第七章 第四节双曲线-【手影物理】GeoGebra学习应用教程（基础篇）

第七章 圆锥曲线 第四节 双曲线 双曲线（Hyperbola）定义描述：平面内到两个定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数（）的点的轨迹叫做双曲线。双曲线的标准方程为-=1（其中a,b>0），双曲线由两个分支组成，且关于x轴、y轴对称，双曲线的焦点到曲线上任意一点的距离之差的绝对值为定值2a（a为双曲线的顶点到中心的距离）。 根据双曲线的定义构建双曲线： 1.构造A(-4,0)点、B(4,0);滑动条参数r（0—10，r为双曲线上动点到A点的距离）；滑动条参数d（常数）. 2. 动点到点B的距离r-d; 3. 以A点为圆心，r为半径作圆，再以B点为圆心r-d为半径作圆； 4. 构造两圆交点（两个交点）； 5. 轨迹工具作出两点的轨迹（控制的滑动条r）。（图1） 图1 图2 图1为一支双曲线，另一支可用“轴对称”工具或指令实现。 一、双曲线构造 1.工具构造 工具提示：选择两个焦点和双曲线上一点，将鼠标放到工具栏的第七列，点击下拉箭头，找到“双曲线”工具。绘制双曲线时，需要选定两个点作为焦点，再选择双曲线上一点。例如，先点击两个点A、B作为焦点，再点击点C作为双曲线上一点，即可绘制出以A、B为焦点，在双曲线上点C的双曲线（图2）。 2.指令构造：中文格式：“双曲线(焦点1,焦点2,半长轴长)”或“双曲线(焦点1,焦点2,半长轴线段)”。例如“双曲线((4,0),(-4,0),3)”，表示焦点为(4,0)和(-4,0)，半长轴长为3的双曲线。 英文格式：“Hyperbola(<焦点1>,<焦点2>,<半长轴长>)”或“Hyperbola(<焦点1>,<焦点2>,<半长轴线段>)”。如“Hyperbola((4,0),(-4,0),3)”，功能与中文格式相同。 二、应用示例 1. 双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，其反射光线的反向延长线会汇聚到另一个焦点。一个双曲线形反射镜，a=2;c=4（图3）;在图A点有一个点光源，部分光射向双曲线反射镜凸面，作出入射光线和反射光线示意图。 图3 图4 （1） 构造双曲线eq1: x^2/4-y^2/12=1; （2） A点射向双曲线镜射线列 语句：l1序列(射线(A, 向量((1; k°))), k, 1, 40, 10)； （3） 构造l1与双曲线一支的交点列，语句：l2=映射(交点(eq1, l, 2), l, l1)； （4） 构造点B与l2的线段列，语句：l3=映射(线段(B, P), P, l2)； （5） 构造A点与l2的向量列，l4=映射(向量(A, P), P, l2); （6） 构造径双曲线镜反射的射线列，语句：映射(射线(P, 向量(B, P)), P, l2)； （7） 用轨迹构造双曲线镜，隐藏l1、l2； （8） 设置l3线段列为虚线生成（图4）；用“轴对称”实现全景图。 图5 图6 反比例函数型双曲线 双曲线的标准方程和 xy = k（k ≠0）形式都是双曲线（图6），xy = k（等轴双曲线） 当 k ≠ 0 时，方程 xy = k 表示双曲线，且是等轴双曲线（实轴和虚轴长度相等）。 特点：对称性：关于原点对称，但不关于x轴或y轴对称（例如点 (x,y) 在曲线上时，(-x,-y) 也在，但 (x,-y) 不在）。 渐近线：固定为x轴（y = 0）和y轴（x = 0）。 位置：根据 k 的符号，双曲线的两支分布在不同象限： k > 0 时，两支在第一、三象限； k < 0 时，两支在第二、四象限。 189 学科网（北京）股份有限公司 $