第三十一章 圆（4大考点+5大易错）（知识清单）数学人教版五四制九年级上册

第三十一章 圆 【知识点01】圆的有关性质 1.圆的定义及性质 圆的定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆。这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。 圆的表示方法：以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。 圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。 确定圆的条件：（1）圆心；（2）半径。 圆的对称性：（1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； （2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 2.圆的有关概念 弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。 直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。 备注：（1）直径是同一圆中最长的弦。（2）直径长度等于半径长度的2倍。 弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以为端点的弧记作，读作圆弧AB或弧AB。 等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。 劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。 3.垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 4.圆心角、圆周角的概念 （1）圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。 （2）圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角=） 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 【知识点02】点和圆、直线和圆的位置关系 1.点与圆的位置关系 设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有： d<r点P在⊙O内；d=r点P在⊙O上；d>r点P在⊙O外。 2.三角形的内切圆和内心 （1）三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 （2）三角形的内心：三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。 注意：内切圆及有关计算 （1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。 （2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。 （3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。 （4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。 3.直线与圆的位置关系 （1）直线与圆相离 无交点； （2）直线与圆相切 有一个交点； （3）直线与圆相交 有两个交点； 4.切线的性质与判定定理 （1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可。即：∵且过半径外端 ∴是⊙的切线 （2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线 【知识点03】正多边形和圆 1.圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在⊙中， ∵四边是内接四边形∴ ∴ 2.圆内正多边形的计算 （1）正三角形：在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：； （2）正四边形：同理，四边形的有关计算在中进行，： （3）正六边形：同理，六边形的有关计算在中进行，. 【知识点04】弧长和扇形面积 1.扇形的弧长和面积计算 扇形：（1）弧长公式：； （2）扇形面积公式： ：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积 2.扇形与圆柱、圆锥之间联系 （1）圆柱： ①圆柱侧面展开图：=；②圆柱的体积： （2）圆锥侧面展开图：①=；②圆锥的体积： 注意：圆锥的底周长=扇形的弧长（） 【易错一】求某点的弧形运动路径长度 1.易错总结：易混淆弧长公式中圆心角的单位，若用弧度制，公式为l =r（a为圆心角弧度数）；若用角度制，公式为l=（n为圆心角度数），单位混用会导致计算错误。 2.注意事项：确定圆心角大小时，要结合点的运动轨迹，准确找到对应的圆心角，同时注意半径r的取值是否正确，保证弧长计算的两个关键要素无误。 例题：（23-24九年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，，，将绕点C逆时针旋转到 的位置，点B的对应点D首次落在斜边上，则点A的运动路径的长为 ．    