精品解析：湖南省长沙市第一中学2025-2026学年高二上学期入学考试数学试卷

数学 命题人：李迎归 吴海波 审题人：余希 时量：120分钟满分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，．若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直接得到的取值范围. 【详解】因为，且， 所以， 即实数的取值范围是. 故选：D 2. 设数据1，2，3，4，m的下四分位数为m，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据下四分位数的定义将条件转化为由小到大排列是第二位，再求解. 【详解】因为，且五个数中下四分位数为， 所以由小到大排列，在第二位，所以. 故选：A. 3. 已知复数，则在复平面中对应的点的位置是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用除法运算化简后写出其共轭复数，进而作出判定． 【详解】， 则， 得在复平面中对应的点为,它位于第四象限． 故选：D 4. 若为偶函数，则（ ）． A. B. 0 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可. 【详解】因为 为偶函数，则 ，解得， 当时，，，解得或， 则其定义域为或，关于原点对称. ， 故此时为偶函数. 故选：B. 5. 已知关于的方程的两根之和等于两根之积的一半，则一定是 A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 【答案】B 【解析】 【详解】分析：根据题意利用韦达定理列出关系式，利用两角和与差的余弦函数公式化简得到A=B，即可确定出三角形形状． 详解：设已知方程的两根分别为x1，x2， 根据韦达定理得：x1+x2=cosAcosB，x1x2=2sin2=1﹣cosC， ∵x1+x2=x1x2， ∴2cosAcosB=1﹣cosC， ∵A+B+C=π， ∴cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB， ∴cosAcosB+sinAsinB=1，即cos（A﹣B）=1， ∴A﹣B=0，即A=B， ∴△ABC为等腰三角形． 故选B． 点睛：此题考查了三角形的形状判断，涉及的知识有：根与系数的关系，两角和与差的余弦函数公式，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键． 6. 如图所示，在正方体中，点为线段上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据异面直线的定义一一判断即可. 【详解】由正方体的性质易知当为的中点时，为的中点， 而，所以共面，则、在平面上，故A不符题意； 因为，即共面， 易知平面，而平面，，， 故与异面，故B符合题意； 当、重合时，易知， 则四边形是平行四边形，则此时，故C不符合题意； 当、重合时，显然，相交，故D不符合题意. 故选：B. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指对函数的单调性和中间值比较大小即可. 【详解】由，则， 由，，则， 由，则. 则. 故选：C 8. 在平行四边形中，，若，则=（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意分析可知，四边形为菱形且，然后求解. 【详解】，则平分，则四边形为菱形. 且，由，则, 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题考查向量的综合运用，解题的关键是要注意为上的单位向量，考查学生的逻辑推理能力与运算能力，属于基础题. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则下列命题正确的是（ ） A. 若且，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用特殊值法可判断A选项；利用作差法可判断BCD选项. 【详解】对于A选项，若且，取，，则，故A不正确； 对于B选项，若，则，故B正确； 对于C选项，若且，则，则，故，故C不正确； 对于D选项，， 当且仅当时，等号成立，故，故D正确. 故选：BD. 10. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 若， 【答案】BCD 【解析】 【分析】以为整体，利用诱导公式、倍角公式以及两角和差公式逐项分析求解. 【详解】因为， 对于选项A：，故A错误； 对于选项B： ，故B正确； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：若，则， 且，则， ， 可得 ，所以，故D正确. 故选：BCD． 11. 一个盒子中有6个大小质地完全相同的小球，其中2个红球，2个黄球，2个白球，随机从盒中依次不放回地摸出2个球，则下列事件相互独立的是（ ） A. “摸出的第一个球是红球”与“摸出的两个球颜色不同” B. “摸出的第二个球是黄球”与“摸出的两个球颜色相同” C. “摸出的两个球颜色相同”与“摸出的球没有黄球” D. “摸出的两个球颜色不同”与“摸出的球有红球” 【答案】AB 【解析】 【分析】分别求出各个选项事件的概率，然后利用独立事件的概念判断即可. 【详解】对于A，记事件表示“摸出的第一个球是红球”，事件表示“摸出的两个球颜色不同”， 则，， 记事件表示“摸出的第一个球是红球且摸出的两个球颜色不同”， 则，显然， 所以事件与事件相互独立，故A正确. 对于B，记事件表示“摸出的第二个球是黄球”，事件表示“摸出的两个球颜色相同”， 则，， 记事件表示“摸出的第二个球是黄球且同摸出的两个球颜色相同”， 则，显然， 所以事件与事件相互独立，故B正确. 对于C，记事件表示“摸出的球没有黄球”，则， 由B项，记事件表示“摸出的两个球颜色相同且摸出的球没有黄球”， 则，显然， 所以事件与事件不相互独立，故C错误. 对于D，记事件表示“摸出的球有红球”，则， 由A项，记事件表示“摸出的两个球颜色不同且摸出的球有红球”， 则，显然， 所以事件与事件不相互独立，故D错误. 故选：AB. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，角A的平分线交边于点D.若，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据得出，再利用基本不等式的常数代换即可求解. 【详解】因为角的平分线为，则， 因，且，则， 所以，所以， 则， 当且仅当，即时取等号． 所以的最小值为． 故答案为： 13. 在四面体中，P为空间中一点，且满足，若四面体的体积为4，则四面体的体积为______. 【答案】2 【解析】 【分析】利用向量的加法运算将转化为，从而找到在线段上且靠近的三等分点处，继而得到到平面的距离是到平面的距离的2倍，从而得到所求. 【详解】设是的中点，，又， ，，， 设是的中点，是的中点，，， ，，在线段上且靠近的三等分点处， 又线段为的中位线，， 到平面的距离是到平面的距离的2倍，. 故答案为：2 14. 已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为_______. 【答案】1 【解析】 【分析】法一：根据台体的体积公式得三棱台的高，作辅助线并结合正三棱台的结构特征求得，进而根据线面夹角的定义分析求解；法二：将正三棱台补成正三棱锥，与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角，根据比例关系得，进而求正三棱锥的高，即得结果. 【详解】法一：分别取的中点，则， 可知， 设正三棱台的为，则，解得， 如图，分别过作底面垂线，垂足为，设， 则，， 可得， 结合等腰梯形可得， 即，解得， 所以与平面ABC所成角的正切值为； 法二：将正三棱台补成正三棱锥， 则与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角， 因为，则，知，则， 设正三棱锥的高为，则，解得， 取底面ABC的中心为，则底面ABC，且， 所以与平面ABC所成角的正切值. 故答案为：1 四、解答题：本大题共5小题，第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角所对的边分别为，为其外心，且满足. （1）证明：； （2）求角的最大值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，由三角形外心的性质和向量的加减法法则即可得到，同理取的中点，连接，即可得到，最后结合题意完成证明； （2）根据余弦定理，结合可得，再利用基本不等式得到，最后由余弦函数在上的单调性求解即可. 【小问1详解】 如图所示，取的中点，连接， 由为的外心可知， 则， 因为为的中点，，且， 所以， 同理，取的中点，连接， 由为的外心可知， 则， 因为为的中点，，且， 所以， 依题意，，因此， 即，. 【小问2详解】 根据余弦定理，结合可得：， 由基本不等式，，当且仅当时取得， 因为，且在上单调递减， 所以，即的最大值为. 16. 省锡中高一社团组织知识竞赛活动.比赛共有两轮答题，第一轮从5个生物问题中任选两题作答，答对其中一题得20分，两题均答对可得50分； 第二轮从5个化学问题中任选两题作答，每答对一题可得30分.甲乙两位同学同时参赛，甲同学回答出每个问题的概率均为0.4，乙同学能回答出生物问题中的3道题，能回答出每道化学问题的概率为0.3.经过两轮比赛后总得分达到80分的同学可以获得一个奖品. （1）求甲同学在第一轮得分为20分的概率. （2）甲乙两位同学谁获得奖品的概率更大? 请说明理由. 【答案】（1）0.48 （2）乙同学获得奖品的概率更大． 甲获奖总得分达到80分分两种情况： 甲第一轮得20分且第二轮得60分的概率为：， 甲第一轮得50分且第二轮至少得30分的概率为：， 甲同学获奖的概率为． 