第四章 第四节函数与图像的初步-【手影物理】GeoGebra学习应用教程（基础篇）

第四章 线的关系 第四节 函数与图像的初步 1.概述 函数描述变量间的对应关系，图像是函数的直观呈现。二者紧密相连，借助图像能轻松理解函数性质，通过函数表达式可精准绘制图像。函数的概念，有两个变量x和y，若x每取一个确定值，y都有唯一确定值与之对应，就说y是x的函数，x是自变量，y是因变量。 2.函数的表示 在GGB中，“f(x)=”和“y=”都是常用的函数表示方式，但并不局限于此：“y=”形式：如“y=x²+3x”，直接定义了因变量y与自变量x的关系，输入后会直接生成函数图像，这是最直观的方式，适合快速绘制图像。“f(x)=”形式：如“f(x)=sinx”，将函数命名为f，后续可通过“f(2)”“f(a)”等方式调用函数值（a为任意变量或数值），方便进行函数运算或动态演示（例如用滑动条控制自变量时，直接调用f(x)计算结果）。此外，GGB还支持其他形式的函数表示，例如：多变量函数：“g(x,y)=x+y”（二元函数，需在3D视图中显示）； 极坐标函数：“r(θ)=2θ”（需切换到极坐标模式，θ为自变量）； 参数方程：“x(t)=cost，y(t)=sint”（以t为参数的函数，用于绘制曲线）。 这些形式均符合函数的定义，只是因变量和自变量的符号或维度不同，GGB会根据表达式自动识别并处理。 3.常用函数构建与图像 （1）一次函数 表达式：y=kx+b（k（斜率），b（截距）为常数（k、b在ggb为可变参数）。 构建方法：在GGB的输入框中直接输入“y=kx+b”，并将k和b替换为具体的数值，例如“y=2x+3”，在指令输入栏输入2x+3，在代数区记录和绘图区图像如（图1）。 图1 图2 图像特点：一次函数的图像是一条直线。当k>0时，直线从左到右上升，函数单调递增；当k<0时，直线从左到右下降，函数单调递减。b为直线与y轴交点的纵坐标，即当x=0时，y=b。 （2）二次函数 表达式：y=ax²+bx+c（a，b，c为参数，a≠0）。 构建方法：在GGB输入框中输入“y=ax²+bx+c”，替换a、b、c为具体数值，如“y=x²-2x+1”。在代数区记录和绘图区图像如（图2）。 图像特点：二次函数的图像是一条抛物线。当a>0时，抛物线开口向上，函数有最小值；当a<0时，抛物线开口向下，函数有最大值。 （3）反比例函数 表达式：y=k/x（k为常数，k≠0）。 构建方法：在GGB中输入“f(x)=k/x”，将k换成具体数值，例如“f(x)=6/x”，图像如(图3)。 图3 图4 图像特点：反比例函数的图像是双曲线。当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y随x的增大而减小；当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y随x的增大而增大。由于x不能为0，y也不能为0，所以双曲线与坐标轴没有交点。 （4）指数函数 表达式：y=ce^x（e是自然常数，约等于2.71828）。 构建方法：在GGB输入框中直接输入“ce^x”或者“f(x)=ce^x”。GGB中会自动识别“e”为自然常数，无需额外设置。如h(x)=2e^x,图像如（图4）。 图像特点：ce^x函数的图像是一条单调递增的曲线。当x=0时，y=c，即图像过点(0,c)；当x趋向于负无穷时，函数值趋向于0，图像逐渐接近x轴但不相交；当x趋向于正无穷时，函数值迅速增大。 （5）三角函数 正弦函数：p(x)=sinx。 构建方法：指令输入框输入“sinx”,生成图像如（图5）。 图像特点：正弦函数的图像是一条周期为2π的正弦曲线，它关于原点对称，是奇函数，值域为[-1,1]。 （6）余弦函数：y=cosx。 构建方法：输入“cosx”即可,生成图像如（图6）。 图像特点：余弦函数的图像是一条周期为2π的余弦曲线，它关于y轴对称，是偶函数，值域为[-1,1]。 图5 图6 4.练习与思考 （1）在GGB中分别构建一次函数y=3x-2、二次函数y=-2x²+4x-1、反比例函数y=-4/x，并观察它们的图像。 （2）用正弦函数绘制通电螺线管。 已知：f(x)=sin(2x)*(0.5≤x<π-0.5)；其函数图像如（图7）。 (0.5≤x<π-0.5)为逻辑表达式，满足条件为1，否则为0。 图7 图8 图像可作为1匝线圈，根据序列指令做出5匝线圈的螺线管。参考作图如（图8），有兴趣的小伙伴可先行学习。 （3）隐性函数（Implicit Function）是相对于显性函数而言的一种函数表达形式，隐性函数则是指变量 x 和 y 之间的关系通过一个方程 F(x,y)=0 来表示，而非直接将 y 表示为 x 的函数或 x 表示为 y 的函数。如函数x y + sin(x y) = 1 ,在指令栏输入此函数，观察它的图像。 189 学科网（北京）股份有限公司 $