【答案】 【知识点】求某点的弧形运动路径长度、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查旋转的性质，弧长的计算，直角三角形的性质，由旋转的性质可求，可证是等边三角形，可得，由弧长公式可求解． 【详解】解： ∵将绕点C逆时针旋转到的位置， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴点A的运动路径的长为， 故答案为：． 【易错二】求图形旋转后扫过的面积 1.易错总结:易错误判断旋转后图形扫过的区域形状，把非扇形部分误算成扇形，或者对旋转半径的确定不准确，导致面积计算错误。 2.注意事项:明确图形旋转时的旋转中心、旋转角度，准确判断扫过区域的形状，仔细确定各部分对应的半径，再结合相应面积公式计算。 例题：如图，在，将绕点O逆时针旋转至，点在的延长线上，则边扫过区域（图中阴影部分）的面积为 ．（结果保留π） 【答案】 【知识点】求图形旋转后扫过的面积 【分析】根据旋转的性质得出，，，，根据直角三角形的性质求出，，求出，根据图形得出阴影部分的面积，再求出答案即可． 【详解】解：将绕点逆时针旋转至△，， ，，，， ，，， ，， ， ， 阴影部分的面积 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形的面积计算，旋转的性质，直角三角形的性质等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键． 【易错三】求其他不规则图形的面积 1.易错总结:易错误拆分或组合图形，导致对各部分形状和尺寸判断失误，进而使面积计算出错；也常因忽略图形间的重叠、空缺部分，造成面积多算或少算。 2.注意事项:仔细分析图形结构，合理拆分或补全为规则图形，明确各部分的形状、尺寸及相互关系，计算时留意重叠、空缺部分的处理。 例题：（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，将绕点B逆时针旋转得到，则，，，围成的面积（图中阴影部分面积）为 ． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、求其他不规则图形的面积、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查了图形的旋转，不规则图形的面积计算，勾股定理，发现阴影部分面积的计算方法是解题的关键．根据旋转的性质得到，，进而得到，再结合扇形面积公式和勾股定理求解，即可解题． 【详解】解：将绕点B逆时针旋转得到， ，， ， 在中，，， ， 上式． 故答案为：． 【易错四】利用90°的圆周角所对的弦是直径求解答题 1.易错总结:一是容易忽略“圆周角为 90 度”这一前提条件，在普通圆周角情况下错误使用该定理得出弦是直径的结论；二是在复杂图形中，无法准确识别出 90 度圆周角所对应的弦，导致不能有效利用该定理解决问题 。 2.注意事项: 首先要牢记定理使用的前提是圆周角为 90 度；其次，面对复杂几何图形时，仔细观察角的度数标注和图形结构，通过辅助线等方式，精准定位 90 度圆周角及其所对的弦。 例题：如图，四边形内接于，分别延长，，使它们相交于点E，，且． (1)求证：． (2)若，点C为的中点，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】90度的圆周角所对的弦是直径、已知圆内接四边形求角度、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，圆的基本性质等； （1）根据圆内接四边形的性质得，再根据等边对等角可得∠E＝∠DCE，再根据等量代换，即可求解； （2）连接，根据的圆周角所对的弦是直径得出为的直径，由等角对等边得，根据勾股定理得，即可求解； 掌握相关的性质，能由找出连接的辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：四边形内接于， ∴， ∵ ， ， ， ； （2）解：如图，连接， ， ∴， 是的直径， ， ， ， 点C为的中点， ， 在中， ， 的半径为． 【易错五】与圆有关的新定义型问题 1.易错总结:易因未完全理解新定义内涵，错用定义中的条件（如特殊点、特殊线段、角度关系）；也常忽略新定义与圆的基本性质（如半径、圆心角、切线）的关联，导致解题思路偏离。 2.注意事项:先逐字研读新定义，圈画关键条件并转化为数学语言；再结合圆的基本性质分析，通过画图直观呈现新定义中的图形关系，验证每一步推理是否符合定义要求。 例题：（23-24九年级上·陕西渭南·期末）【定义新知】 定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】 （1）如图1，四边形是圆美四边形，是美角． ①的度数为________； ②连接，若的半径为5，求线段的长； 【拓展提升】 （2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，判断、与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①60；②（2） 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、已知圆内接四边形求角度 【分析】（1）①根据定义列式计算即可．②根据定义求角，根据直径对的圆周角是直角，运用勾股定理计算即可． （2）延长到点M，使得，连接，得到 是等边三角形，证明即可． 【详解】（1）①∵四边形是圆美四边形，是美角， ∴, ∴, 解得， 故答案为：60． ②作圆的直径,连接, 则 ∵圆的半径为5， ∴, ∵， ∴. ∴． （2）关系为：，理由如下： 如图，延长到点M，使得，连接， ∵四边形是圆美四边形，是美角， ∴, ∴, 解得， ∴, ∵平分， ∴, ∴是等边三角形， ∴,， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴, ∴, ∵, ∴． 【点睛】本题考查了新定义问题，等边三角形的判定和性质，圆的内接四边形的性质，三角形全等的判定和性质，圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 一、单选题 1．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，将一个半径为1的半圆，在直线上从左往右作无滑动的滚动，则滚动2025周后圆心所经过的路径长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轨迹，弧长公式等知识，解题的关键是作出圆心的滚动轨迹为两个的弧长和一个的弧长．求出圆心O滚动一周路径长，可得结论． 【详解】解：如图，圆心滚动一周路径为长为， ∴滚动2025周后圆心所经过的路径长， 故选：D． 2．（24-25六年级下·上海宝山·期中）如图，已知，，，半径为的从点A出发，沿方向滚动到点时停止．则在此运动过程中，扫过的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查组合图形的面积，解题的关键是掌握圆面积、扇形面积以及矩形面积的计算方法． 【详解】根据圆面积、扇形面积以及矩形面积的计算方法进行计算即可． 【点睛】解：如图，扫过的面积为， ∵，，，半径为， ∴，，，， ∴， 故选：． 3．（2024九年级下·山西·专题练习）如图，已知的半径为为的直径，为半圆弧的中点，四边形的边与相切，切点为，则图中阴影部分的面积为（    ） A．6 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求不规则图形的面积． 图中阴影部分的面积为，求出相关数据计算即可． 【详解】解：∵的半径为， ∴， ∵为半圆弧的中点， ∴，， 连接， ∵四边形的边与相切，切点为， ∴且， ∴图中阴影部分的面积为 故选：A． 二、填空题 4．（2025·浙江·模拟预测）中，，，cm，将绕点顺时针旋转至的位置，如图，、、三点在同一条直线上，则点所经过的路径长为 ． 【答案】 【分析】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、旋转的性质、弧长公式等知识，推导出cm及是解题的关键．由，，求得，由旋转得cm，，则，由弧长公式求得点所经过的路径cm，于是得到问题的答案． 【详解】解：，， ， 由旋转得，， 、、三点在同一条直线上， ， 点所经过的路径为半径为cm且圆心角等于的一段弧， 点所经过的路径（cm)， 故答案为：cm． 5．（2025·广东茂名·二模）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，则图中阴影部分面积为 ．（结果保留） 【答案】/ 【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理以及扇形的面积．根据“阴影部分的面积=扇形的面积-扇形的面积”进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 由图可知：阴影部分的面积=扇形的面积的面积-扇形的面积的面积， ∵绕A点逆时针旋转后得到， ∴的面积的面积， ∴阴影部分的面积=扇形的面积-扇形的面积 ； 故答案为：． 6．（2025·河南郑州·三模）如图，是半圆的直径，点为半圆上一点．将半圆沿翻折，点的对应点落在上，点的对应点为．若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查翻折的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，不规则图形的面积，根据翻折和等边三角形的判定可得是等边三角形，然后过D点作于点E，根据勾股定理求出DE长，再根据解答即可． 【详解】解：如图，连接，，，， 由翻折可知，， ∴四边形是菱形，， ∴是等边三角形， 过D点作于点E， 则，， ． 故答案为：． 三、解答题 7．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，以的边上一点为圆心的圆经过、两点，且与边交于点，，连接交于点，若． (1)求证：是的切线； (2)若的半径是，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理，切线的判定与性质，圆周角定理，扇形面积的求法和勾股定理，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． （1）连接，利用得到，然后利用角度的代换可证明，从而根据切线的判定定理得到结论； （2）利用圆周角定理得到，求出，接着在中计算出，然后用一个直角三角形的面积减去一个扇形的面积去计算阴影部分的面积． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， 是的半径， 是的切线． （2）解：， ， ， 在中，， ， 阴影部分的面积 ． 8．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，将一块直角三角板绕着角的顶点顺时针旋转．