设乙同学能答出生物问题中的3道题分别为，，，不能答出的为，， 则乙同学从5个生物问题中任选两题作答，所有情况为： ，，，，，，，，，， 其中获20分的概率为，获50分的概率为． 乙获奖总得分达到80分分两种情况： 乙第一轮得20分且第二轮得60分的概率为：， 乙第一轮得50分且第二轮至少得30分的概率为：， 乙同学获奖的概率为：， ， 乙同学获得奖品的概率更大． 【解析】 【分析】（1）直接由相互独立事件的概率公式求解； （2）分别求出甲乙两同学获奖的概率，比较大小得结论． 【小问1详解】 因为甲同学回答出每个问题的概率均为0.4， 所以甲同学在第一轮得分为20分的概率为． 【小问2详解】 略 17. 已知函数. （1）若函数为奇函数，求实数的值； （2）判断并证明函数的单调性； （3）若函数在区间上的最小值为，求实数的值. 【答案】（1） （2）单调递减，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义直接列方程，解方程即可； （2）根据单调性的定义直接判断； （3）利用换元法，结合对勾函数单调性可得最值，分情况列方程，解方程即可. 【小问1详解】 由已知， 则， 又， 则， 即， 又函数为奇函数，所以， 即，； 【小问2详解】 由已知定义域为， 任取，，且， 则， 由可知， 则， 所以， 即函数在上单调递减； 【小问3详解】 由（1）可得， 则， 设，则， 由（2）可知在上单调递减， 即， 又函数，在上单调递减，在上单调递增， ①当时，，当且仅当时取等号，即最小值为，解得， 代入区间可得区间为，不成立； ②当时，在上单调递增， 即当时，取得最小值为， 所以，解得， 代入区间可得，与假设矛盾，不成立； ③当时，在上单调递减， 即当时，取得最小值为， 所以，解得， 此时满足，成立； 综上所述，. 18. 在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，，为正三角形，且平面平面，设为线段上一动点. （1）当平面时，求的值； （2）当最小时，求与所成角的余弦值； （3）当二面角的大小为时，求的值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）以为原点， 分别为轴，作射线垂直于点为轴构建空间直角坐标系，由条件确定在轴上，设，求平面的法向量，由线面平行有求参数值，即可得； （2）利用空间两点距离公式求参数值，得，再应用向量法求异面直线夹角的余弦值； （3）求出平面的法向量，结合二面角大小及向量夹角的求法列方程求参数值，即可得. 【小问1详解】 底面是等腰梯形，，，，， 所以，则， 又，可得，故， 以为原点， 分别为轴，作射线垂直于点为轴， 构建如图空间直角坐标系，则， 所以，，显然满足， 因为是边长为的正三角形，故的高为， 所以的高为，且在平面上的投影在的角平分线上， 设且，则， ， 若是平面的一个法向量，则，可取， 若是平面的一个法向量，则，可取， 由平面平面，则，可得，故，即在轴上， 显然平面，又，故， 即为等腰直角三角形，则到的距离为，故，所以， 设，则，则， 所以，而，， 若是平面的一个法向量，则，取， 由平面，则，可得， 此时，故； 【小问2详解】 由，则， 当，最小，此时，则，而， 所以，故所求异面直线的夹角余弦值为； 【小问3详解】 由（1）知，平面的法向量为，，， 设平面的法向量，则，取， 二面角的大小为，则， 整理得，即，故， 所以（负值舍），故. 19. 我们知道，二维平面中的点在坐标系中有x，y两个分量，可以用数组表示该点的坐标，三维空间中的点在坐标系中有x，y，z三个分量，可以用数组表示该点的坐标，类似地，在n维空间中的点在坐标系中同样有n个分量，可以用数组表示该点的坐标.现考虑n维空间的一个点集，对于S中的两点，，定义X，Y之间的距离. （1）当时，设，若点满足，求点B所有可能的坐标； （2）设点，且X的每个分量均为1，若，求的最大值； （3）设点集M为S的一个k元子集，满足M中任意两个点之间的最小距离为，求证：. 【答案】（1）答案见解析； （2）答案见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据，设，又已知，找到中有2个值为0，有2个值为1，求出的所有可能的坐标； （2）根据的每个分量均为1, 且，分析出、中的分量中0的个数为，1的个数为，要使最大，需让和不同的分量最多，即的0分量与的1分量、即的1分量与的0分量尽可能重合，从而得出最大值； （3）设，对于，，对于任意，根据中任意两个点之间的最短距离为，得到，再得到与矛盾，从而中任意两个点的前个坐标构成的向量都不同，从而得到证明. 【小问1详解】 ，设，， ， ， ， 的值中有2个值为0，有2个值为1， 中有2个值为0，有2个值为1， 点的所有可能坐标为，，，，，. 【小问2详解】 的每个分量均为1, 且，， 的分量中0的个数为，1的个数为； ， 的分量中0的个数为，1的个数为， 由， 则， 要使最大，则和中0和1的对应分布应尽可能不同， 第一种情况：当时，即，，此时最大为. 第二种情况：当时，即，，此时最大为. 【小问3详解】 设，对于，，对于任意 中任意两个点之间的最短距离为， ， 考虑中所有点的前个坐标构成的向量集合， 若中有两个不同的点的前个坐标相同， 则它们只能在最后的个坐标上有所不同， ，这与矛盾. 因此，中任意两个点的前个坐标构成的向量都不同，前个坐标构成的不同向量总数为， 中点的个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 命题人：李迎归 吴海波 审题人：余希 时量：120分钟满分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，．若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 设数据1，2，3，4，m的下四分位数为m，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知复数，则在复平面中对应的点的位置是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 若为偶函数，则（ ）． A. B. 0 C. D. 1 5. 已知关于的方程的两根之和等于两根之积的一半，则一定是 A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 6. 如图所示，在正方体中，点为线段上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是（   ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 在平行四边形中，，若，则=（ ） A. B. C. D. 3 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则下列命题正确的是（ ） A. 若且，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 10. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 若， 11. 一个盒子中有6个大小质地完全相同的小球，其中2个红球，2个黄球，2个白球，随机从盒中依次不放回地摸出2个球，则下列事件相互独立的是（ ） A. “摸出的第一个球是红球”与“摸出的两个球颜色不同” B. “摸出的第二个球是黄球”与“摸出的两个球颜色相同” C. “摸出的两个球颜色相同”与“摸出的球没有黄球” D. “摸出的两个球颜色不同”与“摸出的球有红球” 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，角A的平分线交边于点D.若，则的最小值为______. 13. 在四面体中，P为空间中一点，且满足，若四面体的体积为4，则四面体的体积为______. 14. 已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为_______. 四、解答题：本大题共5小题，第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角所对的边分别为，为其外心，且满足. （1）证明：； （2）求角的最大值. 16. 省锡中高一社团组织知识竞赛活动.比赛共有两轮答题，第一轮从5个生物问题中任选两题作答，答对其中一题得20分，两题均答对可得50分； 第二轮从5个化学问题中任选两题作答，每答对一题可得30分.甲乙两位同学同时参赛，甲同学回答出每个问题的概率均为0.4，乙同学能回答出生物问题中的3道题，能回答出每道化学问题的概率为0.3.经过两轮比赛后总得分达到80分的同学可以获得一个奖品. （1）求甲同学在第一轮得分为20分的概率. （2）甲乙两位同学谁获得奖品的概率更大? 请说明理由. 17. 已知函数. （1）若函数为奇函数，求实数的值； （2）判断并证明函数的单调性； （3）若函数在区间上的最小值为，求实数的值. 18. 在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，，为正三角形，且平面平面，设为线段上一动点. （1）当平面时，求的值； （2）当最小时，求与所成角的余弦值； （3）当二面角的大小为时，求的值. 19. 我们知道，二维平面中的点在坐标系中有x，y两个分量，可以用数组表示该点的坐标，三维空间中的点在坐标系中有x，y，z三个分量，可以用数组表示该点的坐标，类似地，在n维空间中的点在坐标系中同样有n个分量，可以用数组表示该点的坐标.现考虑n维空间的一个点集，对于S中的两点，，定义X，Y之间的距离. （1）当时，设，若点满足，求点B所有可能的坐标； （2）设点，且X的每个分量均为1，若，求的最大值； （3）设点集M为S的一个k元子集，满足M中任意两个点之间的最小距离为，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $