专题02 三角形有关角计算压轴题汇编（六大高频题型三大易错题型）-2025-2026学年八年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（人教版新教材）

专题02 三角形有关角计算压轴题汇编 【题型01：8字模型】.........................................................1 【题型02：飞镖模型】.........................................................6 【题型03：两内角角平分线模型】...............................................8 【题型04：两外角角平分线模型】...............................................10 【题型05：内外角平分线模型】.................................................11 【题型06：角折叠模型】.......................................................13 【题型01：8字模型】 【技巧点拨】 【条件】AE、BD相交于点C 【结论】∠A+∠B=∠D+∠E. 1．如图，平分，交于F，平分交于E，与相交于G，如果，，那么的度数为 度． 2．如图，，分别平分，，且分别与，相交于点G，H．已知，，则的大小为 ． 3．（1）如图，已知线段，相交于点O，连接，，可以得到、的关系式是 ． （2）如图，若和的平分线和相交于点P，与，分别交于点M，N．猜测之间的关系，并证明你的结论． （3）若和的三等分线和相交于点P，与，分别交于点M，N，其中，则之间又有怎样的数量关系，并说明理由． 4．在的的延长线上任取两点D，E，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，和的平分线交于点，求证，．（提示：可直接利用（1）的结论） 5．如图①，已知线段、相交于点O，连接、，我们把这种图形称之为“8字型”，试解答下列问题：    (1)在图①中写出、、、之间的等量关系为________． (2)如图②，和的平分线和相交于点P，并与、分别交于点M、N． ①若，，求的度数； ②探究与、之间有何等量关系，并说明理由． 6．如图，已知线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)求证：； (2)利用八字图形解决问题：如图②，若和的平分线和相交于点P，与分别交于点M，N． ①若，求的度数； ②根据①的结果直接写出之间的关系是__________________． 7．【模型探究】（1）如图①，已知线段、相交于点，连接、，则有．我们把形如这样的图形称为“八字”模型．甲乙两名同学给出两种不同证明过程如下： 甲同学证明：（①______）， 同理可得，， 又， ． 乙同学证明：（②______）， ， ． 甲同学证明过程的理论依据是：①______； 乙同学证明过程的理论依据是：②______． 【模型应用】（2）如图②，已知线段、相交于点，连接、，、分别平分、． ①若，，求的度数． 补全下面求解过程． 解：、分别平分、， ，． 由“八字”模型知， 求解过程缺失 ②若，，直接写出 ______（用含有和的代数式表示）． 【模型拓展】（3）如图③，已知线段、相交于点，连接、，、分别为、的三等分线，，，若，，，直接写出的度数 ______． 【题型02：飞镖模型】 【技巧点拨】 图1 图2 图3 【条件】四边形ABPC如图1所示 【结论】∠BPC=∠A+∠B+∠C. 1．如图， 2．如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们把这样的图形叫做“规形图”，叫“规角”． (1)观察“规形图”，试探究规角与、、之间的数量关系，并说明理由； (2)请你利用结论，解决下列问题： ①如图②，在中，、的平分线交于点P，若，则_________度． ②如图③，平分，平分，若的度数是_________． 3．和相交于点，和相交于点，探究与、、的关系． 小明是这样做的： 解：如图（2）以点为端点作射线， 是的外角，， 同理， ， 即， 小英的思路是：如图延长交于点． (1)按小英的思路完成这一结论． (2)如图（4），中，、分别是与的角平分线，且、相交于点猜想与有怎样的关系，并加以证明． 4．如图，，分别平分与，且交于点()，判断，与之间的数量关系，并证明你的结论． 5．如果四边形总在其任意一条边所在直线的同一侧，那么这样的四边形叫做凸四边形，如果四边形不在任意一条边所在直线的同一侧，这样的四边形我们称之为凹四边形．下图为凹四边形． (1)求证：； (2)如果点在线段的另一侧，又会有怎样的结论呢？（只写出结论） 【题型03：两内角角平分线模型】 【技巧点拨】 【条件】BP、CP分别为∠ABC、∠ACB的角平分线. 【结论】∠P=90°+∠A. 1．如图，的和的平分线，相交于点G，且，那么的度数是（    ） A． B． C． D．无法确定 2．如图，在中，平分，平分，若，则的度数为 ． 3．如图，在中，，平分，平分，则 ． 4．如图，已知中，，的等分线与的等分线相交于、、、……、，则 ． 5．如图，已知：点是内一点，，分别平分，． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图①，求证：大于； (3)如图②，作外角，的平分线，相交于点．试探索与之间的数量关系，并说明理由． 6．【问题】如图1，在中，平分，平分， （1）若，则_______； （2）若，则_______． 【探究】 （1）如图2，在中，三等分，三等分．若，则_______； （2）如图3，O是与外角的平分线和的交点，试分析和有怎样的关系？请说明理由； 【题型04：两外角角平分线模型】 【技巧点拨】 【条件】BP、CP分别为∠EBC、∠BCF的角平分线. 【结论】∠P=90°-∠A. 1．如图：三角形中，两个外角的平分线交于点D，度，则的度数是（    ）度 A．50 B．55 C．80 D．65 2．如图1，平分，平分，且，． (1)求证：． (2)如图2，延长，交于点F，求的度数． 3．在中，点B，C分别是，上一点，和的角平分线交于点 (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，和的角平分线交于点Q，直接写出和之间的数量关系______． 【题型05：内外角平分线模型】 【技巧点拨】 【条件】BP、CP分别为∠ABC、∠ACE的角平分线 【结论】∠P=∠A 1．在四边形中，设，，四边形的内角与外角的角平分线，相交于点，则的度数为（   ）（用含有和的代数式表示） A． B． C． D． 2.如图，中，，延长到D，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，依此类推，与的平分线相交于点，则的度数为（　　）． A． B． C． D． 3．如图，在中，，的平分线与的平分线交于点得，的平分线与的平分线交于点得，的平分线与的平分线交于点，得，则（   ） A． B． C． D． 4．如图，是的平分线，是的外角的平分线，，，则（    ）． A． B． C． D． 5．如图，在中，，分别平分，交于，为外角的平分线，的延长线交于点，若，则 ． 6．如图，是的外角，，和的平分线相交于点E，相交于点，，求的度数． 【题型06：角折叠模型】 1．如图，把折叠，使A，B两点重合，得到折痕，再沿折叠，点C恰好与点D重合，则等于（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，将沿翻折后，点A落在边上的点F处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，则的度数是（    ） A．100° B．110° C．120° D．130° 4．如图，，，将纸片的一角折叠，使点C落在点，若，则的度数为 度． 5．如图，中，，沿将此三角形折叠，又沿再一次折叠，点C落在上的处，此时，则原三角形的的度数为 ． 6．如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，在三角形纸片中，，，将纸片沿着折叠，使得点落在边上的点处．若和同时成为“准直角三角形”，则的度数为 ． 7．如图，在中，，，为边上一点，将沿直线翻折后，点落到点处．若，则的度数为 ． 8．如图所示，在数学拓展课上，小聪将直角三角形纸片沿向上折叠，点落在点处，当时， 度． 9．如图a，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，再沿折叠成图b，若，则 °． 10．如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，则 ． 11．如图，在中，，，D，E分别在，上，将沿折叠得，且满足，则 ． 1．如图，，点分别在两条平行线之间，，若， ．则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，的平分线交于点O，的外角的平分线所在直线与的平分线交于点D，与的外角的平分线交于点E．有下列结论∶①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的角的探究片段，完成所提出的问题． 探究1：如图1，在中，O是与的平分线和的交点，通过分析发现，理由如下： ∵和分别是和的角平分线 ∴， ∴； 又∵， ∴ ① ； ∴ ② ． 请完成探究1的填空， _______， _________； 探究2：如图2中，O是与外角的平分线和的交点，试分析与有怎样的关系？请说明理由． 探究3：如图3中，O是外角与外角的平分线和的交点，则与有怎样的关系（只写结论，不需证明）？ 结论：___________________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 三角形有关角计算压轴题汇编 【题型01：8字模型】.........................................................1 【题型02：飞镖模型】.........................................................12 【题型03：两内角角平分线模型】...............................................18 【题型04：两外角角平分线模型】...............................................24 【题型05：内外角平分线模型】.................................................28 【题型06：角折叠模型】.......................................................34 【题型01：8字模型】 【技巧点拨】 【条件】AE、BD相交于点C 【结论】∠A+∠B=∠D+∠E. 1．