4.2.2换底公式及对数的应用 学案-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

第5课时　换底公式及对数的应用

学习目标　1.掌握换底公式及其推论.2.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值.

【活动过程】

活动一：复习探究，感受数学

问题1　上节课我们学习了对数的运算性质，但对于一些式子，比如log48，log927等式子的化简求值问题还不能做到，你能解决这个问题吗？

 

问题2　是否对任意的logab都可以表示成logab=(a>0，a≠1；b>0；c>0，c≠1)？说出你的理由.

 

活动二：小组合作，建构数学

换底公式

(1)logaN=                             (a>0，a≠1，N>0，c>0，c≠1).

(2)对数换底公式的重要推论：

①logaN=                             (N>0，N≠1；a>0，a≠1).

②lobm=                             (a>0，a≠1，b>0，n≠0).

③logab·logbc·logcd=                             (a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1).

特别地logab·logba=1.

活动三：学习展示，运用数学

例1　(1)求log89×log332的值.                           　(2)计算：(log43+log83)(log32+log92)；

 

 

 

(3)已知log189=a，18b=5，用a，b表示log3645的值.

 

 

 

跟踪训练1　(1)log25×log52等于(　　)

A.5 B.2 C.1 D.0

(2)计算：.

 

 

例2　(1)设3a=4b=36，求+的值；

 

 

(2)已知x，y，z为正数，若3x=4y=6z，求-的值.

 

 

跟踪训练2　已知3a=5b=c，且+=2，求c的值.

 

 

 

例3　要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性14C.动植物死亡后，停止了新陈代谢.14C不再产生，且原有的14C会自动衰变.经过5 730年(14C的半衰期)，它的残余量只有原始量的一半.经过科学测定，若14C的原始含量为1，则经过x年后的残留量为y=0.999 879x.

用放射性碳法，测得我国辽东半岛普兰店附近的泥炭中发掘出的古莲子中14C的残余量占原来的87.9%，试推算古莲子的生活年代.

 

 

 

 

跟踪训练3　荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把(1+1%)365看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是1.01365≈37.783 4；而把(1-1%)365看作是每天“退步”率都是1%，一年后是0.99365≈0.025 5，这样，一年后的“进步值”是“退步值”的≈1 481倍.那么当“进步值”是“退步值”的4倍，需要经过大约(参考数据：lg 101≈2.004 3，lg 99≈1.995 6，lg 2≈0.301 0)(　　)

A.18天 B.30天 C.51天 D.69天