第三章 第四节向量-【手影物理】GeoGebra学习应用教程（基础篇）

第三章 线类对象 第四节 向量 基本概念：向量(Vector)是数学和物理学中常见的概念，指具有大小和方向的量。向量的运算（如加法、减法、数乘等）也遵循特定规则，这些规则在物理、工程、计算机图形学等领域有广泛应用。 一、向量的构造 1.工具方法：打开线类工具箱—选定向量—看语句提示：选定向量的起点、终点； 示例1：绘图区已有A、B、C三点，选择“向量”，依次点击点A和点B，做出以A为起点，B为终点的向量，标签u；依次点击点A和点C，也可以做出以A为起点，C为终点的向量,标签为v如（图1）。 图1 图2 2.指令方法： 中文：向量(<起始点>,<终止点>)；英文：Vector(<StartPoint>,<EndPoint>)。 在指令输入框输入向量(D,E),得到由点D指向E点的向量，标签w如（图2）。 图3 图4 观察代数区可以看出：向量由两个数值量，为向量的x坐标和y坐标投影。如向量w的坐标值分别为（3.24,2.18），提取两个坐标值x(w),y(w)（语句与提取点对象坐标的格式相同）。 根据这两个坐标值再构造一个点(x(w),y(w)),在输入框输入“向量”，看语句提示如（图3），选定语句—向量(点)格式，先构造点F=(3.24,2.18),然后向量(F),得到向量a如（图4） 观察代数区向量w和向量a的两个坐标，可以得出结论：向量w和向量a相等。所以在以后代数、几何的运算中，点可以作为向量对象进行代数运算、几何变换。 二、向量的“+、-、*”运算。 1.“+”法运算：创建向量u和向量v如（图5），做u+v的加法运算，得到向量w如（图（6）， 图5 图6 双击向量w，打开w定义框如（图7），查看定义，即w=u+v； 图7 图8 在向量w的终端构造点—语句：D=A+w;做线段CD和BD，按压Ctrl键，可同时选中多个对象，在属性工具选择虚线，这就是力的合成平行四边形法则，拖动C点，观察平行四边形变化。如（图9）。 图9 图10 2.向量差u-v运算：得到向量a,生成如（图10）,以点C和点B构建向量b，这两个向量相等，即：a=b,所以向量减法几何意义是以两个向量和向量差得到的向量构成封闭三角形。 3.向量叉积运算 在GeoGebra当中，两个向量的叉积用“⊗”符号表示，可以使用“Alt+*”输入该符号。常用于洛伦兹方程：F=q(E+v×B)和安培力公式F=I×BL当中，在平面直角坐标系下，无法正常将两个向量的叉积显示出来，所以在向量叉积运算时需将向量构建三维坐标形式。 例匀强磁场的磁感应强度为B=(0,0,2),一带电粒子的电荷量q、以速度v=(2,3,0)在磁场中运动如（图11），做出粒子q所受的洛伦兹力F向量（大小和方向）。 图11 图12 由洛伦兹力矢量式公式：=q； ①在输入栏输入语句：v=向量((2,3,0))，B=向量((0,0,-2))，q=1; ②输入代数运算式：v⊗B,再重命名为F，F的向量如（图12）; 的方向符合右手法则,即由v转向B的方向。 4.向量的模（大小）运算 （1）|u|、|v|、|w|的运算为向量模的计算，也可以用绝对值函数abs(u)、abs(v)、abs(w)实现。 （2）根据向量的坐标计算模，|u|=sqrt(x(u)^2+y(u)^2);sqrt()开平方函数。 （3）单位向量：模为1的向量。 （4）零向量a=(0,0),模为0，方向任意的向量。 （5）向量的数量积如u*v得到是一个标量，物理学中，w=，w就是标量。 （6）向量与单位向量*积如u*a,得到的数值是u在单位向量a方向的投影。 以上向量的运算将会在今后的学习中用到。 三、练习与思考 1.在绘图区有A、B两点如（图11），做A+B和A-B得到的新点是否满足平行四边形法则和三角形法则。 2.在指令输入栏输入“单位”，就会弹出向量的构建语句格式，如（图12）。 图11 图12 根据语句提示，练习构建向量、单位向量和单位法向量。 3.向量u=(1,2,2)与向量v=(2,1,0)的叉乘u⊗v可得到与u和v都垂直的向量，叉乘也可以用指令实现，叉乘的语句为：Cross(<Vector>,<Vector>),请分别用代数法和指令法构建u、v叉乘的向量。 说明：复数表示向量：1设向量 OP 的起点为原点，终点坐标为 (a,b) ，则该向量可表示为复数： z=a+bi ；实部 a → 向量的 x 分量（水平方向） ，虚部 b → 向量的 y 分量（垂直方向）， 复数的模 ∣z∣= → 向量的长度 复数的辐角 θ=arctan( ) → 向量与 x 轴正方向的夹角。2.代数规则 设两个复数向量为 z 1 =a 1 +b 1 i 、 z 2 =a 2 +b 2 i ，则：z 1 +z 2 =(a 1 +a 2 )+(b 1 +b 2 )i （实部相加，虚部分别相加）。 3.复数向量的乘积：设 z 1 =a 1 +b 1 i 、 z 2 =a 2 +b 2 i ，则： z 1 ⋅z 2 =(a 1 a 2 −b 1 b 2 )+(a 1 b 2 +a 2 b 1 )i （类似多项式乘法，注意 i 2 =−1 ）。 189 学科网（北京）股份有限公司 $