重庆市六校联考2025-2026学年九年级上学期入学学情诊断调查数学试题（北师大版）

西北狼教育联盟2025年秋期开学学业调研 北师大版九年级数学参考答案 一、选择题：（每题4分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D D B A D C A A 二、填空题（每题4分共24分） 11．a（a-1）(a+1) 12．x=3 13． 14．15米 15. 16．21   三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。 17．解：（1）4a2﹣9b2＝（2a+3b）（2a﹣3b） （2分） （2）（y2﹣3）2﹣2（y2﹣3）+1 ＝（y2﹣3﹣1）2 ＝（y2﹣4）2 ＝[（y+2）（y﹣2）]2 ＝（y+2）2（y﹣2）2． （8分） 18．（1）解：如图，DF即为所求； （2）①AB=CD， ②HG=CG， ③FH=CD （作图5分，每空1分，共8分） 19．解：由4x﹣3≤2x+2得， ， （2分） 由得，x＞﹣1， （5分） 解集在数轴上表示如下： （7分） ∴原不等式组的解集是． （8分） ∴原不等式组的所有整数解为：0，1，2 （9分） ∴0+1+2=3. ∴原不等式组的所有整数解的和为3. （10分） 20．解： ， （6分） ∵分式要有意义， ∴， ∴， （8分） ∴x可取2，此时原式=2+3=5 （10分） 21.解：（1）△ABC,△A1B1C1如图所示; （4分） （2）△A2B2C2如图所示; （7分） （3）如图, ∵OB=OA1==,A1B==, ∴OB2+OA12=A1B2, ∴△OA1B的形状是等腰直角三角形. （10分） 22．解：（1）设去年李子单价为x元/千克，则水蜜桃单价为（x+4）元/千克，根据题意得： （1分） （3分） 解得：x＝8， （4分） 经检验x＝8是原方程的解且符合题意，当x＝8时x+4＝12元/千克， （5分） 答：去年李子单价为8元/千克，则水蜜桃单价为12元/千克． （2）设这家水果店今年购买y千克李子，根据题意得． （6分） 8×（1+25%）y+12（200﹣y）≤2120， （8分） y≥140， ∴y最小值是140； （10分） 答：这家水果店今年至少要购买140千克李子． 注明：没答扣1分。 23． （1）证明：∵线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ， ∴AP＝AQ，∠PAQ＝60°， （1分） ∴△APQ是等边三角形，∠PAC+∠CAQ＝60°，（2分） ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAP+∠PAC＝60°，AB＝AC， (4分) ∴∠BAP＝∠CAQ， （5分） 在△BAP和△CAQ中，， ∴△BAP≌△CAQ（SAS）； (6分） （2）解：∵由（1）得△APQ是等边三角形， ∴AP＝PQ＝6，∠AQP＝60°， （7分） ∵∠APB＝150°， ∴∠PQC＝150°﹣60°＝90°， （8分） ∵PB＝QC，PB=8 ∴QC＝8， ∴△PQC是直角三角形， （9分） ∴ （10分） 24．解：（1）设每个A种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是x元、y元 （1分） 由题意得 （3分） 解得 （4分） 答：每个A种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是12元、9元; （2）设购进A种娃娃a个,商家获得的利润为w元,则购进B种娃娃(200-a)个 由题意得12a+9(200-a)≤1920 （6分） 解得a≤40 （7分） ∵w=(18-12)a+(12-9)(200-a)=3a+600 （9分） ∵3＞0， ∴w 随a的增大而增大 ∴当a=40时,w的最大值为3×40+600=720, 此时200-a=160个 （10分） 答：购进A种娃娃40个,B种娃娃160个商家获利最大,最大利润为720元. 注明：没答扣1分。 25．（1）①解：∵点D关于CP的对称点为点H， ∴DP＝HP， ∵点H和点B重合， ∴DP＝PB； （1分） ②证明：∵点D关于CP的对称点为点H，点H和点B重合，∠ACB＝90°， ∴∠BCP＝DCP，BD⊥CP， ∴∠CBD＝∠CDB＝45° ∵∠A＝30° ∴∠ABC＝60° ∴∠PDB＝∠PBD＝∠ABC﹣∠CBD＝15° ∴∠APD＝∠PBD+∠PDB＝30°， ∴∠A＝∠APD， ∴AD＝PD； （3分） （2）证明如图1， 连接PK， ∵∠ACB＝90°，点P是AB的中点， ∴CP＝BPAB， ∵∠ABC＝60°， ∴△BPC是等边三角形， ∴PC＝BC＝PB，∠PCB＝60°， ∴∠ACP＝90°﹣∠PCB＝30°， ∵线段DB绕着B点逆时针旋转60°得到线段BK， ∴∠DBK＝60°，BD＝BK， ∴∠CBP＝∠DBK， ∴∠CBP﹣∠ABD＝∠DBK﹣∠ABD， ∴∠CBD＝∠PBK， ∴△CBD≌△PBK（SAS）， ∴CD＝PK，∠BPK＝∠BCD＝90°， ∴PK⊥AB， ∵点D关于CP的对称点为点H， ∴∠PCH＝∠ACP＝30°，CH＝CD， ∴CH⊥AB，CH＝PK， ∴PK∥CH， ∴四边形PKHC是平行四边形， ∴CP＝KH； （8分） （3）解：如图2， ∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2， ∴AB＝2BC＝4， 由（2）知， AP＝BP＝CP＝2， 当∠AKP＝90°时， 由（2）知， 四边形PKHC是平行四边形，PK⊥AB， ∴∠PKH＝∠PCH＝30°，KH＝CP＝2， ∴∠AKP＝90°﹣∠PKH＝60°， ∴∠KAP=30°， ∴KP=， ∴AK， ∴AH （9分） 如图3， 当∠AHK＝90°时，设AH和PK交于点O， ∴∠AHK＝∠APK＝90°， ∵∠AOP＝∠HOK， ∴∠HAP＝∠PKH＝30°， ∴∠CAH＝∠HAP+∠BAC＝60°， ∵∠ACH＝60°，∴△ACH是等边三角形， ∴AH＝AC BC＝2 综上所述：AK或2 （10分） 八年级数学 参考答案 第 2 页（共 6 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年学情诊断 九年级 数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图(包括作辅助线)请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C D. 3．下列各组线段中，能构成直角三角形的是（　　） A．2，4，6 B． C．2，， D．5，12，13 4．如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是BC的中点，若OE＝3.5，则 CD的长为（ ） A．5 B．5.5 C．6 D．7 5．如图在中，边，的垂直平分线交于点P， 连结，，若，则（　　） A． B． C． D． 6．一个多边形的每个内角都是120°，则其内角和为（     ） A．720° B．1080° C．1260° D．1440° 7．如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方 向旋转102°得到△ADE，连接AE．若AE∥BD，则∠CAD 的度数为（　　） A．66° B．64° C．65° D．63° 8． 某学校篮球社团要购买一定数量的篮球，现有甲、乙两个商店销售某品牌篮球（篮球标 价相同），国庆期间同时搞品牌促销活动，甲商店：购买篮球消费满700元，送两个篮球； 乙商店：篮球单价打七折．如果到甲商店购买，正好能用720元经费买够数量；如果到乙 商店购买，不仅能买购数量，还能剩48元，两位同学分别就两种方案给出了两个方程： ① ，② ．其中x表示的意义是（　　） A．均为篮球的数量 B．均为篮球的单价 C．方程①中的x表示篮球的数量，方程②中的x表示篮球的单价 D．方程①中的x表示篮球的单价，方程②中的x表示篮球的数量 9．若关于x的分式方程无解，则a的值是（　　） A．1或2 B．1 C．1或3 D．3或2 10．如图，的对角线交于点O，点E是的中点，且，， 连接．给出下列4个结论： ①是等边三角形；        ②； ③；                 ④若，则． 上述结论错误的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11．因式分解：＝ ． 12．要使分式无意义，应满足的条件是 . 13．直线与直线 在同一平面直 角坐标系中的图像如图所示，则关于x的不等式 的解集为 ． 14．某天，小明和爸爸外出郊游，在河岸边玩耍，他想测量河的宽度，设计了一种测量方案： 如图所示，在河对岸选择点，再在河这边岸边选取两点，测得，并测量出长为30米，则河的宽度为 ． 15．已知 与的互为相反数,则 = ． . 16．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝7，D是线段AB上一个动点，以BD为边在△ABC外作等边△BDE．若F是DE的中点，当CF取最小值时，△BDE的周长为 　 　 ． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17.因式分解： （1）4a2﹣9b2 （2）（y2﹣3）2﹣2（y2﹣3）+1 18．如图，在平行四边形中，点H是边上一点，连接． (1)尺规作图：请作出的角平分线，分别交于点G、E，交的延长线于点F．（不写作法，保留作图痕迹） (2)若点G恰好是线段的中点，求证：． 证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD，① ∴∠F=∠CDG，∠FHG=∠DCG， ∵G是CH的中点，∴② ∴△FGH≌△DGC，∴③ ， 又∵AB=CD ∴FH=AB ∴FB+BH=AH+BH，∴BF=AH． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19．求不等式组： 的所有整数解的和。（把不等式组的解集表示在数轴上） 20． 先化简： ，再从－1, 0, 1, 2中取一个合适的数值代入，求出代数式的值． 21.在如图所示的直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(1,1), B(4,1), C(3,3). （1）将△ABC向下平移5个单位长度后得到△A1B1C1,请在图中画出△ABC,△A1B1C1 （2）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2,请在图中画出△A2B2C2; ( 第 21 题图 )（3）请判断△OA1B的形状. 22．某水果店去年购买了一批水果．其中水蜜桃每千克的单价比李子多4元，用1200元购 买的水蜜桃与用800元购买的李子千克数相等． （1）求去年购买的水蜜桃和李子的单价各是多少元/千克？ （2）若今年李子的单价比去年提高了25%，水蜜桃的单价与去年相同，这家水果店今 年计划再购买李子和水蜜桃共200千克，且购买李子和水蜜桃的总费用不超过 2120元，这家水果店今年至少要购买多少千克李子？ 23．已知，点P是等边三角形△ABC中一点，线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，连接 PQ、QC． （1）求证：△BAP≌△CAQ． （2）若PA＝6，PB＝8，∠APB＝150°，求PC的长度． 24．成都大运会成功举办，某商家推出A种纪念娃娃、B种纪念娃娃.已知购进3个A种娃 娃和购进4个B种娃娃的费用相同;每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多3元, 且A种娃娃售价为18元/个,B种娃娃售价为12元/个. （1）每个A种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是多少元？ （2）根据网上预约的情况,该商家计划用不超过1920元的资金购进A,B两种娃娃共200 个,若这200个娃娃全部售完,如何进货商家获利最大？最大利润是多少元？ 25．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点P是边AB上一个动点，点D是边AC上一个 动点，点D关于CP的对称点为点H． （1）如图1，当点H与点B重合时，连接DP． ①直接写出DP与PB的数量关系； ②求证：AD＝PB； （2）如图2，当点P是AB中点时，把线段DB绕着B点逆时针旋转60°得到线段BK，连 接KH，求证：CP＝KH； （3）在（2）的条件下，当BC＝2，△AKH是直角三角形时，直接写出AH长． 九年级数学（北师大版）试题 第5 页共6页 !异常的公式结尾!异常的公式结尾!异常的公式结尾!异常的公式结尾 九年级数学（北师大版）试题 第6 页共6页 九年级数学（北师大版）试题 第6 页共6页 学科网（北京）股份有限公司 $