第二章 实数课件 2025-2026学年 北师大版（2024）八年级数学上册

2 平方根与立方根 第二章 实数 第1课时 算术平方根 学习目标 1.了解算术平方根的概念及其性质．（重点） 2.会求一个数的算术平方根.（难点） 情境引入 学校要举行美术作品比赛，小明很高兴，他想裁出一块面积为16dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？你能帮小明算一算吗？ 4dm 因为42=16 新课导入 3 知识点1 算术平方根的概念 填一填(1) 正方形的面积 1 9 16 36 0.25 1 3 4 6 0.5 边长 已知正方形的面积，求出其边长： 讲授新课 4 请大家根据勾股定理，结合图形完成填空： ， ， ， ． 2 3 4 5 中哪些是有理数？哪些是无理数？你能表示它们吗？ 填一填(2) 5 一般地，如果一个正数 x 的平方等于a，即 x2＝a，那么这个正数 x 就叫作 a 的算术平方根，记作“ ”，读作“根号 a ”． 特别地，我们规定：0的算术平方根是0，即 ． 概念学习 试一试：你能根据等式 122=144，说出144的的算术平方根是多少吗？并用等式表示出来． 想一想：下列式子表示什么意思？你能求出它们的值吗？ 144的算术平方根是12，即 ＝12 温馨提示：求值时，要按照算术平方根的意义，写出应该 满足的关系式，然后按照算术平方根的记法写出对应的值． 例1 （教材P31例1）求下列各数的算术平方根： (1) 900； (2) 1； (3) ； (4) 14． 典例精讲 温馨提示：非平方数的算术平方根只能用根号表示. 注意：带分数化为假分数 注意：不要等于-25 解: (1)因为 所以 的算术平方根是3; 求下列各数的算术平方根： 针对训练 算术平方根的性质： 非负数 算术平方根具有双重非负性 (a≥0) 合作探究 问题1：负数有算术平方根吗？ 问题2：一个非负数的算术平方根可能是负数吗？ 知识点2 算术平方根的性质及其实际应用 例2 (1)已知y＝ ＋ ＋5，求2x＋y的算术平方根． 分析：由于只有非负数才有算术平方根，因此本题中x－2≥0，且2－x≥0.求得x的值后从而可得y的值，进而问题得解． 解：由 中a≥0知，等式成立的条件是x－2≥0且 2－x≥0.所以x≥2且x≤2. 所以x＝2.所以y＝5. 所以2x＋y＝2×2＋5＝9. 因为9的算术平方根是3，所以2x＋y的算术平 方根是3，即 (2)已知x，y为有理数，且 ＋3(y－2)2＝0，求x－y的值． 分析：算术平方根和平方都具有非负性，即 ≥0, a2≥0. 由几个非负数相加和为0，可得每一个非负数都为 0，由此可求出x和y的值，进而求得答案． 解：由题意，得x－1＝0，y－2＝0. 所以x＝1，y＝2. 所以x－y＝1－2＝－1. (1)算术平方根和数的平方、绝对值一样，都是非负数，即 ≥0，a2≥0，|a|≥0；当几个非负数的和为0时，则其中每一个非负数都为0. (2)只有非负数才有算术平方根，因此当同时出 现 时，a只有为0才有意义． 归纳总结 3.若 ，则a= ； 2.若 =0 ，则x= ； 4.若｜a-3|+ ，则代数式 =___. 1.若|a+2|=0 ， 则a= ； -2 6 -7 1 练一练 例3 (教材P32例2)自由下落物体下落的距离h（米）与下落时间t（秒）的关系为 ．有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？ 解:将h＝19.6代入公式 ， 得 ， 所以正数 (秒). 即铁球到达地面需要2秒. 15 1.填空题： ①若一个数的算术平方根是5，那么这个数是 ； ② 的算术平方根是 ； ③ 的算术平方根是 ； ④若 ，则 ． 16 25 当堂练习 16 2.求下列各数的算术平方根 （1）25； （2） ；（3）0.36 ；（4） 49 81 解：(1)因为 ，所以25的算术平方根是5， 即 (2)因为 ，所以 的算术平方根是 ， 即 (3)因为 ，所以0.36的算术平方根是0.6，即 （4） ，所以 的算术平方根是2. 3.已知：｜x+2y|+ 求x-3y+4z的值. 解：由题意得： 解得 解:设每块地板砖的边长为x m.由题意得 故每块地板砖的边长是0.5 m. 4.用大小完全相同的240块正方形地板砖，铺一间面积为60 m2的会议室的地面，每块地板砖的边长是多少？ 算术平方根 算术平方根的概念 算术平方根的双重非负性 算术平方根的应用 课堂小结 2 平方根与立方根 第二章 实数 第2课时 平方根 学习目标 1.学会进行开平方运算．（重点） 2.能够求一个数的平方根．（重点） 复习引入 2.我们已经学习过哪些运算？它们中互为逆运算的是什么？ 答：加法、减法、乘法、除法、乘方五种运算. 加法与减法互逆；乘法与除法互逆. 思考：乘方有没有逆运算？ 1.什么叫算术平方根？ 若一个正数的平方等于 a 则这个数叫作 a 的算术平方根,表示为 . 新课导入 23 (1) 3的平方等于9，那么9的算术平方根就是_____ (2) 的平方等于 ，那么 的算术平方根就是____ (3) 展厅地面为正方形，其面积49 m2，则边长为___m. 知识点1 平方根的概念及性质 你发现了吗 3 7 问题：平方等于9， ，49的数还有吗？ 填一填(1) 讲授新课 24 写出左圈和右圈中的“？”表示的数： 64 -11 11 0.6 0 没有 x 2 x 8 -8 4 3 4 3 - ？ ？ ？ ？ ？ ？ ？ ？ ？ ？ 121 0.36 0 -4 -0.6 填一填(2) 你发现了吗 25 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫作a的平方根（或二次方根）. 平方根的定义： 概念学习 平方根的表示方法、读法 根号 被开方数 （a是非负数） 读作：正、负根号a 1. 144的平方根是什么？ 2. 0的平方根是什么？ 3. 的平方根是什么？ 4. -4有没有平方根？为什么？ 0 没有，因为一个数的平方不可能是负数 试一试 通过这些题目的解答，你能发现什么? 问题：（1）正数有几个平方根？ （2）0有几个平方根？ （3）负数呢？ 有没有一个数的平方是负数？ 想一想 因为任何实数的平方都为非负数，所以负数没有平方根，也没有算术平方根. 平方根的性质： 1.正数有两个平方根，两个平方根互为相反数. 2.0的平方根还是0. 3.负数没有平方根. 要点归纳 归纳总结 1.包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种. 平方根与算术平方根的联系与区别： 2.只有非负数才有平方根和算术平方根. 3. 0的平方根是0，算术平方根也是0. 区别： 1.个数不同：一个正数有两个平方根， 但只有一个算术平方根. 2.表示法不同：平方根表示为 ， 而算术平方根表示为 . 联系： 知识点2 开平方及相关运算 两种运算有什么不同？ +1 -1 +2 -2 +3 -3 1 4 9 x x2 1 4 9 +1 -1 +2 -2 +3 -3 这是什么运算？ 平方运算 x2 x 32 求一个数a的平方根的运算，叫作开平方，a叫作被开方数. 可以看出,平方与开平方互为逆运算,根据这种关系可以求出一个数的平方根. 平方与开平方有什么关系？ 开平方的定义： 典例精析 例1 （教材P33例3）求下列各数的平方根: (1)64 ； (2) (4) (5) 11. (3)0.0004； 解：（1）∵ ，∴64的平方根为±8; （2）∵ ，∴ 的平方根为 ; （3）∵ ，∴0.0004的平方根为±0.02; （4）∵ ，∴ 的平方根为 ±25; （5）11的平方根是 . 方法总结 运用平方运算求一个非负数的平方根是常用的方法，如被开方数是小数，要注意小数点的位置，也可先将小数化为分数，再求它的平方根，如被开方数是带分数，先要把它化为假分数. 注意:要弄清 ， ， 的意义， 不能用来表示a的平方根，如：64的平方根不要写成 . 64 7.2 0 思考1：根据前面得出的性质填一填，并说明理由． 你能把所得的公式用字母表示出来吗？ ? 知识点3 与 的性质 36 归纳总结 的性质： 一般地， ＝a (a ≥0). 例2 计算： 解： 想一想：本小题用到了幂的哪条基本性质呢？ 积的乘方： （ab）2=a2b2 2 0.1 0 如何用字母表示你所得的公式呢？ 思考2：根据前面得出的性质填一填，并说明理由． 归纳总结 的性质： 一般地， ＝a (a ≥0). 思考：当a＜0时， =？ 例3：化简 解： 你还有其它解法吗？ 想一想：如何化简 呢？ = (a≥ 0)； (a＜0). =∣a ∣ a -a 辨一辨：请同学们快速分辨下列各题的对错． （ ） （ ） （ ） （ ） × × √ √ 议一议：如何区别 与 ？ 从运算顺序看 从取值范围看 从运算结果看 先开方,后平方 先平方，后开方 a≥0 a取任何实数 a ∣a∣ 2.下列说法不正确的是______ A.0的平方根是0 B. 的平方根是2 C.非负数的平方根互为相反数 D.一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数 1.下列说法正确的是_________ ① -3是9的平方根; ②25的平方根是5; ③ -36的平方根是-6; ④平方根等于0的数是0; ⑤64的算术平方根是8. ①④⑤ B 当堂练习 44 3.已知一个自然数的算术平方根是a，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（ ） A. a+1 B. C. a2+1 D. D 4. x为何值时， 有意义？ 解： 因为 ，所以 . -1 0 1 2 a 5. 实数a在数轴上的位置如图所示，则化简 的结果是 . 1 6.利用 a ＝ （ a ≥0），把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式： (1) 9 ； (2)5 ； (3) 2.5 ； (4) 0.25 ； (5) ； (6)0 . 7.已知 ，求x的值． 解：∵ ∴ ∴ x=12 或 x=－10. 平方根 平方根的概念 开平方及相关运算 平方根的性质 ＝a (a ≥0). 课堂小结 第3课时 立方根 第二章 实数 2 平方根与立方根 学习目标 1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根.（重点） 2.能用开立方运算求某些数的立方根，了解开立方和 立方互为逆运算.（重点，难点） 某化工厂使用半径为1米的一种球形储气罐储藏气体，现在要造一个新的球形储气罐，如果要求它的体积必须是原来体积的8倍，那么它的半径应是原来储气罐半径的多少倍？ 情境引入 新课导入 知识点1 立方根的概念及性质 问题：要做一个体积为8 cm3的正方体模型（如图），它的棱长要取多少？你是怎么知道的？ 解：设正方体的棱长为x㎝,则 这就是要求一个数,使它的立方等于8. 因为 所以 x=2. 正方体的棱长为2㎝. 想一想： (1)什么数的立方等于-8？ (2)如果问题中正方体的体积为5cm3，正方体的边长又该是多少？ -2 讲授新课 52 立方根的概念 一般地，如果一个数的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x就叫作a的立方根，也叫作a的三次方根． 立方根的表示 每个数a都有一个立方根，记作 　　. 根指数 被开方数 其中a是被开方数，3是根指数，3不能省略. 读作：三次根号 a， 填一填： 根据立方根的意义填空： 因为 =8，所以8的立方根是（　）； 因为( )3 =0.125,所以0.125的立方是（ ）； 因为( )3 ＝0，所以0的立方根是（　）； 因为 ( )3 ＝－8，所以－8的立方根是（ ）； 因为( )3 ＝ ，所以 的立方（ ）. 0 2 -2 0 -2 54 立方根的性质 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根， 零的立方根是零. 立方根是它本身的数有1, -1, 0； 平方根是它本身的数只有0. 知识要点 a叫作被开方数 3叫作根指数 每个数a都有一个立方根，记作 ，读作“三次 根号a”. 如：x3=7时，x是7的立方根． 求一个数a的立方根的运算叫作开立方，a叫作被开方数. 注意:这个根指数3绝对不可省略. 知识点2 开立方及相关运算 56 解:(1)因为(-3)3= -27,所以-27的立方根是-3,即 (2)因为 所以 的立方根是 (3)因为0.63=0.216,所以0.216的立方根是0.6, 即 (4) -5的立方根是 例1 （教材P35例5） 求下列各数的立方根： (1) -27； (2) (3) 0.216； (4) -5. 典例精析 针对训练 求 的立方根. 求下列各式的值: 体会：对于任何数a , a 2 4 0 -2 -3 探究1 3 23 = 3 4 3 = 温馨提示：开立方与立方运算互为逆运算. 体会：对于任何数a , a 8 27 0 -8 -27 探究2 求下列各式的值: 体会: (1)求一个负数的立方根,可以先求出这个负数绝对值的立方根,然后再取它的相反数. (2)负号可从“根号内” 直接移到“根号外” . 求下列各式的值: (1) ； (2) 探究3 -0.2 -0.2 平方根 立方根 性 质 正数 0 负数 表示方法 被开方数的范围 两个，互为相反数 一个，为正数 0 0 没有平方根 一个，为负数 平方根与立方根的区别和联系 可以为任何数 非负数 求下列各数的值: （1）0.5 ，（2）－4 ，（3）－4 ，（4）5，（5）16. 练一练 例2 （教材P35例6）求下列各式的值: ( ) 1.判断下列说法是否正确. × (2) 任何数的立方根都只有一个; ( ) (3) 如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是零; ( ) × × (5) 0的平方根和立方根都是0 . ( ) √ (1) 25的立方根是5; ( ) (4)一个数的立方根不是正数就是负数; √ 当堂练习 65 2.求下列各式的值. （1） （2） （3） （4） = – 0.3 = = = = = 66 3.若 =2， =4，求 的值. 解：∵ =2， =4. ∴x = 23，y2 = 16, ∴x = 8，y = ±4. ∴x + 2y = 8 + 2×4 = 16 或 x + 2y = 8 – 2×4 = 0. ∴ = = 4 或 = = 0. 4.将体积分别为600 cm3和129 cm3的长方体铁块，熔成一个正方体铁块，那么这个正方体的棱长是多少？ 解:因为600+129=729， 729的立方根是9， 所以正方体的棱长为9 cm. 立方根 立方根的概念及性质 开立方及相关运算 课堂小结 第4课时 估算及用计算器开方 第二章 实数 2 平方根与立方根 学习目标 1.了解估算的基本方法.(重点) 2.能够运用估算解决生活中的实际问题.(难点) 3.了解计算器开方的方法．（重点） 4.能够运用计算器开方比较数的大小．（重点） 观察与思考 某地开辟了一块长方形荒地，新建一个以环保为主题的公园.已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400000m2. (1)公园的宽大约是多少？它有1000m吗？ 1000 2000 S=400000 ∵2000×1000=2000000 >400000， ∴公园的宽没有1 000m. 新课导入 72 (2)如果要求误差小于10米，它的宽大约是多少？与同伴进行交流. x 2x S=400000 x•2x=400000, 2x2=400000, x2=200000, x= 大约是多少呢？ 解：设公园的宽为x米. 知识点 议一议 （1）下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？ 与同伴进行交流. （2）你能估算 的大小吗？（结果精确到1) 知识点1 估算的基本方法 讲授新课 74 思考一：下列结果正确吗？你是怎样判断的？ 通过“精确计算”可比较 两个数的大小关系 75 通过“估算”也可比较 两个数的大小关系 思考二：下列结果正确吗？你是怎样判断的？ 76 估算无理数大小的方法： (1)利用乘方与开方互为逆运算来确定无理数的整数部分； (2)根据所要求的误差确定小数部分. 要点归纳 知识点2 用计算器开方 知识点 1.用计算器开平方 大多数计算器都有 键，用它可以求一个 正数的算术平方根(或其近似值)，应注意的 是，不同型号的计算器按键的顺序可能不同， 使用计算器时，一定要按照说明书进行操作． 2.用计算器开立方 用计算器求一个数的立方根和求一个数的算术平 方根的步骤相同，只是按的根指数键不同． 步骤：按键 → 被开方数 → → 根据 显示结果写出立方根． 注意：不同型号的计算器按键的顺序可能不同， 使用计算器时，一定要按说明书操作．在用计算 器求一个负数的立方根时，可先求出它的绝对值 的立方根，再在结果前加上负号． SHIFT = 例1：用计算器计算： 　 (1) 　　; 　 (2)　 ;　 (3) 　　　 .　 解：(1) 5.89, 　 (2) (2÷7) , (3) 显示 2.426 932 22； 显示 0.658 633 756； 显示 －10.871 789 69. -1285, SHIFT SHIFT 例2：利用计算器比较下列两数的大小. 解: 按键： 3 ， 2， 显示 显示 按键： 1.442 249 57； 1.414 213 562； 所以 与 SHIFT 知识点3 用计算器比较数的大小 82 典例精析 例1 ：估算 的近似值．（精确到0.01） 导引：对于估算数的大小，我们根据误差的要求，先确 定整数部分，然后依次确定小数部分的每一位， 进行的步数越多，估算出的值越精确． 解：因为12＝1，22＝4，所以1＜ ＜2. 