第三十章 旋转（2大考点+10大题型）（复习讲义）数学人教版五四制九年级上册

第三十章 旋转（复习讲义） 1. 了解图形旋转、中心对称及中心对称图形的意义，体会旋转与中心对称之间的整体联系。 2. 能用旋转的性质进行作图，能作出一个图形关于某点对称的图形。 3. 理解并利用旋转的性质、中心对称的性质以及关于原点对称的点的坐标特征解决问题。 考点1 图形的旋转 1.旋转的定义 在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。 我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。 2.旋转的性质 旋转的特征：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等。 理解以下几点： （1） 图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。（2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。（3）图形的大小与形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。 3.利用旋转性质作图 旋转有两条重要性质：（1）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（2）对应点到旋转中心的距离相等，它就是利用旋转的性质作图的关键。步骤可分为： ①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心； ②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角） ③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，的到各点的对应点； ④接：即连接到所连接的各点。 考点2 中心对称 1.中心对称的定义 中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。 注意以下几点： 中心对称指的就是两个图形的位置关系；只有一个对称中心；绕对称中心旋转180°两个图形能够完全重合。 2.作一个图形关于某点对称的图形 要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形，关键就是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点。最后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可的出成中心对称图形。 3.中心对称的性质 有以下几点： （1）关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对称中心平分； （2）关于中心对称的两个图形能够互相重合，就是全等形； （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）且相等。 4.中心对称图形的定义 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就就是它的对称中心。 5.关于原点对称的点的坐标 在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即点p（x,y）关于原点对称点为（-x,-y）。 题型1 利用旋转的性质求角的度数 【例1】（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为 ． 【变式1-1】（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，在中，，，边绕点C按逆时针方向旋转一周回到原来的位置．在旋转过程中，点B的对应点为，旋转角为，当时，旋转角为 ． 【变式1-2】（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，中，．将绕点顺时针旋转，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接，若，则 ． 【变式1-3】（25-26九年级上·陕西榆林·开学考试）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点A，的对应点分别为点，，延长交于点，与相交于点，则的度数为 ． 题型2 利用旋转的性质求线段长度 【例2】（24-25九年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别为点，．若点恰好落在上，则点A与点的距离的长为 ． 【变式2-1】（24-25八年级上·山东青岛·开学考试）如图，P为正方形内一点，将绕B顺时针旋转到的位置，若，则的长为 ． 【变式2-2】（2025八年级上·湖南邵阳·竞赛）如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段．要使点恰好落在上，则的长是 ． 【变式2-3】（24-25九年级上·江西赣州·期中）如图，在平行四边形中，过点C作交于点E，点P是线段延长线上的任意一点，将线段绕点E逆时针旋转得到线段．若，，当点Q恰好落在平行四边形的边所在直线上时，的长度为 题型3 求点旋转后的坐标 【例3】（25-26九年级上·山东日照·开学考试）如图，在直角坐标系中，以原点O为旋转中心，将线段顺时针旋转得到线段，点A的对应点为．若点A的坐标为，则点的坐标为 ． 【变式3-1】（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）在平面直角坐标系中，以原点为旋转中心，把点旋转，得到点，则点的坐标是 ． 【变式3-2】（24-25九年级上·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，将线段绕点逆时针旋转α角．若点A的对应点的坐标为，则点B的对应．点的坐标为 ． 【变式3-3】（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，正比例函数的图象经过，两点，现将线段绕点B顺时针旋转得到线段，则点C的坐标为 . 题型4 利用旋转的性质求面积 【例4】（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）如图，有两个边长为2的正方形，其中正方形的顶点与正方形的中心重合．在正方形绕点旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积是 ． 【变式4-1】（23-24九年级上·广东中山·期中）已知，如图，菱形的边长为2，，将菱形绕顶点在平面内顺时针旋转得到菱形，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为 .    【变式4-2】（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）已知两块相同的三角板如图所示摆放，点B、C、E在同一直线上，，，，将绕点C顺时针旋转一定角度，如果在旋转的过程中有一边与平行，那么此时的面积是 ． 题型5 识别中心对称图形 【例5】（2025九年级·全国·竞赛）下列图形中是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2025·山东青岛·模拟预测）（了解）下列图形中，不是中心对称图形只是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26九年级上·辽宁·开学考试）剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26八年级上·浙江宁波·开学考试）下列图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 题型6 中心对称的性质运用 【例6】（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，与关于点A成中心对称，若，，，则的长为（    ）    A．6 B．4 C．3 D．2 【变式6-1】（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，已知和关于点O成中心对称，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，与关于点O成中心对称，连接，，．下列结论中正确的有（   ） ①点A与点D是对应点；②；③线段与关于点O成中心对称 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式6-3】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，与关于点成中心对称，下列说法： ①；②；③；④与的面积相等，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型7 关于原点对称点的坐标 【例7】（24-25八年级下·河北石家庄·期中）点关于原点中心对称的点的坐标为(   ) A． B． C． D． 【变式7-1】（2025·广东韶关·模拟预测）已知点M与点N关于原点对称，则的值为（   ） A．3 B．2 C． D． 【变式7-2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知点A的坐标为，点A关于轴的对称点是B，点B关于原点的对称点是C，那么点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（24-25九年级上·福建福州·期末）已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，且点A与点B关于原点对称，，则的值为（    ） A． B． C．-3 D．3 题型8 找旋转中心、旋转角、对应点 【例8】（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，在中，，，，将逆时针旋转一角度后与重合，且点D恰好是的中点． (1)旋转中心是点 ，的长为 ； (2)求的度数． 【变式8-1】（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，正方形中，点E为边上的一点，将顺时针旋转后得到． (1)指出旋转中心为点_____及旋转角的度数为_______； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【变式8-2】如图，点为正方形内一点，经逆时针旋转后能与重合. (1)旋转中心是_____，旋转角度最小为_____度； (2)判断的形状，并说明理由； (3)若，说明. 【变式8-3】如图所示，在三角形中，，D是边上的一点，三角形经过旋转后到达三角形的位置． (1)旋转中心是哪一点？ (2)旋转了多少度？ (3)如果M是的中点，那么经过上述的旋转后，点M到了什么位置？ 题型9 平面直角坐标系中的旋转变换 【例9】（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)若经过平移后得到，已知点的对应点的坐标为，请画出； (2)将绕坐标原点按顺时针方向旋转90°得到，请画出； (3)若将绕点旋转可得到，则点的坐标为_______． 【变式9-1】（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，的顶点坐标分别为，，． (1)画出关于y轴的对称图形； (2)画出关于原点的中心对称图形； (3)画出绕点A顺时针旋转90°的旋转对称图形，直接写出的坐标 ． 【变式9-2】（25-26九年级上·河南信阳·阶段练习）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，请解答下列问题： (1)作出向左平移4个单位长度后得到的，并写出点的坐标； (2)作出关于原点对称的，并写出点的坐标；可看作以点（____________，____________）为旋转中心，旋转____________得到的． (3)已知关于直线对称的的顶点的坐标为，请直接写出直线的函数解析式． 【变式9-3】（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)将绕点C旋转，点A的对应点为，直接在图中画出旋转后的； (2)平移，点A的对应点的坐标为，点B的对应点为，直接在图中画出平移后的； (3)若将绕某一点旋转可以得到，旋转中心的坐标为______（直接填空）． 题型10 旋转的综合探究性问题 【例10】（24-25八年级上·福建福州·期末）已知，在中，，，点是边上的一点（不与点，重合），连接． (1)如图1，将线段绕点A逆时针方向旋转得到线段，连接．求证：，． (2)如图2，点，都在线段上，且． ①求证：． ②若，，求的周长． 【变式10-1】（24-25九年级上·江西赣州·期中）在中，． (1)如图1，D为边上一点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接．请直接写出线段与的关系； (2)如图2，D为外一点，且，仍将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，． ①求证：； ②若，求的长． 【变式10-2】（23-24八年级下·山东日照·期末）已知四边形和四边形均为正方形，连接，直线与交于点． (1)如图1，当点在上时，线段与的数量关系是___________，线段与的位置关系是___________； (2)如图2，将正方形绕点逆时针旋转任意角度，（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由； (3)若，，正方形在绕点逆时针旋转过程中，当点、、三点共线时，请直接写出线段的长． 【变式10-3】（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）（1）如图1，正方形的边长为4，对角线、相交于点是边上点（点不与、重合），将射线绕点逆时针旋转，所得射线与交于点，则四边形的面积为___________． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的对角线的交点是矩形的一个顶点，将矩形绕着点旋转，与边相交于点．与边相交于点，连接，猜想之间的数量关系．并进行证明． 【拓展应用】 （3）如图3，在直角中，，，，的顶点在边的中点处，，它的两条边和分别与直线相交于点可绕着点旋转，当时，则的长度为___________cm． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）已知点，若点B与点A关于原点成中心对称，则点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）下列标识中，属于中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，将绕点A按逆时针方向旋转得到，若，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）如图，教室的水平地面上有一个倒地的簸箕，与地面的夹角，，小明同学将它扶起（绕点逆时针旋转）后平放在地面上，的对应线段为，在这一过程当中，簸箕柄绕点旋转了（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（20-21九年级下·海南海口·自主招生）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ． 6．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，正方形网格中，绕某一点逆时针旋转n度后得到．在A、B、C、D等4个格点中，是旋转中心的为 ． 7．（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）如图，将绕点逆时针旋转一定的角度得到，此时边经过点，若，，则的长是 ． 8．（22-23九年级上·辽宁大连·期末）如图，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点都是网格线的交点，已知B点的坐标为，将绕着点C顺时针旋转90°，则点A的对应点的坐标为 ． 三、解答题 9．（23-24九年级上·河北唐山·期中）如图，是正方形的边上一点，是边上一点，逆时针旋转后能够与重合． (1)写出它的旋转中心； (2)旋转角至少是多少度？ (3)______（填“＞”或“＝”或“＜”）． 10．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，的顶点坐标分别为． (1)画出关于点成中心对称的； (2)将绕点顺时针旋转，画出旋转后的． 11．（20-21九年级上·广西南宁·期中）如图，等腰中，，，点D在上，将绕点B沿顺时针方向旋转，得到． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 12．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，．将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线于点D、E，如图1，2，3是旋转三角板得到的三种情况． (1)如图1，当点D是的中点时，点E恰为的中点，请写出线段之间的数量关系：________________； (2)当三角板绕点P旋转至图2所示的位置时，判断线段之间的数量关系，并说明理由； (3)三角板绕点P旋转时，能否成为以为腰的等腰三角形？若能，请直接写出的长；若不能，请说明理由． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图是一个正五角星，将这个正五角星绕着它的中心旋转与自身重合，至少应旋转的度数为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·福建福州·阶段练习）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，点C的对应点恰好落在斜边上，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，将绕点顺时针旋转得到若点，，在同一条直线上，，，则的长为（ ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·重庆·开学考试）如图，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，将绕着点顺时针旋转交的延长线于点，，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（20-21九年级上·山东济宁·期中）若点与点关于原点对称，则是 ． 6．（2023九年级上·黑龙江哈尔滨·竞赛）如图，在平面直角坐标系中，有一个矩形，边在x轴上，边在y轴上，，．将矩形绕着点O顺时针旋转90度，得到矩形再将矩形绕着点顺时针旋转得到矩形，依次旋转下去，则经过第113次旋转，点O的对应点的横坐标是 7．（25-26九年级上·湖南长沙·开学考试）如图，在矩形中，，点P为边上的一个动点，线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，．当点落在边上时，的值为 ；当线段的长度最小时，的度数为 ． 8．（2025·贵州黔东南·二模）如图，P是正方形内一点，，，，将线段以点A为旋转中心逆时针旋转得到线段，连接，下列结论：①可以由绕点A逆时针旋转得到；②点P与的距离为4；③；④；其中正确的结论是 ．（填序号） 三、解答题 9．（2024九年级上·青海西宁·竞赛）如图所示：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为个单位长度； (1)将向轴正方向平移个单位得； (2)画出关于原点对称的，并写出的坐标； (3)将再以点为旋转中心，顺时针旋转得，画出平移和旋转后的图形，并标明对应字母． 10．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）已知，将其绕点顺时针旋转一个角度得到．（点，的对应点分别是，） (1)如图1，连接，若，，，，求，两点间的距离（即的长） (2)如图2，，，三点在一条直线上，且，求证：． 11．（24-25八年级下·陕西西安·期末）【问题提出】如图（1），是正方形内一点，将绕点顺时针方向旋转与重合，若，则___________（直接写出答案） 【问题探究】如图（2），点是等边内一点，，求的度数． 对于这个问题，小明是这样思考的：将绕点顺时针方向旋转至处，连接，根据所学习的数学知识便可以求出的度数．请你根据小明的想法，作出图形，并求出的度数． 【问题解决】如图（3），为等腰直角三角形，，是内部一点，当取得最小值时，请求出的面积． 12．（24-25八年级下·江苏淮安·阶段练习）【课本再现】 （1）如图1，正方形的对角线、相交于点O，正方形的顶点A′与点O重合．将正方形绕点A′旋转，在这个过程中，若连接，则、、之间的数量关系为___________． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形对角线的交点O是矩形的一个顶点，与边相交于点E，与边相交于点F，连接，矩形可绕着点O旋转，猜想，，之间的数量关系，并进行证明． 【拓展应用】 （3）在菱形中，，E、F分别是边、对角线上一点，且，以、为邻边作菱形，再将菱形绕点A逆时针旋转一定角度后得到新的菱形如图3，连接，点P为线段的中点，连接、． ①判断与的数量关系，并进行证明； ②若，，菱形在旋转过程中，当最小时，的面积为___________． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三十章 旋转（复习讲义） 1. 了解图形旋转、中心对称及中心对称图形的意义，体会旋转与中心对称之间的整体联系。 2. 能用旋转的性质进行作图，能作出一个图形关于某点对称的图形。 3. 理解并利用旋转的性质、中心对称的性质以及关于原点对称的点的坐标特征解决问题。 考点1 图形的旋转 1.旋转的定义 在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。 我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。 2.旋转的性质 旋转的特征：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等。 理解以下几点： （1） 图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。（2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。（3）图形的大小与形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。 3.利用旋转性质作图 旋转有两条重要性质：（1）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（2）对应点到旋转中心的距离相等，它就是利用旋转的性质作图的关键。步骤可分为： ①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心； ②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角） ③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，的到各点的对应点； ④接：即连接到所连接的各点。 考点2 中心对称 1.中心对称的定义 中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。 注意以下几点： 中心对称指的就是两个图形的位置关系；只有一个对称中心；绕对称中心旋转180°两个图形能够完全重合。 2.作一个图形关于某点对称的图形 要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形，关键就是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点。最后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可的出成中心对称图形。 3.中心对称的性质 有以下几点： （1）关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对称中心平分； （2）关于中心对称的两个图形能够互相重合，就是全等形； （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）且相等。 4.中心对称图形的定义 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就就是它的对称中心。 5.关于原点对称的点的坐标 在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即点p（x,y）关于原点对称点为（-x,-y）。 题型1 利用旋转的性质求角的度数 【例1】（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为 ． 【答案】/24度 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．先根据旋转前后图形的对应线段相等、对应角相等得到相关角的关系，再根据等腰三角形的性质得出两个底角相等，最后在中利用三角形内角和得出关系式，计算可得结果． 【详解】解：， ， ， ∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式1-1】（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，在中，，，边绕点C按逆时针方向旋转一周回到原来的位置．在旋转过程中，点B的对应点为，旋转角为，当时，旋转角为 ． 【答案】70或250/250或70 【分析】本题考查旋转的性质，平行线的判定，三角形内角和定理．当时，或时，，画出图形，即可求解． 【详解】解：在中，，， ， 当时，分两种情况： 当时，，此时； 当时，，此时； 故答案为：70或250． 【变式1-2】（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，中，．将绕点顺时针旋转，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接，若，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，三角形内角和定理的应用，掌握旋转的性质是解题的关键．由旋转的性质可得，，，由直角三角形的性质和等腰三角形的性质可求解． 【详解】解：将绕点顺时针旋转， ，，， ， ， ， ∵， ， ， 故答案为：． 【变式1-3】（25-26九年级上·陕西榆林·开学考试）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点A，的对应点分别为点，，延长交于点，与相交于点，则的度数为 ． 【答案】60 【分析】本题主要考查了旋转的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识点，弄清角之间的关系成为解题的关键。 先根据旋转的性质得、，结合可得,然后根据三角形外角的性质即可解答． 【详解】解： ∵将绕点顺时针旋转得到，， ∴、， ∴， ∴. 故答案为：60． 题型2 利用旋转的性质求线段长度 【例2】（24-25九年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别为点，．若点恰好落在上，则点A与点的距离的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了所对直角边是斜边一半，勾股定理，旋转的性质以及等边三角形的判定与性质．熟练掌握所对直角边是斜边一半，勾股定理，旋转的性质以及等边三角形的判定与性质是解题的关键． 先利用所对直角边是斜边一半和勾股定理求出，的长，再根据旋转的性质得，结合角度推出是等边三角形，进而得到相关角度，最后证明是等边三角形，从而求出的长度． 【详解】解：连接， ，， ， 在中，， 由旋转的性质可知：，， 是等边三角形， ，． ， ， 是等边三角形， ． 故答案为：． 【变式2-1】（24-25八年级上·山东青岛·开学考试）如图，P为正方形内一点，将绕B顺时针旋转到的位置，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理，掌握旋转的性质，是解题的关键．根据旋转得到，勾股定理求出即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵绕B顺时针旋转到达的位置， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2-2】（2025八年级上·湖南邵阳·竞赛）如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段．要使点恰好落在上，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质．全等三角形的判定与性质，掌握相关知识是解决问题的关键．先计算出，根据等边三角形的性质得，再根据旋转的性质得，，根据三角形内角和和平角定义得，进而证明，则． 【详解】解：，， ， 为等边三角形， ， 线段绕点逆时针旋转得到线段，点恰好落在上， ，， ，， ，， ， 在和中， ， ． 故答案为：． 【变式2-3】（24-25九年级上·江西赣州·期中）如图，在平行四边形中，过点C作交于点E，点P是线段延长线上的任意一点，将线段绕点E逆时针旋转得到线段．若，，当点Q恰好落在平行四边形的边所在直线上时，的长度为 【答案】或2或 【分析】分三种情况：点Q在直线的延长线上时；点Q在直线上时；点Q在直线上时，利用平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得； ①如图，点Q在直线的延长线上时； 过点A作于点N，分别过P、Q作直线的垂线，垂足分别为M、F， 在中，， ∴； ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， ∴, ∴； ②如图，点Q在直线上时； 分别过P、Q作的垂线，垂足分别为M、F， 与①同理，，则， 设，则，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 在中，，则， ∴； ③如图，当点Q在直线上时， 此时， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的长为或2或， 故答案为：或2或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，含30度角直角三角形的性质及勾股定理，涉及分类讨论思想的应用，正确掌握这些知识是关键． 题型3 求点旋转后的坐标 【例3】（25-26九年级上·山东日照·开学考试）如图，在直角坐标系中，以原点O为旋转中心，将线段顺时针旋转得到线段，点A的对应点为．若点A的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 过点A作轴于点B，过点作轴于点C，由旋转得，，，可得，则，．由已知条件可得，，则，，可得点的坐标． 【详解】解：过点A作轴于点B，过点作轴于点C， ∴， ∴． 由旋转得，，， ∴， ∴， ∴， ∴，． ∵点A的坐标为， ∴，， ∴，， ∵点在第四象限内， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【变式3-1】（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）在平面直角坐标系中，以原点为旋转中心，把点旋转，得到点，则点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质． 分两种情况作答即可． 【详解】以原点为旋转中心，把点逆时针旋转，得到点，可知，， 如图，作轴交轴于D，作轴交轴于C， ∴，， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， ∴，， ∴； 以原点为旋转中心，把点顺时针旋转，得到点， 同理可得； 故答案为：或 【变式3-2】（24-25九年级上·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，将线段绕点逆时针旋转α角．若点A的对应点的坐标为，则点B的对应．点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：，，，，；记住关于原点对称的点的坐标特征．解决本题的关键是正确理解题目，按题目的叙述一定要把各点的大致位置确定，正确地作出图形即可求出答案． 【详解】解：将线段绕点逆时针旋转，点的对应点的坐标为，如图所示： ， ， ， 故答案为：． 【变式3-3】（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，正比例函数的图象经过，两点，现将线段绕点B顺时针旋转得到线段，则点C的坐标为 . 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，全等三角形的判定和性质．利用待定系数法求得正比例函数的解析式，求得，过点作轴的直线，过点和作直线的垂线，垂足分别为和，证明，求得，，据此求解即可． 【详解】解：∵设正比例函数的解析式为， ∴， 解得， ∴正比例函数的解析式为， ∵正比例函数的图象经过， ∴， ∴， 过点作轴的直线，过点和作直线的垂线，垂足分别为和，如图， ∴，， ∵将线段绕点B顺时针旋转得到线段， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 题型4 利用旋转的性质求面积 【例4】（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）如图，有两个边长为2的正方形，其中正方形的顶点与正方形的中心重合．在正方形绕点旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积是 ． 【答案】1 【分析】此题主要考查了动点问题的函数图象，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，过点E作于点P，于点Q，则可证明，得出，根据得出答案即可． 【详解】解：如图，过点E作于点P，于点Q， 则， ∵点E是正方形的中心， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 【变式4-1】（23-24九年级上·广东中山·期中）已知，如图，菱形的边长为2，，将菱形绕顶点在平面内顺时针旋转得到菱形，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为 .    【答案】 【分析】相交于点O，与交于点E，根据菱形的性质推出的长，再根据菱形的性质推出与的长，再根据重叠部分的面积=的面积的面积求解即可． 【详解】解：根据题意，如图，将该菱形绕顶点A在平面内顺时针旋转， ，相交于点O，与交于点E， ∵四边形是菱形， ∵菱形绕点A顺时针旋转得到菱形, ， 三点共线， ， 又， , ∵重叠部分的面积的面积的面积， ∴重叠部分的面积 即旋转后的图形，与原图形重叠部分的面积为． 【点睛】本题考查菱形的性质，菱形对角线互相垂直，菱形四条边相等，以及旋转变化，旋转前后对应边相等，对应角相等． 【变式4-2】（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）已知两块相同的三角板如图所示摆放，点B、C、E在同一直线上，，，，将绕点C顺时针旋转一定角度，如果在旋转的过程中有一边与平行，那么此时的面积是 ． 【答案】或12 【分析】分两种情况画图讨论：如图1，当时，过点B作延长线于点F；当时，过点B作延长线于点G，利用30度角 直角三角形即可解答． 【详解】如图1，当时，过点B作延长线于点F， 根据题意可知：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积； 如图2，当时，过点B作延长线于点G， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴的面积 综上所述：的面积是或12． 故答案为：或12． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，直角三角形，勾股定理，解题关键是利用分类讨论思想解答． 题型5 识别中心对称图形 【例5】（2025九年级·全国·竞赛）下列图形中是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查中心对称图形的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据中心对称图形的定义，逐个判断即可． 【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，不符合题意； B．该图形不是中心对称图形，不符合题意； C．该图形是中心对称图形，符合题意； D．该图形不是中心对称图形，不符合题意． 故选C． 【变式5-1】（2025·山东青岛·模拟预测）（了解）下列图形中，不是中心对称图形只是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．不是中心对称图形，但是轴对称图形，故此选项符合题意； C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式5-2】（25-26九年级上·辽宁·开学考试）剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形、中心对称图形的识别．平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形；如果把一个图形绕某一点旋转后能与自身重合，这个图形是中心对称图形．根据轴对称图形、中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合要求； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合要求； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求； 故选：A． 【变式5-3】（25-26八年级上·浙江宁波·开学考试）下列图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：C． 题型6 中心对称的性质运用 【例6】（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，与关于点A成中心对称，若，，，则的长为（    ）    A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了中心对称的性质、全等三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握中心对称的两个三角形是全等三角形成为解题的关键． 由中心对称的性质可得得到，即，然后运用勾股定理求得的长即可． 【详解】解：∵与关于点A成中心对称， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 故选C． 【变式6-1】（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，已知和关于点O成中心对称，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查中心对称的性质，掌握中心对称的性质是求解本题的关键． 根据中心对称的性质判断即可． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴，，，， ∴B、C、D都不合题意． ∵与不是对应边， ∴不成立． 故选：A． 【变式6-2】（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，与关于点O成中心对称，连接，，．下列结论中正确的有（   ） ①点A与点D是对应点；②；③线段与关于点O成中心对称 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查的是中心对称的性质，全等三角形的判定；根据与成中心对称，点是对称中心，再逐一分析判断即可． 【详解】解：①∵与成中心对称，点是对称中心，观察图形可知： 点A与点D是对应点，原说法正确，故符合题意； ②由中心对称的性质可得：，，， ∴，原说法正确，故符合题意； ③∵与成中心对称，点是对称中心， ∴线段与关于点O成中心对称，原说法正确，故符合题意． 故选：D． 【变式6-3】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，与关于点成中心对称，下列说法： ①；②；③；④与的面积相等，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查中心对称，根据“成中心对称的两个图形全等，对称点到对称中心的距离相等”即可判断． 【详解】解：与关于点成中心对称， ， ，，与的面积相等， 故①②④正确； 对称点到对称中心的距离相等， ， 故③正确； 综上可知，正确的有4个， 故选D． 题型7 关于原点对称点的坐标 【例7】（24-25八年级下·河北石家庄·期中）点关于原点中心对称的点的坐标为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点关于原点中心对称的坐标特征，解题的关键是熟记“点关于原点中心对称的点的坐标为”这一规律． 先明确点关于原点中心对称的坐标变换规律：若点的坐标为，则其关于原点对称的点的坐标为；再将点的横、纵坐标分别取相反数，得到对称点的坐标，最后与选项对比确定答案． 【详解】解：∵点关于原点对称的点的坐标为， ∴点关于原点对称的点的横坐标为，纵坐标为，即．   故选：C． 【变式7-1】（2025·广东韶关·模拟预测）已知点M与点N关于原点对称，则的值为（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了关于原点对称点的坐标，正确掌握关于原点对称点的性质是解题关键．利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P关于原点O的对称点是，进而求出即可． 【详解】解：∵点M与点N关于原点对称， ∴，， 故． 故选：C． 【变式7-2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知点A的坐标为，点A关于轴的对称点是B，点B关于原点的对称点是C，那么点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了关于轴、原点对称点的坐标特点，根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反即可得到答案． 【详解】解：∵点A的坐标为，， ∴点关于轴的对称点， ∴点关于原点的对称点， 故选：B． 【变式7-3】（24-25九年级上·福建福州·期末）已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，且点A与点B关于原点对称，，则的值为（    ） A． B． C．-3 D．3 【答案】D 【分析】本题先根据关于原点对称的点的坐标特征，得出点与点坐标的关系，再结合已知条件，求出的值．本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，熟练掌握关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数是解题的关键． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，． ∵， ∴． 故选：D． 题型8 找旋转中心、旋转角、对应点 【例8】（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，在中，，，，将逆时针旋转一角度后与重合，且点D恰好是的中点． (1)旋转中心是点 ，的长为 ； (2)求的度数． 【答案】(1)A， (2) 【分析】本题考查了旋转的相关知识点． （1）由“顺时针旋转一定角度后与重合”可得旋转中心点，根据旋转的性质得出，，据此可求得； （2）根据旋转的性质得出． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， 即， ∵顺时针旋转一定角度后与重合， ∴旋转中心为点A，旋转的度数为； ∴，， ∵点D恰好成为的中点， ∴， ∴； 故答案为：A，； （2）解：∵顺时针旋转一定角度后与重合， ∴旋转中心为点A，旋转的度数为； ∴， 故答案为：． 【变式8-1】（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，正方形中，点E为边上的一点，将顺时针旋转后得到． (1)指出旋转中心为点_____及旋转角的度数为_______； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)旋转中心是，旋转角是 (2)，理由见解析 【分析】（1）将旋转后得到，要确定旋转中心及旋转的角度，首先确定哪个点是对应点，即可确定； （2）根据旋转的性质可知，旋转前后两个图形一定全等，根据全等三角形的对应角相等，即可作出判断． 【详解】（1）解：∵将顺时针旋转后得到 ∴旋转中心是点，旋转角的度数是； （2）解：延长交于点．    由旋转可知：， ，． 又，， ， ． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的性质，旋转只是改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，旋转前后的两个图形一定全等． 【变式8-2】如图，点为正方形内一点，经逆时针旋转后能与重合. (1)旋转中心是_____，旋转角度最小为_____度； (2)判断的形状，并说明理由； (3)若，说明. 【答案】(1)点，90 (2)等腰直角三角形，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查几何图形的旋转，熟悉“旋转的概念、性质”是解答本题的关键． （1）根据旋转的定义结合已知条件分析解答即可； （2）由旋转的性质可知，，，由此可得是等腰直角三角形； （3）由旋转可得，进而得到，从而证明结论． 【详解】（1）解：∵是正方形， ∴， ∵经逆时针旋转后能与重合， ∴旋转中心是点，旋转角度最小为， 故答案为：点，； （2）解：是等腰直角三角形，理由为 四边形是正方形， ， 由旋转，得，， 是等腰直角三角形； （3）证明：由旋转，得， ， ， ． 【变式8-3】如图所示，在三角形中，，D是边上的一点，三角形经过旋转后到达三角形的位置． (1)旋转中心是哪一点？ (2)旋转了多少度？ (3)如果M是的中点，那么经过上述的旋转后，点M到了什么位置？ 【答案】(1)旋转中心是点A． (2)逆时针旋转了． (3)点M到了的中点处． 【分析】本题主要考查的是旋转变换后图形所具有的性质，等边三角形的性质和判定，关键在于明确旋转中心，旋转角度和旋转位置． （1）观察图形，经旋转后到达的位置，可得出旋转中心； （2）观察图形，线段旋转后，对应边是就是旋转角，可得出旋转角； （3）因为旋转前后是对应边，故的中点，旋转后就是的中点． 【详解】（1）解：∵经旋转后到达，它们的公共顶点为， ∴旋转中心是点； （2）解：∵ ∴是等边三角形 ∴ 线段旋转后，对应边是就是旋转角，也是等边三角形的内角，是， ∴逆时针旋转了； （3）解：旋转前后是对应边，故的中点，旋转后就是的中点， ∴点转到了的中点． 题型9 平面直角坐标系中的旋转变换 【例9】（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)若经过平移后得到，已知点的对应点的坐标为，请画出； (2)将绕坐标原点按顺时针方向旋转90°得到，请画出； (3)若将绕点旋转可得到，则点的坐标为_______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查坐标与图形变换—平移与旋转，熟练掌握平移和旋转的性质，是解题的关键： （1）根据点的对应点的坐标为，确定平移规则，进而画出即可； （2）根据旋转的性质，画出； （3）根据旋转中心在对应点连线的中垂线上，进行求解即可． 【详解】（1）解：解：点的对应点的坐标为， 先向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到， 如图，即为所求， （2）如图，即为所求． （3）如图，若将绕点旋转可得到，则点的坐标为． 【变式9-1】（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，的顶点坐标分别为，，． (1)画出关于y轴的对称图形； (2)画出关于原点的中心对称图形； (3)画出绕点A顺时针旋转90°的旋转对称图形，直接写出的坐标 ． 【答案】(1)图见详解 (2)图见详解 (3)图见详解， 【分析】本题主要考查轴对称图形的性质、中心对称图形及旋转的性质，熟练掌握轴对称图形的性质、中心对称图形及旋转的性质是解题的关键； （1）分别得出点A、B、C关于y轴对称的对应点，然后问题可求解； （2）分别得出点A、B、C关于原点对称的对应点，然后问题可求解； （3）根据旋转的性质进行作图即可． 【详解】（1）解：所作如图所示； （2）解：所作如图所示； （3）解：所作如图所示；由图可知的坐标为； 故答案为． 【变式9-2】（25-26九年级上·河南信阳·阶段练习）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，请解答下列问题： (1)作出向左平移4个单位长度后得到的，并写出点的坐标； (2)作出关于原点对称的，并写出点的坐标；可看作以点（____________，____________）为旋转中心，旋转____________得到的． (3)已知关于直线对称的的顶点的坐标为，请直接写出直线的函数解析式． 【答案】(1)图形见详解， (2)图形见详解，；，，180 (3) 【分析】本题主要考查了图形的平移，图象的旋转，线段中点坐标，一次函数的解析式等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）利用平移的性质进行画图即可，通过图形和坐标系确定点的坐标； （2）利用旋转的性质进行画图即可，通过图形和坐标系确定点的坐标，根据旋转的性质确定旋转中心； （3）根据对称点确定线段中点的坐标，然后利用待定系数法求函数解析式即可． 【详解】（1）解：如图即为所求， 此时，； （2）解：如图，即为所求， 此时，， 可看作以点为旋转中心，旋转得到的， 故答案为：，，180； （3）解：如图所示， 因为A的坐标为，的坐标为，则线段的中点坐标为， 所以直线必过点，且直线垂直平分线段， ∵可以看作的正方形的对角线， ∴直线经过点，假设直线的解析式为， 将，代入得， 解得 所以直线的解析式为． 【变式9-3】（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)将绕点C旋转，点A的对应点为，直接在图中画出旋转后的； (2)平移，点A的对应点的坐标为，点B的对应点为，直接在图中画出平移后的； (3)若将绕某一点旋转可以得到，旋转中心的坐标为______（直接填空）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了坐标与图形变化—旋转、平移，根据旋转和平移的性质正确作图是解题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可； （2）根据平移的性质作图即可； （3）根据旋转图形的旋转中心在对应点连线的垂直平分线上，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：∵，平移，点A的对应点的坐标为， ∴的平移方式为向右4个单位长度，再向下4个单位长度， 如图所示，即为所求： （3）解：由坐标系可得，，，，， ∴的中点坐标为，的中点坐标为， ∴的垂直平分线与的垂直平分线交于点， ∵将绕某一点旋转可以得到， ∴旋转中心的坐标为． 故答案为：． 题型10 旋转的综合探究性问题 【例10】（24-25八年级上·福建福州·期末）已知，在中，，，点是边上的一点（不与点，重合），连接． (1)如图1，将线段绕点A逆时针方向旋转得到线段，连接．求证：，． (2)如图2，点，都在线段上，且． ①求证：． ②若，，求的周长． 【答案】(1)见详解 (2)①见详解；② 【分析】（1）证明即可得到； （2）①将线段绕点A逆时针方向旋转得到线段，连接，证明可得，从而可证明结论； ②过A作于H，然后根据勾股定理分别求出三边即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵，将线段绕点A逆时针方向旋转得到线段， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ， ，即， ； （2）①证明：将线段绕点A逆时针方向旋转得到线段，连接，如图所示： ∵， ， 又∵， ， ， 由（1）可知：，， ∴， ∴； ②解：过A作于H， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴的周长为． 【点睛】本题考查勾股定理及等腰直角三角形的相关知识，解题的关键是全等三角形的判定定理的应用． 【变式10-1】（24-25九年级上·江西赣州·期中）在中，． (1)如图1，D为边上一点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接．请直接写出线段与的关系； (2)如图2，D为外一点，且，仍将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，． ①求证：； ②若，求的长． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】（1）证明即可； （2）①由旋转性质得，，从而有，再结合，由即可证明； ②由①得，由旋转的条件知，从而得，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：由旋转知，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①证明：由旋转知，，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②由①知，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 由勾股定理得， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，证明三角形全等是解题的关键． 【变式10-2】（23-24八年级下·山东日照·期末）已知四边形和四边形均为正方形，连接，直线与交于点． (1)如图1，当点在上时，线段与的数量关系是___________，线段与的位置关系是___________； (2)如图2，将正方形绕点逆时针旋转任意角度，（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由； (3)若，，正方形在绕点逆时针旋转过程中，当点、、三点共线时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)， (2)仍然成立 (3)或 【分析】（1）由“”可证，可得，由余角的性质即可得的度数； （2）由“”可证，可得，由余角的性质即可得的度数； （3）分两种情况画出图形，根据全等三角形的性质以及勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形和四边形是正方形， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ∴， 故答案为：； （2）解：（1）的结论仍然成立，理由如下： 如图2，设交于， ∵四边形和四边形是正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ∴； （3）解：正方形绕点旋转过程中，点、重合，此时线段的长为或， 理由如下：①如图： ∵，四边形和四边形均为正方形， ， ∵直线与交于点，点F， H重合， ∴点、、在同一直线上， ， ， ， ； ②如图： ∵，四边形和四边形均为正方形， ， ∵直线与交于点，点F， H重合， ∴点、、在同一直线上， ， ， ， ； 综上，正方形绕点旋转过程中，点F， H能重合，此时线段的长为或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 【变式10-3】（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）（1）如图1，正方形的边长为4，对角线、相交于点是边上点（点不与、重合），将射线绕点逆时针旋转，所得射线与交于点，则四边形的面积为___________． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的对角线的交点是矩形的一个顶点，将矩形绕着点旋转，与边相交于点．与边相交于点，连接，猜想之间的数量关系．并进行证明． 【拓展应用】 （3）如图3，在直角中，，，，的顶点在边的中点处，，它的两条边和分别与直线相交于点可绕着点旋转，当时，则的长度为___________cm． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】（1）如图①中，证明即可解决问题． （2）延长交于，连接，，证明，得到，，再根据，得到，最后根据，得到； （3）根据在线段上和线段外分情况讨论，延长至，使，连接，，证明，得到，，结合得到，再证明，得到，即，最后根据中，，代入列方程求解即可． 【详解】解：（1）如图， ∵正方形的边长为4，对角线、相交于点， ∴，，， 由旋转得， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图1，延长交于，连接，， ∵矩形的对角线的交点是矩形的一个顶点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）当在线段上时，如图，延长至，使，连接，， ∵在边的中点处， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵中，， ∴， 解得， ∴； 当在线段外时，如图，延长至，使，连接，， ∵在边的中点处， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵中，， ∴， 解得， ∴； 综上所述，或， 故答案为：或． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）已知点，若点B与点A关于原点成中心对称，则点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查坐标与中心对称，根据关于原点成中心对称的点的坐标特征，原点的对称点坐标是原坐标的相反数进行求解即可． 【详解】解：由题意，点B的坐标是； 故选D． 2．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）下列标识中，属于中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此即可求解． 【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、该图形是中心对称图形，故本选项符合题意； C、该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B． 3．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，将绕点A按逆时针方向旋转得到，若，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用旋转的性质求解，解题关键是掌握旋转的性质． 直接利用旋转的性质求解． 【详解】解：∵将绕点A按逆时针方向旋转得到， ∴， ∴， 又， ∴，解得：， 故选：C． 4．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）如图，教室的水平地面上有一个倒地的簸箕，与地面的夹角，，小明同学将它扶起（绕点逆时针旋转）后平放在地面上，的对应线段为，在这一过程当中，簸箕柄绕点旋转了（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，理解图示，根据平角，旋转角的计算即可求解． 【详解】解：如图所示，根据题意，， ∴当小明同学将它扶起（绕点逆时针旋转）后平放在地面上时，旋转角为， ∴， 故选：D ． 二、填空题 5．（20-21九年级下·海南海口·自主招生）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标的特点，掌握关于原点对称的点的坐标横、纵坐标互为相反数是解题的关键．根据关于原点对称的点的坐标，横、纵坐标互为相反数即可求解． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 6．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，正方形网格中，绕某一点逆时针旋转n度后得到．在A、B、C、D等4个格点中，是旋转中心的为 ． 【答案】B点 【分析】本题主要考查图形旋转的性质，牢记旋转中心的确定方法（对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心）是解题的关键． 根据旋转的性质可知，对应点到旋转中心的距离相等，则对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心． 【详解】如图，连接，，分别作线段，的垂直平分线，两条垂直平分线相交于点，点即为旋转中心．    故答案为：点． 7．（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）如图，将绕点逆时针旋转一定的角度得到，此时边经过点，若，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，由旋转得出，由解题． 【详解】解：由绕点逆时针旋转一定的角度得到， ， ． 故答案为：． 8．（22-23九年级上·辽宁大连·期末）如图，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点都是网格线的交点，已知B点的坐标为，将绕着点C顺时针旋转90°，则点A的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】画出绕点C顺时针旋转90°后点A的对应点的，然后写出点的坐标即可． 【详解】如图，A点坐标为，将绕点C顺时针旋转90°， 则点A的对应点的的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°． 三、解答题 9．（23-24九年级上·河北唐山·期中）如图，是正方形的边上一点，是边上一点，逆时针旋转后能够与重合． (1)写出它的旋转中心； (2)旋转角至少是多少度？ (3)______（填“＞”或“＝”或“＜”）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）本题考查的是旋转中心的确定；由点旋转后的对应点是其本身，从而可得旋转中心； （2）本题考查的是旋转角；由旋转前后B，D为对应点，所以，的夹角为旋转角，从而可得答案，掌握旋转角的定义是解本题的关键； （3）本题考查的是旋转的性质，正方形的性质，由旋转前后的对应线段线段可得，从而可得答案；熟记旋转的性质是解本题的关键． 【详解】（1）解：逆时针旋转后能够与重合：旋转中心是点． （2）逆时针旋转后能够与重合：旋转角至少是； （3）∵正方形， ∴， 由旋转可得：， ∴． 10．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，的顶点坐标分别为． (1)画出关于点成中心对称的； (2)将绕点顺时针旋转，画出旋转后的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了作中心对称图形，旋转作图，解题的关键是作出对应点的位置． （1）作出点A、B、C关于点O的对称点、、，然后顺次连接即可； （2）作出点A、B绕点C顺时针旋转的对应点、，然后顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形； （2）解：如图，即为所求作的三角形． 11．（20-21九年级上·广西南宁·期中）如图，等腰中，，，点D在上，将绕点B沿顺时针方向旋转，得到． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，本题中利用全等三角形得出线段和角相等是解题的关键． （1）由等腰直角三角形的性质和旋转的性质，明三角形和全等，得到，，即可求解； （2）由勾股定理可得，，从而得到，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是由旋转得到的， ∴， ∴，， ∴． （2）解：在等腰直角三角形中， ∵， ∴， 又∵， ∴，， 由（1）知且， ∴， ∴DE＝． 12．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，．将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线于点D、E，如图1，2，3是旋转三角板得到的三种情况． (1)如图1，当点D是的中点时，点E恰为的中点，请写出线段之间的数量关系：________________； (2)当三角板绕点P旋转至图2所示的位置时，判断线段之间的数量关系，并说明理由； (3)三角板绕点P旋转时，能否成为以为腰的等腰三角形？若能，请直接写出的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)（或） (2)，理由见解析 (3)能成为以为腰的等腰三角形，的长为0或或 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质；此题是分类讨论题，应分情况进行论证，不能漏解． （1）根据三角形中位线定理和等腰三角形的性质求解即可． （2）连接 ，通过证明，得出，即可求解． （3）分两种情况进行讨论． 【详解】（1）解：（或） 理由：根据题意可得， ∵点D是的中点，点E为的中点，点P是的中点， ∴， ∴（或） （2）解：． 理由如下：连接． ∵是等腰直角三角形，点P是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中 ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：能成为以为腰的等腰三角形， ， ， ∵点是斜边的中点， ， 当时，此时点 与点 重合，； 当在线段 上时，； 当在 的延长线上，； 综上，能成为以为腰的等腰三角形，的长为0或或． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图是一个正五角星，将这个正五角星绕着它的中心旋转与自身重合，至少应旋转的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角，该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是，因而旋转的整数倍，就可以与自身重合． 【详解】解：， 因而一个正五角星绕着它的中心至少旋转能与自身重合． 故选：D． 2．（24-25九年级下·福建福州·阶段练习）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，点C的对应点恰好落在斜边上，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和，掌握相关知识是解决问题的关键．根据旋转的性质可得，，，根据等腰三角形两底角相等求出，再根据直角三角形两锐角互余计算即可得解． 【详解】解：旋转得到，点落在上， ，，， ， ． 故选：A． 3．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，将绕点顺时针旋转得到若点，，在同一条直线上，，，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理，解题的关键是掌握旋转前后对应角相等，对应边相等． 由旋转可得，，，即可得，故． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到， ，，， ， ， 故选：． 4．（25-26九年级上·重庆·开学考试）如图，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，将绕着点顺时针旋转交的延长线于点，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作的平行线交于点，交于点，设，则，由正方形的性质可得，，，，即得四边形为矩形，得到，，利用勾股定理可得，进而得到，由旋转的性质得，，再根据余角性质得到，可得，得到，即可得，得到，最后代入计算即可求解． 【详解】解：过点作的平行线交于点，交于点，如图， 设，则， ∵四边形为正方形， ∴，，，， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中， ， ， 在中， ， ∴， ∵绕着点顺时针旋转交的延长线于点， ，， ，， ∴， 在和中， ， ， ∴， ∴， ∴， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 二、填空题 5．（20-21九年级上·山东济宁·期中）若点与点关于原点对称，则是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了关于原点对称的点坐标的特征，有理数的乘方，熟练掌握关于原点对称的点坐标的横纵坐标均互为相反数是解题的关键． 由题意知，，，计算求出，的值，然后代值求解即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， 解得，，， ， 故答案为：1． 6．（2023九年级上·黑龙江哈尔滨·竞赛）如图，在平面直角坐标系中，有一个矩形，边在x轴上，边在y轴上，，．将矩形绕着点O顺时针旋转90度，得到矩形再将矩形绕着点顺时针旋转得到矩形，依次旋转下去，则经过第113次旋转，点O的对应点的横坐标是 【答案】168 【分析】本题考查了坐标与旋转结合的找规律，根据旋转依次找出所求点的对应坐标，分析得到规律即可找到其相应的坐标． 【详解】解：在矩形中，，， 由旋转可知，，， ∴第1次旋转后，点O的对应点， 第2次旋转后，点O的对应点， 第3次旋转后，点O的对应点， 第4次旋转后，点O的对应点， 然后再重复以上过程，旋转4次一个循环，每一个循环结束，点O的对应点横坐标增加6个单位，在一个循环中纵坐标依次为0，1，2，0，横坐标依次为0，1，4，6，……， ， ∴经过113次旋转，点O的对应点横坐标为． 故答案为：168． 7．（25-26九年级上·湖南长沙·开学考试）如图，在矩形中，，点P为边上的一个动点，线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，．当点落在边上时，的值为 ；当线段的长度最小时，的度数为 ． 【答案】 /75度 【分析】本题主要考查旋转的性质，等边三角形，矩形的性质，直角三角形 ； 过点P作交于E点，设，则，结合直角三角形的性质得到 ，即可求出；设交于点O，当点落在上时，点与点O重合，此时，当时， 的长度最小，再结合矩形的性质计算求解即可． 【详解】解：过点P作交于E点， 设， ∵线段绕点B顺时针旋转得到线段， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵是矩形， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 如下图，设交于点O．         当点落在上时，点与点O重合， 此时， 当时， 的长度最小．     ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（2025·贵州黔东南·二模）如图，P是正方形内一点，，，，将线段以点A为旋转中心逆时针旋转得到线段，连接，下列结论：①可以由绕点A逆时针旋转得到；②点P与的距离为4；③；④；其中正确的结论是 ．（填序号） 【答案】①③ 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的判断和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，熟练掌握相关知识点，数形结合是解题的关键； 利用旋转的性质和正方形的性质，证明，可判定结论①正确； 利用勾股定理可得，可判定结论②错误； 利用等腰三角形的性质推出，利用勾股定理逆定理可推出，可判定结论③正确； 过点D作交延长线于点E，利用勾股定理可求出，进而可判定结论④错误． 【详解】由旋转可知，，， 四边形是正方形， ，， ，， ， ， 可以由绕点A逆时针旋转得到， 故结论①正确； 由勾股定理得， 故结论②错误； ，， ， 由得， ，， ， 为直角三角形，且， ， 故结论③正确； 如图，过点D作交延长线于点E，则， ，， ， ， 由勾股定理得，，即， 解得， ，， 由勾股定理得， 正方形的面积等于， 故结论④错误； 综上可知，正确的结论是①③． 故答案为：①③． 三、解答题 9．（2024九年级上·青海西宁·竞赛）如图所示：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为个单位长度； (1)将向轴正方向平移个单位得； (2)画出关于原点对称的，并写出的坐标； (3)将再以点为旋转中心，顺时针旋转得，画出平移和旋转后的图形，并标明对应字母． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，的坐标为 (3)见解析 【分析】本题考查了利用平移作图，中心对称作图，旋转作图，熟练掌握作图方法是解题的关键． （1）根据网格结构找出平移后的对应点的位置，然后顺次连接即可； （2）根据网格结构找出关于原点对称的对应点的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点的坐标； （3）根据网格结构找出以点为旋转中心，顺时针旋转后的对应点的位置，然后顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求，的坐标为； （3）解：如图所示，即为所求． 10．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）已知，将其绕点顺时针旋转一个角度得到．（点，的对应点分别是，） (1)如图1，连接，若，，，，求，两点间的距离（即的长） (2)如图2，，，三点在一条直线上，且，求证：． 【答案】(1)9 (2)见详解 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由旋转的性质得，，，，故是等边三角形，运用，得，，三点在一条直线上，进行列式计算，即可作答． （2）先由旋转的性质得，，，，根据三角形内角和性质得，因为，则，结合，，三点在一条直线上，得，代入数值解得，运用勾股定理得，即可作答． 【详解】（1）解：∵将绕点顺时针旋转一个角度得到，且， ∴，，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，，三点在一条直线上， ∴； （2）解：∵将绕点顺时针旋转一个角度得到， ∴，，，， 则， ∵， ∴， ∵，，三点在一条直线上， ∴， 即， 解得， 故， ∴， ∵， ∴． 11．（24-25八年级下·陕西西安·期末）【问题提出】如图（1），是正方形内一点，将绕点顺时针方向旋转与重合，若，则___________（直接写出答案） 【问题探究】如图（2），点是等边内一点，，求的度数． 对于这个问题，小明是这样思考的：将绕点顺时针方向旋转至处，连接，根据所学习的数学知识便可以求出的度数．请你根据小明的想法，作出图形，并求出的度数． 【问题解决】如图（3），为等腰直角三角形，，是内部一点，当取得最小值时，请求出的面积． 【答案】问题提出：；问题探究：；问题解决： 【分析】本题属于四边形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用转化的思想解决问题； 问题提出：依题意得，旋转中心为点，旋转角，对应点、到旋转中心的距离相等，即，可证为等腰直角三角形，由勾股定理求； 问题探究：由旋转可知：，先证明是等边三角形，再证明是直角三角形，把问题转化为； 问题解决：如图③中，将绕点逆时针旋转得到，连接，，过点作交的延长线于点．由旋转的性质可知，，，，，推出，可得，解直角三角形，求出，当的取得最小值时，．．共线，过点作于点．求出，的值，可得结论． 【详解】解：问题提出：根据旋转的性质可知，，， 为等腰直角三角形， 由勾股定理，得， 故答案为：； 问题探究：如图， 由旋转可知：， ，，， 又， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 是直角三角形， ， ， 故答案为：； 问题解决：如图（3）中，将△绕点逆时针旋转得到，连接，，过点作交的延长线于点． 由旋转的性质可知，，，，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， 的最小值为， 此时，，，共线， 过点作于点． ， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ， ． 12．（24-25八年级下·江苏淮安·阶段练习）【课本再现】 （1）如图1，正方形的对角线、相交于点O，正方形的顶点A′与点O重合．将正方形绕点A′旋转，在这个过程中，若连接，则、、之间的数量关系为___________． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形对角线的交点O是矩形的一个顶点，与边相交于点E，与边相交于点F，连接，矩形可绕着点O旋转，猜想，，之间的数量关系，并进行证明． 【拓展应用】 （3）在菱形中，，E、F分别是边、对角线上一点，且，以、为邻边作菱形，再将菱形绕点A逆时针旋转一定角度后得到新的菱形如图3，连接，点P为线段的中点，连接、． ①判断与的数量关系，并进行证明； ②若，，菱形在旋转过程中，当最小时，的面积为___________． 【答案】（1）； （2），见解析； （3）①，见解析；②． 【分析】（1）利用正方形的性质准备条件，证明，再根据全等三角形的性质，结合勾股定理即可得出结论； （2）猜想：，连接，交于G，连接，证明，再利用勾股定理证明即可； （3）①延长至Q，使，连接，，DQ，先证明，再证明，利用锐角三角函数即可证明； ②分析可知M′是的中点，作，交的延长线于W，先求出，再求出即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∵， ∴， 故答案为：； （2）证明：猜想， 如图1， 延长，交于G，连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （3）①证明：如图2， ，理由如下： 延长至Q，使，连接，，DQ， ∵点P为线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵四边形和四边形是菱形， ∴，，，， ∴，，， ∵， ∴，是等边三角形， ∴，∠ACD=60°，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 故答案为：； ②解：由①知，，， ∴， ∵， ∴当F′在上时，最小，即CP最小， 如图3， 此时M′使的中点，作，交的延长线于W， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形和矩形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，直角三角形的性质等，做辅助线和构造全等三角形是解决问题的关键． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $