精品解析：上海市第三女子中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷

2025年市三高一下学期期末 2025.06 一､填空题（每小题3分，共36分） 1. 已知角的终边经过点，则________. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用三角函数的坐标定义求解. 【详解】由题得. 故答案为： 【点睛】本题主要考查三角函数的坐标定义，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 2. 已知，若，其中为虚数单位，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的运算法则即可求解. 【详解】. 故答案为：. 3. 已知向量，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由平面向量的坐标运算代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 4. 在等比数列中，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由等比中项的性质易得结果. 【详解】由题意，可得，所以. 故答案为：. 5. 若，且，则点的坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设点，利用题设等式进行坐标运算，列出方程组，求解即得. 【详解】设点，则由可得， 故有，解得， 即点的坐标为. 故答案为：. 6. 在中，若，则的大小为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理即可求解. 【详解】由正弦定理得，即，解得， 又因为，所以，所以. 故答案为：. 7. 已知为锐角，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由条件结合诱导公式可求，再由同角关系求，结合两角和正切公式求. 【详解】因为，所以，又为锐角，所以，，所以. 故答案为：. 8. 若数列满足，则数列的通项公式__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用和的关系，降标作差即可求出. 【详解】因，则， 两式相减得， 当时，，不符合上式， 故. 故答案为： 9. 若，且，则的最小值是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据复数模的几何意义，数形结合，可求解. 【详解】因为，所以复数对应的点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆. 表示点到点的距离. 如图： 可知当共线，且在之间时，取得最小值，为. 故答案为： 10. 函数的严格减区间是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用辅助角公式，得到，再利用正弦型函数单调区间的求法可得到答案. 【详解】， ， 令， 解得：， 故答案为： 11. 已知复数，（，为虚数单位），在复平面上，设复数、对应的点分别为、，若，其中是坐标原点，则函数的最小正周期为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据垂直得到，化简得到，利用周期公式得到答案. 【详解】，， 则 函数的最小正周期为 故答案为 【点睛】本题考查了复数的几何意义，三角函数化简，周期，意在考查学生的计算能力和综合应用能力 12. 如图，等边是半径为的圆的内接三角形，是边的中点，是圆外一点，且，当绕圆心旋转时，则的取值范围为_________. 【答案】 【解析】 【分析】 由题可得，将化为，利用的范围可求解. 【详解】等边是半径为的圆的内接三角形，是边的中点， ，则 ， ，所以 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题考查数量积的取值范围，解题的关键是利用向量关系将化为，则容易求出. 二､选择题（每小题3分，共12分） 13. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数的取值结合充分非必要条件判断可得. 【详解】当时，一定等于零；反之当时，， 所以“”是“”的充分非必要条件. 故选：A. 14. 设，其中为虚数单位，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】先求出共轭复数，再写出该复数对应复平面内的点的坐标，最后判断位于第几象限 【详解】复数的共轭复数为，在复平面内所对应的点的坐标为，故位于第三象限. 故选：C 15. 已知，是平面向量的一个基底，设非零向量，，给出下列两个命题：①；②，则（ ） A. ①②均正确 B. ①②均错误 C. ①对②错 D. ①错②对 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合向量的共线定理与向量的数量积的计算公式，即可求解. 【详解】由题意可知，，都不为零向量， 对于①，因，所以，即，消去，得，故①正确； 对于②，由，得， 即， 因，的夹角与模长都未知，所以不一定成立，故②错. 故选：C. 16. 已知等比数列的前项和为，前项积为，则下列选项中正确的是（ ） A. 若，则数列严格增 B. 若，则数列严格增 C. 若数列严格增，则 D. 若数列严格增，则 【答案】D 【解析】 【分析】A项、B项、C项可通过举反例判断，由数列是单调递增可证得，，进而可判断D项. 【详解】设等比数列,, 对于A，由，得，则，即， 所以当时，满足，但不是单调递增，故A错误； 对于B，由，得，则， 所以当时，满足，满足，但不是单调递增，故B错误； 对于C，当时，由，，此时满足数列单调递增但， 故C错误； 对于D，由数列是单调递增，则，所以,故， 即，所以，且， 又因为所以即，故D正确. 故选:D 三､解答题（共52分） 17. 已知数列是等差数列，为数列前项和，； （1）求数列的通项公式； （2）求数列的最大项. 【答案】（1） （2）和 【解析】 【分析】（1）根据等差数列通项公式解题即可; （2）根据等差数列的前项和公式，再由二次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 因为数列是等差数列，所以， 因为，所以， 所以， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知，数列的前项和， 因为，所以当或时，有最大值，即. 所以数列的最大项和. 18. 已知向量； （1）若，求的值； （2）若，求向量与的夹角的大小. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行的坐标运算即可求解； （2）根据向量夹角公式计算余弦值，最后求出夹角大小. 【小问1详解】 由题意得，即， 解得或. 【小问2详解】 当时，， 设向量与的夹角为， 所以， 所以. 19. 已知是关于的方程的两个虚根； （1）若（为虚数单位），求实数的值； （2）若满足，求实数的值. 【答案】（1）4 （2）5 【解析】 【分析】（1）根据实系数一元二次方程的根互为共轭复数及根与系数的关系求解. （2）根据实系数一元二次方程的根互为共轭复数及根与系数的关系求解. 【小问1详解】 因为是关于的方程的两个虚根， 当时，. 所以. 【小问2详解】 设，则， 由. 又因为，所以， 所以. 所以分别对应复数和. 所以. 20. 如图，点是以为圆心，半径为1的圆弧（包含两个端点）上的一点，且，且； （1）若为圆弧的中点，求和的值； （2）若在圆弧（包含两个端点）上运动，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立平面直角坐标系，结合平面向量的坐标运算代入计算，即可得到结果； （2）由平面向量的坐标运算表示出，然后结合三角函数的值域，即可得到结果. 【小问1详解】 以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 由可得， 又，由三角函数的定义可得， 即， 因为为圆弧的中点，所以,又， 则， 所以，，， 由可得， 即，解得. 【小问2详解】 设，则，所以， 由可得， 可得，解得， 所以， 因为，所以， 当时，即时，取得最大值，此时的最大值为， 当或时，即或时，取得最小值， 此时的最小值为， 所以的取值范围为. 21. 已知为正整数，数列满足，，数列满足； （1）证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式和值； （2）若集合中有且仅有三个元素，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；； （2） 【解析】 【分析】（1）根据数列的递推公式构造数列，利用等比数列的定义证明并求出其通项与数列的无穷项的和； （2）利用（1）结论将题设不等式化简为，求出数列前几项，判断该数列在时的增减性，根据题意即得实数的取值范围. 小问1详解】 由可得，即得， 因，则得，， 故数列是等比数列，首项为，公比为， 则.于是. 【小问2详解】 由（1）可得，则可化成， 当时，；当时，；当时，； 当时，；当时，. 且当时，，即数列从第三项起单调递减， 要使集合中有且仅有三个元素，需使， 即实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年市三高一下学期期末 2025.06 一､填空题（每小题3分，共36分） 1. 已知角终边经过点，则________. 2. 已知，若，其中为虚数单位，则__________. 3. 已知向量，则__________. 4. 在等比数列中，，则__________. 5. 若，且，则点的坐标为__________. 6. 在中，若，则的大小为__________. 7. 已知为锐角，若，则______. 8. 若数列满足，则数列的通项公式__________. 9. 若，且，则的最小值是__________. 10. 函数的严格减区间是__________. 11. 已知复数，（，为虚数单位），在复平面上，设复数、对应的点分别为、，若，其中是坐标原点，则函数的最小正周期为________. 12. 如图，等边是半径为的圆的内接三角形，是边的中点，是圆外一点，且，当绕圆心旋转时，则的取值范围为_________. 二､选择题（每小题3分，共12分） 13. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 14. 设，其中为虚数单位，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 15. 已知，是平面向量的一个基底，设非零向量，，给出下列两个命题：①；②，则（ ） A. ①②均正确 B. ①②均错误 C. ①对②错 D. ①错②对 16. 已知等比数列的前项和为，前项积为，则下列选项中正确的是（ ） A. 若，则数列严格增 B 若，则数列严格增 C. 若数列严格增，则 D. 若数列严格增，则 三､解答题（共52分） 17. 已知数列是等差数列，为数列的前项和，； （1）求数列的通项公式； （2）求数列最大项. 18. 已知向量； （1）若，求的值； （2）若，求向量与的夹角的大小. 19. 已知是关于的方程的两个虚根； （1）若（为虚数单位），求实数的值； （2）若满足，求实数的值. 20. 如图，点是以为圆心，半径为1圆弧（包含两个端点）上的一点，且，且； （1）若为圆弧的中点，求和的值； （2）若在圆弧（包含两个端点）上运动，求的取值范围. 21. 已知为正整数，数列满足，，数列满足； （1）证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式和值； （2）若集合中有且仅有三个元素，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $