专题01 垂径定理（专项训练）数学人教版五四制九年级上册

专题01 垂径定理 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用垂径定理求线段长问题 1 题型二、利用垂径定理求平行弦问题 4 题型三、利用垂径定理求同心圆问题 7 题型四、利用垂径定理解实际应用问题 9 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用垂径定理求线段长问题 1．如图，是的直径，弦于点，连接，若，，则的长为 ． ∵为直径，且，， ∴， 在中，，根据勾股定理得： ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 2．如图，将的一部分沿着弦翻折，劣弧恰好经过圆心，，则的半径为 3．如图，是圆的弦，直径，垂足为，若，，则的长为 ． 4．如图，将直角三角板角的顶点放在上，斜边与交于点，若恰好是的中点，，则点到的距离是 ． 题型二、利用垂径定理求平行弦问题 5.一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，测量一次性纸杯杯口的直径．小明同学所在的学习小组设计了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你根据上述数据计算纸杯的直径是 ． 6.已知：的半径为，，是的两条弦，，，，求和之间的距离． 7.已知：如图，是的直径，、、是的弦，．    (1)求证：； (2)如果弦长为8，它与劣弧组成的弓形高为2，求的长． 题型三、利用垂径定理求同心圆问题 8.如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．    (1)求证：； (2)若，，大圆的半径，求小圆的半径r的值． 9.如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点． (1)求证：． (2)若，大圆的半径，求小圆的半径r． 题型四、利用垂径定理解实际应用问题 10．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，为的直径，弦于E，寸，寸，求直径的长”．（1尺寸）则 ． 11．石拱桥采用圆弧形的设计，不仅赋予了石拱桥独特的美学魅力，而且展现了我国古代工匠对力学原理的深刻理解和应用．如图，石拱桥桥拱的半径，拱高，则石拱桥的跨度 m． 12．如图①，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图②是这一款拱门的示意图，已知拱门所在圆的半径为，拱门最下端． (1)求拱门最高点到地面的距离； (2)现需要给房间内搬进一个直径为的圆桌面（桌面的厚度忽略不计），已知搬桌面的两名工人在搬运时所抬高度相同（桌面与地面平行），通过计算说明工人将桌面抬高多少（即桌面与地面的距离）就可以使该圆桌面通过拱门． 13．如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆O，，为水面截线，，为桌面截线，． (1)作于点C，求的长； (2)将图1中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少？ 一、单选题 1．如图，的半径为，于点，，则弦 （ ） A． B． C． D． 2．如图，是的直径，弦于，若，，则的半径长为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，、为的两条弦，，，垂足为、，连接，若，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 4．日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知，，垂足为点，，垂足为点，，的半径，则圆盘离桌面最近的距离是（    ） A． B． C． D． 5．是等腰三角形的外接圆，圆心O到底边的距离为，的半径为，则腰的长为 （   ） A． B． C．或 D．或 二、填空题 6．如图，在中，弦的长为4，，则的度数为 ． 7．的半径为，弦，则与之间的距离是 ． 8．如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于C，D两点，若，则小圆半径是 ． 9．如图，是的直径，弦交于点，，点是的中点，且，则 ． 10．日晷是我国古代使用的一种计时仪器，某日晷底座的正面与晷面在同一平面上．如图，表示日晷的晷面圆周，日晷底座的底边在水平线l上，为等边三角形，， 与分别交于P，Q两点．点C，D是上两点，，过O作于点E，交于点F，交于点M．已知，，． （1）的半径是 ； （2）图中阴影部分的面积是 ． 三、解答题 11．如图，有一拱桥为圆弧形，跨度，拱高，当洪水泛滥时，跨度只有时要采取紧急措施．当测量人员测得水面到拱顶距离只有时，是否需要采取紧急措施？ 12．如图，在中，已知是垂直平分半径的弦． (1)求的度数； (2)若弦，求的半径． 13．如图，已知点是两个同心圆的圆心，大圆的弦与小圆交于点、． (1)求证：； (2)如果，，大圆面积是小圆面积的倍，求大圆半径的长． 14．如图，的直径与弦交于点，，． (1)求的长． (2)当时，求的长． 15．图1是某城市一座造型独特的桥梁，该桥因索塔为圆形而被称为“戒指桥”，图2是该桥索塔示意图，已知桥面在圆形索塔上的部分，为的中点，为圆心，连接． (1)求证：； (2)经测量，到的距离为，求该的半径． 16．如图，是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为O，直径是河底截线，弦是水位线，于点．    (1)当测得水面宽时，求此时水位的高度； (2)当水位的高度比（1）上升1m时，有一艘宽为10m，船舱顶部高出水面2m的货船要经过桥洞（船舱截面为矩形），请通过计算判断该货船能否顺利通过桥洞？ 17．如图，是的直径，是的两条弦，点C与点D在的两侧，E是上一点（），连接，且． (1)如图1，若，，求的半径； (2)如图2，若，求证：． 18．素材：图1中有一座拱桥，图2是其圆弧形或抛物线形桥拱的示意图．某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高． 解决问题： (1)若桥拱形状是圆弧，该河段水位涨达到最高时，有一艘货船它漏出水面高2.2米，船体宽9米，判断它是否能顺利通行并说明理由； (2)若拱桥是抛物线形，为迎佳节，拟在图3所示的桥拱上悬挂长的灯笼．要求灯笼底部距离水面不小于，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为．为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布，则悬挂的灯笼数量是 个． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 垂径定理 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用垂径定理求线段长问题 1 题型二、利用垂径定理求平行弦问题 4 题型三、利用垂径定理求同心圆问题 7 题型四、利用垂径定理解实际应用问题 9 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用垂径定理求线段长问题 1．如图，是的直径，弦于点，连接，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理及勾股定理，根据垂径定理得，再利用勾股定理得，进而可求出，然后利用勾股定理求解即可．熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键． 【详解】解：连接，如图： ∵为直径，且，， ∴， 在中，，根据勾股定理得： ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 2．如图，将的一部分沿着弦翻折，劣弧恰好经过圆心，，则的半径为 【答案】 【分析】本题考查的是翻转变换的性质、垂径定理，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键． 过O作垂直于的半径，设交点为D，连接,根据折叠的性质可求出的长；根据勾股定理可，由垂径定理知，进而列方程求解即可． 【详解】解：过O作于D，交于C，连接，设， 由折叠可知：， 中，，， 根据勾股定理，得：， ∴， 解得：（负值已经舍去） 故答案 ：． 3．如图，是圆的弦，直径，垂足为，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，连接，首先根据题意可求得，，根据勾股定理即可求得的长，再根据垂径定理即可求得的长． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴，， ∵， ∴在中，， ∴． 故答案为：． 4．如图，将直角三角板角的顶点放在上，斜边与交于点，若恰好是的中点，，则点到的距离是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查等边三角形的判定与性质，垂径定理以及勾股定理等知识，连接，证明是等边三角形，得出，过点作于点，证明点在上，过点作于点，得，由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：连接，如图， ∵点是斜边的中点，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 过点作于点， ∴点在上， 过点作于点，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得，， ∴点到的距离是， 故答案为：． 题型二、利用垂径定理求平行弦问题 5.一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，测量一次性纸杯杯口的直径．小明同学所在的学习小组设计了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你根据上述数据计算纸杯的直径是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，垂径定理，勾股定理等知识．熟练掌握矩形的性质，垂径定理，勾股定理是解题的关键．如图，记圆心为，连接，作于，作于，则，，由矩形的性质可知，，则三点共线，设，则，由勾股定理得，，即；，即；由，可得，可求，则，进而可求纸杯的直径． 【详解】解：如图，记圆心为，连接，作于，作于， ∴，， 由矩形的性质可知，， ∴三点共线， 设，则， 由勾股定理得，，即； ，即； ∵， ∴， 解得，， ∴或（舍去）， ∴纸杯的直径是， 故答案为：． 6.已知：的半径为，，是的两条弦，，，，求和之间的距离． 【答案】或 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理，分两种情况进行讨论：①弦和在圆心同侧；②弦和在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】解：①当弦和在圆心同侧时，如图1所示， ，， ，， ， ，， ； ②当弦和在圆心异侧时，如图2所示， ，， ，， ， ，， ； 综上所述：和之间的距离为或． 7.已知：如图，是的直径，、、是的弦，．    (1)求证：； (2)如果弦长为8，它与劣弧组成的弓形高为2，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理和全等三角形的判定与性质： （1）作于点E，交于点F，连接运用证明，可得出结论； （2）设的半径为，在中，运用勾股定理列出方程求出的值即可得出结论． 【详解】（1）解：作于点E，交于点F，连接如图，    ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴； （2）解：设的半径为，则， 又， ∴， 在中，， 即：， 解得，， ∴. 题型三、利用垂径定理求同心圆问题 8.如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．    (1)求证：； (2)若，，大圆的半径，求小圆的半径r的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，利用垂径定理构造直角三角形从而利用勾股定理求解是解题的关键． （1）过O作于点E，由垂径定理可得，，再用等式的性质即可得证； （2）连接、，利用垂径定理求出，在中，由勾股定理求出，然后在中，利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明：过O作于点E，如图， 由垂径定理可得，， ∴， ∴； （2）解：连接、，如图，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴在中，， ∴，即小圆的半径r为 9.如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点． (1)求证：． (2)若，大圆的半径，求小圆的半径r． 【答案】(1)证明见解析 (2)小圆的半径r为 【分析】（1）过O作于点E，由垂径定理可知E为和的中点，则可证得结论； （2）连接，由条件可求得的长，则可求得和的长，在中，利用勾股定理可求得的长，在中可求得的长； 【详解】（1）证明：过O作于点E，如图1， 由垂径定理可得 ∴ ∴ （2）解：连接，如图2， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， 在中，由勾股定理可得 ∴，即小圆的半径r为． 【点睛】本题考查了垂径定理与勾股定理的知识．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法． 题型四、利用垂径定理解实际应用问题 10．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，为的直径，弦于E，寸，寸，求直径的长”．（1尺寸）则 ． 【答案】寸 【分析】此题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． 连接，由垂径定理得到寸，设的半径为x，则，根据勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】解：连接， ∵寸， ∴寸， 设的半径为x，则， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得：， 解得：， ∴寸， 故答案为：寸． 11．石拱桥采用圆弧形的设计，不仅赋予了石拱桥独特的美学魅力，而且展现了我国古代工匠对力学原理的深刻理解和应用．如图，石拱桥桥拱的半径，拱高，则石拱桥的跨度 m． 【答案】8 【分析】本题主要考查了垂径定理的应用、 勾股定理等知识点，掌握垂径定理是解题的关键． 根据垂径定理得到，再求得，在中，，可求得，进而完成解答． 【详解】解：由题意可知，， ∴， ∵，， ∴， 在中， ， ∴，解得：， ∴． 故答案为：8． 12．如图①，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图②是这一款拱门的示意图，已知拱门所在圆的半径为，拱门最下端． (1)求拱门最高点到地面的距离； (2)现需要给房间内搬进一个直径为的圆桌面（桌面的厚度忽略不计），已知搬桌面的两名工人在搬运时所抬高度相同（桌面与地面平行），通过计算说明工人将桌面抬高多少（即桌面与地面的距离）就可以使该圆桌面通过拱门． 【答案】(1)拱门最高点到地面的距离为 (2)工人将桌面抬高就可以使该圆桌面通过拱门 【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理，熟知垂径定理是解题的关键． （1）设拱门所在圆的圆心为O，，作于C，延长交圆于D，连接，由垂径定理可得，则由勾股定理可得的长，据此求出的长即可得到答案； （2）设弦，且，连接，同理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图②中，设拱门所在圆的圆心为O，，作于C，延长交圆于D，连接， ∵，经过圆心O， ∴， ∴， ∴， ∴拱门最高点到地面的距离为； （2）解：如图，设弦，且，连接． ∵，经过圆心O， ∴， ∴， ∴， 答：工人将桌面抬高就可以使该圆桌面通过拱门． 13．如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆O，，为水面截线，，为桌面截线，． (1)作于点C，求的长； (2)将图1中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少？ 【答案】(1)的长 (2)此时水面截线减少了 【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用、勾股定理的应用等知识点，理解垂径定理是解题的关键． （1）如图1：连接，由圆的性质可得，再利用垂径定理得出，再运用勾股定理计算即可解答； （2）如图2：过点O作，垂足为点D，连接，利用勾股定理求出，再利用垂径定理得出，最后与相减即可解答． 【详解】（1）解：如图1：连接， ∵， ∴                  ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴，解得：， ∴的长． （2）解：如图2：过点O作，垂足为点D，连接，   ∴ 由题意可知： 在中，根据勾股定理得：， ∴ ，解得：， ∴，   ∴， ∴此时水面截线减少了． 一、单选题 1．如图，的半径为，于点，，则弦 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理，连接，根据垂径定理和勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接，则：， ∵于点，， ∴； 故选C． 2．如图，是的直径，弦于，若，，则的半径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解题的关键． 先根据垂径定理求出，设的半径为，再连接，利用勾股定理求值即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， 设的半径为，则， 在中， ， 即， 解得：． 故选：D ． 3．如图，在中，、为的两条弦，，，垂足为、，连接，若，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理，全等三角形的判定和性质，等边对等角等知识．根据垂直于弦的直径平分弦得出，推得，根据全等三角形的判定和性质得出，根据等边对等角得出，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，，，即A选项、B选项说法正确； 在和中， ， ∴ ∴， ∴，即C选项说法正确， 不能确定的度数，故D选项说法错误． 故选：D． 4．日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知，，垂足为点，，垂足为点，，的半径，则圆盘离桌面最近的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、垂径定理、勾股定理，连接，，作于点，交于点，交于点，证明四边形是矩形，得出，，由垂径定理可得，由勾股定理可得，求出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，，作于点，交于点，交于点， ， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴圆盘离桌面最近的距离是， 故选：D． 5．是等腰三角形的外接圆，圆心O到底边的距离为，的半径为，则腰的长为 （   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理，三线合一定理，勾股定理，分圆心在内和在外两种情况讨论，先证明三点共线，则可求出的长，根据勾股定理先求得的长，再根据勾股定理可求得的长即可． 【详解】解：分圆心在内接三角形内和在内接三角形外两种情况讨论， 如图一，假若是锐角，是等腰三角形， 连接，过点O作于D，连接， ∵， ∴为的中点， ∵是等腰三角形，且为底， ∴， ∴三点共线， ，， ， ， ； 如图二，若是钝角，是等腰三角形， 同理可得， ， 综上可得腰长或 故选： 二、填空题 6．如图，在中，弦的长为4，，则的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】本题主要考查了垂径定理和等腰直角三角形的性质，熟练掌握垂径定理是解答此题的关键． 利用垂径定理可得，由可得为等腰直角三角形，即可得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 故答案为：． 7．的半径为，弦，则与之间的距离是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，分两种情况：当在圆心同侧，异侧，分别根据勾股定理求出圆心到弦的距离，即可得出答案． 【详解】解：如图所示． 当在圆心同侧时，过点O作，连接， ∵ ∴． 在中，， 根据勾股定理，得． 同理． ∵，且， ∴之间的距离； 当在圆心异侧时，过点O作，连接， ∵ ∴． 在中，， 根据勾股定理，得． 同理． ∵，且， ∴之间的距离． 所以两条直线之间的距离是或． 故答案为：或． 8．如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于C，D两点，若，则小圆半径是 ． 【答案】 【分析】过O点作于H点，连接、，如图，根据垂径定理得到，，设，则，再利用双勾股得到，然后解方程求出r即可． 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 【详解】解：过O点作于H点，连接，如图，则 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或r（舍去）， 即小圆半径是， 故答案为：． 9．如图，是的直径，弦交于点，，点是的中点，且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆的垂径定理，勾股定理和含角的直角三角形的性质．如图，作于，连接，根据垂径定理得，由题意得，，在中，根据含的直角三角形的性质计算出，然后在中，利用勾股定理计算得到，即． 【详解】解：如图，作于，连接， ∵， ∴，则， ∵，点是的中点， ∴，则， ∴，则， ∵，，则， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 10．日晷是我国古代使用的一种计时仪器，某日晷底座的正面与晷面在同一平面上．如图，表示日晷的晷面圆周，日晷底座的底边在水平线l上，为等边三角形，， 与分别交于P，Q两点．点C，D是上两点，，过O作于点E，交于点F，交于点M．已知，，． （1）的半径是 ； （2）图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 60 【分析】本题考查垂径定理的实际应用，与圆有关的阴影部分面积； （1）连接，先证明，再由垂径定理得到，然后设的半径，在中，利用勾股定理得到，列方程计算即可；（2）由，求出等边三角形的边长，再分别求出，，最后根据计算即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴， 连接，如图 设的半径为， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得，即的半径为； 故答案为60． （2）∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴，解得或（负值舍去） ∴， ∵， ∴． 故答案为． 三、解答题 11．如图，有一拱桥为圆弧形，跨度，拱高，当洪水泛滥时，跨度只有时要采取紧急措施．当测量人员测得水面到拱顶距离只有时，是否需要采取紧急措施？ 【答案】不需要采取紧急措施 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，连接、，由题意可得，，，，，，由垂径定理可得，，再利用勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：连接、， ， 由题意可得：，，，，，， 由垂径定理可得：，， 由勾股定理可得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴不需要采取紧急措施． 12．如图，在中，已知是垂直平分半径的弦． (1)求的度数； (2)若弦，求的半径． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）证明是等边三角形，即可得到结论； （2）证明，，由是的垂直平分线，可得，（），再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵是的垂直平分线， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴； （2）解：如图， ∵，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴在中，（）， 由勾股定理，得， 解得：（舍去）， ∴的半径为． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，垂径定理的应用，线段的垂直平分线的性质，掌握以上基础知识是解本题的关键. 13．如图，已知点是两个同心圆的圆心，大圆的弦与小圆交于点、． (1)求证：； (2)如果，，大圆面积是小圆面积的倍，求大圆半径的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理、圆的面积公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）过点作于，根据垂径定理得，，所以，即可求解； （2）连接、，在与中，由勾股定理得：，，再结合，得，又大圆面积是小圆面积的倍，即可求解大圆半径的长． 【详解】（1）解：过点作于， ，， ， ； （2）解：连接、， 在与中，由勾股定理得：，， ， ， ，， ，， ， 大圆面积是小圆面积的倍， ，即， 根据可得：， ． 14．如图，的直径与弦交于点，，． (1)求的长． (2)当时，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理及直角三角形的性质． （1）过点作于点，根据是的直径，，，求出，进而利用勾股定理求出，再根据垂径定理即可求出； （2）根据题意求出，利用勾股定理求出即可解答． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 是的直径，， ． ， ， ， ，即的长为； （2）解：，， ． 又，， ，． ，即的长为． 15．图1是某城市一座造型独特的桥梁，该桥因索塔为圆形而被称为“戒指桥”，图2是该桥索塔示意图，已知桥面在圆形索塔上的部分，为的中点，为圆心，连接． (1)求证：； (2)经测量，到的距离为，求该的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握吹经定理． （1）设与交于点，由为的中点，可得，推出，即可证明； （2）连接，由题意可得：，根据垂径定理可得，设的半径为，则，在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：设与交于点， 为的中点， ， ， ； （2）连接， 由题意可得：， ， ， 设的半径为，则，， 在中，由勾股定理可得：，即， 解得：， 的半径为． 16．如图，是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为O，直径是河底截线，弦是水位线，于点．    (1)当测得水面宽时，求此时水位的高度； (2)当水位的高度比（1）上升1m时，有一艘宽为10m，船舱顶部高出水面2m的货船要经过桥洞（船舱截面为矩形），请通过计算判断该货船能否顺利通过桥洞？ 【答案】(1)此时水位的高度为 (2)该货船能顺利通过桥洞，见解析 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，作出合适的辅助线，牢记特殊角三角函数值是解题的关键． （1）根据垂径定理可得，求出桥洞的半径，然后利用勾股定理计算即可； （2）由（1）中水位高度为可知此时，延长交于F，连接，则，可得，货船居中行驶时，利用勾股定理求出，然后与桥洞的半径比较后可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴此时水位的高度； （2）解：该货船能顺利通过桥洞； 理由：由（1）中水位高度为可知此时， 延长交于F，连接，则，    ∵货船宽为，船舱顶部高出水面， ∴，货船居中行驶时， ∴， ∴该货船能顺利通过桥洞． 17．如图，是的直径，是的两条弦，点C与点D在的两侧，E是上一点（），连接，且． (1)如图1，若，，求的半径； (2)如图2，若，求证：． 【答案】(1)的半径为3； (2)见解析． 【分析】（1）利用等边对等角、三角形内角和定理求出，结合，可得出，在中，利用勾股定理求解即可； （2）过O作于F，利用垂径定理等可得出，然后利用定理证明，得出，然后利用平行线的判定即可得证； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 解得， 即的半径为3； （2）证明：过O作于F， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质等知识，明确题意，灵活运用所学知识解题是解题的关键． 18．素材：图1中有一座拱桥，图2是其圆弧形或抛物线形桥拱的示意图．某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高． 解决问题： (1)若桥拱形状是圆弧，该河段水位涨达到最高时，有一艘货船它漏出水面高2.2米，船体宽9米，判断它是否能顺利通行并说明理由； (2)若拱桥是抛物线形，为迎佳节，拟在图3所示的桥拱上悬挂长的灯笼．要求灯笼底部距离水面不小于，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为．为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布，则悬挂的灯笼数量是 个． 【答案】(1)能顺利通行，理由见解析 (2)7或8 【分析】本题考查了二次函数和圆的综合应用，解题的关键是能把实际问题转化为数学问题，掌握二次函数，圆的相关性质． （1）画出图形，根据题意可知，，T，由勾股定理可得，即可得到答案． （2）先求出二次函数的解析式，然后根据该河段水位再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于，灯笼长，可知悬挂点的纵坐标的最小值是，即可知悬挂点的横坐标的取值范围是：；方案一：从顶点处开始悬挂灯笼，根据，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为，可知共可挂7盏灯笼；方案二：从距顶点处开始挂灯笼，可知共可挂8盏灯笼． 【详解】（1）解：如图，设圆心为M，设圆的半径为r米，由题意得于点C，于点T，连接， 则米， ∴，解得米， 根据题意可知，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴能顺利通行，船航行线路是船的中心线沿航行； （2）解：如图，以拱桥的顶点为坐标原点，抛物线对称轴为y轴建立平面直角坐标系， 则点B的坐标为， 设函数关系式为，代入得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵该河段水位再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于，灯笼长， ∴当悬挂点的纵坐标， 即悬挂点的纵坐标的最小值是， 当时，， ∴， ∴悬挂点的横坐标的取值范围是：； 方案一：如图3（坐标轴的横轴），从顶点处开始悬挂灯笼， ∵，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为， ∴若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，， 若顶点一侧悬挂3盏灯笼时，， ∴顶点一侧最多悬挂3盏灯笼， ∵灯笼挂满后成轴对称分布， ∴共可挂7盏灯笼， 方案二：从距顶点处开始挂灯笼，如图4， ∵若顶点一侧悬挂5盏灯笼时，， 若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，， ∴顶点一侧最多悬挂4盏灯笼， ∵灯笼挂满后成轴对称分布， ∴共可挂8盏灯笼， 故答案为：7或8． 1 / 14 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