度等于上一次离开电场时轴方向上的速度，所以，粒子在电场中的运动可看作一段连续的匀变速直线运动，则有 粒子每次进入磁场时轴方向的速度为，出磁场时轴方向的速度为，每一次在磁场中运动的时间为，沿轴方向，根据动量定理有 每一次在磁场中运动沿轴的位移为 粒子第次从磁场进入电场时的坐标 解得（n=1，2，3…） 10. 如图所示，在xOy平面内y轴左侧存在沿x轴正方向的匀强电场，场强大小为E；y轴右侧有垂直于xOy平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m，电量为的粒子从坐标为的M点由静止释放，忽略粒子重力。求： (1)粒子从M点到达O点的过程中电场力冲量I的大小； (2)粒子第2次到达y轴时距O点的距离s； (3)粒子由开始运动到第6次到达y轴的时间t。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在电场中做匀加速运动，设到达点时间为，有 根据牛顿第二定律，有 解得 （2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，有 又， 联立解得 （3）设粒子在磁场中经历半圆的时间为，有 解得第6次到达y轴的时间 类型4 带电粒子在组合场中的动量问题 11. 如图所示，在直角坐标系中，x轴下方存在竖直向上的匀强电场，电场强度为E，在x轴上方，0<y≤L的范围内存在垂直于纸面向外，磁感应强度大小为的匀强磁场区域Ⅰ，在L<y≤2L的范围内存在垂直于纸面向里，磁感应强度大小也为的匀强磁场区域Ⅱ。有一质量为m，电荷量为+q的带电粒子从y轴负半轴上某点P静止释放，恰好不能进入磁场区域Ⅱ中，不计粒子重力。 (1)求释放点P的坐标； (2)若磁场区域Ⅰ的磁感应强度变为，仍从P点静止释放该粒子，求粒子从释放到离开磁场的时间； 【答案】(1)（0，） (2) 【详解】（1）粒子在电场中运动的过程中，由动能定理得 粒子在磁场区域Ⅰ中运动，恰不进入磁场区域Ⅱ，由几何关系得 由牛顿第二定律得 联立解得 故P点的坐标为（0，）。 （2）粒子在电场中，由动量定理得 解得 粒子在磁场区域Ⅰ中，由牛顿第二定律得 解得 由几何关系得 解得 粒子在磁场区域Ⅰ中做圆周运动的周期 粒子在磁场区域Ⅰ中运动的时间 在磁场区域Ⅱ中，粒子做圆周运动的半径为r，设粒子射出磁场区域Ⅱ时的半径与上边界的夹角为α，根据几何关系得 解得 粒子在磁场区域Ⅱ中做圆周运动的周期 在磁场区域Ⅱ中运动时间 总时间 解得 12. 某离子控制装置如图所示，以为圆心的圆形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场（未画出），在磁场上方一足够长的荧光屏与y轴垂直放置，荧光屏被离子击中时会发光。点A坐标为，点B坐标为，点D为与荧光屏的交点，右侧有水平向右的匀强电场，电场强度大小为。原点O的离子源能在图示角度范围内持续均匀发射离子，发射离子的质量、带电荷量、速率。在处放置长的挡板，离子均垂直击中挡板，击中挡板后以原速率反弹。不考虑电场边缘效应和离子间的相互作用。取。 (1)求磁场的磁感应强度大小。 (2)求挡板上有离子击中区域的长度。 (3)若离子源单位时间内发射的总离子数为n，求挡板上纵坐标范围所受的冲击力大小。 (4)设，求同一时刻从离子源射出的离子到达荧光屏的最大时间差与h的关系，以及荧光屏上亮线的长度L与h的关系。 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）根据题意，结合几何关系可知，轨迹圆圆心、入射点、磁场圆圆心与出射点构成的四边形为棱形，即离子在磁场运动的轨迹半径等于磁场区域的半径离子，在磁场中运动有 解得 （2）作出离子打到挡板最高位置C与最低位置H的图像，如图甲所示 由题意可得，打到C点的纵坐标 打到H点的纵坐标 则挡板上有离子击中区域的长度 （3）设离子发射速度方向与x轴正方向夹角，与离子击中挡板纵坐标位置的关系为 当时，解得 当时，解得 则单位时间内打到挡板上纵坐标范围的离子数为 由动量定理有 解得 （4）作出离子从发射到最终离开磁场区域过程的轨迹，如图乙所示 可知离子在磁场区域运动轨迹所对圆心角之和均为180°，离子运动的时间 结合的取值范围可知，当时，t的值最小，则有 当时，t的值最大，则有 则有 作出离子部分轨迹，如图丙所示 根据几何关系有 当时有 当时，离子打到荧光屏最左侧的点到y轴的距离 离子在电场中运动的最长时间 离子在电场中的加速度 离子打到荧光屏最右侧的点到y轴的距离 解得 13. 如图所示的坐标系中，第一象限存在竖直向下的匀强电场，第二象限存在水平向右的匀强电场，电场强度大小为，在y轴的负半轴上A点静止一质量为、不带电的粒子乙，另一质量为m、带电荷量为的粒子甲由第二象限的S点静止释放，经过一段时间由y轴上的P点进入第一象限，然后粒子甲由x轴上的Q点离开电场。假设粒子甲运动到Q点的瞬间立即撤去电场，同时在整个空间充满垂直纸面向外的匀强磁场，最终粒子甲刚好沿x轴的负方向与粒子乙发生弹性碰撞，同时有的电荷转移到粒子乙上。忽略粒子的重力以及粒子间的静电力。已知S点的坐标为，Q点的坐标为。 (1)求第一象限匀强电场的电场强度大小。 (2)求磁感应强度的大小以及A点坐标。 (3)求碰后两粒子的轨迹半径和从碰撞到两粒子第一次同时经过y轴的时间。 【答案】(1) (2)， (3)，， 【详解】（1）粒子甲由S点到P点过程，由动能定理有 解得 粒子甲由P到Q的过程，水平方向做匀速直线运动，有 竖直方向做匀加速直线运动，由牛顿第二定律得 由运动学公式得 解得 （2）粒子甲在Q点时竖直方向的分速度为 设粒子甲速度方向与x轴正方向的夹角为，有 解得 粒子甲在磁场中做匀速圆周运动的速度大小为 由题意作出粒子甲的运动轨迹，如图所示 粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有 又由几何关系得 解得 由几何关系可知A点到原点的距离为 解得 故A点的坐标为 （3）设粒子甲、乙碰后的速度大小分别为、，根据碰撞过程动量守恒、机械能守恒，有， 解得， 碰后两粒子在磁场中做匀速圆周运动，有， 由题意可知， 解得， 由可知粒子甲、乙做圆周运动的周期分别为， 设从两粒子碰撞到第一次同时经过y轴的时间为，有， n和m均为正整数，解得 14. 如图，是交替出现的宽为的匀强电场和匀强磁场区域，其中编号1、3区域为电场，场强均为，2、4区域为磁场，场强均为，方向如图所示。质量为，带电量为的正粒子，从1区上边界由静止释放，不计重力。下列说法中正确的是（　　） A．粒子从4区下边界穿出后的动能一定为 B．粒子从4区下边界穿出后的水平速度一定为 C．粒子从4区下边界穿出时的速度与水平方向夹角的余弦为 D．若粒子恰未从第4场区射出，则需满足 【答案】A 【详解】A．由于洛伦兹力总是不做功，粒子从静止释放到从4区下边界穿出，根据动能定理可得 可知粒子从4区下边界穿出后的动能一定为，粒子从4区下边界穿出后的速度大小为 故A正确； BCD．由于电场力处于竖直方向，不影响水平方向的速度，则粒子从静止释放到从4区下边界穿出，水平方向根据动量定理可得 其中 联立可得粒子从4区下边界穿出后的水平速度为 则粒子从4区下边界穿出时的速度与水平方向夹角的余弦为 若粒子恰未从第4场区射出，粒子达到4区下边界的竖直分速度刚好为0，则有 解得 故BCD错误。 故选A。 15. 如图所示，间距为的两平行板之间有方向水平向右的匀强电场，电场强度为，与右侧板相切的圆筒内（俯视图）有垂直于纸面向里的匀强磁场，两平行板中点M、N与切点处有小孔。现电荷量与质量均相同的两个带正电的粒子与在孔处先后由静止释放，粒子经电场加速后从点沿半径进入匀强磁场中运动，当粒子与筒壁碰3次刚好回到时与后释放的粒子恰好相碰，以后粒子与粒子均在点相碰，所有碰撞均为弹性碰撞，不计重力，不计碰撞时间。求： (1)圆筒的半径； (2)粒子与在孔处先后由静止释放，若仅调整匀强电场的电场强度和极板间距，使粒子在磁场内与筒壁碰5次后与粒子在点相碰且二者以后每次仍在点相碰，则场强和极板间距应改为多少？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）两粒子发生弹性碰撞，则有， 解得， 可知，撞后二者交换速度，设粒子在点速率均为，两粒子每次都在点相碰，则粒子在电场中， 在磁场中，作出粒子运动轨迹如图所示 由几何关系可知，粒子的轨迹圆半径等于磁场圆半径 在磁场中运动时间 两粒子每次都在点相碰，则有 解得 （2）若粒子与圆筒碰5次，其轨迹如图所示 根据几何关系有 则粒子圆周运动的轨道半径 粒子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有， 解得， 结合上述有， 粒子在磁场中圆周运动的周期 结合上述解得 根据粒子运动轨迹对应圆心角可知， 粒子在电场中运动过程，根据动量定理有， 解得 粒子在电场中运动过程，根据动能定理有， 解得 类型5 带电粒子在组合场中的立体空间问题 16. 如图甲所示，足够大的两平行板P、Q水平固定，间距为d，板间有可独立控制的周期性变化的电场和磁场。电场和磁场都取垂直纸面向里为正方向，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示，电场强度随时间的变化规律如图丙所示。t=0时刻，一质量为m、带电量为+q的带电粒子（不计重力），以初速度v0由Q板左端靠近板面的位置水平向右射入两板间。当B0、TB、TE取某些特定值时，可使粒子经一段时间垂直打在P板上（不考虑粒子反弹）。上述m、q、E0、v0、d为已知量。 (1)若只加磁场且磁感应强度，粒子垂直打在P板上，求粒子在板间运动的时间以及水平位移； (2)若同时加电场和磁场，且磁感应强度，粒子垂直打在P板上，求粒子在板间运动的位移大小。 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）若只加磁场且磁感应强度，根据洛伦兹力提供向心力 解得 粒子在磁场中的轨迹如图 由图可知 解得 水平距离 圆周运动的周期 运动时间 （2）若同时加电场和磁场，且磁感应强度，根据洛伦兹力提供向心力 解得 粒子在磁场中的轨迹如图 圆周运动的周期 粒子在一个电场周期内，沿电场方向的速度变化为零，要使粒子垂直打到P板上，有 解得 粒子沿电场方向的位移大小 在磁场中的位移 粒子在板间运动的位移大小 题型二 组合场中运动的实例分析 1．质谱仪(如图) 原理：粒子由静止被加速电场加速，qU＝mv2. 粒子在磁场中做匀速圆周运动，有qvB＝m. 由以上两式可得r＝，m＝，＝. 2．回旋加速器(如图) 原理：交流电的周期和粒子做圆周运动的周期相等，粒子经电场加速，经磁场回旋，由qvB＝，得Ekm＝，可见同种粒子获得的最大动能由磁感应强度B和D形盒半径r决定，与加速电压无关． 类型1 质谱仪的原理及应用 17. 质谱仪是一种测定带电粒子质量和分析同位素的重要工具，它的构造如图所示。粒子源S产生的各种不同正粒子束（速度可视为零），粒子质量为m、带电量为q，粒子重力不计，经电压为U的加速电场加速后，从小孔N垂直于磁感线进入匀强磁场，运转半周后到达照相底片上的M点。则下列说法正确的是（　　） A．粒子从小孔N垂直于磁感线进入匀强磁场的速度大小为 B．若粒子束q相同而m不同，则MN距离越大对应的粒子质量越小 C．进入匀强磁场中的粒子只要MN距离相同，则粒子的比荷一定相等 D．进入匀强磁场中的粒子只要MN距离相同，则粒子的电荷量一定相等 【答案】C 【详解】A．粒子在加速电场中做加速运动，由动能定理得 解得 故A错误； B．粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则有 可得 所以 若粒子束q相同而m不同，MN距离越大对应的粒子质量越大，故B错误； CD．由 可知只要MN距离相同，对应的粒子的比荷一定相等，粒子质量和电荷量不一定相等，故C正确，D错误。 故选C。 18. 如图所示为某质谱仪的简化示意图，它由加速电场、静电偏转区、真空通道和磁场偏转区组成。现有一α粒子在P点从静止开始经电压恒定的电场加速后进入静电偏转区，然后匀速通过真空通道后进入磁场偏转区，最终打到M点，运动轨迹如图中虚线所示。α粒子在静电偏转区和磁场偏转区中均做匀速圆周运动。下列说法正确的是（    ） A．静电偏转区内的电场是匀强电场 B．磁场偏转区内磁场方向垂直于纸面向外 C．仅将α粒子改为质子，质子仍能在静电偏转区沿虚线运动 D．仅将α粒子改为氘核（H），氘核仍会沿虚线运动到M点 【答案】BCD 【详解】A．α粒子在静电偏转区做匀速圆周运动，电场力提供向心力，方向不断变化，说明电场方向也不断变化，则电场不是匀强电场，故A错误； B．α粒子在磁场偏转区受到的洛伦兹力提供向心力根据左手定则可判断磁场方向垂直纸面向外，故B正确； C．在从加速电场射出后，满足 在静电偏转区域，由 则 则质子也能在静电偏转区域沿虚线做匀速圆周运动，与电荷和质量无关，故C正确； D．在从加速电场射出后，满足 α粒子和氘核比荷相同，则两者射出后速度相同，在静电偏转区域，同样满足，做匀速圆周运动；在磁场区域，也满足，则氘核会沿虚线运动到M点，故D正确。 故选BCD。 19. 在芯片制造过程，离子注入是芯片制造重要的工序。图a是我国自主研发的离子注入机，图b是简化的原理图。静止于A处的离子，经电压为的电场加速后，沿图中半径为的圆弧虚线通过磁分析器，然后从点垂直进入矩形区域。已知磁分析器截面是四分之一圆环，内部为垂直纸面向里的匀强磁场；，。整个装置处于真空中，离子的质量为、电荷量为，离子重力不计。求： (1)离子进入匀强磁场区域点时的速度大小及磁分析器通道内磁感应强度大小； (2)若区域内只存在方向平行CD的匀强电场，要求离子刚好打在点上，求电场强度的大小； (3)若区域内只存在垂直纸面向里的磁场，要求离子能最终打在边上，求磁场磁感应强度的取值范围； 【答案】(1)； (2) (3) 【详解】（1）离子经过加速电场，由动能定理可知 解得 离子在磁分析器中，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律，有 解得 （2）离子在水平方向做匀加速运动 竖直方向做匀速运动 解得 （3）离子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律，有 解得 离子能打在上，则既没有从边出去，也没有从边上出去，则离子运动径迹的边界如图所示 由几何关系知，离子能打在上，必须满足 则有 类型2 回旋加速器的原理和应用 20. 如图所示为一种改进后的回旋加速器示意图。该加速器由靠得很近、间距为d且电势差恒定为U的平行电极板M、N构成，电场被限制在M、N板间，虚线之间无电场。某带电量为q，质量为m的粒子，在板M的狭缝P0处由静止开始经加速电场加速，后进入D形盒中的匀强磁场做匀速圆周运动，每当回到P0处会再次经加速电场加速并进入D形盒，直至达到预期速率后，被特殊装置引出。已知P1、P2、P3分别是粒子在D形盒中做第一、第二、第三次圆周运动时，其运动轨迹与虚线的交点，不计粒子重力。求： (1)粒子到达P2处的速率； (2)图中相邻弧间距离P1P2与P2P3的比值。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）粒子每次从极板M向N运动时被电场加速，进入磁场则做匀速圆周运动，速率不变，根据分析，可知粒子到达P2处时共被电场加速2次，对粒子由静止开始到到达P2的过程应用动能定理可得 ，可解得粒子到达P2处时的速率 （2）根据题意，对粒子经过电场n次加速的过程应用由动能定理 ，可获得速率 ；粒子以此速率进入匀强磁场后，洛伦兹力提供向心力，做第n次匀速圆周运动，有 ，可解得粒子在磁场中第n次做匀速圆周运动的轨道半径 ，则相邻弧间距离P1P2与P2P3的比值 21. 回旋加速器是一种利用磁场和高频电场对带电粒子进行加速的装置，主要应用在核医学与放射性同位素生产、癌症治疗、工业和科研等领域。如图所示为回旋加速器的示意图，D形盒置于匀强磁场中，两盒间高频电源的频率为，一质子（电荷量为，质量为）从中心粒子源释放，多次回旋并加速后从边缘射出，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．交变电压的周期应等于粒子在磁场中运动周期的2倍 B．所加匀强磁场的磁感应强度 C．若考虑相对论效应，质子质量会增大，则高频交流电的频率应减小，才能保证粒子动能持续增加 D．仅使高频交流电电压加倍时，粒子每次加速增加的动能加倍，最终获得的动能加倍 【答案】BC 【详解】A．粒子在磁场中运动一周加速两次，则交变电压的周期应等于粒子在磁场中运动周期，故A错误； B．二者周期相等，则频率也相等，由周期公式，可得磁感应强度 故B正确； C．由周期公式，质量增大，则周期增大，频率减小，要保证粒子动能持续增加，则高频交流电的频率应减小，故C正确； D．由公式，得 当取最大半径时，粒子有最大速度 则最终的动能为 可知最终获得的动能与加速电压无关，根据 可知仅使高频交流电电压加倍时，粒子每次加速增加的动能加倍，总的加速次数就减少，最终动能其实不变，故D错误。 故选BC。 22. 回旋加速器的示意图如图所示。它由两个铝制D型金属扁盒组成，两个D形盒正中间开有一条狭缝；两个D型盒处在匀强磁场中并接在高频交变电源上。在盒中心A处有粒子源，它产生并发出带电粒子，经狭缝电压加速后，进入盒中。在磁场力的作用下运动半个圆周后，垂直通过狭缝，再经狭缝电压加速；为保证粒子每次经过狭缝都被加速，设法使交变电压的周期与粒子在狭缝及磁场中运动的周期一致。如此周而复始，速度越来越大，运动半径也越来越大，最后到达D型盒的边缘，以最大速度被导出。已知某粒子所带电荷量为q，质量为m，加速时电极间电压大小恒为U，磁场的磁感应强度为B，D型盒的半径为R，设狭缝很窄，粒子通过狭缝的时间可以忽略不计。设该粒子从粒子源发出时的初速度为零，不计粒子重力和粒子间的相互作用力，忽略相对论效应，求： （1）交变电压的周期T； （2）粒子被加速后获得的最大动能； （3）粒子在回旋加速器中运动的总时间。    【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）设交变电压的周期为T，为保证粒子每次经过狭缝都被加速，带电粒子在磁场中运动一周的时间应等于交变电压的周期（在狭缝的时间极短忽略不计），则 联立以上两式，解得交变电压的周期为 （2）粒子在D形盒内做圆周运动，轨道半径达到最大时被引出，具有最大动能。设此时的速度为v，有 解得 设粒子的最大动能为，则 （3）粒子每被电场加速1次，由动能定理得 设加速的总次数为n，则有 粒子在D型盒磁场内运动的时间 联立解得粒子在回旋加速器中运动的总时间为 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $