4.1.2指数幂的拓展 学案-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

第2课时　指数幂的拓展

学习目标　通过对有理数指数幂(a>0，且a≠1，m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1，x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质.

【活动过程】

活动一：复习探究，感受数学

问题　被开方数的指数不能被根指数整除的根式，比如a>0，是否也可以表示为分数指数幂的形式？如何表示？

 

活动二：小组合作，建构数学

一、根式与分数指数幂的互化

(1)规定正数的正分数指数幂的意义：                         (a>0，m，n∈N*，n>1).

(2)规定正数的负分数指数幂的意义：                         a>0，m，n∈N*，n>1).

(3)0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂                         . 

二、利用指数幂的运算性质化简和求值

1.对于有理数指数幂，原整数指数幂的运算性质保持不变，即：

(1)asat=as+t(a>0，s，t∈Q)；

(2)(as)t=ast(a>0，s，t∈Q)；

(3)(ab)t=atbt(a>0，b>0，t∈Q)；

(4)拓展：①=as-t(a>0，s，t∈Q)，

②=(a>0，b>0，t∈Q).

2.一般地，当a>0且x是一个无理数时，ax是一个确定的                         .有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用.

 

 

活动三：学习展示，运用数学

例1　(1)用根式的形式表示下列各式(x>0).

①；                                                           ②.

(2)把下列根式化成分数指数幂的形式，其中a>0.

①；                                                  ②.

 

跟踪训练1　把下列根式化成分数指数幂的形式，其中a>0.

(1)；                                                   (2).

 

例2　化简求值：

(1)+2-2×-(0.01)0.5；                 (2)-++-π0；

 

 

 

(3)(a-2b-3)×(-4a-1b)÷(12a-4b-2c)(a>0，b>0，c≠0).

 

 

 

跟踪训练2　化简求值：

(1)0.02-+25+(2-3-1+π0；  (2)((m>0)；(3)2÷4×3(a>0，b>0).

 

 

 

 

例3　已知x+x-1=7，求值：

(1)+；(2)x2+x-2；(3)-；(4)x2-x-2.

 

 

跟踪训练3　已知9x=5，求的值.

 

 

 

活动四：课堂总结，感悟提升