因为1.72＝2.89，1.82＝3.24，所以1.7＜ ＜1.8. 因为1.732＝2.992 9，1.742＝3.027 6， 所以1.73＜ ＜1.74. 因为1.7322＝2.999 824，1.7332＝3.003 289， 所以1.732＜ ＜1.733.所以 ≈1.73. 83 无理数的估算一般采用夹逼法，“夹”就是从两边确定范围，“逼”就是一点点加强限制，使其所处的范围越来越小，从而达到理想的精确度． 要点归纳 比较两个无理数的大小，先对计算的结果取 近似值，通过比较近似值的大小，判断原来的大 小． 总 结 按要求估算下列无理数： 解： 练一练 例2：（教材P33例）生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的 ，则梯子比较稳定.现有一长为6 m的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到5.6m高的墙头吗? 87 解：设梯子稳定摆放时的高度为x m，此时梯子底端离墙的距离恰为梯子长度的 ，根据勾股定理，有 所以梯子稳定摆放时，它的顶端能够达到5.6m高的墙头. 导引：先对无理数的大小进行估算，然后再比较两个数 的大小. 例3：比较下列各组数的大小： 知识点2 用估算法比较数的大小 要点归纳 两个带根号的无理数比较大小的结论： 1. 2. 3. 若a,b都为正数，则 90 方法归纳 对于含根号的数比较大小，一般可采取下列方法： 1.先估算含根号的数的近似值，再和另一个数进行比较； 2.当符合相同时，把不含根号的数平方，和被开方数比较，本方法的实质是比较被开方数，被开方数越大，其算术平方根越大； 3.若同分母或同分子的，可比较它们的分子或分母的大小. 91 1.在数 0，-2， ，3中，最大的是(　　) A．0 B．-2 C． D．3 2.已知甲、乙、丙三数，甲＝5＋ ，乙＝3 ＋ ，丙＝1＋ ，则甲、乙、丙的大小 关系是(　　) A．丙<乙<甲 B．乙<甲<丙 C．甲<乙<丙 D．甲＝乙＝丙 D A 当堂练习 92 3.用计算器比较下面两数的大小： (1) (2) 解:（1） 3.236 067 978； （2） 3.339 148 045； 93 4.利用计算器求下列各式的值（结果保留4个有效数字） （2） ； （3） ； （4） ； （1） 解：（1）≈28.28； （2）≈1.639； （3）≈0.7616； （4）≈-0.7560. 5.借助计算器求下列各式的值，你能发现什么规律？ 利用你发现的规律试写出 4…444 3 …333 + = 5 …555. = 5 555. 2 2 3 333 4 444 + 6.一个人一生平均要饮用的液体总量大约为40m3 .如果用一圆柱形的容器（底面直径等于高）来装这些液体，这个容器大约有多高？（结果精确到1 m） 解：设圆柱的高为 xm，那么它的底面半径为0.5xm, 则: 估算 估算的基本方法 估算在生活中的应用 课堂小结 用计算器开方 使用计算器进行开方运算 用计算器开方比较数的大小 用计算器探索数的规律 $3 二次根式 第二章 实数 第3课时 二次根式的混合运算 学习目标 1. 掌握二次根式的混合运算的运算法则.（重点） 2.会运用二次根式的混合运算法则进行有关的运算.（难点） 2 问题引入 如果梯形的上、下底长分别为 cm, cm，高为 cm，那么它的面积是多少？ 新课导入 3 问题1 单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则法则分别是什么? 问题2 多项式与单项式的除法法则是什么? m(a+b+c)=ma+mb+mc； (m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb 复习引入 (ma+mb+mc)÷m=a+b+c 分配律 单×多 转化 前面两个问题的思路是： 思考 若把字母a,b,c,m都用二次根式代替(每个同学任选一组)，然后对比归纳，你们发现了什么？ 单×单 二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用. 例1 计算： 解： 知识点1 二次根式的混合运算 讲授新课 6 二次根式的混合运算，先要弄清运算种类，再确定运算顺序：先乘除，再加减，有括号的要算括号内的，最后按照二次根式的相应的运算法则进行. 归纳 解： 此处类比“多项式×多项式”即(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab. 解：(1)原式 (2)原式 【变式题】计算： 有绝对值符号的，同括号一样，先去绝对值，注意去掉绝对值后，得到的数应该为正数. 归纳 例2：（P45例6）计算： 解： 9 解法一： 你还有其他解法吗？ 解法二： 原式= 解： (4)原式= 思考：还可以继续化简吗？为什么？ 如果算式当中有个别二次根式化简最简二次根式仍不能与其它最简二次根式合并同类项，结果中可保留，不必化为最简式. 提醒 问题：化简 ，其中a=3，b=2.你是怎么做的？ 解法一： 把a=3，b=2代入代数式中， 原式= 解法二： 原式= 把a=3，b=2代入代数式中， 原式 先代入后化简 先化简后代入 哪种简便？ 知识2 二次根式的化简求值 13 解二次根式化简求值问题时，直接代入求值很麻烦，要先化简已知条件，再用乘法公式变形代入即可求得． 方法总结 例3：已知 ，求 分析：先化简已知条件，再利用乘法公式变形，即a2+b2=(a+b)2-2ab,最后代入求解. 解： 15 变式训练： 已知 的整数部分是a,小数部分是b,求a2+b2的值. 解： 思考：（教材P46思考交流）如图，图中小正方形的边长为1，试求图中梯形ABCD的面积.你有哪些方法？ 知识点3 二次根式的应用 可把梯形ABCD分割成两个三角形和一个梯形，如图所示. 方法1：分割法 S1 S2 S3 S梯形ABCD=S1+S2+S3 通过补图，可把梯形ABCD变成一个大梯形，如图所示. 