使得点与延长线上的点重合，点与点重合，连接． (1)三角板旋转了______度； (2)求的度数； (3)若，求旋转过程中点经过的路径长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意可得：，根据旋转的定义可知，是旋转角，由点与延长线上的点重合，可得，计算求解即可； （2）根据旋转的性质可得：是旋转角，，根据等边对等角可得，结合三角形内角和是，计算求解即可； （3）先根据直角三角板的一个顶角是，得出是等腰直角三角形，即，根据勾股定理求出的长，再根据旋转过程中，点经过的路径是以点为圆心，的长为半径，圆心角是的扇形弧长，结合扇形的弧长公式，计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：， 根据旋转的定义可知，是旋转角， ∵点与延长线上的点重合， ∴， 即旋转了； 故答案为：． （2）解：根据旋转的性质可得：是旋转角，， 故，， ∴； （3）解：根据题意可得：是等腰直角三角形， 故， 在中，， 点经过的路径是以点为圆心，的长为半径，圆心角是的扇形弧长， 故点经过的路径长为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，弧长公式，勾股定理等，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 9．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）定义：若圆内接三角形是等腰三角形，我们就称这样的三角形为“圆等三角形”． (1)如图1，是的一条弦（非直径），若在上找一点，使得是“圆等三角形”，则这样的点能找到_________个； (2)如图2，四边形是的内接四边形，连结对角线，和均为“圆等三角形”，且，． ①当时，求度数； ②如图③，当，时，求阴影部分的面积． 【答案】(1)4 (2)①；② 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，扇形的面积和三角形的面积，等边三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键． （1）过作直线的垂线交于，，分别以和为圆心，为半径作弧与圆的交点就是所求的点； （2）①根据圆内接四边形的性质得到，当时，当时，当时，根据等腰三角形的性质即可得到结论；②)根据圆内接四边形的性质得到推出是等边三角形，得到．连接．根据圆周角定理得到， ，求得，，根据等边三角形的性质得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：过作直线的垂线交于，，分别以和为圆心，为半径作弧与圆的交点就是所求的点；如图所示： 满足条件的点C共有4个， 故答案为：4； （2）解∶①， ， 为圆等三角形，且， ， ②， ， 为“圆等三角形”， 是等边三角形， ， 连接，，交于， ，， ， ，， ， 四点共线， ， 与是等边三角形， ， ， 阴影部分的面积扇形的面积的面积 ． 10．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）类似于三角形的内切圆，我们定义：与四边形各边都相切的圆叫做四边形的内切圆．请结合定义，解答下列问题： (1)请你判断下列说法是否正确（正确的打“”，错误的打“”）， ①邻边不相等的矩形一定没有内切圆；（    ） ②正方形一定有内切圆；（    ） ③四边形中，若，，则四边形没有内切圆（    ） (2)如图1，若四边形有内切圆，求证：． (3)如图2，四边形中，若，它的内切圆与边，，，分别相切于点，，，，连接，交于点． ①求证：； ②连接，若的半径为1，当时，求的取值范围． 【答案】(1)，，； (2)见解析 (3)①见解析；② 【分析】（1）因为邻边不相等的矩形不能满足内切圆的圆心到各边的距离相等，所以①正确；因为正方形满足内切圆的圆心到各边的距离相等，所以②正确；因为四边形中，，，所以四边形满足内切圆的圆心到各边的距离相等，所以③错误； （2）设分别与相切于点，得到，，继而得到，，即可得到结论； （3）①连接，由是四边形的内切圆，可得，进而得，同理可得，进而可得，即可证明结论； ②连接，作于点，于点，得到，，可证明四边形是矩形，得到，根据勾股定理得到，，得出，得到求出． 【详解】（1）解；①邻边不相等的矩形不能满足内切圆的圆心到各边的距离相等， 邻边不相等的矩形一定没有内切圆， 故①正确； ②正方形满足内切圆的圆心到各边的距离相等， 正方形一定有内切圆， 故②正确； ③四边形中，，， 四边形满足内切圆的圆心到各边的距离相等， 故③错误； 故答案为：，，； （2）证明：如图，设分别与相切于点， ， ， ， ； （3）①证明∶如图，连接， 是四边形的内切圆， ， ， ， 同理可得， ， ， ， ，， ， ， ； ②解：如图，连接，作于点，于点， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了上直线的圆的位置关系，切线的性质，切线长定理，四边形内角和定理，圆周角定理，直角三角形的性质，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理，解不等式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三十一章 圆 【知识点01】圆的有关性质 1.圆的定义及性质 圆的定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆。这个固定的端点叫做 ，线段叫做 。 圆的表示方法：以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。 圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于 的点组成的图形。 确定圆的条件：（1） ；（2） 。 圆的对称性：（1）圆是轴对称图形，经过 的每一条直线都是它的对称轴； （2）圆是以圆心为对称中心的 。 2.圆的有关概念 弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做 (例如：右图中的AB)。 直径的概念：经过圆心的弦叫做 （例如：右图中的CD）。 备注：（1） 是同一圆中最长的弦。（2）直径长度等于半径长度的2倍。 弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称 。以为端点的弧记作，读作圆弧AB或弧AB。 等弧的概念： 或 ，能够 的弧叫做等弧。 半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 优弧的概念：在一个圆中 叫做优弧。 劣弧的概念： 叫做劣弧。 3.垂径定理 垂径定理： 于弦的直径 这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧 。 4.圆心角、圆周角的概念 （1）圆心角概念：顶点在圆心的角叫做 。 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在 或 中，如果两个 、两条 、两条 或两条 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。 （2）圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做 。 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的 。（即：圆周角=） 推论1：同弧或等弧所对的 。 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是 ，的圆周角所对的弦是 。 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 【知识点02】点和圆、直线和圆的位置关系 1.点与圆的位置关系 设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有： d<r点P在⊙O内；d=r点P在⊙O上；d>r点P在⊙O外。 2.三角形的内切圆和内心 （1）三角形的内切圆：与三角形的 都相切的圆叫做三角形的内切圆。 （2）三角形的内心：三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内 ，它叫做三角形的内心。 注意：内切圆及有关计算 （1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。 （2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。 （3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。 （4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。 3.直线与圆的位置关系 （1）直线与圆相离 无交点； （2）直线与圆相切 有一个交点； （3）直线与圆相交 有两个交点； 4.切线的性质与判定定理 （1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可。即：∵且过半径外端 ∴是⊙的切线 （2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线 【知识点03】正多边形和圆 1.圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在⊙中， ∵四边是内接四边形∴ ∴ 2.圆内正多边形的计算 （1）正三角形：在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：； （2）正四边形：同理，四边形的有关计算在中进行，： （3）正六边形：同理，六边形的有关计算在中进行，. 【知识点04】弧长和扇形面积 1.扇形的弧长和面积计算 扇形：（1）弧长公式：； （2）扇形面积公式： ：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积 2.扇形与圆柱、圆锥之间联系 （1）圆柱： ①圆柱侧面展开图：=；②圆柱的体积： （2）圆锥侧面展开图：①=；②圆锥的体积： 注意：圆锥的底周长=扇形的弧长（） 【易错一】求某点的弧形运动路径长度 1.易错总结：易混淆弧长公式中圆心角的单位，若用弧度制，公式为l =r（a为圆心角弧度数）；若用角度制，公式为l=（n为圆心角度数），单位混用会导致计算错误。 2.注意事项：确定圆心角大小时，要结合点的运动轨迹，准确找到对应的圆心角，同时注意半径r的取值是否正确，保证弧长计算的两个关键要素无误。 例题：（23-24九年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，，，将绕点C逆时针旋转到 的位置，点B的对应点D首次落在斜边上，则点A的运动路径的长为 ．    【易错二】求图形旋转后扫过的面积 1.易错总结:易错误判断旋转后图形扫过的区域形状，把非扇形部分误算成扇形，或者对旋转半径的确定不准确，导致面积计算错误。 2.注意事项:明确图形旋转时的旋转中心、旋转角度，准确判断扫过区域的形状，仔细确定各部分对应的半径，再结合相应面积公式计算。 例题：如图，在，将绕点O逆时针旋转至，点在的延长线上，则边扫过区域（图中阴影部分）的面积为 ．（结果保留π） 【易错三】求其他不规则图形的面积 1.易错总结:易错误拆分或组合图形，导致对各部分形状和尺寸判断失误，进而使面积计算出错；也常因忽略图形间的重叠、空缺部分，造成面积多算或少算。 2.注意事项:仔细分析图形结构，合理拆分或补全为规则图形，明确各部分的形状、尺寸及相互关系，计算时留意重叠、空缺部分的处理。 例题：（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，将绕点B逆时针旋转得到，则，，，围成的面积（图中阴影部分面积）为 ． 【易错四】利用90°的圆周角所对的弦是直径求解答题 1.易错总结:一是容易忽略“圆周角为 90 度”这一前提条件，在普通圆周角情况下错误使用该定理得出弦是直径的结论；二是在复杂图形中，无法准确识别出 90 度圆周角所对应的弦，导致不能有效利用该定理解决问题 。 2.注意事项: 首先要牢记定理使用的前提是圆周角为 90 度；其次，面对复杂几何图形时，仔细观察角的度数标注和图形结构，通过辅助线等方式，精准定位 90 度圆周角及其所对的弦。 例题：如图，四边形内接于，分别延长，，使它们相交于点E，，且． (1)求证：． (2)若，点C为的中点，求的半径． 【易错五】与圆有关的新定义型问题 1.易错总结:易因未完全理解新定义内涵，错用定义中的条件（如特殊点、特殊线段、角度关系）；也常忽略新定义与圆的基本性质（如半径、圆心角、切线）的关联，导致解题思路偏离。 2.注意事项:先逐字研读新定义，圈画关键条件并转化为数学语言；再结合圆的基本性质分析，通过画图直观呈现新定义中的图形关系，验证每一步推理是否符合定义要求。 例题：（23-24九年级上·陕西渭南·期末）【定义新知】 定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】 （1）如图1，四边形是圆美四边形，是美角． ①的度数为________； ②连接，若的半径为5，求线段的长； 【拓展提升】 （2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，判断、与之间的数量关系，并说明理由． 一、单选题 1．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，将一个半径为1的半圆，在直线上从左往右作无滑动的滚动，则滚动2025周后圆心所经过的路径长为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25六年级下·上海宝山·期中）如图，已知，，，半径为的从点A出发，沿方向滚动到点时停止．则在此运动过程中，扫过的面积是（　　） A． B． C． D． 3．（2024九年级下·山西·专题练习）如图，已知的半径为为的直径，为半圆弧的中点，四边形的边与相切，切点为，则图中阴影部分的面积为（    ） A．6 B．8 C． D． 二、填空题 4．（2025·浙江·模拟预测）中，，，cm，将绕点顺时针旋转至的位置，如图，、、三点在同一条直线上，则点所经过的路径长为 ． 5．（2025·广东茂名·二模）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，则图中阴影部分面积为 ．（结果保留） 6．（2025·河南郑州·三模）如图，是半圆的直径，点为半圆上一点．将半圆沿翻折，点的对应点落在上，点的对应点为．若，则图中阴影部分的面积为 ． 三、解答题 7．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，以的边上一点为圆心的圆经过、两点，且与边交于点，，连接交于点，若． (1)求证：是的切线； (2)若的半径是，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和）． 8．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，将一块直角三角板绕着角的顶点顺时针旋转．使得点与延长线上的点重合，点与点重合，连接． (1)三角板旋转了______度； (2)求的度数； (3)若，求旋转过程中点经过的路径长． 9．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）定义：若圆内接三角形是等腰三角形，我们就称这样的三角形为“圆等三角形”． (1)如图1，是的一条弦（非直径），若在上找一点，使得是“圆等三角形”，则这样的点能找到_________个； (2)如图2，四边形是的内接四边形，连结对角线，和均为“圆等三角形”，且，． ①当时，求度数； ②如图③，当，时，求阴影部分的面积． 10．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）类似于三角形的内切圆，我们定义：与四边形各边都相切的圆叫做四边形的内切圆．请结合定义，解答下列问题： (1)请你判断下列说法是否正确（正确的打“”，错误的打“”）， ①邻边不相等的矩形一定没有内切圆；（    ） ②正方形一定有内切圆；（    ） ③四边形中，若，，则四边形没有内切圆（    ） (2)如图1，若四边形有内切圆，求证：． (3)如图2，四边形中，若，它的内切圆与边，，，分别相切于点，，，，连接，交于点． ①求证：； ②连接，若的半径为1，当时，求的取值范围． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $