21.3实际问题与一元二次方程传播问题课件+教案2025-2026学年 人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程在传播问题中的应用，以“疫情传染”情境为切入点，通过设问串引导学生从第一轮到第二轮逐步分析传染源与被传染人数的关系，构建数量模型，形成“审—设—列—解—验—答”的完整解题流程，前后知识衔接自然，学习支架清晰有效。 其亮点在于紧扣新课标核心素养，体现数学眼光、数学思维与数学语言的融合运用。例如，教师用视频导入激发兴趣，再以问题链层层推进，帮助学生抽象出传播规律，建立方程模型，发展符号意识和推理能力。课堂练习设计贴近生活，如短信转发和树木分支问题，强化建模意识与应用能力。学生在探究中提升逻辑表达与合作交流能力，教师可借此优化教学结构，增强课堂实效性。

21.3实际问题与一元二次方程（第1课时）教学设计 一、内容分析 1．课标要求 会根据具体问题中的数量关系列一元二次方程并求解；能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理. 2．教材分析 本节课的内容为用一元二次方程解决实际问题之传播问题.这一内容体现了数学与实际生活的联系，通过实际问题的数学建模，培养学生运用数学知识分析和解决实际问题的能力. 从数学思想和方法上看，本节课主要培养学生分析、解决问题和建立数学模型的能力.通过分析传播问题中的变量关系，建立表示变量关系的方程式，用方程解决实际问题，体现了方程思想.同时，学生需要掌握“审--设--列--解--验--答”用方程解决实际问题的一般步骤. 从知识的上下位关系上看，一元二次方程是在一元一次方程的基础上发展而来的，学生在初一已经学习了一元一次方程，初步掌握了研究方程的一般步骤和用方程解决实际问题的方法.教材在单元内容设计中前面已经设置了一元二次方程的定义和解法，为本节内容的学习做好了知识的储备. 从育人价值上看，本节课通过实际生活中的问题情境，培养学生运用数学知识分析问题、解决问题的能力，锻炼逻辑推理能力.同时让学生感受到数学与实际生活的联系，增加学习数学的兴趣. 二、学情分析 九年级学生已具备一定的建模思想，也接触了一些实际问题，初步掌握将实际问题转化为数学问题的一般步骤，积累了一定的解题经验和方法.学生解决“传播问题”的困难是：“第一轮”，“第二轮”中的传染源及被传染总人数是多少，在弄清问题背景，明确数量关系后，还要解决第二轮被传染总人数的代数式如何表示的问题. 如何理解传播问题中的传播途径、寻找数量关系、传播规律是本节课的难点，所以我以问题串的形式提出，让学生逐个击破. 三、教学目标 1．通过学生自主探究，会根据传播问题的数量关系列一元二次方程并求解；经历用一元 二次方程解决实际问题的过程，总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤. 2．经过“问题情境--建立模型--求解--应用”的过程，培养学生将实际问题转化为数学问题，然后分析问题，解决问题的能力. 3．通过合作探究用一元二次方程解决实际的问题，体会数学知识的应用价值，激发学生学习数学的兴趣，同时在探究交流中培养与人合作的团队精神. 教学重点：掌握“传播问题”的基本数量关系，并能根据这些数量关系列方程解决问题. 教学难点：掌握“传播问题”的基本数量关系. 4、 教学过程 问题与情境 师生活动 设计意图 【情境引入】 2020年新冠疫情爆发，到处封城，每天都有很多人感染，据统计新增被传染人数高达700万人，传播速度非常惊人。 教师播放病毒传染视频 学生观看思考. 视频导入新课，既提高了学生学习本课的兴趣，又对新知识的学习起到了铺垫的作用. 【合作探究】 探究1：有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 问题1：第一轮中传染源人数和新增患病人数各是多少？ 问题2：第一轮传染结束后有多少人患流感？ 教师展示“探究1”，学生先独立思考并完成学习任务单 学生独立思考，完成填空. 通过教师设问和引导，学生独立思考和合作交流，使学生的思维发展收放合理，较好突出了教师是数学活动的组织者，学生是学习的主体. 问题3：第二轮中传染源人数和新增患病人数各是多少？ 教师引导学生列出方程. 由于学生比较缺乏社会生活经历，不知道病毒在传播过 问题4：第二轮传染结束后有多少人患流感？ 问题5：你能得到什么等量关系？并列出方程. 追问1： 如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少个人患流感？n轮呢？ 追问2 若初始有2人感染，一人患流感每轮能传染x人呢？变式3若初始有a人感染，一人患流感每轮能传染x人呢？如果最初有2个人患了流感，按照这样的传染速度，n轮传染后有多少人患流感?a个人呢? 教师示范解答求解过程，并根据实际情况作答. 学生思考，交流讨论. 程中的数量关系，因此设计6个问题，由浅入深，引导学生分析问题的数量关系，降低了探究1的难度，分散了难点，从而达到解决问题的目的. 从特殊到一般，由易到难通过变式，让学生把握传播问题的本质，得到一般性的结论 【乘势追击】巩固练习 1. 中秋节当天，小明将收到的一条短信发送给若干个人，每个收到短信的人又给相同数量的人（不重复）转发了这条短信，此时包括小明在内收到这条短信的人共有 111 人，则小明给多少人发了短信． 2. 某种树的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目 的小分支.树的主干、支干和小分支的总数是73，每个支干长出多少小分支？ 学生独立解答.请学生板演，师生共同点评. 这两道练习的题型与例题完全相同，主要是为了通过课堂跟踪反馈，达到巩固知识的目的，进一步渗透建模思想. 方法归纳 师生共同总结 课堂小结 1．本节课我们有哪些新的收获？ 请1位学生回答，其他学生给予补充，教师总结 鼓励学生从数学方法和数学情感等方面进行自我评价，培养学生归纳和表达能力. 【课后布置】 1.P22页第2,3,4,题 2.某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有 100 台电脑被感染。请问每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3 轮感染后，被感染的电脑会不会超过 700 台？ 五、教学反思 4 学科网（北京）股份有限公司 $21.3实际问题与一元二次方程 ——传播问题 情境导入 2020年新冠疫情时期，每日感染人数最多新增超700万人，传播速度非常惊人。 解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 探究1 传染源 新增患者人数 本轮结束患者总人数 第一轮 第二轮 1·x 1+x 1+x （1+x）x 1+x+（1+x）x 1 解方程，得 答：平均一个人传染了 个人. 由题意得 1+x+（1+x）x=121 x1=10，x2=-12 10 (不符合题意，舍去) 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 传染源不 会消失 传染源 新增患者人数 本轮结束患者总人数 第一轮 1 1∙x=x 1+x 第二轮 1+x (1+x)x 1+x+(1+x)x= 第三轮 第n轮 思考：如果按这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患流感？n轮后呢？ (1+x)2 (1+x)n (1+x)3 经过n轮传染后共有 (1+x)n 人患流感. (1+x)2 (1+x)2∙x (1+x)2+(1+x)2∙x= 思路总结： 练习巩固 1.中秋节当天，小明将收到的一条短信发送给若干个人，每个收到短信的人又给相同数量的人（不重复）转发了这条短信，此时包括小明在内收到这条短信的人共有 111 人，则小明给多少人发了短信． 解:设小明给x发了短信 根据题意 1+x+x2=111 解得, x1=10,x2=－11(不合题意,舍去) 答:小明给10发了短信. 答：每个支干长出 个小分支. 解：设每个支干长出x个小分支. 1+x+x2=73 解方程，得 x1= , x2= 传染源不 会消失 2.某种树的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目 的小分支.树的主干、支干和小分支的总数是73，每个支干长出多少小分支？ 方法归纳 建一元二次方程模型 实际问题 分析数量关系 设未知数 实际问题的解 解一元二次方程 一元二次方程的根 检 验 运用一元二次方程解决实际问题的步骤有哪些？ 配方法 公式法 因式分解法 课堂小结 通过这节课的学习你有哪些新的收获？ 作业布置 1.P21页第2,3,4,题 2.某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有 100 台电脑被感染。请问每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3 轮感染后，被感染的电脑会不会超过 700 台？ $