方法2：补图法 S1 S2 S梯形ABCD=S梯形ABEF－S1－S2 E F 过点D作AB边的高DE，如图所示. 方法3：直接法 S梯形ABCD E 归纳：利用二次根式可以简单便捷的求出结果． 例4：教师节就要到了，李欣同学准备做两张大小不同的正方形贺卡送给老师以表示祝贺，其中一张面积为288平方厘米，另一张面积为338平方厘米.如果用彩带把贺卡镶边会更漂亮，她现在有1.5米的彩带，请你帮忙算一算她的彩带够不够用. 分析：可以通过两个正方形的面积分别计算出正方形的边长，进一步求出两个正方形的周长之和，与1.5米比较即可得出结论. 21 解：贺卡的周长为 答：李欣的彩带够用. 本题是利用二次根式的加法来解决实际生活中的问题，解答本题的关键在于理解题意并列出算式． 方法总结 1.下列计算中正确的是（ ） B 2.已知 试求x2+2xy+y2的值. 解： x2+2xy+y2=（x+y)2. 把 代入上式得 原式= 当堂练习 （1） ； （2） ； （3） . 解： （1） （2） 3.计算. 24 解： （3） 4.在一个边长为 cm的正方形内部，挖去一个边长为 cm的正方形，求剩余部分的面积. 解：由题意，得 即剩余部分的面积是 5.(1) 已知 ，求 的值； 解：x2-2x-3=(x-3)(x+1) (2)已知 ，求 的值. 解： 6.阅读下列材料，然后回答问题： 在进行类似于二次根式 的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简： 方法一： 方法二： 能力提升：  (1)请用两种不同的方法化简： (2)化简： 解：(1) 二次根式混合运算 乘法公式 化简求值 分母有理化 化简已知条件和所求代数式 (a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab 课堂小结 $1 认识实数 第二章 实数 学习目标 1.了解无理数的基本概念．（重点） 2.了解实数的概念，能对实数按要求分类.(重点） 3.了解实数范围内相关概念的意义.(重点） 4.了解实数与数轴上点的一一对应关系.能用数轴上的点表示无理数.(难点） 小名是刚升入八年级的新生，一个周末的上午，当工程师的爸爸给小红出了一道数学题：把一个边长为3cm的正方形木板，按如图的痕迹锯掉四个一样的直角三角形.请计算剩下的正方形木板的面积是多少？剩下的正方形木板的边长又是多少厘米呢？见过这个数吗？你能帮小红解决这个问题吗？ 新课导入 3 活动：把两个边长为1的小正方形通过剪、拼，设法得到一个大正方形，你会吗？ 1 1 1 知识点1 无理数的认识 活动探究 讲授新课 4 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 还有好多方法哦！课余时间再动手试一试，比比谁找的多！ 5 问题1：设大正方形的边长为a，则a满足什么条件？ 追问1：a是一个什么样的数？a可能是整数吗？ 因为S大正方形=2，所以a2=2. 从“数”的角度： 因为 a2=2, 而12=1, 22=4 所以 12<a2<22 , 所以 1< a< 2，a不是整数 6 从“形”的角度： 在三角形ABC中,AC=1，BC=1，AB=a 根据三角形的三边关系： AC-BC< a<AC+BC 所以0<a<2，且 a≠1，所以a不是整数 7 追问2：a可能是分数吗？ ① a是分母为2的分数吗？ ② a是分母为3的分数吗？ ③ a是分母为4的分数吗？ ④ a是分母为多少的分数？ 归纳：a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数. 8 （1）如图，三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？ （2）a的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？……完成下列表格 1 a 2 面积为2 问题2：a究竟是多少？ 9 请同学们借助计算器进行探索 边长a 面积S 1<a<2 1.4<a<1.5 1.41<a<1.42 1.414<a<1.415 1.414 2<a<1.414 3 1<S<4 1.96<S<2.25 1.988 1<S<2.016 4 1.999 396<S<2.002 225 1.999 961 64<S<2.000 244 49 （1）边长a会不会算到某一位时，它的平方恰好等于2呢？为什么？ （2） a可能是有限小数吗？它会是一个怎样的数呢？ a=1.414 213 56…，它是一个无限不循环小数 想一想 估计面积为5的正方形的边长b的值，结果精确到百分位. b=2.236067978…，它也是一个无限不循环小数 做一做 事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示.反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数. 问题3：使用计算器计算，把下列各数表示成小数的形式，你有什么发现？ 它们都可以化成有限小数或无限循环小数的形式 无限不循环小数称为无理数. 除了前面所述的数a，b是无理数外，我们十分熟悉的圆周率π=3.14159265…也是一个无理数。再如0.585 885 888 588 885…（相邻两个5之间8的个数逐渐加1），也是无理数。 要点归纳 13 (1)含π 的一些数； (2)含开不尽方的数； (3)有规律但不循环的小数，如1.010 010 001 000 01… 总结：常见的无理数 例 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ 3.14，- ，0.57,0.1010001000001…（相邻两个1之间0的个数逐次加2）. 典例精讲 . . 解：有理数有：3.14， ， 0.57； 无理数有：0.101 000 100 000 1…(相邻 两个1之间0的个数逐次加2). . . 知识点2 实数的概念和分类 15 有理数和无理数统称为实数，即实数可以分为有理数和无理数。 要点归纳 16 思考：我们将有理数和无理数统称为实数，仿照有 理数的分类吗？据此你能给实数分类吗？ 无理数： 无限不循环小数 有理数： 有限小数或无限循环小数 实 数 （1）按定义分 分数 整数 含开方开不尽的数 有规律但不循环的小数 含有π的数 正实数 负实数 数实 负有理数 正有理数 0 负无理数 正无理数 0 正实数 负实数 （2）按性质分 知识点 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有 理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样. 例如：2和 －2互为相反数， 3和 互为倒数， 知识点3 实数的性质及运算 问题1：在有理数范围内，能进行哪些运算？ 判断下列各式成立吗？ 实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、 除、乘方运算，而且有理数的运算法则及 运算律对实数仍然适用。 问题2： 求无理数a=1.414 213 56…与π=3.141 592 65…的和（结果保留小数点后两位）. 在实数运算中，当遇到无理数且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精度，用相应的近似小数代替无理数进行计算。 解：直接舍去a和π小数点第三位以后的数字，得 a≈1.414，π≈3.141， 因此a＋π≈1.414＋3.141＝4.555≈4.56. 典例精析 例1 若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对 值为4，求 分析： 根据实数的性质及整体思想，求出各部分的 值，然后代入求值 . 解： 因为a，b互为相反数，所以a＋b＝0. 因为c，d互为倒数，所以cd＝1. 因为|m|＝4，所以m＝±4，m2＝16. （1）a是一个实数，它的相反数为 ， 绝对值为 ； （2）如果a ≠0，那么它的倒数为 . 归纳总结 思考1： 如图，直径为１个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上一点从原点到达A点，则数轴上表示点A的数是多少？ 因为圆的周长为π,无理数π可以用数轴上的点来表示. 0 -2 -1 1 3 2 4 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● A 知识点4 实数与数轴上的点 思考2：前面讨论的两个正方形，边长分别是a，b，且满足a2＝2，b2＝5. (1)如图，OA＝OB，数轴上点A对应a，b中的哪个数？ (2)你能在数轴上找到另一个数对应的点吗？ －2 －1 O 1 2 B A 1 －2 －1 O 1 2 D C 1 解：（1）数轴上点A对应a，b中的a. (2)如图，数轴上点C对应a，b中的b. 事实上，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一点都表示一个实数。也就是说，实数和数轴上的点是一一对应的。 要点归纳 28 1.判断题： ①实数不是有理数就是无理数.（ ） ③无理数都是无限小数.（ ） ④带根号的数都是无理数.（ ） ⑤无理数一定都带根号.（ ） ⑥两个无理数之积不一定是无理数.（ ） ⑦两个无理数之和一定是无理数.（ ） ⑧数轴上的任何一点都可以表示实数.（ ） × × × ②无理数都是无限不循环小数.（ ） √ √ √ √ √ 当堂练习 29 2.下列各数： 1， (相邻两个3之间0的个数逐次加1)中，无理数的个数是（ ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【解析】无限不循环小数是无理数，其中 (相邻两个3之间0的个数逐次加1)是无理数，其他是有理数. A 30 3.以下各正方形的边长是无理数的是（ ） A.面积为25的正方形； B.面积为 的正方形； C.面积为8的正方形； D.面积为1.44的正方形. C 4.在 －3，－π ， －1， 0 这四个实数中，最大的是（ ） A. －3 B.－π C. －1 D. 0 D 5. 实数 a,b 的位置如图化简 |a + b| – |a – b|. 解:由数轴可知，a+b<0，a－b<0，从而 原式=－(a＋b)－[－（a－b）] = －a－b＋（a－b） = －a－b＋（a－b） = －a－b＋a－b = －2b 认识无理数 无理数的概念及认识 借助计算器求无理数的近似值 课堂小结 实数 有理数和无理数统称实数 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样. 实数与数轴上的点一一对应 $3 二次根式 第二章 实数 第1课时 二次根式的乘除运算 学习目标 1.了解二次根式的定义；（重点） 2.运用二次根式有意义的条件解决相关问题；（难点） 3.会用二次根式的乘除法则进行简单地运算.（重点） 复习引入 问题1 什么叫做平方根? 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根. 问题2 什么叫做算术平方根? 如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的算术平方根.用 表示. 问题3 什么数有算术平方根? 我们知道,负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0. 思考 用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？ (1)一张海报为正方形，若面积为2m2,则边长为_____m；若面积为S m2，则边长为_____m． (2)一张海报为长方形，若它的长是宽的2倍，面积为6m2，则它的宽为_____m． （3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，那么t为_____． 问题1 这些式子分别表示什么意义？ 分别表示2，S，3， 的算术平方根． 上面问题中，得到的结果分别是： ， ， ， ． ①根指数都为2; ②被开方数为非负数. 问题2 这些式子有什么共同特征？ 知识点1 二次根式的概念及有意义的条件 讲授新课 归纳总结 一般地，我们把形如 的式子叫作二次根式. “ ”称为二次根号. 两个必备特征 ①外貌特征：含有“ ” ②内在特征：被开方数a ≥0 注意：a可以是数，也可以是式. 例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？ 解： (1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式. 是否含二次根号 被开方数是不是非负数 二次根式 不是二次根式 是 是 否 否 分析： 典例精析 例2 当x是怎样的实数时, 在实数范围内有 意义? 解：由x-2≥0，得 x≥2. 当x≥2时， 在实数范围内有意义. 【变式题1】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 解：由题意得x-1＞0， ∴x＞1. 解：∵被开方数需大于或等于零， ∴3+x≥0，∴x≥-3. ∵分母不能等于零， ∴x-1≠0，∴x≠1. ∴x≥-3 且x≠1. 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零. 归纳 当x取怎样的数时，下列各式在实数范围内有意义？ （1） （2） 导引： 要使二次根式有意义，则被开方数是非负数． 解：(1) 欲使 有意义，则必有2x－6≥0且x －5≠0，所以x≥3且 x≠5. (2) 欲使 有意义，则必有x－2≥0且5 －x≥0，所以2≤x≤5. 【变式题2】 (1)单个二次根式如 有意义的条件：A≥0； (2)多个二次根式相加如 有意义的 条件： (3)二次根式作为分式的分母如 有意义的条件： A＞0； (4)二次根式与分式的和如 有意义的条件： A≥0且B≠0. 归纳总结 1.下列各式： . 一定是二次根式的个数有 （ ） A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 B 2.(1)若式子 在实数范围内有意义，则x的取值 范围是_______; (2)若式子 在实数范围内有意义，则x的 取值范围是___________. x ≥1 x ≥0且x≠2 练一练 问题1 当x是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？ 前者x为全体实数；后者x为正数和0. 当a＞0时， 表示a的算术平方根，因此 ＞0；当a=0时， 表示0的算术平方根，因此 =0.这就是说，当a≥0时， ≥0. 问题2 二次根式 的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？ 知识点2 二次根式的双重非负性 二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 ，我们知道： （1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0； （2） 表示一个数或式的算术平方根，可知 ≥0. 二次根式的被开方数非负 二次根式的值非负 二次根式的双重非负性 归纳总结 15 例3 若 ，求a -b+c的值. 解： 由题意可知a-5=0,b-2=0,c-1=0, 解得a=5,b=2,c=1. 所以a-b+c=5-2+1=4. 多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为0.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式. 归纳 典例精析 例4 已知y= ,求3x+2y的算术平方根. 解：由题意得 ∴x=3，∴y=8， ∴3x+2y=25. ∵25的算术平方根为5， ∴3x+2y的算术平方根为5． 【变式题】已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足 ，求此三角形的周长． 解：由题意得 ∴a=3， ∴b=4. 当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10； 当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11． 若 ，则根据被开方数大于等于0，可得a=0. 归纳 已知|3x-y-1|和 互为相反数，求x+4y的平方根． 解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0． 解得x=1，y=2． ∴x+4y=1+2×4=9， ∴x+4y的平方根为±3. 练一练 （1） ＝ ， ＝ ； ＝ ， ＝ ； ＝ ， ＝ ； ＝ ， ＝ ． 6 6 20 20 填一填 有何发现？ 知识点3 二次根式的乘除运算 20 ＝ ， 6.480 ＝　 　； （2）用计算器计算： ＝ ， ＝　 　 ． 6.480 0.9255 0.9255 有何发现？ 要点归纳 （a≥0，b≥0） ， （a≥0， b＞0）． 二次根式的乘法法则和除法法则 典例精析 例1：计算: 例2：计算: 解: (3)只需其中两个结合就可实现转化进行计算，说明二次根式乘法法则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘，即 . 归纳 可先用乘法结合律，再运用二次根式的乘法法则 二次根式的乘法法则的推广： 归纳总结 多个二次根式相乘时此法则也适用，即 当二次根号外有因数(式)时，可以类比单项式乘单 项式的法则计算，即根号外的因数(式)的积作为根号外的因数(式)，被开方数的积作为被开方数，即 知识点 例3 计算： 导引：紧扣二次根式除法法则进行计算． 解： 的运算方法： 1. 当a 是b 的倍数或a，b 为分数时，常先利用 计算； 2. 当 ， 中的被开方数含有完全平方的因数（式） 时，常 先将完全平方的因数（式）“开方”出来， 再进行除法运算； 3. 当根号前含有系数时，根号前的系数与系数对应相除，根号 内的被开方数与被开方数对应相除，再把除得的结果相乘． 归纳总结 2.式子 有意义的条件是 （ ） A.x＞2 B.x≥2 C.x＜2 D.x≤2 3.若 是整数，则自然数n的值有 （ ） A.7个 B.8个 C.9个 D.10个 D 1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ ） C A 当堂练习 4.在括号中填写适当的数或式子使等式成立. （ ）＝10； （ ）＝ 4； 29 5.当________时， 在实数范围内有意义． 解析：要使在实数范围内有意义，必须同时满足被开方数x＋3≥0和分母x＋1≠0，解得. 方法总结：使一个代数式有意义的未知数的取值范围通常要考虑三种情况：一是分母不为零，二是偶次方根的被开方数是非负数，三是零次幂的底数不为零． x≥－3且x≠－1 6.(1)若二次根式 有意义，求m的取值范围． 解：由题意得m-2≥0且m2-m-2≠0， 解得m≥2且m≠-1，m≠2， ∴m＞2． (2)无论x取任何实数，代数式 都有意义，求m的取值范围． 解：由题意得x2+6x+m≥0， 即(x+3)2+m-9≥0. ∵(x+3)2≥0， ∴m-9≥0，即m≥9. 7.若x，y是实数，且y＜ ,求 的值. 解：根据题意得， ∴x=1. ∵y＜ , ∴y＜ ， ∴ . 二次根式 定义 带有二次根号 在有意义条件下求字母的取值范围 抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集. 被开方数为非负数 二次根式的双重非负性 二次根式 中,a≥0且 ≥0 二次根式的乘除法则 课堂小结 $3 二次根式 第二章 实数 第2课时 二次根式的化简及加减运算 学习目标 1.会用二次根式的乘除法则进行简单地化简.（重点） 2.了解最简二次根式的定义；（重点） 3.灵活运用二次根式的乘法公式.（难点） 1.什么叫二次根式？ 回顾旧知 式子 (a≥0)叫作二次根式. 2.两个基本性质： 新课导入 （a≥0，b≥0） ， （a≥0， b＞0）． 二次根式的乘法法则和除法法则 二次根式的乘法法则和除法法则 （a≥0，b≥0）， （a≥0，b＞0）． 等号的左边与右边交换，得到 （a≥0，b≥0）， （a≥0，b＞0）． 知识点1 二次根式的化简及最简二次根式 讲授新课 5 例1：（P43例3）化简： 解：(1) (2) (3) （1） ；（2） ；（3） . 最简二次根式： 　　一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫作最简二次根式. 要点归纳 化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式。 例2：(P43例4)化简： 解: 例3. 化简: 解：① ② ③ 知识点 一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并. 知识点2 被开方数相同的最简二次根式 可合并的二次根式的条件： (1)最简二次根式； (2)被开方数相同． 要点精析： (1) 可合并的二次根式必须同时满足：最简二次根式和被 开方数相同这两个条件，它与根号前面的数字因数无 关； (2)“被开方数相同的最简二次根式”在习惯上及相关课外 读物上都称为“同类二次根式”． 例4 若最简根式 与 可以合并，求 的值. 解：由题意得 解得 即 确定可以合并的二次根式中字母取值的方法：利用被开方数相同，指数都为，2列关于待定字母的方程求解即可. 归纳 练一练 1.下列各式中，与 是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. D 2. 与最简二次根式 能合并，则m=_____. 1 3.下列二次根式，不能与 合并的是________(填 序号）. ②⑤ （2）x2+2x2+4y= ; 1.（1）3x2+2x2= ; 2.类比合并同类项的方法，想想如何计算： 解： 3. 能不能再进行计算?为什么? 答：不能，因为它们都是最简二次根式，被开方数不相同，所以不能合并. 5x2 3x2+4y 合作探究 知识点3 二次根式的加减运算 解：(1)原式= 例5：计算: (2)原式= (3)原式= (4)原式= 解：(5)原式= (6)原式= 归纳总结 二次根式的加减法法则 一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并. 要点提醒 1.加减法的运算步骤：“一化简二判断三合并”. 2.合并的前提条件：只有被开方数相同的最简二次根式才能进行合并. 化为最简 二次根式 用分配 律合并 整式 加减 二次根 式性质 分配律 整式加 减法则 依据：二次根式的性质、分配律和整式加减法则. 基本思想：把二次根式加减问题转化为整式加减问题． 解：(1)原式= 例6：（教材P44例5）计算: (2)原式= (3)原式= 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. B 当堂练习 19 解： (1)原式= 2.计算: (2)原式= (3)原式 3.已知x+y=－4，xy=2.求 的值. 解： 原式= 把 x+y=-4,xy=2 代入上式，得原式= 解： 4.计算: 解： 二次根式的运算 乘除法则 加减法则 乘除公式 课堂小结 $