如图，平分，交于F，平分交于E，与相交于G，如果，，那么的度数为 度． 【答案】40 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记定理并理解“8字形”的等式是解题的关键． 根据角平分线的定义可得，再根据三角形的内角和定理列出等式整理即可得解． 【详解】解：∵平分平分， ， ， ， ， ， 故答案为：40． 2．如图，，分别平分，，且分别与，相交于点G，H．已知，，则的大小为 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和性质，三角形的外角和性质，熟练掌握三角形内角和外角的性质是解决本题的关键． 利用外角和内角的关系，用、、、表示、与，再利用等式的性质可得结论． 【详解】解：∵，分别平分，， ∴，， ∵，， ∴①． 同理②． ，得． ∴． ∵，， ∴． 故答案为：． 3．（1）如图，已知线段，相交于点O，连接，，可以得到、的关系式是 ． （2）如图，若和的平分线和相交于点P，与，分别交于点M，N．猜测之间的关系，并证明你的结论． （3）若和的三等分线和相交于点P，与，分别交于点M，N，其中，则之间又有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）； （2），见解析； （3），见解析． 【分析】本题考查了对顶角的性质、三角形内角和定理，角平分线的性质等知识点，掌握题目中（1）的规律是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理和对顶角相等即可作答； （2）由题意设，，再根据（1）的结论建立方程组即可； （3）设，之后同（2）根据（1）的结论建立方程组即可求解． 【详解】解：（1）在中，， 在中，， 又， ， 故答案为：； （2）之间的数量关系是：，证明如下： 和的平分线和相交于点P， 设，， 由（1）的结论：在和中， ，即， 由（1）的结论：在和中， ，即， 得：， ； （3）之间的数量关系是：，理由如下： 设， ， 由（1）的结论：在和中， ，即， 由（1）的结论：在和中， ，即， ， ， 整理得：． 4．在的的延长线上任取两点D，E，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，和的平分线交于点，求证，．（提示：可直接利用（1）的结论） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】题目主要考查了三角形内角和定理及对顶角相等，理解题意是解题关键． （1）根据对顶角相等及三角形内角和定理即可证明； （2）根据角平分线得出，再由题意结合图形确定，，求解即可． 【详解】（1）证明：根据题意得， ∵， ∴； （2）∵和的平分线交于点， ∴， ∴①， 由（1）得， 即②， 得：， ∴． 5．如图①，已知线段、相交于点O，连接、，我们把这种图形称之为“8字型”，试解答下列问题：    (1)在图①中写出、、、之间的等量关系为________． (2)如图②，和的平分线和相交于点P，并与、分别交于点M、N． ①若，，求的度数； ②探究与、之间有何等量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①；②；理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，对顶角相等的性质，整体思想的利用是解题的关键． （1）利用三角形的内角和定理表示出与，再根据对顶角相等可得，然后整理即可得解； （2）①根据（1）的关系式求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用“8字形”的关系式列式整理即可得解； ②根据“8字形”用、表示出，再用、表示出，然后根据角平分线的定义可得，然后整理即可得证． 【详解】（1）解：，， 又∵， ； （2）解：①，， ， ， 、分别是和的角平分线， ，， 又， ； ②；理由如下： 根据“8字形”数量关系，，， ∴，， 、分别是和的角平分线， ，， ， 整理得，， ． 6．如图，已知线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)求证：； (2)利用八字图形解决问题：如图②，若和的平分线和相交于点P，与分别交于点M，N． ①若，求的度数； ②根据①的结果直接写出之间的关系是__________________． 【答案】(1)见详解 (2)①；② 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义、对顶角的性质等知识，理解并掌握三角形的内角和定理是解题关键． （1）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明； （2）①由（1）结论可得在和中，，在和中，，两式相加再由角平分线的定义即可解答； ②根据角平分线的定义可得，在和中，可有，即，同理在和中，可有，，即可获得答案． 【详解】（1）证明：在中，， 在中，， ， ． （2）解：∵在和中，， 在和中，， ， ∵平分平分， ， ，即， ． ②、、之间的关系为． 理由如下：如下图， ∵和分别平分和， ， 在和中，， ， 在和中，， ， ， ∴、、之间的关系为． 7．【模型探究】（1）如图①，已知线段、相交于点，连接、，则有．我们把形如这样的图形称为“八字”模型．甲乙两名同学给出两种不同证明过程如下： 甲同学证明：（①______）， 同理可得，， 又， ． 乙同学证明：（②______）， ， ． 甲同学证明过程的理论依据是：①______； 乙同学证明过程的理论依据是：②______． 【模型应用】（2）如图②，已知线段、相交于点，连接、，、分别平分、． ①若，，求的度数． 补全下面求解过程． 解：、分别平分、， ，． 由“八字”模型知， 求解过程缺失 ②若，，直接写出 ______（用含有和的代数式表示）． 【模型拓展】（3）如图③，已知线段、相交于点，连接、，、分别为、的三等分线，，，若，，，直接写出的度数 ______． 【答案】（1）三角形内角和等于；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和；（2） ，过程见解析； ；（3）． 【分析】此题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，列代数式，准确识图，熟练掌握三角形的外角性质，三角形内角和定理，“八字”模型的应用是解决问题的关键． （1）①甲同学：根据，则，同理得，再根据得； ②乙同学：根据三角形外角性质得，，由此得； （2）①设与交于点，根据角平分线性质得，，则，，在和构成的“八字”模型中，，进而得，在和构成的“八字”模型中，，继而得； ②由①可知：，，进而得； （3）设与交于点，设，，则，，，由得，在和构成的“八字”模型中，，则，进而得，由解得，，在和构成的“八字”模型中，，进而得． 【详解】解：（1）甲同学证明： ，（三角形内角和等于）， 同理可得，， 又， ． 乙同学证明： ，（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）， ， ． 甲同学证明过程的理论依据是：①三角形内角和等于， 故答案为：三角形内角和等于； 乙同学证明过程的理论依据是：②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和， 故答案为：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和； （2）①设于交于点，如图所示： 、分别平分、， ，， ，， 在和构成的“八字”模型中，， ， ， ，， ， 在和构成的“八字”模型中，， ， 故答案为：； ②，， 由①可知：，， ， ， 故答案为：； （3）设与交于点，如图所示： 设，， ，， ，， ， ， ， 在和构成的“八字”模型中，， ，， ， ， 由，解得：，， 在和构成的“八字”模型中，， ， ， 故答案为：． 【题型02：飞镖模型】 【技巧点拨】 图1 图2 图3 【条件】四边形ABPC如图1所示 【结论】∠BPC=∠A+∠B+∠C. 1．如图， 【答案】/180度 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，根据三角形外角的性质可得，，由对顶角相等，得，再由三角形内角和为180度即可求解． 【详解】解：如图，标记点M，N 则，， ， ， 故答案为：． 2．如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们把这样的图形叫做“规形图”，叫“规角”． (1)观察“规形图”，试探究规角与、、之间的数量关系，并说明理由； (2)请你利用结论，解决下列问题： ①如图②，在中，、的平分线交于点P，若，则_________度． ②如图③，平分，平分，若的度数是_________． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，三角形外角性质以及角平分线的定义的运用． （1）根据题意连接并延长至点，利用三角形外角性质即可得出答案． （2）①由可知，根据、的平分线交于点P，得出，，求出，因为，即可求解；     ②由（1）的已知条件，由于平分平分，即可得出，因此． 【详解】（1）解：如图，连接并延长至点， 根据外角的性质，可得，， 又 ∵， ． （2）解：①由（1）可得，， ∵、的平分线交于点P， ∴，， ∴， 又 ∵， ． ②由（1）可得，， ， 又 ∵平分平分， ， ． 3．和相交于点，和相交于点，探究与、、的关系． 小明是这样做的： 解：如图（2）以点为端点作射线， 是的外角，， 同理， ， 即， 小英的思路是：如图延长交于点． (1)按小英的思路完成这一结论． (2)如图（4），中，、分别是与的角平分线，且、相交于点猜想与有怎样的关系，并加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)与的关系：；证明见解析 【分析】本题考查了三角形外角性质的运用，三角形内角和定理应用，角平分线性质，解题时注意三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． （1）依据三角形外角性质，即可得到，，进而得出； （2）依据、分别是与的角平分线，即可得出，，再根据三角形内角和定理，即可得到． 【详解】（1）证明：如图（3），延长交于， 是的外角， ∴， 同理可得， ∴； （2）解：与的关系：， 证明：、分别是与的角平分线， ，， ∴ ． 4．如图，，分别平分与，且交于点()，判断，与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】；见解析． 【分析】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，角的计算的题目，熟练掌握相关知识点并灵活运用是解题的关键； 由角平分线的性质得，，，由三角形外角的性质得， ，结合，，综合可得结果； 【详解】解：，与之间的数量关系是， 证明：如图，延长交于点，设与交于点， 平分， ， 平分， ， ，， ， ， ， 又，， ， ． 5．如果四边形总在其任意一条边所在直线的同一侧，那么这样的四边形叫做凸四边形，如果四边形不在任意一条边所在直线的同一侧，这样的四边形我们称之为凹四边形．下图为凹四边形． (1)求证：； (2)如果点在线段的另一侧，又会有怎样的结论呢？（只写出结论） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查三角形的内角和定理及外角性质，熟练三角形的外角性质是解答的关键． （1）连接并延长到E，利用三角形的外角性质求解即可； （2）画出凸四边形，连接，利用三角形的内角和定理即可． 【详解】（1）证明：连接并延长到E， ∵，， ∴， ∴， 即； （2）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， 即． 【题型03：两内角角平分线模型】 【技巧点拨】 【条件】BP、CP分别为∠ABC、∠ACB的角平分线. 【结论】∠P=90°+∠A. 1．如图，的和的平分线，相交于点G，且，那么的度数是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的有关计算． 根据和的平分线，相交于点G，可知，，根据得到，即可求出的度数． 【详解】的平分线相交于点， ， ， ， ． 故选C． 2．如图，在中，平分，平分，若，则的度数为 ． 【答案】/130度 【分析】先根据三角形内角和求出的度数，再利用角平分线的性质得出的度数，最后根据三角形内角和求出的度数．本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的性质，熟练掌握三角形内角和为以及角平分线将角分成相等的两部分是解题的关键． 【详解】解：在中，，三角形内角和为 平分，平分 ， 在中，三角形内角和为 故答案为：． 3．如图，在中，，平分，平分，则 ． 【答案】/110度 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，角平分线的定义，根据三角形内角和定理可求出，根据角平分线的定义求得，在中利用三角形内角和定理可求出的度数解题． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 4．如图，已知中，，的等分线与的等分线相交于、、、……、，则 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，根据题意，得到，，进而求出，再利用三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵中，， ∴， ∵的等分线与的等分线相交于、、、……、， ∴，， ∴， ． 故答案为：． 5．如图，已知：点是内一点，，分别平分，． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图①，求证：大于； (3)如图②，作外角，的平分线，相交于点．试探索与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，见解析 【分析】（1）根据三角形的内角和定理得出，再根据角平分线的定义，即可求解； （2）延长交于D，如图所示，根据三角形的外角性质可得，，即可求证； （3）根据角平分线的定义可得 ，再根据三角形的内角和即可解答． 【详解】（1）解：∵． ∴， ∵，分别平分，， ∴，， ∴； （2）解：延长交于D，如图所示： ∵是的一个外角，是的一个外角， ∴，， ∴； （3）解：，理由如下： ∵的外角，的角平分线交于点Q， ∴，， ∴ ， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，角平分线，解题的关键是掌握三角形的内角和为，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和． 6．【问题】如图1，在中，平分，平分， （1）若，则_______； （2）若，则_______． 【探究】 （1）如图2，在中，三等分，三等分．若，则_______； （2）如图3，O是与外角的平分线和的交点，试分析和有怎样的关系？请说明理由； 【答案】【问题】（1）；（2）；【探究】（1）；（2），理由见解析 【分析】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理的综合运用，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 问题：（1）利用三角形的内角和定理求出，再利用角平分线的定义求出，然后根据三角形的内角和等于列式计算即可得解；（2）将的度数换成，然后求解即可； 探究：（1）利用三角形的内角和等于求出，再利用三等分角求出，然后根据三角形的内角和等于列式计算即可得解； （2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出和，再根据角平分线的定义可得，然后整理即可得解； 【详解】问题：（1）解：， ， 平分，平分， ，， ， ； 故答案为： （2）由三角形的内角和定理得，， 平分，平分， ，， ， ； 故答案为： 探究：（1）由三角形的内角和定理得，， ，三等分，，三等分， ，， ， ； 故答案为：； （2）． 理由如下：由三角形的外角性质得，， ， 是与外角的平分线和的交点， ，， ， ， ； 【题型04：两外角角平分线模型】 【技巧点拨】 【条件】BP、CP分别为∠EBC、∠BCF的角平分线. 【结论】∠P=90°-∠A. 1．如图：三角形中，两个外角的平分线交于点D，度，则的度数是（    ）度 A．50 B．55 C．80 D．65 【答案】C 【分析】根据角平分线定义得出，，根据三角形内角和定理得出，根据三角形外角性质得出，求出，则，即可求解． 【详解】 解：平分，平分， ∴，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 2．如图1，平分，平分，且，． (1)求证：． (2)如图2，延长，交于点F，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由角平分线的定义可得，，由平行线的性质可得，，即可得出，即可得证； （2）利用三角形内角和定理求出，再由平行线的性质计算即可得解． 【详解】（1）证明：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为． 3．在中，点B，C分别是，上一点，和的角平分线交于点 (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，和的角平分线交于点Q，直接写出和之间的数量关系______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据三角形内角和求出，再根据角平分线的定义得到，，继而利用三角形内角和代入计算即可； 根据角平分线的定义得到，，再利用三角形内角和得出，结合，代入求解即可； 根据角平分线的定义得到，，，，继而推出，再利用四边形内角和计算即可得出关系． 【详解】， ， 和的角平分线交于点P， ，， ； 和的角平分线交于点P， ，， ， ， ， ， 解得：， ； 和的角平分线交于点P， ，， 和的角平分线交于点Q， ，， ， ， 同理：， 故答案为：． 【题型05：内外角平分线模型】 【技巧点拨】 【条件】BP、CP分别为∠ABC、∠ACE的角平分线 【结论】∠P=∠A 1．在四边形中，设，，四边形的内角与外角的角平分线，相交于点，则的度数为（   ）（用含有和的代数式表示） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质、角平分线的定义，延长、交于点，由三角形内角和定理可得，由题意可得平分，平分，由角平分线的定义可得，，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，延长、交于点， ， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 由题意可得：平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴ ； 故选：C． 2.如图，中，，延长到D，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，依此类推，与的平分线相交于点，则的度数为（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查角平分线的定义、三角形内角与外角的性质等知识点，弄清角之间的关系成为解题的关键． 利用角平分线的定义和三角形内角与外角的性质计算即可． 【详解】解：∵与的平分线相交于点， ∴，， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，即； 同理：， ， …… ． 故选A． 3．如图，在中，，的平分线与的平分线交于点得，的平分线与的平分线交于点得，的平分线与的平分线交于点，得，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的一半是解题的关键．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得，，根据角平分线的定义可得，，然后整理得到，同理可得，从而判断出后一个角是前一个角的一半，然后表示出即可． 【详解】解：平分，平分， ，， ， 即， ， ， ， ， ，， 以此类推，， ． 故选：B． 4．如图，是的平分线，是的外角的平分线，，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质．熟练掌握这两个性质是解决本题的关键． 先根据角平分线的性质求出相关角的度数，再利用三角形外角的性质求出的度数． 【详解】解：因为是中的平分线，且， 所以． 因为是的外角的平分线，且， 同理可得． 在中，是的一个外角， 所以， 即． 将，代入可得：． 在中，是的一个外角， 可得． 已知，， 那么，即． 故选：A． 5．如图，在中，，分别平分，交于，为外角的平分线，的延长线交于点，若，则 ． 【答案】/25度 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形的外角定理，理解角平分线的定义，熟练掌握三角形的外角定理是解题的关键．首先根据角平分线的定义及平角的定义证明，然后根据三角形外角定理得，据此求解． 【详解】解：∵，分别平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴； ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为： ． 6．如图，是的外角，，和的平分线相交于点E，相交于点，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的有关计算． 根据三角形外角的性质求出，根据三角形外角的性质，角平分线的定义得到，进而求出，即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴． ∵平分， ∴，． ∴． ∵平分， ∴， ∴． 【题型06：角折叠模型】 1．如图，把折叠，使A，B两点重合，得到折痕，再沿折叠，点C恰好与点D重合，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是牢固掌握翻折变换的性质．如图，运用翻折变换的性质证明；进而证明，即可解决问题． 【详解】解：由折叠可得：， ∴． ∵， ∴． ∴． 故选：C． 2．如图，在中，，将沿翻折后，点A落在边上的点F处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，根据折叠得出，，进而得出，根据三角形内角和定理求出，进而即可求解． 【详解】解：∵将沿翻折后，点落在边上的点处， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴, 故选：C． 3．如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，则的度数是（    ） A．100° B．110° C．120° D．130° 【答案】B 【分析】本题考查三角形内角和定理及角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和是是解题关键．根据折叠得出，，再由三角形内角和和平角定义求出．根据三角形内角和定理可得，根据角平分线的定义可得由此即可得答案． 【详解】解：由折叠可知：，， ∴，． ∴， 又∵， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 4．如图，，，将纸片的一角折叠，使点C落在点，若，则的度数为 度． 【答案】116 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，折叠的性质，理解折叠的性质，掌握三角形内角和定理，外角和的性质是解题的关键．根据三角形内角和定理可得，根据折叠的性质可得，由三角形的外角的性质可得，再由是的外角，即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵折叠， ∴， 设交于点， ∴， ∵是的外角， ∴， 故答案为： ． 5．如图，中，，沿将此三角形折叠，又沿再一次折叠，点C落在上的处，此时，则原三角形的的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形的折叠变换及三角形内角和定理的应用等知识；先根据折叠的性质得，，，则，即，根据三角形内角和定理得，在中，利用三角形内角和定理得，则，可计算出，即可得出结果． 【详解】解：如图， ∵沿将此三角形折叠，又沿再一次折叠，点C落在上的处， ∴，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，∵， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 6．如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，在三角形纸片中，，，将纸片沿着折叠，使得点落在边上的点处．若和同时成为“准直角三角形”，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的新定义，三角形内角和及外角性质，设，由，可得，由折叠可得，当为“准直角三角形”时，或，解得或，分别代入计算各角的度数，根据“准直角三角形”的定义判断即可求解，解题的关键是读懂“准直角三角形”的定义及分类讨论思想的应用． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵将纸片沿着折叠，使得点落在边上的点处， ∴， 当为“准直角三角形”时，或， ∴或， ∴或， ①当时，即， ∴， ∴， ∴， 此时，， ∴不是“准直角三角形”； ②当时，即， ∴， ∴， ∴， 此时， ∴是“准直角三角形”； 综上所述，能使和同时成为“准直角三角形”的的度数为， 故答案为：． 7．如图，在中，，，为边上一点，将沿直线翻折后，点落到点处．若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形外角的性质．由折叠的性质可得，由可得，由三角形外角性质可得，即可求解． 【详解】解：折叠的性质可得， ∵， ∴， ∵为的外角， ∴， 故答案为：． 8．如图所示，在数学拓展课上，小聪将直角三角形纸片沿向上折叠，点落在点处，当时， 度． 【答案】 【分析】本题考查三角形中求角度，涉及平行线性质、折叠性质、外角性质等知识，熟练掌握三角形中求角度的方法是解决问题的关键．先由平行线得到，再由折叠性质得到，从而求出，再由三角形外角性质求解即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， ∵是的外角， ∴， 故答案为：． 9．如图a，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，再沿折叠成图b，若，则 °． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，邻补角的性质．由纸条折叠前后的角度对应相等是解决本题的关键． 先利用平行线的性质，可求出和的度数，再依据折叠的性质得出相关角的度数关系，通过这些关系可求出、的度数，最后求出的度数． 【详解】解：因为在长方形纸带中，， ∴，， 由于纸带沿折叠后，点C、D分别落在H、G的位置， 所以，同时， 因为，，， 所以， 又因为纸带沿折叠成图b，所以， 在中，， 则， 所以， 因为与、组成一个平角， 所以． 故答案为：． 10．如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，则 ． 【答案】/80度 【分析】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角的性质，连接．首先求出，再证明即可解决问题． 【详解】解：连接． ∵平分，平分，， ∴， ∴， ∴， 由折叠可得，， ∴，， ∵，， ∴， 故答案为：． 11．如图，在中，，，D，E分别在，上，将沿折叠得，且满足，则 ． 【答案】/73度 【分析】本题考查平行线的性质，折叠问题，关键是由掌握平行线的性质和折叠的性质． 由平行线的性质以及折叠的性质推出，由折叠的性质得到，即可求解． 【详解】解：∵沿折叠得， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得到：． 故答案为：． 1．如图，，点分别在两条平行线之间，，若， ．则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，解题时注意：三角形内角和为． 依据三角形的内角和定理，即可得到，依据，，可得，再根据三角形内角和定理，即可得出的度数． 【详解】解：连接， ，， ，， ， 又，， ， ， ， 的度数为， 故选：B． 2．如图，在中，，，的平分线交于点O，的外角的平分线所在直线与的平分线交于点D，与的外角的平分线交于点E．有下列结论∶①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，由角平分线的定义可得，即可判定①；由角平分线的定义可得，再由三角形的内角和定理可求解，即可判定②；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可判定③；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定④；由三角形外角的性质，角平分线的定义可判定⑤；综合即可得出答案． 【详解】解：∵是的平分线，是的外角的平分线， ∴，故①正确； ，的平分线交于点， ，， 又∵， ， ，故②正确； 平分， ， ，，， ， ， ，故③正确； 如图， ，，， ， 平分，平分， ，， ， ，故④正确； ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴，故⑤正确； 综上正确的有：①②③④⑤． 故选：D． 3．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的角的探究片段，完成所提出的问题． 探究1：如图1，在中，O是与的平分线和的交点，通过分析发现，理由如下： ∵和分别是和的角平分线 ∴， ∴； 又∵， ∴ ① ； ∴ ② ． 请完成探究1的填空， _______， _________； 探究2：如图2中，O是与外角的平分线和的交点，试分析与有怎样的关系？请说明理由． 探究3：如图3中，O是外角与外角的平分线和的交点，则与有怎样的关系（只写结论，不需证明）？ 结论：___________________． 【答案】探究1：①；②；探究2结论：，理由见解析；探究3：，理由见解析 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，三角形的外角，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： 探究1：根据步骤，三角形的内角和定理，进行作答即可； 探究2：根据角平分线的定义，三角形的外角的性质，进行推导即可； 探究3：根据角平分线的定义，三角形的内角和定理进行推导即可． 【详解】解： 探究1：∵和分别是和的角平分线 ∴， ∴； 又∵， ∴； ∴ ． 探究2结论： ，        理由如下： ∵和分别是和的角平分线， ∴， 又∵是的一外角， ∴， ∴， ∵是的一外角， ∴； 探究3：． ∵，，O是外角与外角的平分线和的交点， ∴， ∴， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $